矩阵分析试题中北大学33
矩阵,试题,答案
参考答案一（20分） 设矩阵101120403A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， （1）求A 的初等因 子组； （2）求A 的Jordan 标准形J ； （3）求可逆矩阵P 使得J AP P =-1； （4）求kA 。
答案：（1）210111120(2)(2)(1)43403I A λλλλλλλλλ+-⎡⎤+-⎢⎥-=--=-=--⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦观察得，21231,1,(2)(1)D D D λλ===--因此，初等因子组为2(1),(2)λλ-- 5分（2）1112J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦10分（3）设123[,,]P ααα=，由1P AP J -=，得1121233(1)(2)2(3)A A A ααααααα=⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 由（1），1()0I A α-=，解得1112α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中20110.05110010.5402000I A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦由（2），21()I A αα-=-，解得2011α⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中12011100.50.5[,]1101010.50.540220000I A α----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦由（3）3(2)0I A α-=，解得3010α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中3011002100001401000I A -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1100100111,201210111P P -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 15分（4）10010002kkk J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12102122124021k k k kk k kA PJ P k k k k --+⎡⎤⎢⎥==+---+⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦20分 二（20分） 设微分方程组0d d (0)x Ax t x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩，其中311202113A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，0111x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （2）求Ate ； （3）求该方程组的解。
矩阵分析期末试题及答案
矩阵分析期末试题及答案矩阵分析是一门重要的数学课程，在科学、工程和经济等领域都有广泛的应用。
期末试题的设置既考查学生对于矩阵分析理论的理解，也测试其应用能力和解决问题的能力。
本文将为您提供一套矩阵分析的期末试题，并附有答案解析。
1. 简答题（每小题2分，共20分）(1) 请简述矩阵的定义和基本术语。
答案：矩阵是由数个数排成m行n列的一个数表。
行数和列数分别称作矩阵的行数和列数。
矩阵的元素用a[i, j]表示，其中i表示所在的行数，j表示所在的列数。
(2) 请解释什么是方阵和对角矩阵。
答案：方阵是行数和列数相等的矩阵。
对角矩阵是除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
(3) 请解释矩阵的转置和逆矩阵。
答案：矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行互换得到的新矩阵。
逆矩阵是满足A * A^(-1) = I的矩阵A的逆矩阵，其中I是单位矩阵。
(4) 请简述特征值和特征向量的定义。
答案：特征值是方阵A满足方程A * X = λ * X的标量λ，其中X是非零的列向量。
特征向量是对应特征值的零空间上的非零向量。
(5) 请解释矩阵的秩和行列式。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
行列式是将矩阵的元素按照一定规则相乘并相加得到的一个标量。
(6) 请解释正交矩阵和幂等矩阵。
答案：正交矩阵是满足A * A^T = I的矩阵A。
幂等矩阵是满足A *A = A的矩阵A。
(7) 请解释矩阵的特征分解和奇异值分解。
答案：矩阵的特征分解是将一个矩阵表示为特征向量矩阵、特征值矩阵和其逆的乘积。
奇异值分解是将一个矩阵表示为三个矩阵相乘的形式，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
(8) 请解释矩阵的迹和范数。
答案：矩阵的迹是指矩阵对角线上元素的和。
范数是用来衡量矩阵与向量的差异程度的指标。
(9) 请解释矩阵的稀疏性和块状矩阵。
答案：矩阵的稀疏性是指矩阵中大部分元素为零的特性。
块状矩阵是由多个子矩阵组成的一个矩阵。
(10) 请解释矩阵的正定性和对称性。
矩阵理论试题答案最终版
阵
G
为
(2, 2) (2, t + 1) (2, t 2 − 1) 2 (t + 1, 2) (t + 1, t + 1) (t + 1, t − 1) (t 2 − 1, 2) (t 2 − 1, t + 1) (t 2 − 1, t 2 − 1)
1 ∫−1 4dt 1 = ∫ 2*(t + 1)dt −1 1 ∫ 2*(t 2 − 1)dt −1 −8 4 8 3 10 −4 = 4 3 3 −8 −4 16 3 15 3
2
x ' −1 0 x 1 = + y ' 0 2 y −1 求多项式 P(x)经此仿射变换所得到的曲线，变换后的曲线是什么曲线？ 解：(1)由平面的四个点我们可得如下方程。
a0 + a1 *1 + a2 *12 = 0 2 −1 a0 + a1 *(−1) + a2 *(−1) = 2 1 a0 + a1 * 2 + a2 * 2 = a + a *(−3) + a *(−3) 2 = 2 2 0 1
∫ ∫ ∫
1 −1 1
1
−1
2*(t + 1)dt
−1
(t 2 + 2t + 1)dt
(t + 1) *(t 2 − 1)dt
1 2 ∫−1 (t + 1) *(t − 1)dt 1 2 2 t dt t ( 1) *( 1) − − ∫−1
∫
1
−1
2*(t 2 − 1)dt
矩阵分析课后习题解答整理版
第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)R对m C满足加(AR是m C的非空子集，即验证)(A法和数乘的封闭性。
1.10.证明同1.9。
1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）1.13.提示：设),)(-⨯==n j i a A n n ij （，分别令T i X X ),0,0,1,0,0( ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0( ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行），代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故A A T -=，即A 为反对称阵。
若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，0=+ji ij a a ，再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0( ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(1.15.存在性：令2,2HH A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B HH-==，且C C B B ≠≠11,，由1111C B C B A H H H -=+=，得C A A C B A A B HH =-==+=2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T n i ==（1在第i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T n j ==（1在第j 行） 根据此题内积定义⎩⎨⎧≠===j i j i X Y e e H j i 01),~~（ 故n e e e ,,21是V 的一个标准正交基。
矩阵分析所有习题及标准答案
习题3-22设A,B均是正规矩阵,试证:A 与B相似的充要条件是A与B酉相似
证:因为A,B是正规矩阵,所以存在U,VUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, B=Vdiag(1,…,n)V*, 其中1,…, n,,1,…,n分别是A,B的特征值集 合的任意排列. 必要性：若A与B相似,则i=i,i=1…,n,于是 B=VU*AUV*=W*AW, W=UV*Unn 即得证A与B酉相似. 充分性:显然,因为,酉相似必然相似.
习题 3-3(1) 0 8 3
V*AV=
子矩阵A1的特征值仍是-1,对应的单位特征向量 是1=(-2/5,1/5)T,作2阶酉矩阵 1 10 T * W1=(1,2),2=(1/5,2/5) ,则W1 A1W1= 0 1 作3阶酉矩阵W=diag(1,W1),U=VW,则 U*AU= 为上三角矩阵.
解,得证AA*与A*A有相同的非零特征值.
习题3-28设A为正规矩阵.试证:①若 Ar=0,则A=0.②若A2=A,则A*=A.
证:因为A是正规矩阵,所以存在UUnn 使得 A=Udiag(1,…,n)U*, 其中1,…, n是A的特征值.于是, Ar=Udiag(1r,…,nr)U*=0 蕴涵ir=0,i=1,…,n.后者又蕴涵 1=…=n=0. ∴ A=Udiag(0,…,0)U*=0. 若 A2=A, 则i2=i,i=1,…,n. 后者又蕴涵i=0 或1, i=1,…,n,(即正规矩阵A的特征值全为 实数). ∴ A*=Udiag(1,…,n)U*=A.
习题3-30
#3-30:若ACnn,则A可唯一地写为 A=B+C,其中BHnn,CSHnn.
证:存在性 取 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*), 则显然B,C分别是Hermite矩阵和反Hermite矩阵, 并且满足A=B+C. 唯一性 若 A=B+C,其中BHnn,CSHnn,则 A*=(B+C)*=B*+C*=B-C. 于是 B=(1/2)(A+A*),C=(1/2)(A-A*). 证毕 注:令T=-iC,则T*=iC*=i(-C)=T,即THnn.由此推 出:A可唯一地写为A=B+iT,其中B,THnn.
研究生《矩阵分析》试题答案及评分标准
A (1 , 2 , 3 )1 (T1 ,T 2 ,T 3 ) 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 1
0 1 10 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2. 1 3 11 0 1 2 4 4
2 1, 1, 3, 7T ，求W1 W2 与W1 W2 的维数，并求W1 W 2 。（10 分）
解： W1 W2 L1, 2 L1 2 L1, 2 , 1, 2
1 1 2 1
1 -1 2 1
A1,2,1,2 12
设 W1 W2, x11 x22 x33 x44,化为齐次线性方程组
1 1 2 1
(1,2 ,1,2 )X 41
0
，即
2 1
1 1
1 0
1 3
X
0
。
0 1 1 7
x1 k, x2 4k, x3 3k, x4 k, k1 4k2 k5,2,3,4T ,即 解得 W1 W2 k5,2,3,4T .
