数学建模：第一章数学建模基本概念
数学建模简介1
数学建模的方法和步骤
模型假设
在明确建模目的，掌握必要资料的基础上， 通过对资料的分析，根据对象的特征和建 模目的，找出起主要作用的因素，对问题 进行必要的、合理的简化，用精确的语言 提出若干符合客观实际的合理假设。
数学建模的方法和步骤
模型假设
作出合理假设，是建模至关重要的一步。 如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是 一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超 的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判 断力 ，善于辨别主次，而且为了使处理方 法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
看谁答得快
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下 午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下 山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中 的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？
2、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反 的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/ 小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千 米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔 向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多 少路程？
四、模型的特点：
逼真性和可行性 渐进性 强健性 可移植性 非预测性 条理性 技艺性 局限性
五、建模能力的培养：
具有广博的知识（包括数学和各种实际知 识）、丰富的经验、各方面的能力、注意 掌握分寸。
具有丰富的想象力和敏锐的洞察力
类比法和理想化方法
直觉和灵感
实例研究法
学 习 、 分 析 别 人 的 模 型 亲 手 去 做
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
什么是数学建模
什么是数学模型？
简单地说：数学模型就是对实际问题的一种 数学表述。
具体一点说：数学模型是以部分现实世界为某 种研究目的的一个抽象的、简化的数学结构。 这种数学结构可以是数学公式、算法、表格、 图示等。
数学建模的基础概念及举例
数学建模的基础概念及举例一、数学建模的基本概念数学建模及其数学建模过程数学模型：数学模型是对于现实中的原型问题，为了某个特定的目的，作出一定的必要简化和假设，运用恰当的数学工具，得到的一个具体的数学结构。
也可以这样说讲，数学建模是利用数学特有的语言，例如利用符号、式子和图象来模拟现实的问题模型。
把现实问题模型进行抽象简化，使之成为为某种数学结构，这是数学模型的基本属性特征。
数学模型一方面能够解释特定现象，或是特定的现实状态，能够预测到模型蕴含问题中的隐含的状况，另一方面能够提供处理问题的最优决策，或者是对问题的控制。
数学建模：数学建模是把现实世界中的实际问题加以提炼简化，使之抽象为较为明了数学模型。
通过多种方法和途径，求出模型的解的答案，再加以验证模型存在的合理性，并利用该数学模型所提供的解答，用以解释现实问题。
我们通常把数学知识的这一合理应用过程称之为数学建模。
数学建模的七个过程：1.模型的准备：了解分析问题的实际背景，明确其中的实际意义，掌握问题对象的各种信息，并用数学符号语言来描述问题本质。
2．模型的假设：根据实际对象的特征属性及建模的目的，对模型问题进行必要的简化，并利用精确的语言，提出一些恰当的假设条件。
3.模型的建立：在假设条件的基础上，利用恰当的数学工具，来刻划各个具体变量之间的数学关系，尽量利用简单的数学用具，建立相应的数学结构。
4.模型的求解：在利用获取数据资料的过程中，对模型的所有参数做出较为精确的计算。
5.模型的分析：经过以上四步，再对所得的结果进行精确的数学上的分析。
6.模型的检验：经过上述五步操作，再将模型分析的结果，与实际情形进行对比，以此来验证模型的合理性，精准性，和实用性。
如果问题模型与实际较为吻合，我们就要对计算的结果给出其实际意义，并进行适当详细的解释。
如果问题模型与实际吻合较为一般,我们就应该修改假设条件，再次操作模型建立过程。
7.模型的应用：数学模型建立的应用方式多种多样，会因具体问题的性质和个人建模的目的而不同。
数学建模基本概念资料
解法一： 将两天看作一天，一人两天的运
动看作一天两人同时分别从山下和山 顶沿同一路径相反运动，因为两人同 时出发，同时到达目的地，又沿同一 路径反向运动，所以必在中间某一时 刻t两人相遇，这说明某人在两天中的 同一时刻经过路途中的同一地点。
怎样用数学方法解决？
7
解法二： 以时间t为横坐标，以沿上山路
11
由零点定理知在区间[8,17]内至少存在
一点使
H (t0 ) 0,
即 F(t0) G(t0).
