《三角函数的诱导公式》(第二课时) 教案

课 题：1.2.3三角函数的诱导公式（二）

教学目的：

能熟练掌握诱导公式一至五，并运用求任意角的三角函数值，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。

教学重点：诱导公式

教学难点：诱导公式的灵活应用

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成

ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k

ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k

ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k

公式二： 用弧度制可表示如下：

αα-sin 180sin(=+︒） ααπ-sin sin(=+）

αα-cos 180cos(=+︒） ααπ-cos cos(=+）

ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+）

公式三： αα-sin sin(=-）

ααcos cos(=-）

ααtan tan(-=-）

公式四： 用弧度制可表示如下：

ααsin 180sin(=-︒） ααπsin sin(=-）

αα-cos 180cos(=-︒） ααπ-cos cos(=-）

ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-）

公式五： 用弧度制可表示如下：

αα-sin 360sin(=-︒） ααπ-sin 2sin(=-）

ααcos 360cos(=-︒） ααπcos 2cos(=-）

ααtan 360tan(-=-︒） ααπtan 2tan(-=-）

二、讲解范例：

例1．求下列三角函数的值

(1) sin240º； (2)45cos π；(3) cos(-252º)；(4) sin （-6

7π） 解：（1）sin240º=sin(180º+60º)＝－sin60º=23-

(2) 45cos π=cos ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+4ππ=4cos π-=22-； (3) cos(-252º)=cos252º= cos(180º+72º)=－cos72º=－0.3090；

(4) sin （-67π）=－sin 67π=－sin ⎪⎭⎫ ⎝

⎛+6ππ=sin 6π=21 说明：本题是诱导公式二、三的直接应用．通过本题的求解，使学生在利用公式二、三求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本例中的（3）可使用计算器或查三角函数表．

例2．求下列三角函数的值

(1)sin(-119º45′)；(2)cos 35π；(3)cos(-150º)；(4)sin 4

7π. 解：(1)sin(－119º45′)=－sin119º45′=－sin(180º-60º15′)

= －sin60º15′=－0.8682 (2)cos 35π=cos(32ππ-)=cos 3π=2

1 (3)cos(-150º)=cos150º=cos(180º-30º) =－cos30º=23-

； (4)sin 47π=sin(42ππ-)=－sin 4

π=22-. 说明：本题是公式四、五的直接应用，通过本题的求解，使学生在利用公式四、五求三角函数的值方面得到基本的、初步的训练．本题中的（1）可使用计算器或查三角函数表．

例3．求值：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-631π－cos ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-310π－sin 1011π 略解：原式=-sin ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+674ππ-cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+342ππ-sin 1011π =-sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛

+6ππ-cos ⎪⎭⎫ ⎝

⎛+3ππ+sin 10π =sin 6π+cos 3

π+sin 10π =21+21+0.3090=1.3090 . 说明：本题考查了诱导公式一、二、三的应用，弧度制与角度制的换算，是一道比例1略难的小综合题．利用公式求解时，应注意符号．

例4．求值：sin(-1200º)·cos1290º+cos(-1020º)·sin(-1050º)+tan855º.

解：原式＝－sin(120º+3·360º)cos(210º+3·360º)

+cos(300º+2·360º)[-sin(330º+2·360º)]+tan(135º+2·360º)

＝－sin120º·cos210º－cos300º·sin330º+tan135º

＝－sin(180º－60º)·cos(180º+30º)

－ cos(360º－60º)·sin(360º-30º)+)

45180cos()45180sin(︒-︒︒-︒ =sin60º·cos30º+cos60º·sin30º－tan45º=

23·23+21·21-1=0 说明：本题的求解涉及了诱导公式一、二、三、四、五以及同角三角函数的关系．与前面各例比较，更具有综合性．通过本题的求解训练，可使学生进一步熟练诱导公式在求值中的应用．

例5．化简：)

sin()5cos()4cos()3sin(αππαπααπ--⋅---⋅+. 略解：原式=)]sin([)cos(cos )sin(απαπααπ+-⋅+⋅+=α

αcos cos =1. 说明：化简三角函数式是诱导公式的又一应用，应当熟悉这种题型．

例6．化简：)()

2cos()2sin(])12([sin 2])12([sin Z n n n n n ∈--+-⋅+++⋅αππαπαπα 解：原式=)

2cos()2sin(]2)sin[(2]2)sin[(αππαππαπαπ----+++n n n n =ααπααπcos sin )sin(2)sin(-++ =ααααcos sin sin 2sin -- =α

cos 3-. 说明：本题可视为例5的姐妹题，相比之下，难度略大于例5．求解时应注意从所涉及的角中分离出2π的整数倍才能利用诱导公式一．

例7．求证：)sin()cos()2cos()4sin()tan()

sin()cos()4cos()3sin(πααπαπαππαπαπαπαπα++---=-----+- 证明：左边=)cos()sin()sin()cos(cos ]4)sin[(απαπαπαπαπαπ-------+-+ =α

αααααπcos sin sin cos cos )sin(-++ =

ααααααcos sin sin cos sin cos 22⋅--=()()

ααααααααsin cos sin cos cos sin )sin (cos -+⋅- =α

αααcos sin cos sin +⋅， 右边=ααααsin cos cos sin --⋅-=α

αααcos sin cos sin +⋅， 所以，原式成立．