注：计算W1 W2 维数 4 分，计算W1 W2 的维数 2 分，求集合W1 W 2 4 分。
3. 设 R3 中 ， 线 性 变 换 T 为 ： Ti i , i 1, 2, 3, 其 中 1 (1, 0, 1)T , 2 (2,1,1)T , 3 (1,1,1)T 与
2
1
1 0
1 1
12
注：矩阵 B, C, 各 3 分, A BC 计算 2 分。
1 0 0 -1
其他学院——矩阵分析试题
3 （满分 12 分）设 x 与 x 是 C n 上的两种范数，试证明 x max x , x 成 C n 上的范数。
也构
4 （满分 12 分）设 x1 , x2 , , xm 是酉空间 V 的一组向量，令
试求： (1) V1 V2 的一组基与维数。 (2) V1 V2 的一组基与维数。
2 (满分 14 分) 设 R 表示所有正实数集合，在 R 中定义加法 和数乘 分别为：
a b ab, a, b R k a a k , a R , k R
广东工业学考试试卷
课程名称: 矩阵分析 试卷满分 100 分
1 （ 满 分 12 分 ） 设 向 量 1 (1, 0, 2,1)T ， 2 (2, 0, 1,1)T ， 3 (1, 0,1,1)T ，
1 (1,1, 0, 1)T ， 2 (3,1, 2,1)T ，令 V1 span1, 2 , 3 ， V2 span1, 2 ,
广东工业大学试卷用纸，共
页，第
页
x1 5 （满分 12 分） 设 x x 2 R 3 ， T 是 R 3 上的线性变换，定义如下： x 3 x1 2 x2 2 x3 Tx 2 x1 x2 2 x3 2 x 2 x 3x 2 3 1
2 1 0 i 2 3 T 8 （满分 14 分）已知 A 0 2 3 ， B ， x 1 i 2i ， 1 0 i 1 2 0
试求 A F , A 2 , B 1 , B , Ax 1 , x 2 , Bx
中北大学线性代数(练习册)答案
中北大学线性代数作业（练习册）答案本答案供软件学院南校区和中北大学信息商务学院的同学使用 第一章 行列式第一节 二阶、三阶行列式一、1. -2； 2. )(a b ab -； 3. 1； 4. 1ln ln a b -二、1.18； 2.； 3. 0； 4. 0 三、A A A A 四、1231,2,3x x x ===第二节 n 阶行列式的定义及性质一、1. -29，29； 2. 0； 3. 3m ； 4. 0.二、1. 2000； 2.4abcdef ；3.160；4.8；5.63；6.120. 三、11212(1)n n n a a a b b b ++- 四、1.123,1x x ==；2. 1232,2,2x x x ===-.五、略 六、0第四节 克拉默法则一、1. 3,1x y ==-2. 12310,,12==-=x x x二、1. 当2-=λ或1=λ时，方程组有非零解；2. 当2-=λ或1-=λ时，方程组有非零解.三、1)(2++=x x x f . 综合练习题一一、1. 3k ≠且1k ≠-； 2. 3； 3.23645()a a a a a --二、C C C C三1.-25； 2.222()()x y x y xy +--+；3.1；4.1abcd ad ab cd ++++；5.54x ； 6.(1)nkk k a =-∑.四、1．122,x x == 2.00x y ==或者五、1. 28- 2. 0 六、略。
七、1.1≠λ且3≠λ； 2.3λ=或1λ=。
第二章 矩阵第一节 矩阵的定义及其运算一、1. -32； 2. BA AB =；3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2412498 二、DCDDC 三、1.（1）101111100,240021111X Y -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭；2.(1) 13145-⎛⎫⎪-⎝⎭；(2) ()10；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛369246123； （4）2212131223522x x x x x x x x -+++. 3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000AB ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1020510BA ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00002A .第二节 逆矩阵一、1.4, 4，4,14； 2. 113二、CDDC 三、1.(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-12351A ； (2) 不可逆；(3) 112100100100n a a A a -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 2. 100200611A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭, 5A =A .3. 1=B .4. X =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321.5. *1()A -=） 10061031002⎛⎫- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 6. 11(2)(3)4A I I A -+=-. 第三节 初等变换与初等矩阵一、1. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001k ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10001001k；2.111221111--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 二、BBC三、1.（1） 211532421⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭；（2）11240101113621610--⎛⎫⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭； （3）12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭2.96210721283B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.第五节 矩阵的秩一、1. ≥，< ； 2. 1； 3. 1. 二、DADDA三、1.(1) 秩为3；（2）秩为2；（3）秩为4（4）2x =-时，秩为2；1x =时，秩为1；1,2x x ≠≠-且时，秩为3.2. 2=a . 综合练习题二 一、1.1627-； 2. 3； 3.3-. 二、BCCCBBB 三、×√√×√√×√四、1.1001()010100A I -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦； 2.()2R AB =； 3.300020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.五、10100510501A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.第三章 向量第一节 向量的概念及其运算一、（1）()15,10,13T--（2）()0,0,0.二、()()2,4,TTαβ=-=---三、()2,4,9α=-.四、1.123422βαααα=-++-；2.123400βαααα=-++⋅+⋅. 五、β可以由向量组123,,ααα线性表示，且12351114βααα=-+-.第二节 线性相关与线性无关一、1. 线性无关,两个向量的对应分量不成比例；2. 线性相关,包含零向量的向量组必定线性相关；3. 线性无关，2111110112--≠-； 4. 线性相关， 4个3维向量必线性相关. 二、 1.（√） 2.（√） 3.（×） 4.（√） 5.（√）6.（×）7.（√）. 三、1. 283-2. 1lm ≠3. >4. 相5. 惟一. 四、证明：（略）. 五、不一定线性相关， 例如：()()()()11221,13,74,40,0αβαβ=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=⎪⎪⎩⎩， 但是1122,αβαβ++线性无关.第三节 向量组的秩一、1. 相； 无 2. 12r r = 3. =. 二、1. B 2. B 3. A . 三、1. 1234,,,αααα的秩为4；2. 0,1a a ≠≠且时，123,,ααα的秩为3；0a =时，123,,ααα的秩为2；1a =时，123,,ααα的秩为1；四、 1. 123,,ααα的秩为2，123,,ααα线性相关；2. 123,,γγγ的秩为3，123,,γγγ线性无关； 五、1. 123,,ααα本身为其一个极大线性无关组；2. 12,αα为123,,ααα的一个极大线性无关组，且31213510ααα=+. 六、 1. 9k =；2. 123,,ααα为1234,,,αααα的一个极大线性无关组，且41233αααα=+-. 七、证明：（略）.八、证明：（略）.九、证明：（略）.第四节 向量空间一、因为1V 满足加法和数乘的封闭性，所以1V 是向量空间；因为2V 不满足加法的封闭性，所以2V 不是向量空间. 二、(1,1,1). 三、B .四、1. 111110102--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； 2. 1231114,3,1342--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭βββ.五、 1. βα,化为单位向量为1(1,1,1)2T --2,2,1)T ； 2. βα,正交. 六、12,,ααα正交化为：()11,0,1,1β=-，2221,1,,333β⎛⎫=- ⎪⎝⎭，31334,,,5555⎛⎫=- ⎪⎝⎭β第四章 线性方程组第一节 利用矩阵的初等变换解线性方程组一.（1）2-；（2）1-. 二.（1）C ；（2）A .三.（1）(0,1,0)T; （2）无解；（3）12348,3,62,x x k x k x k =-=+=+=，其中k 为任意常数.四.（1）2λ=-；（2）1-2λλ≠≠且； （3）1231212=1,(,,)(1,,)T T x x x k k k k λ=--，其中12,k k 为任意常数.第二节齐次线性方程组解的结构一. CC ADBDCB.二. （1）(2,1,1)T ξ=-；（2）1(1,1,0,0)T ξ=-，2(1,0,3,1)T ξ=--.三. 123111112100023010001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.第三节非齐次线性方程组解的结构一. C DB.二. （1）127523342133001100x k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其中12,k k 为任意常数. （2）1231611523226010000100001x k k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中123,,k k k 为任意常数.三. 当1k =-时，方程组无解；当1k ≠-且4k ≠时，方程组有惟一解；当4k =时，方程组有无穷多组解，其通解为034101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中c 为任意常数.第五章 矩阵的特征值与矩阵的对角化第一节 矩阵的特征值与特征向量一、1. 3； 2. 11, ,24-1；, 2 , 4k k k -；3,6,11；8, 4 , 2-- 3.01或； 4. 23-,； 5. 6； 6. 3-；7. 0； 8. 211,, 二、CCBD三、1. 特征值：23023λλλ===1，， 对应的全部特征向量：1231111,1,1201k k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 特征值：23211λλλ==-=1，， 对应的全部特征向量：12311121,1,01112k k k ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭四、特征值：||A （三重）；任何三维非零列向量都是B 的特征向量.五、1a =- 六、提示：两边同取行列式七、提示：用反证法八、（1）12322βξξξ=-+；（2）12132223223223n n n n n n n A β+++++⎛⎫-+ ⎪=-+ ⎪ ⎪-+⎝⎭第二节 相似矩阵与矩阵的对角化一、1. 24； 2. 1； 3. 6 二、BBA 三、1. 不可对角化；2.123111(,,)101012P ξξξ-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭==，1224P AP --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭= 3.不可对角化四、题目有问题，P 不可逆，待查. 五、（1）56a ,b ==；(2)111102013C --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭六、02x ,y ==＊七、提示：1k =，不可对角化第三节 实对称矩阵的对角化一、1．线性相关，正交； 2. 3 二、12133412,535203P P AP -⎛ -⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭三、0，2，2 四、0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭五、（1）0,0αβ==；（2）00100P ⎛= ⎪ ⎪ ⎝六、提示：123=4,1λλλ==，A 可对角化，设相似变换矩阵为P ，则1411kk A P P -⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭＊七、提示：（1）特征多项式相同⇒有相同的特征值12,,,n λλλ ⇒A ，B 都与12(,,,)n diag λλλ 相似（再利用相似的传递性）（2）一般矩阵不具有此结论，如1110,0101A I ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两者特征多项式均为2(1)λ-，但两者不相似.第六章 二次型第一节 二次型及其矩阵一、√ √ × × 二、1.112312323110110110,(,,)(,,)110000000x f x x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2.1121221111,(,)(,)1111x f x x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.222123112132233(,,)48223f x x x x x x x x x x x x =+++-+ 4.012103,3231-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭； 5. 2三、1.112312323120(,,)(,,)240,2001x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭2. 11212222(,)(,),221x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3. 222(,,)(,,)260,3204x f x y z x y z y z ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭第二节 化二次型为标准形一、1.2221232f y y y =++；1123223332x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩；2. 2221239f y y y =+-；11232233315221()2x =y y y x =y -y x y ⎧-+⎪⎪⎪⎨⎪=⎪⎪⎩ 3.2221232f =y y +5y -；11232233322x y y y x y y x y ++⎧⎪=+⎨⎪=⎩= 4.22212324f z z z =-+；112233116114001x z x z x z --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、1. 11223310000x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝，22212325f y y y =++2.1122330x yx y x y ⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，213f y =三、0a b ==第三节 二次型的规范形与惯性定律 第四节 正定二次型一、1. 2；2. t 二、AACDD三、1122331030011x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，222123f y y y =-++，正惯性指数为2，负惯性指数为1四、1. 负定； 2. 正定 五 1.405a -<< ； 2. 2a > 六、4t >。