(t0 是唯一的吗？为什么？) 这说明在早8点至晚5点之间存在某一时刻
t t0使得路程相等，
即这人两天在同一时刻经过路途中的同一 地点。
x0 F(t0) G(t0)
12
思考题：
1、若下山时，这人下午3点就到达山 下旅店，结论是否成立？
15
这样得三元一次方程组
x y l
yzຫໍສະໝຸດ mx z n由三元一次线性方程组解出 x,y,z即得三根电线的电阻。
16
说明：
此问题的难点也是可贵之处是用 方程“观点”、“立场”去分析， 用活的数学思想使实际问题转到新 创设的情景中去。
17
问题４ 气象预报问题
问题：在气象台A的正西方向 300km处有一台风中心，它以 40km/h的速度向东北方向移动； 根据台风的强度，在距其中心 250km以内的地方将受到影响， 问多长时间后气象台所在地区将遭 受台风的影响？持续时间多长？
23
通过以上几个简单问题的解决可以 看 出 ，在 我 们 周 围 的 许 多 实 际 问 题 ，甚 至有些实际问题看起来好象与数学无 关，但通过细致的观测、分析及假设， 都可以应用数学方法简捷和完美的解 决 。这 说 明 只 要 善 于 观 察 和 分 析 ，数 学 的应用是非常灵活和十分广泛的.
数学模型与数学建模3篇
数学模型与数学建模第一篇：数学模型的基本概念在现代科学研究中，数学模型是一种非常重要的工具，通过建立描述物理或社会现象的数学模型，我们可以更好地理解和控制这些现象。
在本文中，我们将介绍数学模型的基本概念及其在现实中的应用。
一、数学模型的定义和分类数学模型是用数学符号、方程和图表等数学表达方式来描述现实世界的一个抽象表示。
它可以用于解释和预测各种现象及其规律，从而帮助我们做出决策和解决问题。
根据研究领域和目标，数学模型可以分为物理模型、经济模型、生物模型、社会模型等。
二、数学模型的建立过程数学模型的建立通常包括以下步骤：1.问题分析：确定研究对象、研究目的和相关因素。
2.假设建立：对研究对象进行适当的简化和假设，确定研究范围和基本假设。
3.数学表示：用数学符号和方程来表示研究对象和变量之间的关系。
4.参数设定：指明各个变量的具体数值和范围，以及与现实世界的对应关系。
5.模型验证：通过模拟或实验验证模型的正确性和可行性。
三、数学模型的应用领域数学模型被广泛应用于各个领域，如天文学、物理学、化学、生物学、经济学、社会学等。
以下是一些典型的例子：1.天文学中的数学模型可以用来描述星体和行星的运动轨迹，预测彗星和陨石的轨迹和时间，以及预测备选行星的轨迹和特性。
2.经济学中的数学模型可以用来预测市场供求关系、利率、汇率等，并进行政策规划和决策。
3.生物学中的数学模型可以用来描述生物进化、种群动态、生态系统和生物物种间的关系，以及预测疾病传播和药物研发。
四、数学模型的发展趋势随着科技、数据采集和计算能力不断发展，数学模型也不断更新和进化。
未来数学模型的发展趋势主要包括：1.数据驱动模型：基于大数据的机器学习和人工智能等技术，依靠数据直接训练和生成模型。
2.多学科交叉模型：跨学科合作，利用多层次、多角度的学科与方法，进一步提升模型的准确性和实用性。
3.可解释性模型：提高模型的可解释性，利用统计学方法和可视化技术，使模型结果更易读懂和理解。
数学建模知识点总结
数学建模知识点总结一、数学建模的基本概念数学建模是指利用数学方法和技术对实际问题进行数学化描述和求解的过程。
数学建模的核心是将实际问题抽象化为数学模型，并通过数学方法对模型进行求解，从而得出对实际问题的合理解释和解决方案。
二、数学建模的基本步骤1. 问题的分析与建模：对实际问题进行深入分析，明确问题的目标和约束条件，然后将问题转化为数学模型的形式。
数学模型可以是代数方程、差分方程、微分方程、优化问题等。
2. 模型的求解：根据具体问题的特点，选择合适的数学方法和技术对模型进行求解。
常见的数学方法包括数值计算、概率统计、优化算法等。
3. 模型的验证与评估：对求解得到的数学模型进行验证，检验模型的有效性和可行性。
可以通过实际数据的拟合度、模型的稳定性等方面来评估模型的质量。
4. 结果的解释与应用：将数学模型的求解结果进行解释和分析，得出对实际问题的合理解释和解决方案。
根据实际需求，可以对模型进行调整和优化，进一步提高模型的准确性和实用性。
三、常见的数学建模方法和技术1. 线性规划：线性规划是一种优化方法，用于解决目标函数线性、约束条件线性的优化问题。
通过线性规划可以求解最大化或最小化目标函数的最优解，广泛应用于生产调度、资源分配等领域。
2. 非线性规划：非线性规划是一种优化方法，用于解决目标函数非线性、约束条件非线性的优化问题。
非线性规划相比线性规划更加复杂，但可以处理更为实际的问题，如经济增长模型、能源消耗模型等。
3. 微分方程模型：微分方程模型是一种描述系统演化过程的数学模型，广泛应用于物理、生物、经济等领域。
通过求解微分方程模型，可以揭示系统的动力学行为和稳定性特征。
4. 差分方程模型：差分方程模型是一种递推关系式，描述系统在离散时间点上的变化规律。
差分方程模型常用于描述离散事件系统、人口增长模型等。
5. 概率统计模型：概率统计模型是一种利用概率统计方法对随机事件进行建模和分析的方法。
通过概率统计模型，可以对实际问题的不确定性进行量化和分析，如风险评估、市场预测等。
第一章数学建模概述
