2011-2012数学物理方程-A卷

= ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的函数在
有界闭区域上的最大值不会超过它在境界上的最大值。 证明题（ 五、证明题 （20 分） 证明三维调和函数的积分表达式为：
（若M 0 在Ω外） 0 ∂ 1 1 ∂u − ∫∫ u ∂n r − r ∂n dS = 2πu ( M 0 ) （若M 0 在Γ上） ， Γ 4πu ( M ) （若M 在Ω内） 0 0 r 其中 M 0 为空间有界区域 Ω 内任一点， Γ 是区域 Ω 的边界曲线，且光滑， n 为 Γ 的
数学科学
中国海洋大学 2011 秋季学期 秋季学期 期末考试 期末考试试卷 考试试卷 学院 《数学物理方程》课程试题(A 卷) 共 2 页 第 1 页 文具，满分为：100 分。
考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 考试说明
座号
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
得分
----------------装 装----------------订 订----------------线 线----------------
由此推出上述混合问题的唯一性与稳定性。
授课教师命题教师或 院系负责人签字 命题负责人签字 2011 2011 年 12 月 日 年 月 日
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姓名
授课教师
∫∫ fds = 0 物理意义；
（3）判定方程 u xx + xyu yy = 0 的类型； （4）将方程 u xx + 4u xy + 5u yy + u x + 2u y = 0 化为标准形式。 三、计算题（ 计算题（20 分）
学号
utt − a 2u xx = 0,0 < x < l , t > 0, u x (0, t ) = u (l , t ) = 0, t ≥ 0, 的解； （1）计算震动方程 u ( x,0 ) = cos π x,0 ≤ x ≤ l , 2l 3π 5π x + cos x ,0 ≤ x ≤ l ; ut ( x,0 ) = cos 2l 2l
（2）如果有一长度为 l 的均匀的细棒，其周围以及两端 x = 0, x = l 处均匀等到为绝 热，初始温度分布为 u ( x,0) = f ( x ), 问以后时刻的温度分布如何？。
专业 专业年 年级
四、证明题（ 证明题（20 分） (1) 设 u ( x1 , x 2 , L , x n ) = f ( r )
外法向量， ds 是面积微元。 六、证明题（ 证明题（8 分）
2 ∂u 2 ∂ u =a 若方程 + cu (c ≥ 0) 的解 u 在矩形 R 的侧边 x = α 及 x = β 上不超 ∂t ∂x 2
过 B，又在底边 t = 0 上不超过 M，证明此时 u 在矩形 R 内满足不等式：
u ( x, t ) ≤ max(Me ct , Be ct )
2 2 (r = x1 + L + xn ) 是 n 维调和函数，试证明
f (r ) = c1 +
c2 r
n−2
(n ≠ 2) 及 f (r ) = c1 + c 2 In
1 (n = 2) 其中 c1 , c 2 为常数； r
∂ 2u
（2）利用证明热传导方程极值原理的方法，证明满足方程
∂x 2
+
∂ 2u ∂y 2
一、简答题（ 简答题（12 分） （1）在杆纵向振动时,假设（1）端点固定;(2) 端点自由;（3）端点固定在弹性支承 上，写出这三种情况下对应的边界条件。 （6 分） （2）定界问题中适定性指的是什么？（3 分） ； （3）一维齐次弦振动方程的柯西中指出它的决定区域？（3 分） 。 二、解答题（ 解答题（20 分） （1）一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围 介质发生热交换，服从于规律： dQ = k1 (u − u1 )dsdt ，又假设杆的密度为 ρ ，比 热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程； （2）如果用拉普拉斯方程式表示平衡温度分布函数所满足的方程，试阐明牛曼内 问题有解的条件