矩阵分析试题中北大学33
矩阵分析试题中北⼤学33§9. 矩阵的分解矩阵分解是将⼀个矩阵分解为⽐较简单的或具有某种特性的若⼲矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应⽤中常见的⽅法。
由于矩阵的这些特殊的分解形式，⼀⽅⾯反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另⼀⽅⾯矩阵分解⽅法与过程往往为某些有效的数值计算⽅法和理论分析提供了重要的依据，因⽽使其对分解矩阵的讨论和计算带来极⼤的⽅便，这在矩阵理论研究及其应⽤中都有⾮常重要的理论意义和应⽤价值。
这⾥我们主要研究矩阵的三⾓分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。
⼀、矩阵的三⾓分解——是矩阵的⼀种有效⽽应⽤⼴泛的分解法。
将⼀个矩阵分解为⾣矩阵（或正交矩阵）与⼀个三⾓矩阵的乘积或者三⾓矩阵与三⾓矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应⽤必将带来极⼤的⽅便。
⾸先我们从满秩⽅阵的三⾓分解⼊⼿，进⽽讨论任意矩阵的三⾓分解。
定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n1,2,),=++ j i i n 则上三⾓矩阵11121222000??= ?n n nn a a a a a R a称为正线上三⾓复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三⾓复（实）矩阵。
定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n1,2,),=++ j i i n 则下三⾓矩阵11212212000??= ?n n nn a a a L a a a称为正线下三⾓复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，L 称为单位下三⾓复（实）矩阵。
定理1设,?∈n nn A C （下标表⽰秩）则A 可唯⼀地分解为1=A U R其中1U 是⾣矩阵，R 是正线上三⾓复矩阵；或者A 可唯⼀地分解为2=A LU其中2U 是⾣矩阵，L 是正线下三⾓复矩阵。
中北大学函授高起专题库复习和答案Z经济数学(二)(1)(4)
、单选题（每题4分，共25道小题，总分值100分）1.（4分）A0BCD正确答案C您的答案是 A回答错误展开2.（4分）A3/4B0C4/3D无穷大正确答案A您的答案是 A回答正确展开3.设A是可逆矩阵，且，则（）（4分）ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开4.设为同阶可逆方阵，则下列说法正确的是（）（4分）ABCD正确答案D您的答案是 C回答错误展开5.（4分）ABCD正确答案B您的答案是 C回答错误展开6.设为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）（4分）ABCD正确答案B您的答案是 B回答正确展开7.（4分）ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开8.线性方程组只有零解，则（）（4分）A有唯一解B可能无解C有无穷多解D无解正确答案B您的答案是 B回答正确展开9.（4分）ABCD正确答案D您的答案是 C回答错误展开10.下列定积分计算正确的是（）（4分）ABCD正确答案D您的答案是 D回答正确展开11.（4分）ABCD正确答案D您的答案是 C回答错误展开12.（4分）A0B1C2D3正确答案B您的答案是 B回答正确展开13.设函数在x = 0处连续，则k = ( )．（4分）A-2B-1C1D2正确答案C您的答案是 C回答正确展开14.（4分）A[0,16]B（0,16）C[0,16）D（0,16]正确答案A您的答案是 A回答正确展开15.下列各函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（）（4分）ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开16.若函数的拐点为，以下结论一定成立的是（）. （4分）AB不存在C或者不存在D正确答案C您的答案是 C回答正确展开17.（4分）A-1B0C不存在D1正确答案D您的答案是 D回答正确展开18.设函数在连续，则＝（）（4分）ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开19.函数在处的切线方程是（）．（4分）ABCD正确答案A您的答案是 A回答正确展开20.设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（）成立.（4分）A AB= AC，A 0，则B= CB AB= AC，A可逆，则B= CC A可逆，则AB= BAD AB= 0，则有A = 0，或B= 0正确答案B您的答案是 B回答正确展开21.下列函数在指定区间上单调增加的是（）（4分）A sinxB e xC x 2D3 - x正确答案B您的答案是 B回答正确展开22.设事件A和B互斥，且，则有（）（4分）ABCD正确答案A您的答案是 A回答正确展开23.（4分）ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开24.若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（）时线性方程组无解．（4分）AB0C1D2正确答案B您的答案是 B回答正确展开25.设随机变量X的期望，方差D(X) = 3，则= ( )（4分）A36B30C6D9纠错正确答案C您的答案是 C回答正确展开一、单选题（每题4分，共25道小题，总分值100分）1.（4分）ABCD正确答案D您的答案是 C回答错误展开2.（4分）A0BCD正确答案D您的答案是 A回答错误展开3.（4分）A1B0C-1D不存在正确答案A您的答案是 A回答正确展开4.设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（）（4分）A无解B有非零解C只有零解D解不能确定正确答案C您的答案是 C回答正确展开5.（4分）ABCD正确答案B您的答案是 C回答错误展开6.设函数在连续，则＝（）（4分）ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开7.下列函数在指定区间上单调增加的是（）（4分）A sinxB e xC x 2D3 - x正确答案B您的答案是 C回答错误展开8.设某商产品单价为100元时，需求价格弹性，它说明在价格100元的基础上上涨1℅，需求将下降（）（4分）A0.1B10%C0.1%D10正确答案C您的答案是 C回答正确展开9.（4分）ABCD正确答案D您的答案是 C回答错误展开10.已知可导，则（）（4分）ABCD正确答案D您的答案是 D回答正确展开11.函数的定义域是( )（4分）ABCD正确答案B您的答案是 B回答正确展开12.（4分）ABCD1正确答案A您的答案是 B回答错误展开13.（4分）A sinx+CB cosxC cosx+CD sinx正确答案D您的答案是 D回答正确展开14.设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（）（4分）A有唯一解B无解C有非零解D有无穷多解正确答案B您的答案是 B回答正确展开15.（4分）A1B0CD正确答案A您的答案是 A回答正确展开16.（4分）A-1B0C不存在D1正确答案D您的答案是 D回答正确展开17.（4分）A没有极限B无意义C是无穷小量D无界正确答案C您的答案是 C回答正确展开18.若线性方程组的增广矩阵为，则当＝（）时线性方程组无解．（4分）AB0C1D2正确答案B您的答案是 B回答正确展开19.掷标号为1、2、3的三枚硬币，则恰好有两枚正面向上的概率是( )（4分）ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开20.下列等式中正确的是（）（4分）ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开21.（4分）A ABB AB TC A+BD BA T正确答案A您的答案是 C回答错误展开22.（）（4分）A1B2C3D4正确答案A您的答案是 A回答正确展开23.关于函数连续与可导的关系，下列叙述正确的是（）（4分）A连续必可导B可导必连续C可导不一定连续D连续与可导没有直接关系正确答案B您的答案是 B回答正确展开24.的充分必要条件是( ).（4分）ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开25.若，则=（）（4分）ABCD纠错正确答案B您的答案是 B回答正确展开交卷时间2021-12-16 15:56:49一、单选题（每题4分，共25道小题，总分值100分）1.设23，25，22，35，20，24是一组数据，则这组数据的中位数是（）（4分）ABCD正确答案A您的答案是 A回答正确展开2.（4分）ABCD正确答案A您的答案是 B回答错误展开3.（4分）A（-1,5）B[-1,5]C[-1,5）D（-1,5]正确答案B您的答案是 B回答正确展开4.（4分）ABCD正确答案A您的答案是 B回答错误展开5.的充分必要条件是( ).（4分）ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开6.掷标号为1、2、3的三枚硬币，则恰好有两枚正面向上的概率是( )（4分）ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开7.（4分）ABCD正确答案D您的答案是 B回答错误展开8.（4分）A sinx+CB cosxC cosx+CD sinx正确答案D您的答案是 D回答正确展开9.（4分）ABCD正确答案C您的答案是 B回答错误展开10.设随机变量X的期望，方差D(X) = 3，则= ( )（4分）A36B30C6D9正确答案C您的答案是 C回答正确展开11.（4分）ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开12.（）（4分）ABCD正确答案D您的答案是 B回答错误展开13.（4分）ABCD正确答案B您的答案是 C回答错误展开14.若，则=（）（4分）ABCD正确答案B您的答案是 B回答正确展开15.设函数在连续，则＝（）（4分）ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开16.（4分）A1B0C-1D不存在正确答案A您的答案是 D回答错误展开17.设线性方程组有唯一解，则相应的齐次方程组（）（4分）A无解B有非零解C只有零解D解不能确定正确答案C您的答案是 C回答正确展开18.（4分）A1B0CD正确答案A您的答案是 B回答错误展开19.（4分）ABCD正确答案B您的答案是 B回答正确展开20.下列等式中正确的是（）（4分）ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开21.若，则( ). （4分）ABCD正确答案D您的答案是 D回答正确展开22.设均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（）（4分）ABCD正确答案D您的答案是 D回答正确展开23.（4分）ABCD正确答案B您的答案是 C回答错误展开24.下列定积分计算正确的是（）（4分）ABCD正确答案D您的答案是 D回答正确展开25.（4分）A0B1C2D纠错正确答案B您的答案是 C回答错误展开一、单选题（每题4分，共25道小题，总分值100分）1.（4分）A0B1C-1D2正确答案D您的答案是未作答回答错误展开2.（4分）A同阶无穷小B等价无穷小C高阶无穷小D低阶无穷小正确答案A您的答案是未作答回答错误展开3.已知可导，则（）（4分）ABCD正确答案D您的答案是未作答回答错误展开4.下列广义积分收敛的是（）（4分）ABCD正确答案D您的答案是未作答回答错误展开5.（4分）ABCD正确答案D您的答案是未作答回答错误展开6.（4分）A0B1C2正确答案C您的答案是未作答回答错误展开7.下列定积分计算正确的是（）（4分）ABCD正确答案D您的答案是未作答回答错误展开8.的充分必要条件是( ). （4分）ABCD正确答案C您的答案是未作答回答错误展开9.（4分）B0C不存在D1正确答案D您的答案是未作答回答错误展开10.线性方程组满足结论（）（4分）A无解B有无穷多解C只有解D有唯一解正确答案D您的答案是未作答回答错误展开11.设下面矩阵A, B, C能进行乘法运算，那么（）成立.（4分）A AB= AC，A 0，则B= CB AB= AC，A可逆，则B= CC A可逆，则AB= BAD AB= 0，则有A = 0，或B= 0正确答案B您的答案是未作答回答错误展开12.（4分）A[0,16]B（0,16）C[0,16）D（0,16]正确答案A您的答案是未作答回答错误展开（4分）A极大值-1/2B极大值1/2C极小值1/2D极小值-1/2正确答案D您的答案是未作答回答错误展开14.以下各组函数中表示同一函数的一组是（）（4分）ABCD正确答案C您的答案是未作答回答错误展开15.（4分）ABCD正确答案A您的答案是未作答回答错误展开16.（4分）ABCD正确答案C您的答案是未作答回答错误展开17.（4分）ABCD正确答案D您的答案是未作答回答错误展开18.函数的定义域是( )（4分）ABCD正确答案B您的答案是未作答回答错误展开19.若函数的拐点为，以下结论一定成立的是（）. （4分）AB不存在C或者不存在D正确答案C您的答案是未作答回答错误展开20.（4分）A3/4B0D无穷大正确答案A您的答案是未作答回答错误展开21.（）（4分）A1B2C3D4正确答案A您的答案是未作答回答错误展开22.（）（4分）ABCD正确答案D您的答案是未作答回答错误展开若在上连续，且为奇函数，则( )（4分）ABCD不确定正确答案A您的答案是未作答回答错误展开24.设某商产品单价为100元时，需求价格弹性，它说明在价格100元的基础上上涨1℅，需求将下降（）（4分）A0.1B10%C0.1%D10正确答案C您的答案是未作答回答错误展开25.若，则=（）（4分）ABCD纠错正确答案B您的答案是未作答回答错误展开Z经济数学(二)交卷时间2021-12-16 14:38:17一、单选题（每题4分，共25道小题，总分值100分）1.（4分）ABCD纠错正确答案A您的答案是 D回答错误展开2.（4分）A0BCD1正确答案C您的答案是 C回答正确展开3.（4分）A1B2C-2D-1正确答案D您的答案是 A回答错误展开4.设线性方程组AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，则该线性方程组（）（4分）A有唯一解B无解C有非零解D有无穷多解正确答案B您的答案是 B回答正确展开5.（4分）ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开6.（4分）ABCD正确答案A您的答案是 B回答错误展开7.（4分）A同阶无穷小B等价无穷小C高阶无穷小D低阶无穷小正确答案A您的答案是 B回答错误展开8.（4分）A同阶无穷小B等价无穷小C高阶无穷小D低阶无穷小正确答案B您的答案是 A回答错误展开9.下列广义积分收敛的是（）（4分）ABCD正确答案D您的答案是 B回答错误展开10.设函数在连续，则＝（）（4分）ABCD正确答案C您的答案是 D回答错误展开11.（4分）ABCD正确答案C您的答案是 C回答正确展开12.线性方程组只有零解，则（）（4分）A有唯一解B可能无解C有无穷多解D无解正确答案B您的答案是 A回答错误展开13.设均为n阶方阵，在下列情况下能推出A是单位矩阵的是（）（4分）ABCD正确答案D您的答案是 D回答正确展开14.可逆矩阵，则下列等式成立的是（）（4分）ABC D．正确答案C您的答案是 C回答正确展开15.（4分）ABCD正确答案A您的答案是 A回答正确展开16.（4分）ABCD正确答案A您的答案是 A回答正确展开17.若，则( ).（4分）ABCD正确答案D您的答案是 C回答错误展开18.函数在处的切线方程是（）．（4分）ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开19.（4分）ABCD正确答案D您的答案是 B回答错误展开20.（4分）ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开21.（4分）ABCD正确答案A您的答案是 D回答错误展开22.（4分）ABCD正确答案B您的答案是 A回答错误展开23.若在上连续，且为奇函数，则( )（4分）ABCD不确定正确答案A您的答案是 D回答错误展开24.（4分）A2BCD4正确答案D您的答案是 D回答正确展开25.设事件A和B互斥，且，则有（）（4分）ABCD正确答案A您的答案是 C回答错误展开32分00:16:5825/25题©2014-2021 弘成科技发展有限公司版权所有一、单选题（每题4分，共25道小题，总分值100分）1.（4分）A充分条件B充要条件无关条件必要条件正确答案D您的答案是C回答错误展开2.设事件A和B互斥，且，则有（）（4分）ABCD正确答案A您的答案是A回答正确展开3.的充分必要条件是( ).（4分）ABCD正确答案C您的答案是C回答正确展开4.若在上连续，且为奇函数，则 ( )（4分）ABCD不确定正确答案A您的答案是A回答正确展开5.（4分）A3/4B0C4/3D无穷大正确答案A您的答案是D回答错误展开6.设函数在x = 0处连续，则k = ( )．（4分）A-2B-1C1D2正确答案C您的答案是A回答错误展开7.（4分）A sinx+CB cosxC cosx+Csinx正确答案D您的答案是A回答错误展开8.设函数在x = 0处连续，则k = ( )．（4分）A-2B-1C1D2正确答案C您的答案是B回答错误展开9.（4分）ABCD正确答案D您的答案是C回答错误展开10.下列等式中正确的是（）（4分）AB。