1数学建模概述⏹ 数学模型 ⏹ 数学建模过程 ⏹ 数学建模示例⏹ 建立数学模型的方法和步骤 ⏹数学模型的分类1数学模型模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象。
直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真。
物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律。
思维模型，符号模型，数学模型 数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。
它是模型的一种。
2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。
3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数学结构。
数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。
总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系。
古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”。
文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”。
微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确。
费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”。
牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用y x ,分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得221r m m G F =ma F =⎩⎨⎧=⋅-=⋅+75050)(75030)(y x y x 小时）（千米小时）（千米/5/20==y x答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米小时。
数学建模PPT课件
二、相关的数学基础
• 线性规划 • 概率统计 • 图论 • 常微分方程 • 最优化理论
三、如何组队及合作
• 根据数学建模竞赛章程，三人组成一队，这 三人中必须一人数学基础较好，一人应用数学 软件（如Matlab,lindo,maple等）和编程（如 c,Matlab,vc++等）的能力较强，一人科技论文 写作的水平较好。科技论文的写作要求整篇论 文的结构严谨，语言要有逻辑性，用词要准确。
2
• 它要用到各方面的综合的知识，但还不限于 此．参赛选手不只是要有各方面的知识，还要 驾驭这些知识，应用这些知识处理实际问题的 能力。知识是无止境的，还必须有善于获得新 的知识的能力。总之，数学建模竟赛，既要比 赛各方面的综合知识，也要比赛各方面的综合 能力。它的特点就是综合，它的优点也是综合。 在这个意义上看，它与任何一个学科领域内的 纯知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优 点也就是不纯，综合就是不纯。
• 三人之间要能够配合得起来。若三人之间配 合不好，会降低效率，导致整个建模的失败。
• 如果可能的话，最好是数学好的懂得编程的 一些知识，编程好的了解建模，搞论文写作也
5
• 要了解建模，这样会合作得更好。因为 数学好的在建立模型方案时会考虑到编 程的便利性，以利于编程；编程好的能 够很好地理解模型，论文写作的能够更 好、更完全地阐述模型。否则会出现建 立的模型不利于编程，程序不能完全概 括模型，论文写作时会漏掉一些不经意 的东西。
• 于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计 方法。
• 4. 时序分析法--处理的是动态的相关数据，又 称为过程统计方法。
• 三、仿真和其他方法
• 1. 计算机仿真（模拟）--实质上是统计估计方 法，等效于抽样试验。
第一章 数学建模概论 数学模型与实验 国家级精品课程课件 20页
2、国际数学建模竞赛（MCM）
创办于1985年，由美国运筹与管理学会，美国工业与应 用数学学会和美国数学会联合举办，开始主要是美国的大学 参赛，90年代以来有来自中国、加拿大、欧洲、亚洲等许多 国家的大学参加，逐渐成为一项全球性的学科竞赛。上一年 11月份报名，每个大学限报4队，每个系限报2队，2月上旬 比赛，4月份评奖。9篇优秀论文刊登在 “The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications（UMAP）” 专刊上。详见 /
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
七、怎样撰写数学建模的论文？ 1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型改进、评价、推广等 8、参考文献 9、附录
数学模型与实验
十一、 资料查询
