九年级数学竞赛讲座：充满活力的韦达定理

九年级数学竞赛讲座：充满活力的韦达定理

一元二次方程的根与系数的关系,通常也称为韦达定理,这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．

韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容,应用广泛,主要体现在： 运用韦达定理,求方程中参数的值； 运用韦达定理,求代数式的值；

利用韦达定理并结合根的判别式,讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理,构造一元二次方程辅助解题等．

韦达定理具有对称性,设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．

韦达定理,充满活力,它与代数、几何中许多知识可有机结合,生成丰富多彩的数学问题,而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法． 【例题求解】

【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根,则代数式)2(22-+βαα的值为 ．

思路点拨 所求代数式为α、β的非对称式,通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例

【例2】如果a 、b 都是质数,且0132=+-m a a ,0132=+-m b b ,那么b

a a b

+的值为( ) A ．

22123 B ．22

125

或2 C ．

22125 D ．22

123

或2

思路点拨 可将两个等式相减,得到a 、b 的关系,由于两个等式结构相同,可视a 、b 为方程

0132=+-m x x 的两实根,这样就为根与系数关系的应用创造了条件．

注：应用韦达定理的代数式的值,一般是关于1x 、2x 的对称式,这类问题可通过变形用1x +2x 、

1x 2x 表示求解,而非对称式的求值常用到以下技巧：

(1)恰当组合； (2)根据根的定义降次； (3)构造对称式．

【例3】 已知关于x 的方程：04

)2(2

2

=---m x m x

(1)求证：无论m 取什么实数值,这个方程总有两个相异实根．

(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ,求m 的值及相应的1x 、2x ． 思路点拨 对于(2),先判定1x 、2x 的符号特征,并从分类讨论入手．

【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根,当m 为何值时,2221x x +有最小值?并求出这个最小值．

思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示,再从配方法入手,应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．

注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根,即应用韦达定理解题时,须满足判别式△≥0这一条件,转化是一种重要的数学思想方法,但要注意转化前后问题的等价性． 【例5】 已知：四边形ABCD 中,AB ∥CD,且AB 、CD 的长是关于x 的方程0

4

7)2

1

(222=+-+-m mx x

的两个根．

(1)当m ＝2和m>2时,四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．

(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点,线段MN 分别交AC 、BD 于点P,Q,PQ ＝1,且AB

思路点拨 对于(2),易建立含AC 、BD 及m 的关系式,要求出m 值,还需运用与中点相关知识找寻C D 、AB 的另一隐含关系式．

注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时,往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化,既要注意通过根的判别式的检验,又要考虑几何量的非负性．

学历训练

1．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根,并1x 和2x 满足不等式

14

212

1<-+x x x x ,则实数m 取值范围是 ．

(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根,那么实数m 的取值范围是 ．

2．已知α、β是方程的两个实数根,则代数式2223βαββαα+++的值为 ．

3．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线,AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根,则△ABC 的面积是 ． 4．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根,1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根,则p 、q 的值分别等于( )

A ．1,-3

B ．1,3

C ．-1,-3

D ．-1,3

5．在Rt △ABC 中,∠C ＝90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,a 、b 是关于x

的方程0772=++-c x x 的两根,那么AB 边上的中线长是( ) A ．2

3 B ．2

5 C ．5 D ．2

6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ,则)

1)(1(21++x x p

的值是( )

A ．1

B ．-l

C ．2

1- D ．2

1

7．若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ,判断

4)(2≤+b a 是否正确?

8．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ． (1)当k 是为何值时,此方程有实数根；

(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ,求k 的值．

9．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数,且28=+q p ,那么这个方程两根为 ．

10．已知α、β是方程012=--x x 的两个根,则βα34+的值为 ．

11．△ABC 的一边长为5,另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根,则m 的取值范围是 ．

12．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根,则b

a a

b

+的值是( )

A ．9413

B ．

1949413 C ．999413 D ．97

9413

13．设方程有一个正根1x ,一个负根2x ,则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )

A ．0232=---m x x

B ．0232=--+m x x

C ．02412=---x m x

D ．02412=+--x m x

14．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数m 的取值范围是( )

A ．0≤m ≤1

B ．m ≥4

3 C ．14

3≤

3≤m ≤1 15．如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 的长为10,且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．