东北大学2016-2017矩阵分析 试题
1 1
5 3
2 0
的最小多项式。
2. （8 分）给定 C nn 上的矩阵范数
， S 为 n 阶可逆矩阵，对任意的矩阵 A C nn ，定
m
义 A S 1AS 。证明 A 是空间 C nn 里的矩阵范数。 m
1 2 6 4、（8 分）求矩阵 A 1 0 3 的约当标准型
一、本题共 20 分
1、（5
分）设矩阵
A
sin
t
2t
t2 t
，求
dA dt
二
1．（8 分）给定矩阵 C
cij
，对任意的矩阵 A
nn
aij
定义变换 T 如下：TA CA AC ，
nn
证明 1） T 是线性变换， 2）对任意的 A, B ，有T ( AB) T ( A) B AT (B)
0 1
0 1
，
F (t)
e2t
e
2t
。
1 ） 求 矩 阵 函 数 e At
2）求方程
1 1 3
0
dx Ax F (t), dt
t
x(0) (1,1,0)T 的解。（提示：方程的解为 x(t) e At x(0) e A(t ) F ( )d ） 0
2．（8 分）给定 C n 上的列向量组 1 (0, 0, 2)T ,2 (3, 4,1)T ,3 (1, 2, 2)T 1）用施密特正 交化的方法求一组标准正交基。2）设矩阵 A (1,2 ,3 ) ，求矩阵 A 的 QR 分解。
t
4、（8 分）1）设 A 为 n 阶可逆矩阵，证明： eA d A1eAt A1 ， 0
研究生课程-《矩阵分析》试题及答案
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。
故1x ，2x ，3x 是线性无关的。
（2）用反证法。
假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。
所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。
四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。
Matlab考试题库+答案(中北大学)
1、标点符号；_______可以使命令行不显示运算结果，%--用来表示该行为注释行。
2、x为0～4pi，步长为0.1pi的向量，使用命令_______创建.x=0：0。
1＊pi:4*pi3、输入矩阵A=，使用全下标方式用A（2，2) 取出元素“-5”,使用单下标方式用_______取出元素“—5”。
A(5)4、符号表达式sin(2*a+t)+m 中独立的符号变量为_______。
t5、M脚本文件和M函数文件的主要区别是M脚本文件没有函数定义和M函数文件有函数定义_______。
6. 设x是一维数组,x的倒数第3个元素表示为_______；设y为二维数组，要删除y的第34行和48列，可使用命令_______；_______；x(_end—2_）y（34，:)=[]y（：,48)=［］7. 将变量x以Ascii文本格式存储到文件fname.txt,应使用命令_________ _；save _x8. 在while 表达式，语句体，End 循环语句中，表达式的值__ __时表示循环条件为真,语句体将被执行，否则跳出该循环语句；非零9.要从键盘读入一个字符串并赋值给变量x，且给出提示“Who is she？",应使用命令_________；x=input（‘Who is she?’，’s'）_10．设A=和B=和C=均为m＊n矩阵，且存在于WorkSpace中，要产生矩阵D=，可用命令________ _，计算可用命令________；D=(A-C)/B。
^Cdet(inv（A’＊B）11. 在MATLAB命令窗口中的“〉>”标志为MATLAB的_______提示符，“│”标志为_______提示符。
命令行输入12。
已知A=[1 2 3;4 5 0；7 8 9］；B=［1 0 3；1 5 0；0 1 2］；写出下列各指令运行的结果。
A+B;A.*B；A==B ；ans= ［2，2,6;5，10,0；7,9,11］ans= ［1，0,9；4,25,0;0，8，18]ans= ［1，0，1;0，1，1；0，0,0］13。
《矩阵分析》考试题1 2010解答 (1)
D 0 ，这里 0 0
D diag d1 , d2 ,
, dr ，且 d1 d2
dr 0 。 di i 1, 2,
, r 称为 A 的奇异值，而
D 0 H （P84） A P Q 称为矩阵 A 的奇异值分解式。 0 0
2
0 0 3、 ( 1) 2
1
4、下列命题不正确的是 。 （A）有相同特征多项式的两个矩阵一定相似； （B）有相同不变因子的两个矩阵一定相似； （C）有相同初级因子的两个矩阵一定相似； （D）有相同行列式因子的两个矩阵一定相似。 【分析】A。由 C 或 D 都能得到 B，而不变因子唯一确定矩阵的约当形。若矩阵的约当形相同， 则矩阵相似。A 的反例是显然的： M1
3
1
3
，
d1 1, d2 1 1 , d3 1 1
2
2
，
则
Smith
标 准
型 为
1
1 1
。 2 2 1 1
4、 lim A 0 的充要条件是： 其特征值的模的最大值（谱半径） A 1 。换言之， A 的所
3
0 1 1 2 0 0 1 2 阵 P 0 2 1 ， 约 当 标 准 形 J 0 1 1 （ 或 取 P3 0 ， 则 P2 4 ， 此 时 1 1 0 0 0 1 1 2 0 2 P 0 4 1 2 1 ） 。都有 P 1 AP J 。 0 1
2
1 1, 1 1 , 1 1
2
x,1 1 x 0 x 1dx 1 x 1 , 2 , 1 2 x 2 2 2 1 2 12 1,1 1 1 dx
中南大学矩阵论考试试题及参考答案
中南大学2010年秋季硕士研究生《矩阵论》考试试题考试形式：开卷 时间：120分钟 总分100分姓名 学号一、 (16分) 已知3阶Hermite 矩阵A 的特征值为1，2，2，且()(),0,1, 1,0,TTi i ξη==是A 的属于特征值2的两个相互正交的特征向量． 1.(10分) 求A ；2.(6分) 求A 的不变因子与最小多项式．二、(20分) 对任何()C ij n nA a ⨯=∈，定义111n nij m i j Aa ===∑∑．1.(8分) 证明1m ⋅是Cn n⨯上一种矩阵范数；2.(6分) 证明1m ⋅与向量∞-范数相容； 3.(6分) 证明1m ⋅与矩阵范数m ∞⋅等价，其中1,max ij m i j nAn a ∞≤≤=⋅．三、(20分) 设020i A i ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭． 1.(6分) 验证A 是否为收敛矩阵； 2.(6分) 判断矩阵幂级数()1012kk kk ∞+=-∑的敛散性；3.(8分) 求Ate ．四、(14分) 设113242212A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭．求A 的QR 分解．五、(15分) 设1211141111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭．利用特征值隔离法和盖尔圆定理证明：A 的三个特征值全为实数，且分别位于实数区间()()0.5, 2.5, 2.5, 5.5 -和[]10, 14内．六、（15分）设1121, 1101A b -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．1. （8分）求A 的全部{}1逆；2. （7分）利用{}1逆判断Ax b =是否有解，并在有解时求其通解．2010年矩阵论试题参考答案一、解. 1．因为A 为3阶Hermite 矩阵，所以有3个相互正交的特征向量，且酉相似于对角形122⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ ． 设A 的属于特征值1的特征向量为()123,,T x x x x =，则, ,x x ξη⊥⊥ 即 131300ix x x ix -+=⎧⎨-=⎩，解得 ()0,1,0, 0Tx k k =≠任意． 将, , x ξη单位化得12301,0, 00p p p ⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．令()12301000,,U p p p ⎛⎪ ⎪ ⎝==，则U 是酉矩阵且122H U AU ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭从而0010112100202200212HU UA ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎝⎛⎫ ⎪=⎪⎪⎝⎭． 2．由A 相似于对角形122⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭知，A 的初等因子为 1, 2,2λλλ---，从而得A 的不变因子为 ()() 123()1,()2, ()12d d d λλλλλλ==-=--， 最小多项式为 ()()3()()12A m d λλλλ==--．二、1．证明． 1）()ij n nA a ⨯∀=∈C，显然有0A =时，10m A=，0A ≠时10m A>．2）(), n nij A a λ⨯∀∈∀=∈C C，111111nnnnij ji j m j m i i Aa aAλλλλ====⋅===∑∑∑∑．3）()(), ij ij n nA aB b ⨯∀==∈C，()11111111111nnnnn n n nij ij ij ij ij ij i j i j i j i m j m m a b a b a A BAb B=========++=≤+++=∑∑∑∑∑∑∑∑．4）()(), ij ij n nA aB b ⨯∀==∈C，1111111nnnnnnik kj ik kji j k i j m k a b a b AB=======≤⋅∑∑∑∑∑∑1111111111nnn n n nn nik kj ikkj i j k k i k j k m m a b a b AB========⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⋅⎝⎭⎝≤⎭⎭∑∑∑∑∑∑∑∑．由定义知1m A是n n⨯C上的矩阵范数．2．证明．()()12, ,,,Tn nn n ij A a x ξξξ⨯∀=∀=∈∈CC ，()11111111111111maxmax max m ma ax max m x x a n nnijnnnij ij jij ij i ni ni n j j j j j j m ni nj i j jj j nj na a AxAa xa a ξξξξξ≤≤≤≤≤≤===≤≤≤∞≤≤≤≤∞=≤===≤⋅≤⋅=⋅≤⋅⋅=∑∑∑∑∑∑所以矩阵范数1m ⋅与向量∞-范数相容．3．对任何()n nij A a ⨯=∈C，121,1,11ax x 1m ma m m nnij ij ij i j ni j nm i j n a A n a AAna ∞∞≤≤≤≤===≤=≤=∑∑所以矩阵范数1m ⋅与m ∞⋅等价．三、解. 1．2222122ii I A iλλλλλ--===+--，故A()A ρ=1()A ρ<，所以A 为收敛矩阵． 2．矩阵幂级数对应的复变量幂级数的收敛半径为()()1112lim212kk k kk r ++→+∞-⋅-==，而()A r ρ=<，故题中的矩阵幂级数绝对收敛．3．设()()()2101,2tet q t t b b λλλλ⎛⎫=++ ⎪⎝+⎭(()(()1010sin sin i b t b t e i b t b t ⎧==+⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩解得()()01 b t b t ==． ()()10c 100.2010Ate b t A b i i t I ⎛⎫⎛=+⎫⎪=+=⎪⎪⎭⎪⎪⎭⎭四、解．记1231132, 4, 2,212a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 先将A 的第一列1a 用Householder 变换化为与1100e ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭共线．易得123a =， 11111211232-30=2202a a e a e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．令1111213131a e u a e -⎛⎫-⎪==⎪-⎪⎭，31122121232212HI u H u ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭=-=，则 ()()11311111132221111222103212210H H a I uu a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1211132411114031113H a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()1333221121112210314H a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，从而()()112311112133********H a a a H a H a H a H A ⎛⎫⎪=== ⎪ ⎝⎭-⎪．再记103b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭．则123b =， 113303b -⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．令11213101130b v b ⎛⎫- ⎪-⎫⎝⎭==⎪-⎛⎫⎭- ⎪⎝⎭， 221011012011110H H I vv -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22101011H H ⎛⎫⎪-⎛⎫== ⎪⎝ ⎝⎭⎪⎪-⎭， 有2133103433100001010003140H H A R ⎛⎫⎛⎛⎫ ⎪-⎫ ⎪⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝ ⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝-⎭ ．令()1122121221121201322110HH HQ H H H H H H ⎛⎫⎛⎫⎪⎪====-- ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭12233312221321221332123233123--⎛⎫ ⎪---⎛⎫⎪⎪-== ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎭⎪⎝-⎪， 则Q 为酉矩阵，且A 的QR 分解为122333221331034333212030303QR A --⎛⎫⎪ ==⎪- ⎪⎛⎫⎪-⎪ ⎪⎝ ⎪⎪⎭⎭- ⎝．五、证明．A 的三个行盖尔圆和列盖尔圆都为：{}{}{}123 122, 42 1 ,2 n n n z G z G z z z G z =∈=∈=-≤-≤≤∈-C C C ． 1G 为孤立的盖尔圆，而2G 与3G 相交．由盖尔圆定理知1G 中有A 的一个特征值，2G 与3G 的并中有A 的两个特征值．对任何0ε>，取 1232, 1d d d ε=+==．