校内：校图书馆提供电子资源，搜索软件查询 校外：, ,
数学模型与实验
十二 数学建模示例
椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 通常 ~ 三只脚着地 模 型 假 设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。
1、中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）
创办于1990年，由教育部高教司和中国工业与应用数学 学会共同举办，全国几乎所有大专院校都有参加，每年6月份 报名，9月下旬比赛，11月份评奖。优秀论文刊登在《数学 的实践与认识》或?工程数学?每年第一期上。详见
数学建模的初步认识
数学建模的初步认识数学建模是一种将现实问题抽象化、数学化、规范化的过程，通过建立数学模型来描述和解决实际问题的方法。
数学建模是数学的一个重要应用领域，也是一种将数学知识和技能应用到实际问题中的能力。
数学建模不仅在科学技术领域有着广泛的应用，也在工程、经济、管理等各个领域中有着重要的作用。
本文将介绍数学建模的基本概念、方法和应用，并通过具体例子来说明数学建模在实际问题中的应用。
一、数学建模的基本概念数学建模是一个相对抽象的概念，可以简单理解为通过数学方法来解决实际问题。
在数学建模中，首先需要对实际问题进行分析和抽象，将问题转化为数学模型。
数学模型是对实际问题的数学描述，它包括问题的描述、假设条件、变量、参数和约束条件。
通过建立数学模型，可以利用数学方法来分析、求解和优化问题，从而得到对实际问题的深入理解和有效解决方案。
数学建模的过程通常包括以下几个阶段：问题分析、数学模型建立、模型分析和求解、结果验证和应用。
在问题分析阶段，需要对实际问题进行深入理解和分析，确定问题的关键要素和需求，找出问题的规律和联系。
在数学模型建立阶段，需要根据实际问题的特点和需求，选择合适的数学方法和工具，建立数学模型。
在模型分析和求解阶段，需要利用数学知识和技能来分析和求解数学模型，得到解的结论和结论。
在结果验证和应用阶段，需要将数学模型和解的结论与实际问题相联系，验证模型的有效性和可靠性，并将解决方案应用到实际问题中。
二、数学建模的方法和技术数学建模涉及到多个数学学科和领域，包括数学分析、微积分、线性代数、概率统计、优化理论等。
在数学建模中，常用的方法和技术包括：微分方程模型、差分方程模型、概率统计模型、优化模型等。
微分方程模型适用于描述动态系统的变化规律和动力学过程，常用于物理、生物、工程等领域。
差分方程模型适用于描述离散系统的演化规律和动态行为，常用于经济、管理、信息等领域。
概率统计模型适用于描述随机变量和随机过程的规律性和特征，常用于风险评估、决策分析等领域。
数学建模简介课件
数据质量的可靠性
在数据驱动的数学建模中，如何保证 数据的质量和可靠性是一个重要的问 题，需要采取一系列的数据清洗和预 处理技术。
多学科交叉的数学建模
数学与其他学科的结合
数学建模已经不再局限于传统的数学领域，而是与其他学 科如物理、化学、生物、工程等相结合，形成多学科交叉 的数学建模。
跨学科知识的整合
它涉及到对问题的深入理解、相关数 据的收集和分析、选择合适的数学方 法和工具、建立数学模型、求解模型 并解释结果等步骤。
数学建模的应用领域
01
02
03
04
自然科学
物理、化学、生物等学科中的 问题可以通过数学建模进行定
量分析和模拟。
工程和技术
在机械、电子、航空航天、计 算机等领域，数学建模被广泛 应用于设计、优化和预测。
详细描述
传染病传播是一个动态的过程，受到个体行 为、环境因素和疾病特性等多种因素的影响 。通过建立数学模型，我们可以模拟疾病的 传播过程，预测疫情的发展趋势，并提供有 效的防控措施。常见的模型包括SIR模型和
SEIR模型。
物流优化模型
要点一
总结词
描述了如何使用数学模型来优化物流网络，提高运输效率 并降低成本。
总结词
微分方程建模是利用微分方程来描述和解决实际问题的数学 建模方法。
详细描述
微分方程建模通过建立数学模型来描述现实世界中变量之间 的关系，特别是那些随时间变化的变量之间的关系。例如， 人口增长模型、传染病传播模型等都是通过微分方程来建立 的。
微分方程建模
总结词
微分方程建模是利用微分方程来描述和解决实际问题的数学 建模方法。
跨学科知识的整合
在多学科交叉的数学建模中，如何有效地整合不同学科的 知识是一个重要的问题，需要具备跨学科的知识和视野。
#1 数学建模的概念和方法
(1,1)
d6
((10,,02))
S7
((12,,31))
(1,1) (2,0)
(2,2) (3，1)
(0,1) (2,1)
S7 (2,2) d7 ((10,,02)) S8 ((12,,20))
(1,1)
(1,1)循环
即存在0, 使f(0) = g(0)=0.
D
1.4 数学模型的分类
1）按变量的性质分： 离散模型 确定性模型 线性模型 单变量模型 连续模型 随机性模型 非线性模型 多变量模型
2）按时间变化对模型的影响分：
静态模型 动态模型
参数定常模型 参数时变模型
3）按模型的应用领域（或所属学科）分: 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等.