令2113,12221412112 1 B DAD d D d d εεεε-⎛⎫ ⎪+-- ⎪⎪==- ⎪+ ⎪⎪-+⎝⎛⎫ ⎪=⎭⎪ ⎪⎝⎭，则B 与A 相似，从而与A 有相同的特征值．B 的三个盖尔圆为：{}12 1242 41, 1, 2n n G z G z z z εε⎧⎫=∈=∈⎨⎬+-≤+-≤+⎩⎭C C 3 1121n z z G ε-≤⎧⎫=∈⎨+⎬+⎩⎭C ．它们是三个孤立的盖尔圆，故由盖尔圆定理知，B 的三个特征值中分别位于这三个盖尔圆中．由于B 为实矩阵，其特征多项式为实系数多项式，从而其特征值如为复数，则必共轭成对出现．注意到 123, , G G G 的圆心都在实轴上， 123, , G G G都关于实轴对称，如果含有复特征值，则其共轭的特征值也在同一个盖尔圆中，与每个孤立盖尔圆中只有一个特征值矛盾．因此，B 的特征值，从而A 的特征值都为实数．综上，A 的特征值分别位于孤立的盖尔圆1G ， 2G和 3G 的实轴上，即位于实数区间 []10, 14，113,522εε⎡⎤-+⎢⎥++⎣⎦ 和11, 2 22εε⎡⎤-+⎢⎥++⎣⎦中．注意到0ε>知，A 的特征值分别位于[]10, 14，()2.5, 5.5 和 ()0.5, 2.5 -中．六、解．1．11221122232100100000000000000110101111110112010000000001010S T I I AI --⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ，11112222111122221011001101001a ab T S ab ab b a b --++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪=-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故A 的全部{}1逆为{}11221122 1 , ab A ab aa b b -++⎛⎫⎪-- ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎩⎭任意． 2．取A 的一个{}1逆()11221112200A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．由 ()112211221111211121011011101000AA b b --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知Ax b =有解，其通解为()()()111122221111222121100111201011100000100A b I A A y x y -⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪==+- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+- 110010100100110001000y -⎡-⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪ ⎪=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1233100100011010110001y y y y -⎛⎫⎛⎫⎛-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎫ ⎪ ⎪⎪=+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎭⎭，3y 任意，或写成110101x k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， k 任意．中南大学2011年秋季硕士研究生《矩阵论》考试试题考试形式：开卷 时间：120分钟 总分：100分姓名 学号一、 (18分) 已知3阶方阵A 的不变因子为()()()()1231, ,6.d d d λλλλλλ===- 1.(6分) 求A 的谱半径()A ρ；2.(6分) 求()lim kk A A →+∞⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ρ；3.(6分) 判断矩阵幂级数()()012kkkk A A ρ∞=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑的收敛性.二、(20分) 设a ⋅和b ⋅是n n ⨯C 上的任意两种矩阵范数. 对任何()n n ij A a ⨯=∈C ，定义A =．1.(8分) 证明⋅也是n n ⨯C 上一种矩阵范数；2.(6分) 若v ⋅是n C 上一种向量范数，且a ⋅和b ⋅都与v ⋅相容，证明⋅也与v ⋅相容；3.(6分) 若n n A ⨯∈C 且20A A =≠，证明1a A ≥．三、(20分) 设4332A ⎛⎫=⎪--⎝⎭．1.(6分) 求()TdF x dx ，其中12x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()T F x x A =； 2.(8分) 求sin At ； 3.(6分) 求1cos Atdt ⎰.四、(16分) 设222112222243333644A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 利用Gerschgorin 定理,1.(8分) 证明A 可逆且有3个线性无关的特征向量；2.(8分) 证明A 的特征值全为实数，并求它们所在的实数区间．五、（26分）设101, 1001i A i b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．1.（10分）求A 的奇异值分解；2.（8分）求A 的加号逆A +；3.（8分）利用A +判断Ax b =是否有解，并在有解时求其极小范数解，无解时求其极小范数最小二乘解．2011年矩阵论试题参考答案一、 (18分) 已知3阶方阵A 的不变因子为()()()()1231, , 6.d d d λλλλλλ===- 1.(6分) 求A 的谱半径()A ρ；2.(6分) 求()lim ;kk A A →+∞⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ρ3.(6分) 判断矩阵幂级数()()012kkkk A A ρ∞=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑的收敛性. 解. 1．A 的特征多项式为：()()()()12326I A d d d λλλλλλ==--，故A 的特征值为0, 0, 6, 从而()6A ρ=.2．因为A 的最小多项式()()()36A m d ==-λλλλ无重根（或者A 的初等因子均为一次的，它们是：, , 6-λλλ），从而A 可对角化, 故存在可逆矩阵P 使1006A P P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()10061A A P P A -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ρ， 从而()1100lim lim 00.611kkk k A A P P P P A --→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ρ 3．解法1. 记()AB A =ρ. 则 ()()()01122kkkk k k k k A B A ρ∞∞==⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑. ()() 166A A B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ρρρ，复变量幂级数()12kk kk ∞=-∑的收敛半径 ()()1112lim212kkk k k r +→+∞+-==-, ()B r <ρ, 故矩阵幂级数 ()()012kkkk A A ρ∞=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑绝对收敛. 解法2. 记()2AB A =ρ. 则 ()()()0112kkk kk k k A B A ρ∞∞==⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑. ()()112122A A B ρρρ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，复变量幂级数 ()01k kk z ∞=-∑的收敛半径 ()()11lim 11kk k r +→+∞-==-, ()B r <ρ, 故矩阵幂级数()()012kkkk A A ρ∞=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑绝对收敛. 解法3. ()()()0011 212kkkk k k k k A A A ρ∞∞==⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ ，复变量幂级数()112kk k k ∞=-∑的收敛半径 ()()11112lim 12112kkk k k r +→+∞+-==-, ()A r <ρ, 故矩阵幂级数 ()()012kkk k A A ρ∞=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑ 绝对收敛.二、(20分) 设a ⋅和b ⋅是n n ⨯C 上的任意两种矩阵范数. 对任何()n n ij A a ⨯=∈C ，定义A =．1.(8分) 证明⋅也是n n ⨯C 上一种矩阵范数；2.(6分) 若v ⋅是n C 上一种向量范数，且a ⋅和b ⋅都与v ⋅相容，证明⋅也与v ⋅相容；3.(6分) 若n n A ⨯∈C 且20A A =≠，证明1a A ≥．1．证明． 1）当0A =时，0a b A A ==，故0A =；当 0A ≠时，0, 0,a b A A >>故0A >． 2）, n nA ⨯∀∈∀∈C C λ，A A λλ===⋅．3）, n nA B ⨯∀∈C，记 , ,a a b b x y A B A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 22, ,x A B y ==222 .A B x y x y A B +=≤=++≤=+4）, n nA B ⨯∀∈C，.AB A B =≤≤=⋅由定义知A 是n n⨯C上的矩阵范数．2．证明．, ,n nn A x ⨯∀∈∀∈C C 由已知条件有, ,v a v v b v Ax A x Ax A x ≤⋅≤⋅故,v v Ax A x ≤≤=⋅ 即⋅与v ⋅相容.3．证法1． 2aa a aAA A A =≤⋅，而0A ≠，故 0a A >，从而 1a A ≥.证法2． 2, A A A =∴ 的特征值只能为0或1，而0A ≠，故A 的特征值不全为0，从而 ()()1, 1a A A A ρρ=≥=.证法3．由 2A A = 可得：1k ∀≥ 有 k A A =，故 lim 0kk A A →+∞=≠，因而A 不是收敛矩阵，从而()()1, 1a A A A ρρ≥≥≥. 三、(20分) 设4332A ⎛⎫=⎪--⎝⎭．1.(6分) 求()TdF x dx ，其中12x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()TF x x A =； 2.(8分) 求sin At ； 3.(6分) 求1cos Atdt ⎰.解. 1．()()121243,32F x x x x x =--，()()()()124, 3, 3, 2,F x F x x x ∂∂==--∂∂ 故()()()()12, 4, 3, 3, 2TdF x F x F x dx x x ∂∂⎛⎫==-- ⎪∂∂⎝⎭． 2．()243312I A λλλλ--=+--=，A 的特征值为121==λλ. 设 ()()()()210sin 1t g b t b t λλλλ=-++，则()()()101111 sin sint b t b t d tb t d λλλλλλλ===⎧=+⎡⎤⎣⎦⎪⎨=⎪⎩， 即()()()101 sin cost b t b t t t b t =+⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得()()01 sincos cosb t t t t b t t t =-⎧⎪⎨=⎪⎩． 故()()()104310sin cos sin cos 3201sin 3cos 3cos .3cos sin 3cos At b t A b t I t t t t t t t tt t t tt t t ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+⎛⎫= ⎪--⎝⎭3．解法1. 43132A ==--，A 可逆且12334A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由2知sin13cos13cos1sin 3cos1sin13cos1A +⎛⎫= ⎪--⎝⎭.又 1sin cos d AtAt Adt-=，故 111111000sin cos sin sin 23sin13cos13cos12sin13cos13sin13cos1.343cos1sin13cos13sin13cos14sin13cos1d At Atdt A dt A At A A dt---===--+-+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰解法2. 用2中同样的方法可算得()43103sin cos 3sin cos sin sin cos ,32013sin 3sin cos t t tt t At t t t t t t t t t t -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++= ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而11003sin cos 3sin 2sin13cos13sin13cos1cos .3sin 3sin cos 3sin13cos14sin13cos1t t t t t Atdt dt t t t t t -+--+-+⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⎰⎰四、(16分) 设222112222243333644A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 利用Gerschgorin 定理,1.(8分) 证明A 可逆且有3个线性无关的特征向量；2.(8分) 证明A 的特征值全为实数，并求它们所在的实数区间．解．1．A 的3个盖尔圆{}()123 2, , , 1, 2, 3C i i G G z i R G G z i =∈-≤=的半径依次为1232221132283315, , 2243394416R R R =+==+==+=. 显然 310kk G=∉，由Gerschgorin 定理1知，A 的3个特征值都不等于0， A A =的3个特征值的乘积0≠，从而A 可逆.因为A 的任意两个相邻盖尔圆圆心的距离为2，而每个盖尔圆的半径都小于1，故A 的3个盖尔圆互不相交，由Gerschgorin 定理2知，A 有3个互异的特征值，从而有3个线性无关的特征向量.2．因为A 为实矩阵，其盖尔圆圆心都在实轴上，故A 的所有盖尔圆都关于实轴对称. 又实矩阵A 的复特征值必共轭成对出现，它们同时位于或同时不位于A 的某一个盖尔圆. 而由1知A 的每个盖尔圆中只有A 的一个特征值，从而A 只有实特征值，它们分别位于A 的3个盖尔圆的实轴上，由此得到A 的3个特征值所在的3个实数区间分别为338815152, 2, 4, 4, 6, 6, 44991616⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 511284481111, , , , , . 44991616⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦同理，A 的3个实特征值也分别位于A 的3个列盖尔圆{}()123 2,, ''''i 'i z G G i G G z R -=∈≤C的实轴上，123, , '''G G G 的半径依次为123222231713111217, , 341224162336'''R R R =+==+==+=. 综合前面的结论可知A 的3个特征值所在的3个实数区间分别为33111117172, 2, 4, 4, 6, 6, 4416163636⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即 5115375199233, , , , , . 441683636⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦五、（26分）设101, 1001i A i b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．1.（12分）求A 的奇异值分解；2.（6分）求A 的加号逆A +；3.（8分）利用A +判断Ax b =是否有解，并在有解时求其极小范数解，无解时求其极小范数最小二乘解．解．1．110221102200Hi i i A A i i i ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， ()22422H iI A A i ---==--λλλλλ， H A A 的特征值为：4, 0, A 的奇异值为：2，()2∑=.由 ()40HI A A x -= 求得HA A 的属于特征值4的特征向量为：1i ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由 ()00HI A A x -= 求得HA A 的属于特征值0的特征向量为：1i -⎛⎫⎪⎝⎭，将这两个特征向量单位化后组成矩阵V得：11i i V -⎫==⎪⎪⎭⎪⎭.取11i V ⎫=⎪⎭，令11111112000i i U AV i -⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎫⎛⎫ =∑=-=⎪⎪ ⎝⎭⎭ ⎝ ⎪ ⎪⎝⎭，00001U ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 由奇异值分解定理知，A 的奇异值分解为02000000000001HA U V⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫∑⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭． 2．解法1. 由1得A 的加号逆为1010*******000001H i i A V U -+⎫⎪⎪⎛⎫-⎛⎫∑⎫⎪ ⎪==⎪⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭101.104i i -⎛⎫= ⎪--⎝⎭解法2. 用初等行变换将A 化成行最简形111000000i i A i ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取 ()1, 10F i G i ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭得A 的满秩分解为 A FG =.A 的加号逆为()()()()()1111111110100H H H H A G GG F F F i i i i i i ----+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1111012210104i i i i ---⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭. 3．由10101111110420010i i i AA b i b i +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭知Ax b =无解，其极小范数最小二乘解为0010111101441i i x A b i +⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪-⎝⎭.中南大学2012年秋季硕士研究生《矩阵论》考试试题考试形式：开卷 时间：120分钟 总分：100分姓名 学号一、 (16分) 已知4阶方阵A 的特征值为1, 2, 2, 2，且其一阶和二阶行列式因子分别为()()121, 2.D D λλλ==-1.(6分) 求A 的不变因子和最小多项式；2.(4分) 求A 的Jordan 标准形；3.(6分) 求实数t 的取值范围，使cos At 为收敛矩阵.二、(16分) 设a⋅和b ⋅分别是m C 和n C 上的向量范数. 对任何()11, , , , , Tm n m m m n x +++=∈C ξξξξ，定义 a b x u v =+，其中()1, , Tm u = ξξ，()1, , Tm m n v ++= ξξ．1.(10分) 证明⋅是m n +C 上的一种向量范数；2.(6分) 若11122122, , , ,m m m n n m n n A A A A ⨯⨯⨯⨯∀∈∈∈∈C C C C 及, m n u v ∀∈∈C C 有11111111121221212222, , , ,a m a a mb b m a b m b A u A u A v A v A u A u A v A v ≤⋅≤⋅≤⋅≤⋅其中1m ⋅是矩阵1m 范数．证明()()m n m n +⨯+C 上的矩阵1m 范数与上面定义的向量范数⋅相容．三、(18分) 1.(8分)设()ijn nX x ⨯=是矩阵变量，且det 0X ≠．求()1det TdX dX-； 2.(10分)设1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭．求矩阵幂级数()()12211121!k k k k A t k --+∞=--∑的和．四、(14分) 设112010232A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭．1.(8分)求矩阵A 的Crout 分解；2. (6分)利用Crout 分解求方程Ax b =的解，其中()1, 1, 1Tb =-.五、(14分) 利用Gerschgorin 定理及特征值的隔离方法判断矩阵1211621111A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否有小于零的特征值，并估计A 的每个特征值的分布范围．六、（22分）设101101, 102112A D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．1.（8分）求A 的全部{}1逆；2.（8分）求A 的加号逆A +；3.（6分）判断矩阵方程AX D =是否有解．2012年矩阵论试题参考答案一、(16分) 已知4阶方阵A 的特征值为1, 2, 2, 2，且其一阶和二阶行列式因子分别为()()121, 2.D D λλλ==-1.(6分) 求A 的不变因子和最小多项式；2.(4分) 求A 的Jordan 标准形；3.(6分) 求实数t 的取值范围，使cos At 为收敛矩阵.解. 1．因为()4D λ即为A 的特征多项式，且A 的特征值为1, 2, 2, 2，故()()()3412D λλλ=--. 再由行列式因子与不变因子的性质与相互关系知()()232D λλ=-，从而A 的不变因子为()()()()()()123412, , 2,12 d d d d λλλλλλλλ====----，A 的最小多项式为 ()()()()412A m d λλλλ==--．2．由A 的不变因子知，A 的初等因子为, , 12 2,2λλλλ----，故A 的Jordan 标准形为 1222J ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭． 3． cos At 的特征值为 cos , cos 2, cos 2, cos 2t t t t ，谱半径为(){cos max cos ,At t ρ= }cos 2t . cos At 为收敛矩阵当且仅当其谱半径小于1，即cos 1, cos 21t t ≠≠，故实数t 的取值范围是：,2k k t ππ≠.二、(16分) 设a⋅和b ⋅分别是m C 和n C 上的向量范数. 对任何()11, , , , , Tm n m m m n x +++=∈C ξξξξ，定义 a b x u v =+，其中()1, , Tm u = ξξ，()1, , Tm m n v ++= ξξ．1.(10分) 证明⋅是m n +C 上的一种向量范数；2.(6分) 若11122122, , , ,m m m n n m n n A A A A ⨯⨯⨯⨯∀∈∈∈∈C C C C 及, m n u v ∀∈∈C C 有11111111121221212222, , , ,a m a a mb b m a b m b A u A u A v A v A u A u A v A v ≤⋅≤⋅≤⋅≤⋅其中1m ⋅是矩阵1m 范数．证明()()m n m n +⨯+C 上的矩阵1m 范数与上面定义的向量范数⋅相容．证明．1． 1）非负性. 当()11,, , , , 0Tm m m n x ++== ξξξξ时，()1, , 0Tm u == ξξ，()1, , 0T m m n v ++== ξξ，故0a b x u v =+=. 当()11, , , , , 0Tm m m n x ++≠= ξξξξ时，0u ≠或0v ≠，故0au>或0b v >，从而0a b x u v =+>．2）齐次性. ()11, , , ,, , Tm m m n m nx λξξξξ+++∀∈∀=∈ C C，()a b a b a bx u v u v u vx λλλλλλλ=+=+=+⋅=⋅⋅⋅．3）三角不等式.()()1111, , , , , , , , , , , TTm m m n m m m n m n x y ξξξξηηηη+++++∀==∈ C ，记()()()()11112121, , , , , , , , , , , TTTTm m m n m m m n u v u v ξξξξηηηη++++==== ，则12121212aba ab bu u v v u v x y u y v x =+++++++=≤+．由定义知⋅是m n +C 上的一种向量范数． 2．()()()11, , , , , , m n Tm m n m n m m n A x ξξξξ+⨯++++∀∀∈=∈ CC ，将A 和x 分块为11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭及u x v ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中11122122, , , ,m m m n n m n n A A A A ⨯⨯⨯⨯∈∈∈∈C C C C mu ∈C ，n v ∈C ，则1112111221222122A A A u A v u Ax A A A u A v v +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1112212211122122a b a a b b A u A v A u A v A u A v A u v A A x =+++≤+++111111122122m m m m a b ba u u A v vA A A ⋅+⋅+⋅+⋅≤()()11111111211222aa m m m m bbm m AA u u vA vA AA⋅+⋅⋅+=+⋅+≤()11,bm m a v u x AA=+=⋅⋅所以()()m n m n +⨯+C 上的矩阵范数1m ⋅与上面定义的向量范数⋅相容．三、(18分) 1.(8分)设()ijn nX x ⨯=是矩阵变量，且det 0X ≠．求()1det TdX dX-； 2.(10分)设1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭．求矩阵幂级数()()12211121!k k k k A t k --+∞=--∑的和． 解. 1．()111det , det det n nik ik ij ij ik ik k k jX X x X x X x X X -=≠===+∑∑，其中ik X 是ik x 的代数余子式，()det ij ijX X x ∂=∂，从而()()()()122det 11det det det det ij ijij ijX X X x x Xx X X -∂∂∂⎛⎫==-⋅=-⎪∂∂∂⎝⎭， ()()()()111*22de 1det de t 1de det t t TTij i Tj d X X dX X X X X x X X ---⎛⎫⎛⎫∂ ⎪==-=-= ⎪ ⎪- ⎪∂⎝⎭⎝⎭． 2．()()()()11221221111si 1121!!n 21k k k k k k k k A t A t A A At k k ----+∞+∞==---==--∑∑.()210111I A λλλλ--==---. 设()()()()120sin ,1b t b q t t t λλλλ=-++．在该式及对其两边关于λ求导后的式子中，将1λ=代入得()()()101sin ,cos ,t b t b t t t b t =+⎧⎪⎨=⎪⎩ 解得()()01sin cos co s , b t t t t b t t t =-=． 从而()()()101010cos sin cos .110sin 0sin cos sin 1t t t t tAt b t A b t I t t t t ⎛⎫=+⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎪⎭⎪⎭⎝()()()()112212211111011sin 1121!21!sin 0cos sin k k k k k k k k A t A t A A At k k t t t t ----+∞+∞=-=--⎛⎫===⎪-⎛-⎝⎭⎫⎪⎝⎭∑∑ sin 0sin cos sin t t t t t +=⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、(14分) 设112010232A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭．1.(8分)求矩阵A 的Crout 分解；2. (6分)利用Crout 分解求方程Ax b =的解，其中()1, 1, 1Tb =-.解．1.设111213212223313233001001001l r r A l l r ll l ⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由Crout 分解的紧凑计算格式得 11111l a ==, 212131310, 2l a l a ====, 1312121311111, 2,a a r r l l ==== 222221121,l a l r =-=- 323231121,l a l r =-= ()232321132210,r a l r l =-= 3333311332232,l a l r l r =--=-故A 的Crout 分解为111201102120010000A ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎝-⎭-⎪⎭．2. 由 123101212001011y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎭--⎝ 解得123111y y y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝-⎪⎝⎭⎭， 再由 123101*********x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得123011x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝-⎪⎝⎭⎭， 即方程Ax b =的解的解为 011x ⎛⎫ =-⎪⎪ ⎪⎝⎭．五、(14分) 利用Gerschgorin 定理及特征值的隔离方法判断矩阵1211621111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是否有小于零的特征值，并估计A 的每个特征值的分布范围．证明．1. A 有小于零的特征值.A 的三个行盖尔圆为{}{}{}123 , 136,311 2 n n n G z G z z z z G z +-=∈=∈-≤=∈≤≤C C C ，三个列盖尔圆为{} {} {}123 , 126,311 3 n n n Gz G z z z z G z +-=∈=∈-≤=∈≤≤C C C ． 1G 与 1G 均为孤立的盖尔圆，且 11G G ⊂，而2G 与3G 相交， 2G 与 3G 也相交．由盖尔圆定理知 1G 中有A 的一个特征值，() ()2323G G G G 中有A 的两个特征值． 令111115522251611521, 1215B D D AD -⎛⎫ ⎪ ⎪===⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪， 则1B 与A 相似，从而与A 有相同的特征值．1B 的三个列盖尔圆为{}1112, ,41665 n B n B z z G z G z ⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭-≤+≤C C139 2 11n B z z G -⎧⎫=∈⎨⎩⎭≤⎬C ． 