(1
,1
)
(
2
,
2
)
( 2 , 0 )
( 1 , 3 )
( 0 ,1 ) ( 3 , 3 ) 循环
S2(3,2)d
2
(0 ,2 ) (1 ,0 )
S
3
( (
3 4
,4 ,2
) )
(
1
,1
)
(
4
,3
)
( 2 , 0 ) ( 5 , 2 )
结果的正确性，表述的清晰性。
宗旨 创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争
年份 2003 2004 2005 2006
小学数学建模策略初探
小学数学建模策略初探数学建模是指利用数学方法和技术对实际问题进行分析和求解的过程。
数学建模能够帮助学生培养分析问题、解决问题的能力，提高数学运用能力和实践能力，同时也促进了跨学科知识的整合和运用。
小学生作为数学建模的初学者，需要通过一些策略和方法来进行探索和实践。
本文将从小学数学建模的基本概念入手，探讨小学数学建模的策略和方法。
一、小学数学建模的基本概念1.1 数学建模的概念数学建模是指利用数学方法对实际问题进行分析、求解和预测的过程。
通常包括建立数学模型、求解数学模型、验证数学模型和应用数学模型等步骤。
小学数学建模是培养学生综合运用数学知识解决实际问题的有效途径，有助于培养学生的逻辑思维、创新意识和解决问题的能力。
通过数学建模，学生能够更好地理解数学知识与实际生活的联系，提高数学学习的积极性和兴趣，促进数学素养的综合提升。
小学数学建模相对于高年级的建模具有一些特点，包括题材和难度的限制、解题思路的引导和培养、数学应用的初步探索等。
二、小学数学建模的策略和方法2.1 培养数学思维和解决问题的能力2.2 引导学生探索数学知识的应用小学阶段学生已经学习了一些基本的数学知识，包括数的大小和比较、加减法、乘除法、图形等。
在数学建模中，老师可以引导学生将所学的数学知识与实际问题相结合，通过选择公式、图形、运算符号等进行数学建模，提高学生的数学应用能力。
2.3 运用适当的工具和技术小学数学建模可以借助一些适当的工具和技术进行支持，比如图形工具、计算器等。
老师可以鼓励学生在建模中灵活地运用这些工具和技术，帮助他们更好地理解和解决实际问题。
2.4 培养团队合作精神数学建模通常是一个团队合作的过程，学生可以分组进行探索和研究。
通过团队合作，学生可以相互交流和合作，共同探讨问题、建立模型、分析解决方案，培养学生的合作精神和团队意识。
2.5 培养实践能力和创新意识小学数学建模旨在培养学生的实践能力和创新意识，鼓励学生发散思维和创造性思考。
数学建模知识点总结大学
数学建模知识点总结大学一、概述数学建模是指运用数学方法和技巧，通过对实际问题的抽象、描述、分析和求解，得出定量的结果和结论，以解决现实问题的一种方法。
数学建模是一门综合性强、应用性广的学科，它要求掌握多种数学理论和方法，并善于将数学工具与实际问题相结合，用数学语言描述现实，解决实际问题。
数学建模的基本过程包括问题的建立、模型的建立、模型分析和结果验证四个环节。
数学建模的应用范围广泛，包括管理、经济、自然科学、工程技术等各个领域。
二、数学建模的基本概念1. 数学模型数学模型是对客观世界中某一系统的描述或抽象，通常用数学符号和方程式来表示。
数学模型是用数学语言建立起来的，其优点是结构清晰、精确明了。
根据模型中变量的类型和表达方式，数学模型分为连续模型和离散模型。
连续模型是指自变量和因变量是连续的，离散模型是相反的情况。
数学模型的建立需要经验和知识，并且通常依赖于具体的问题类型。
2. 数学建模的基本流程数学建模的基本流程包括问题的建立、模型的建立、模型分析和结果验证。
问题的建立是指对实际问题进行清晰的描述和阐述，明确目标和方法。
模型的建立是指将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型。
模型分析是指对数学模型进行求解和分析，并得出结论。
结果验证是指将数学模型的结果与实际问题进行比较，验证数学模型的有效性。
3. 数学建模的方法数学建模的方法包括定性建模和定量建模。
定性建模是指对某一现象的特征进行描述和分析，不考虑具体数值，例如通过图表、影响因素分析等方法，定性分析某一现象的规律。
定量建模是指对现象的具体数值进行刻画和分析，建立数学模型，通过数学公式和方程式描述现象，进行具体的计算和分析。
4. 数学建模的应用数学建模在工程技术、物理学、生物学、环境科学、经济学、管理学等各个领域都有广泛的应用。