11B G仍为孤立的盖尔圆．由盖尔圆定理知 11B G 中仍有且仅有1B 的一个特征值. 由于1B 为实矩阵，其特征多项式为实系数多项式，从而其特征值如为复数，则必共轭成对出现．注意到 11B G的圆心为()1, 0-，在实轴上， 11B G 关于实轴对称，如果含有复特征值，则其共轭的特征值也在 11B G 中，与每个孤立盖尔圆中只有一个特征值矛盾．因此，含于 11B G中的该特征值必为实数，即位于实轴上．再注意到 11B G 的半径为45知，该特征值位于闭区间91, 55⎡⎤--⎢⎥⎣⎦中，故1B ，从而A ，有一个小于零的特征值．2. 令122228433324351, 31161114B D D AD -⎛⎫ ⎪ ⎪===⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪，则2B 与A 相似，从而与A 有相同的特征值．2B 的三个行盖尔圆为{}123117146114, , 4 n n n G z G z G z z z z ⎧⎫⎧⎫=∈=∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭≤≤+-⎭-≤⎩C C C ， 它们是3个孤立的盖尔圆，从而每个盖尔圆中各有2B ，即A 的一个特征值．由与上面相同的推理知，每个特征值均为实数，都位于实轴上，故A 的特征值分别位于[]5, 3-，1335, 44⎡⎤⎢⎥⎣⎦和 3751, 44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中．综合1.的结果知，A 的3个特征值分别位于91, 55⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，1335, 44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 和 3751, 44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中．六、（22分）设101101, 102102A D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．1.（8分）求A 的全部{}1逆；2.（8分）求A 的加号逆A +；3.（6分）判断矩阵方程AX D =是否有解．解．1．3221010101210111111111100002000001000000000000000000000AI TI I S ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝--⎭- ， 1001010101201001010121211a a a a a T S b b b b b ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭，故A 的全部{}1逆为{}12 , 112a a a b a A b b b ⎧⎫-⎛⎫⎪⎪=⎨⎬ ⎪--+⎝⎭⎪⎪⎩⎭任意． 2．A 为列满秩矩阵，故A 的加号逆为111010210252102010110112201121A --+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 22212221021250116516-⎛⎫⎛⎛⎫⎪-⎫== ⎪⎪--⎝⎝-⎝⎭⎭⎭． 3. 在A 的{}1逆的集合{}1A 中取A 的一个{}1逆()1A =100010⎛⎫⎪-⎝⎭．由教材定理 6.5知AX D =有解的充要条件是()1AA D D =．计算得()1101110011110110010101021022100212100010AA D D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎛⎫⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭≠-， 故矩阵方程AX D =无解．中南大学2013年秋季硕士研究生《矩阵论》考试试题考试形式：开卷 时间：120分钟 总分：100分姓名 学号一、 (16分) 设A 为3阶Hermite 矩阵，||12A =−, ()1tr A =，且()1, 0, 2T i 为()40A I x ∗−=的一个解，其中I 为单位矩阵, A ∗为A 的伴随矩阵.1. (8分) 确定t 的取值范围，使ln()I At +有定义；2. (8分) 求A .二、(16分) 记所有形如00A M B =的矩阵（其中,A B 分别为m 和n 阶方阵）的集合为Ω．对每个00A MB Ω=∈（其中()ij m m A a ×=，()pq n n B b ×=），定义 1,11||||||max ||m mijpq p q ni j M an b ≤≤===+⋅∑∑．1.(10分) 证明M 是Ω上的一种矩阵范数；2.(6分) 证明M 与C m n +上的向量1范数相容．三、(18分) 1.(8分) 设()ijm nA a ×=是给定的矩阵，()ijn mX x ×=是矩阵变量，且()()f X tr XA =．求()Tdf X dX； 2.(10分)设2102A − =．求||A e 及AtAe ．四、(14分) 设313010431A=−−．求矩阵A 的QR 分解．五、(16分) 利用Gerschgorin 定理及特征值的隔离方法判断矩阵1.511121219A −=是否可逆，并估计A 的每个特征值的分布范围．六、（20分）设1001010, 02100A b=−=．1.（12分）求A 的加号逆A +；2.（8分）利用加号逆判断方程Ax b =是否有解，并在有解时求其极小范数解，无解时求其极小范数最小二乘解．2013年矩阵论试题参考答案一、 (16分) 设A 为3阶Hermite 矩阵，||12A =−, ()1tr A =，且()1, 0, 2Ti为()40AI x ∗−=的一个解，其中I 为单位矩阵, A ∗为A 的伴随矩阵. 1. (8分) 确定t 的取值范围，使ln()I At +有定义； 2. (8分) 求A . 解 1. 设A 的三个特征值为123,,λλλ.依题意有12312312,,1λλλλλλ=−++=.记()11, 0, 2,T iξ= 则()140A E ξ∗−=，()11240E A ξ−−=，即()130E A ξ−−=，从而3−是A 的一个特征值，1ξ是对应的特征向量.代入前面的式子可算得A 的另两个特征值为2, 2. 所以()3,()3||A At t ρρ==. 故使ln()I At +有定义的t 须满足()3||1At t ρ=<， 即1||3t <. 2. 由Hermite 矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交知，特征值2所对应的特征向量与1ξ正交，从而满足方程1320z iz −=，由此解得特征向量()()230, 1, 0, 2, 0, 1T Ti ξξ==. 将三个特征向量正交化单位化得酉矩阵00100U =， 满足322H U AU − =，从而0033102201020100202220200H i A U U i −−===−−.二、(16分) 记所有形如00A M B= 的矩阵（其中,A B 分别为m 和n 阶方阵）的集合为Ω．对每个00A M B Ω=∈（其中()ijm mA a ×=，()pqn nB b ×=），定义1,11||||||max ||m mijpq p q ni j M an b ≤≤===+⋅∑∑．1.(10分) 证明M 是Ω上的一种矩阵范数；2.(6分) 证明M 与C m n +上的向量1范数相容．证明 1．易知1||||||||||||m m M A B ∞=+，1||||,||||m m A B ∞都是矩阵范数．1）非负性. 当0M =时，必有0,0A B ==，从而1||||||0||||0||0m m M ∞=+=. 当0M ≠时，必有0A ≠或0B ≠，从而1||||0m A >或||||0m A ∞>， 1||||||||m M A =||||0m B ∞+>．2）齐次性. 0 0,C A M B λ∀∈∀=∈Ω，有00A M B λλλ = ，()111m m m m m m M A BA BA BMλλλλλλλ∞∞∞=+=⋅+⋅=⋅+=⋅．3）三角不等式. 12121200,00A A M M B B ∀==∈，12121200A A M M B B ++= +，111121212121212m m m m m m M M A A B B A A B B M M ∞∞∞+=+++≤+++=+．4）乘积不等式. 12121200,00A A M M B B ∀==∈，12121200A A M M B B=， 1111212121212m m m m m m M M A A B B A A B B ∞∞∞=+≤+()()11112212m m m m A B AB MM ∞∞≤++=⋅．由定义知M 是Ω上的一种矩阵范数．2．00A M B ∀=∈ Ω，12C m n x x x + = ∈ ，其中12,C C m nx x ∈∈， 12Ax Mx Bx =．由1||||,||||m m A B ∞都与向量1范数相容得1112121111111m m m m Mx Ax Bx A x Bx A x Bx ∞∞=+≤+≤+()111m m A BxM x ∞=+=⋅，所以Ω上的矩阵范数M 与C m n +上的向量1范数相容．三、(18分) 1.(8分) 设()ijm nA a ×=是给定的矩阵，()ijn mX x ×=是矩阵变量，且()()f X tr XA =．求()Tdf X dX； 2.(10分)设2102A − =．求||A e 及AtAe ． 解 1．()1111()n mn m kl lk ij ji kl lkij ji k l k l f X tr XA x a x a x a x a =======+− ∑∑∑∑，()ji ij f X a x ∂=∂，故 ()()()()TT ji ijTij df X f X a a A dX x∂====∂．2． ()221202I A λλλλ−−==−−，故A 的特征值为2,2，A e 的特征值为22,e e ，故224||.A e e e e ==再设()()()()210,2te q t b t b t λλλλ=−++．在该式及对其两边关于λ求导后的式子中，将2λ=代入得()()()210212,,tteb t b t te b t =+ = 解得 ()()222012, tttb t e te b t te =−=．从而()()()2222210221102.02010t t Att t t t e te e b t A b t I te e te e −− =+=+−=2222222212202002t t tt t At t t e te e te e Ae e e −−−− ==.四、(14分) 设313010431A=−−．求矩阵A 的QR 分解．解 用Givens 变换求A 的QR 分解．A 的第一列为304，取 133405501043055T = −得 133403135315501001001043431013055T A=−=− −− −． 13T A 的右下角的2阶矩阵第一列为11− ，再取2310000T=得23131005315310010*******T T A R=−= −3． 令132333410005550100043040555H HQ T T−===， 则Q 为酉矩阵，且A 的QR 分解为35315004005A QR== ．五、(16分)利用Gerschgorin定理及特征值的隔离方法判断矩阵1.511121219A−=是否可逆，并估计A的每个特征值的分布范围．解A的三个行盖尔圆为：{}{}{} 1231.52,,2293 n n nzG z G z zz G z=∈=∈=+≤−≤≤∈−C C C．三个列盖尔圆为：{}{}{} 1231.5,,32292 n n nG z Gz z z G z z′′′=∈=∈+≤−≤−≤=∈C C C．3G与3G′都为孤立的盖尔圆，且33G G′⊂，而1G与2G相交，1G′与2G′也相交．由盖尔圆定理知3G′中有A的一个特征值，1G与2G的并中有A的两个特征值．取12391,,4d d d===．令112341.5194,12999924dD d B DADd−−===，则B与A相似，从而与A有相同的特征值．B的三个行盖尔圆为：1231313271.52, 99,94 n n nG z G zz z G z z+≤−=∈=∈=∈≤−≤C C C1G是一个孤立的盖尔圆， 2G与 3G相交，由盖尔圆定理知， 1G中有A的一个特征值，2G与 3G的并中有B的两个特征值．而 1G及 2G与 3G的并都不包含原点，故B的三个特征值中都不等于零，B可逆，从而A也可逆．由于A，B都为实矩阵，其特征多项式都为实系数多项式，从而其特征值如为复数，则必共轭成对出现．注意到123,,G G G 及 123, , G G G 的圆心都在实轴上，123,,G G G 及 123, , G G G都关于实轴对称，如果含有复特征值，则其共轭的特征值也在同一个盖尔圆中，与每个孤立盖尔圆中只有一个特征值矛盾．因此，B 的特征值，从而A 的特征值都为实数．综上，A 有两个特征值分别位于孤立的盖尔圆 1G 和3G ′的实轴上，即位于实数区间 531, 1818 −− 和[]7, 11中．而另一个特征值位于 () ()123123\\G GG G G G G G 的实轴上，即位于155, 2, 6, 21899 −=中．所以，A 的特征值分别位于区间531, 1818 −− ，5, 29 和 []7, 11中．六、（20分）设1001010, 02100A b=−=．1.（12分）求A 的加号逆A +；2.（8分）利用加号逆判断方程Ax b =是否有解，并在有解时求其极小范数解，无解时求其极小范数最小二乘解．解 1. 100100010010, 210000A=−→A 的满秩分解为101000101021A=−，1101010100100100010101010010010212121HH HH HA −+ −−− 1110101052102221021010101220112501160000−−− = −−−。
矩阵理论试题及其解答
矩阵论试题一．设n x x x ,,,21 是欧氏空间nV 中的一组向量，),(y x 表示x 与y 的内积，令111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n x x x x x x x x x x x x A x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦试证明0)det(≠A 的充要条件为向量12,,,n x x x 线性无关。
证明：若11220n n l x l x l x +++=，则用(1,2,,)i x i n =依次与此式作内积有：1122(,)(,)(,)0i i n n i l x x l x x l x x +++= (1,2,,)i n =即111221112122221122(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0n n n nn n n n n l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 此式仅有零解的充分必要条件为det()0A ≠，故12,,n x x x 线性无关的充分必要条件为det()0A ≠二．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3112A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆02.05.00A试估计下述值∞-∞--∆+-111)(AA A A解： 1311125A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ，145A -∞=， 2 1.51.23A A ⎛⎫+∆= ⎪⎝⎭1553 1.51714() 1.222104.2721A A -⎛⎫-⎪-⎛⎫+∆== ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭，1119()70A A A --∞-+∆=， 111()190.3456A A A A----+∆=≈。
三．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=442101002A ，求tA e 和)(R t e A ∈。
解 3200111(2)(2)044244I A λλλλλλλλ--=-=-=-=----容易验证A 的最小多项式为2()(2)m λλ=-，取2()(2)ϕλλ=-， （1）令()t f e λλ=，设()()()f g a b λϕλλλ=++，则有22(2)(2)t t f e f te ⎧=⎨'=⎩ 即 222tta b e b te⎧+=⎨=⎩ 从而22(12),t t a t e b te =-=，于是22()(12)t tt e te γλλ=-+，故22()()(12)tA t t e f A A t e I te A γ===-+2((12))t t I tA e =-+2100122412t t t t e t t t ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-+⎝⎭（2）2100111243A e e ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭（在（1）的tAe 中令1t =即可）四．设nm C A ⨯∈，试叙述A 的奇异分解指的是什么？并试求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111001A 的奇异值分解式。
矩阵分析课后习题答案
矩阵分析课后习题答案矩阵分析是一门重要的数学学科，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学和经济学等。
通过矩阵分析，我们可以更好地理解和解决实际问题。
然而，学习矩阵分析过程中，经常会遇到各种复杂的习题，给学生带来困扰。
在这篇文章中，我将为大家提供一些常见矩阵分析课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地掌握这门学科。
1. 矩阵乘法的性质矩阵乘法是矩阵分析中的基础概念，了解其性质对于解决复杂的习题非常重要。
下面是几个常见的矩阵乘法性质的答案：- 乘法结合律：对于三个矩阵A、B和C，满足(A*B)*C = A*(B*C)。
- 乘法分配律：对于三个矩阵A、B和C，满足A*(B+C) = A*B + A*C。
- 乘法单位元：对于任意矩阵A，满足A*I = I*A = A，其中I为单位矩阵。
2. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置和逆矩阵是矩阵分析中常见的概念，它们在解决线性方程组和求解特征值等问题中起到重要作用。
以下是一些常见的矩阵转置和逆矩阵的答案：- 矩阵的转置：矩阵A的转置记作A^T，即将A的行变为列，列变为行。
- 逆矩阵的存在性：如果一个n阶矩阵A存在逆矩阵A^-1，那么AA^-1 =A^-1A = I，其中I为单位矩阵。
- 逆矩阵的计算：对于2阶矩阵A = [a b; c d]，如果ad-bc≠0，则A的逆矩阵为A^-1 = 1/(ad-bc) * [d -b; -c a]。
3. 矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在解决线性方程组和矩阵对角化等问题中起到关键作用。
以下是一些常见的特征值和特征向量的答案：- 特征值和特征向量的定义：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x和一个标量λ，使得Ax = λx，那么λ称为A的特征值，x称为对应于λ的特征向量。
- 特征值的计算：特征值可以通过解方程|A-λI|=0来计算，其中I为单位矩阵。
- 特征向量的计算：对于给定的特征值λ，可以通过求解(A-λI)x=0来计算对应的特征向量。
中北大学工商管理专业2019-2020学年管理学测试卷
中北大学工商管理专业2019-2020学年管理学测试卷基本信息：[矩阵文本题] *1.根据明茨伯格的管理者角色理论，（）的角色是渗透在所有的管理活动之中、管理权力最明显的一种角色。
[单选题] *A.领导者(正确答案)B.发言人C.企业家D.联络者2.“产生新想法并加以处理，以及将关系抽象化的思维能力”是管理者的技能中的（） [单选题] *A.技术技能B.人际技能C.概念技能(正确答案)D.决策技能3.下列几项活动中，哪一项不属于管理活动（） [单选题] *A.部队中的班长与战士谈心B.企业的总会计师对财务部门进行检查C.钢琴师制定自己的练习计划(正确答案)D.医院的外科主任主持会诊4.泰勒的科学管理理论是建立在对人的哪种假设之上（） [单选题] *A.经济人(正确答案)B.社会人C.复杂人D.自我实现的人5.下列哪个著作对霍桑试验进行了总结（） [单选题] *A.《经理人员的职能》B.《工业管理和一般管理》C.《工业文明中的人类问题》(正确答案)D.《公司再造》6.管理者以企业法人身份签署员工劳动合同时所扮演的角色是（） [单选题] *A.企业家B.领导者C.挂名首脑(正确答案)D.联络者7.效率侧重于（） [单选题] *A.正确地做事(正确答案)B.做正确的事C.正确D.迅速8.管理者是指（） [单选题] *A.组织的高层领导B.组织的中层领导C.从事管理活动的人(正确答案)D.组织的员工9.不属于泰勒“科学管理理论”内容的是（） [单选题] *A.工作定额B.标准化C.计件奖励工资制(正确答案)D能力与工作相适应10.关于经营单位组合分析法,下列说法不正确的是（） [单选题] *A.经营单位组合分析法是由波士顿咨询公司提出来的B.业务增长率反映业务增长的速度,影响投资的回收期限C.“明星”型经营单位需要较少的资金投资(正确答案)D.“幼童”型的经营单位业务增长率较高,目前市场占有率较低11.泰罗科学管理理论的中心问题是（） [单选题] *A.科学技术B.加强人的管理C.提高劳动生产率(正确答案)D.增强责任感12.针对“李刚的暑假安排”的问题，李刚全家成员选择晚餐时间后的惬意时光坐在一起讨论，讨论前约定好不可以否定或打断每一位成员的发言，大家畅所欲言，不必深思熟虑。
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§9. 矩阵的分解矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。
由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。
这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。
一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。
将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。
首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。
定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵11121222000⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a a a R a称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。
定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵11212212000⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭n n nn a a a L a a a称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。
定理1设,⨯∈n nn A C （下标表示秩）则A 可唯一地分解为1=A U R其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为2=A LU其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。
推论1设,⨯∈n n n A R 则A 可唯一地分解为1=A Q R其中1Q 是正交矩阵，R 是正线上三角实矩阵；或者A 可唯一地分解为2=A LQ其中2Q 是正交矩阵，L 是正线下三角实矩阵。
推论2 设A 是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵R ，使得=T A R R推论3设A 是正定Hermite 矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R ，使得=T A R R定理2设,⨯∈n nn A C 用L 表示下三角复矩阵，*L 表示单位下三角复矩阵，R 表示上三角复矩阵，*R 表示单位上三角复矩阵，D 表示对角矩阵，则下列命题等价：（1）A 的各阶顺序主子式111212122212(1,2,,)⎛⎫⎪⎪∆=≠= ⎪⎪⎝⎭k k k k k kk a a a a a a k n a a a ；（2）A 可唯一地分解为*=A LR ，并且L 的主对角线上元素不为零； （3）A 可唯一地分解为**=A L DR ，并且D 的主对角线上元素不为零； （4）A 可唯一地分解为*=A L R ，并且R 的主对角线上元素不为零； 说明：若A 是n 阶满秩实方阵，则对于实矩阵L 、*L 、R 、*R 、D ，定理2 仍然成立。
例1.设147130021-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求A 的三角分解。
（解题的一般方法？） 解. 由147147147130077011021021021---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ *147011001-⎛⎫⎪→-= ⎪ ⎪⎝⎭R所以147100147130170011021021001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A （需求前一个矩阵）n 阶方阵的三角分解对求解非齐次线性方程组非常方便。
比如，设方程组=Ax b ，系数矩阵A 有三角分解式LR A =，则有=LRx b ，于是令=Rx y ，有,=⎧⎨=⎩Ly bRx y 先求第一个方程组中的未知向量y ，然后将y 代入第二个方程组再求解x 。
由于它们都是以三角矩阵为系数矩阵的方程组，所以很容易求出方程组的解，并且易于利用计算机求解。
例2 用三角分解求解方程组：（解法可能有问题）123412423412342583692254768+-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=⎪⎪+-+=⎩x x x x x x x x x x x x x x 解：系数矩阵可以分解为2000151172151222100251313060137702120207001414767011292⎛⎫⎛⎫⎪-⎪-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪-⎪==⨯ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪--⎪⎝⎭⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭A 代入上面的新方程组中的第一式可得：54,,5,110⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ty ，再将此结果代入新方程组中的第二式可得：()3,4,1,1=--Tx ，此即所求方程的解。
二、任意矩阵的三角分解前面讨论的矩阵分解仅仅是对n 阶方阵的三角分解，而且所分解的矩阵是可逆矩阵，下面我们将以上的矩阵分解进行推广，即讨论任意矩阵的三角分解。
定义3 设A 是⨯m n 阶复（实）矩阵，如果=rankA m ，则称A 是行满秩矩阵，记为()⨯⨯∈m nm nm m A C R ；如果=rankA n ，则称A 是列满秩矩阵，记为()⨯⨯∈m nm nnn A C R 。
定理3 当A 是行满秩或列满秩复矩阵时，有（1）若⨯∈m nm A C ，则存在m 阶正线下三角复矩阵L 和n 阶酉矩阵U ，使得()=A LO U （用L 和0组成一个矩阵可与U 相乘）（2）若⨯∈m nnA C ，则存在m 阶酉矩阵U 和n 阶正线上三角复矩阵R ，使得⎛⎫= ⎪⎝⎭R A U O注：该定理表明了行（列）满秩矩阵能分解为一个酉矩阵与一个长（高）三角矩阵的乘积。
下面我们进一步给出行（列）满秩矩阵能分解为一个正线三角矩阵与一个长（高）酉矩阵的乘积。
记⨯m nmU 表示以m 个两两正交的单位向量为行组成的矩阵的集合，⨯m n n U 表示n 个两两正交的单位向量为列组成的矩阵的集合。
定理4 （1）若⨯∈m nm A C ，则A 可唯一地分解为=A LU其中L 是m 阶正线下三角矩阵，⨯∈m nm U U 。
（2）若⨯∈m nnA C ，则A 可唯一地分解为=A UR其中⨯∈m nnU U ，R 是n 阶正线上三角矩阵。
说明：当A 是行满秩或列满秩实矩阵时，亦有类似于定理3和定理4的结论。
当A 既不是行满秩矩阵，也不是列满秩矩阵时，则有 定理5 设⨯∈m nrA C ，则存在酉矩阵⨯∈m mU C、⨯∈n nV C及r 阶正线下三角矩阵L ，使得⎛⎫= ⎪⎝⎭L O A U V O O 推论4设⨯∈m nrA C ，则存在酉矩阵⨯∈m mU C、⨯∈n nV C及r 阶正线上三角矩阵R ，使得⎛⎫= ⎪⎝⎭R O A U V O O 三、矩阵的谱分解在线性代数中，已经讨论了一个方阵的特征值和特征向量的问题，已经发现特征值有着非常重要的作用。
由于相似矩阵有相同的特征值，因而人们总希望在相似矩阵中找到结构最简单的矩阵，这就是对角矩阵或Jordan 标准形矩阵。
下面我们将根据矩阵的特征值，进一步寻求利用简单矩阵来表示已知的矩阵，即讨论矩阵的谱分解。
1.单纯矩阵的谱分解定义1若矩阵A 的每个特征值的代数重复度与几何重复度相等，则称矩阵A 为单纯矩阵。
注意到“属于每个特征值的线性无关的特征向量合起来也是线性无关的”这一事实，则可知如下定理是成立的。
定理1 A 是单纯矩阵⇔A 与对角矩阵相似。
下面给出单纯矩阵的谱分解定理。
定理 2 设⨯∈n nA C是单纯矩阵，则A 可分解为一系列幂等矩阵(1,2,,)= i A i n 的加权和，即1λ==∑ni i i A A ， （3.1）其中(1,2,,)λ= i i n 是A 的特征值。
定理2中的分解式称为A 的谱分解，分解式中的矩阵i A 具有如下的性质：（1）幂等性：2=i i A A ；（2）分离性：()=≠i j A A O j i ； （3）可加性：1==∑nin i AE 。
由这些性质容易得出：221λ==∑ni i i A A1(2,3,)λ===∑ nl l i ii A A l 。
当()f A 是A 的多项式或是A 的解析函数时，容易得到：1()()λ==∑ni i i f A f A （3.2）称上式为矩阵函数()f A 的谱分解。
例3 求2++A A E 的谱分解。
解：由（3.2）式2++A A E 21(1)λλ==++∑ni i i i A 若设111()λλλλλ--=-=++++ n n n n f I A a a a由Hamilton ——Caylay 定理可知：1110--++++= n n n n A a Aa A a E ， （3.3）则有：111()--=-+++ nn n n A a A a A a E由此可知，对任意的1>-m n ，m A 都是矩阵1,,,- n E A A的线性组合。
同时由（3.3）式，当0≠n a 时，可知A 可逆，且A 的逆矩阵为112111()----=-+++ n n n nA A a A a E a由（3.2）式容易求得1-A 的谱分解为1121111()λλ----==-+++∑ n n n i i n i i n A a a A a 。
（3.4）把一个单纯矩阵A 分解为一系列幂等矩阵(1,2,,)= i A i n 的加权和，无论从代数上，还是从几何上进行研究，都有它的方便之处。
特别对于（3.2）和（3.4）的分解，在自动控制中有许多应用。
更一般地，单纯矩阵的谱分解定理为：定理3设⨯∈n nA C，它有k 个相异特征值(1,2,,)λ= i i k ，则A 是单纯矩阵⇔存在k 个矩阵(1,2,,)= i A i k 满足：（1）,;=⎧=⎨≠⎩ii j A j i A A Oj i（2）1==∑kin i AE ；（3）λ=∑kiiA A 。
值得注意的是定理中的条件（1）中的矩阵(1,2,,)= i A i k 是幂等矩阵，故定理中存在k 个矩阵(1,2,,)= i A i k ，又可看作是存在k 个投影算子（简称为谱算子）。
例4 求矩阵1141⎛⎫= ⎪⎝⎭A 的谱分解。
解：首先求得A 的特征值为123,1λλ==-，则12()ϕλλλ=-，21()ϕλλλ=-（先求出()i ϕλ在带入具体值）1112()4ϕλλλ=-=，2221()4ϕλλλ=-=-1241()42ϕλ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭A A I ，2121()42ϕλ-⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭A A I 所以11111141()14421()412ϕϕλ⎛⎫ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭A A22221121()124421()412ϕϕλ⎛⎫- ⎪-⎛⎫==-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎪- ⎪⎝⎭A A因此，1122123λλ=+=-A A A A A 2.正规矩阵及其分解引理1 设A 是正规矩阵，A 与B 酉相似，则B 也是正规矩阵。