例如在工程设计上，可以通过数学建模优化设计参数，提高性能；在经济学领域，可以通过数学建模分析市场供需、成本收益等问题；在环境科学领域，可以通过数学建模预测气候变化、环境污染等问题。
数学建模讲义
π
3.模型建立 3.模型建立
已知 f (θ)， g(θ)为连续函数， f (0) = 0, g(0) = 0，且对任意 θ ， 有
f (θ)g(θ) = 0，证明存在 θ0 ∈(0, ) ，使 f (θ0) = g(θ0) = 0 2
π
４．求解
证明：令 F (θ ) = f (θ ) − g (θ ) 。则 F (θ ) 连续。 且 F (0) = f (0) − g (0) > 0 ， F ( ) = f ( ) − g ( ) < 0 ， 据介值定理，必定存在 θ 0 ∈ (0, 即 f (θ 0) = g (θ 0 ) = 0 。
三、问题假设 1、人口虽然是离散量，可以看作某个连续量的特 例，不妨假设人口是连续量。 2、设N(t),r(t,N(t))表示t时刻的人口总数和增长 、设N(t),r(t,N(t))表示t 率，其它因素暂不考虑，则在t t+△ 率，其它因素暂不考虑，则在t到t+△t时间内人 口总数的增长为 N(t+△t)-N(t)=r(t,N(t))N(t)△ N(t+△t)-N(t)=r(t,N(t))N(t)△t 连续化即为： dN/dt=r(t,N(t))N(t) 3、由于r(t,N(t))的不确定性，该方程求解十分困 、由于r(t,N(t))的不确定性，该方程求解十分困 难。
π
π
π
π
2
2
2
2
) ，使 F (θ 0 ) = 0 ，
货物交换模型 1.问题描述 1.问题描述
在一个部落内根据分工， 人们从事三种劳动： 农田耕作 （F） 、 农具制作（M）及纺织（C） 。交易系统为实物交易如下：
F F M C 1/2 1/4 1/4
第1讲 生物数学建模简介
二、数学建模的一般方法和步骤
机理分析法：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系 ，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的 物理或现实意义。 测试分析法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理 无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此 为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一 类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。 测试分析方 法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的 结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的 建模方法。
了解程度和建模目的来 决定。机理分析法建模 的具体步骤大致可见右 图。
用实际问题的实测数据等 来检验该数学模型
不符合实际 符合实际
交付使用，从而可产生 经济、社会效益
建模过程示意图
三、数学模型的分类
应用领域： 人口、生理、经济、生态 …
初等模型、几何模型、优化模型、微分方程 数学方法： 模型、图论模型、逻辑模型、统计模型等
r
t P0
t=r
f (t r )e 0
( s ) ds
r
Байду номын сангаас
f
r
其他:
人口指数
rm 0
– 人口总数
平均年龄
平均寿命
N (t ) p(r , t )dr
rm 1 R(t ) rp (r , t )dr 0 N (t ) ( s ) ds s (t ) e d t R(t ) (t ) S (t )
数学建模的一般过程
形成问题： 了解实际背景 明确建模目的 形成一个比较 清晰的‘问题’
搜集有关信息
假设与简化：
掌握对象特征
数学建模教案设计
数学建模教案设计第一章：数学建模概述1.1 数学建模的定义与意义1.2 数学建模的基本步骤1.3 数学建模的应用领域1.4 数学建模的方法与技巧第二章：数学建模的基本技能2.1 数学符号与表达式的运用2.2 数学模型的构建与分析2.3 数学模型的求解与验证2.4 数学建模软件的使用第三章：数学建模实例解析3.1 线性规划问题3.2 微分方程问题3.3 概率论与统计问题3.4 网络优化问题第四章：数学建模竞赛与实践4.1 数学建模竞赛简介4.2 数学建模竞赛的准备与策略4.3 数学建模竞赛案例分析4.4 数学建模实践活动的组织与实施第五章：数学建模在实际问题中的应用5.1 数学建模在经济学中的应用5.2 数学建模在工程问题中的应用5.3 数学建模在生物学中的应用5.4 数学建模在其他领域中的应用第六章：数学建模中的数学方法6.1 初等数学方法6.2 微分方程方法6.3 差分方程方法6.4 概率论与数理统计方法第七章：数学建模中的模型构建7.1 连续模型7.2 离散模型7.3 随机模型7.4 混合模型第八章：数学建模中的数据分析8.1 数据整理与描述8.2 数据分析方法8.3 数据可视化8.4 模型验证与拟合第九章：数学建模软件与应用9.1 MATLAB 在数学建模中的应用9.2 Python 在数学建模中的应用9.3 R 在数学建模中的应用9.4 其他数学建模软件简介第十章：数学建模竞赛案例解析10.1 国内外数学建模竞赛简介10.2 数学建模竞赛题目类型与解题策略10.3 数学建模竞赛案例分析10.4 数学建模竞赛经验分享与启示第十一章：数学建模在自然科学中的应用11.1 物理学中的数学建模11.2 化学中的数学建模11.3 生物学中的数学建模11.4 地球科学中的数学建模第十二章：数学建模在社会科学与人文学科中的应用12.1 经济学中的数学建模12.2 政治学中的数学建模12.3 社会学中的数学建模12.4 人文学科中的数学建模第十三章：数学建模在工程技术中的应用13.1 电子与信息技术中的数学建模13.2 机械工程中的数学建模13.3 建筑学中的数学建模13.4 交通运输工程中的数学建模第十四章：数学建模在商业与管理中的应用14.1 运筹学中的数学建模14.2 金融学中的数学建模14.3 营销学中的数学建模14.4 管理科学中的数学建模第十五章：数学建模的挑战与发展趋势15.1 数学建模面临的挑战15.2 数学建模的新方法与新技术15.3 数学建模在跨学科研究中的应用15.4 数学建模的未来发展趋势重点和难点解析本文主要介绍了数学建模教案设计，包括数学建模的基本概念、方法、技巧以及在不同领域的应用。
数学建模基础入门
数学建模基础入门数学建模是一门应用数学领域的学科，它将数学方法和技巧应用于解决实际问题。
在现代科学和工程中，数学建模起着至关重要的作用。
本文将为您介绍数学建模的基本概念和入门知识。
一、引言数学建模是一种基于数学模型来描述和解决实际问题的过程。
它结合了数学理论和实际问题，通过建立合适的数学模型来分析和预测实际系统的行为。
数学建模的目标是通过理论分析和计算求解，得出对实际问题的认识和解决方案。
二、数学建模的基本步骤数学建模的过程可以分为以下几个基本步骤：1. 审题与问题分析：首先需要仔细审题，理解问题的背景和要求。
在问题分析阶段，需要明确问题的目标、所涉及的因素以及问题的约束条件。
2. 建立数学模型：在问题分析的基础上，需要选择合适的数学方法和技巧建立数学模型。
数学模型是对实际问题的抽象和描述，它可以是代数方程、微分方程、概率模型等形式。
3. 模型求解：根据建立的数学模型，采用适当的数值计算方法或者符号计算方法，对模型进行求解。
这一步骤需要运用数学知识和计算工具，得出模型的解析解或近似解。
4. 模型验证与分析：在获得数学模型的解之后，需要对解的合理性进行验证。
通过与实际数据的对比或者数值模拟的方法，验证模型的准确性和可靠性。
同时，对模型的敏感性分析和稳定性分析也是重要的一步。
5. 结果的解释与应用：根据模型求解得到的结果，进行结果的解释和分析。
将模型的结果与实际问题联系起来，给出合理的解释和应用建议。
在实际问题中，模型的结果通常会有多种解释和应用方式，需要综合考虑各种因素来得出最优解决方案。
三、常用的数学方法和技巧数学建模涉及的数学方法和技巧非常丰富，下面列举一些常用的方法和技巧：1. 最优化方法：最优化方法用于求解最大值或最小值问题，常见的最优化方法包括线性规划、整数规划、非线性规划等。
2. 概率统计方法：概率统计方法用于处理不确定性和随机性问题，包括概率分布、假设检验、回归分析等。
3. 微分方程方法：微分方程方法用于研究变化和动态系统，可以用来描述物理、化学、生物等领域的问题。
数学模型简介
评注和思考：
建模的关键 ： 和 f(), g()的确定 考察四脚呈长方形的椅子，是否还有相同的结论
2、商人安全过河问题
问题(智力游戏) 随从们秘密约定, 在河的任一岸, 一旦随从 的人数比商人多, 就杀人越货。但是乘船渡河的 方案由商人决定。商人们怎样才能安全过河?
用数学语言把椅子位臵和四只脚着地的关系表示出来
椅子位臵： 利用正方形(椅脚连线)的对称性 B B´ 用表示对角线与x轴的夹角
两个距离： A,C 两脚与地面距离之和为f() B,D 两脚与地面距离之和为g()
C´
A´
C
O
D´
A
x
D
正方形ABCD 绕O点旋转
地面为连续曲面 椅子在任意位臵 至少三只脚着地
1、尽量使用实数优化模型，减少整数约束和整 数变量的个数。因为求解离散优化问题比连续优 化问题难得多 2、尽量使用光滑优化，避免使用非光滑函数（ 是指存在不可微点的函数）。如绝对值函数、符 号函数、多个变量求最大（小）值、四舍五入、 取整函数等，通常采用连续、可微问题处理起来 比较简单。
3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和线性 x 变量的个数。如： 5 改为 x 5 y 。
3、席位公平的数学建模问题
三个系的学生共有200名（甲系100，乙系60， 丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个 系分别为10，6，4席。 1、由于学生转系，三个系的学生人数分别为 103、 63、 34, 问20席又该如何分配？ 2、若代表增加为21席，又如何分配？
（1）问题提出
系别 学生 比例
p1/n1– p2/n2=5 p1/n1– p2/n2=5
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
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这样得三元一次方程组
x y l
y
z
m
x z n
由三元一次线性方程组解出x,y,z即得 三根电线的电阻。
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通过以上几个简单问题的解决可以 看出，在我们周围的许多实际问题，甚 至有些实际问题看起来好象与数学无 关，但通过细致的观测、分析及假设， 都可以应用数学方法简捷和完美的解 决。这说明只要善于观察和分析，数学 的应用是非常灵活和十分广泛的.
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在t时刻: 第一天的行程可设为 x=F(t)，则F(t)是单调增加 的连续函数，且F(8)=0, F(17)=d ； 第二天的行程可设为 x=G(t)，则G(t)是单调减 少的连续函数，且G(8)=d, G(17)=0.
8
在坐标系中分别作曲线x=F(t)及x=G(t)，如下 图：
则两曲线必相交于点，即这个人两天在同一 时刻经过同一地点。
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这样当然不改变问题的实质，于是一人能 否不重复一次通过七座桥的问题等价于其网络 图能否一笔画成的问题（这是思维的飞跃）， 此网络图就是七桥问题的数学模型。
欧拉证明了七桥问题是无解的，并给出了 一般结论：
欢迎 学习《数学建模》课程！
实际问题中的数学奥妙不是明摆 在那里等着你去解决，而是暗藏在深 处等着你去发现，终身的受益和无穷 的乐趣是属于你的！
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第一章 数学模型基本概念
§1 引言
一、《数学建模》课程的重要性
1、科学技术飞速发展，数学模型越来越起到重要作用； 2、《数学建模》课程建设在全国各大专院校蓬勃开展； 3、数学建模教育有利于学生解决实际问题综合能力的提高； 4、我们身边许多实际问题看起来与数学无关，但通过分析都
两人同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运动， 因为两人同时出发，同时到达目的地，又沿同一 路径反向运动，所以必在中间某一时刻t两人相 遇，这说明某人在两天中的同一时刻经过路途中 的同一地点。
怎样用数学方法解决？
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解法二： 以时间t为横坐标，以沿上山路线从山下旅
店到山顶的路程x为纵坐标，从山下到山顶的总 路程为d ；
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解：设物体的温度T随时间t的变化规 律为T=T(t)
则由冷却定律及条件可得：
dT
dt
k(T
24)
T (0) 1500 c
其中K >0为比例常数，负号表示温度是下降
的，这就是所要建立的数学模型。
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由于这个模型是一阶线性微分方程， 很容易求出其特解为
T 126ekt 24
由T(10)=100 ,可定出K≈0.05
所以
T 126 e0.05 t 24
当t=20时
T (20) 126 e 0.0520 24 46 0 C
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３、七桥问题
1).能否不重复的一次走完七座桥？ 2).能否不重复的一次走完七法〕岛A、B和陆地C、D无非 都是桥的联结点，因此不妨把A、B、C、 D看成4个点，把七桥看成联结这些点 的七条线，如图。
如：牛顿第二定律 就是“物体在力作用下， 其运动规律”这个原型的一种模型（数学模型）。
“吃饭”这句话就是人往嘴里送东西到达充饥 的动作的抽象，如此等等都可看作是模型。
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二、数学模型的几个简单例子
１、万有引力定律：
F
K
m1m2 r2
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２、冷却问题
将温度为T。=150℃的物体放在温度 为24℃的空气中冷却，经10分钟后，物 体温度降为T=100℃，问t=20分钟时， 物体的温度是多少？
即 F(t0) G(t0).
(t0 是唯一的吗？为什么？) 这说明在早8点至晚5点之间存在某一时刻
t t0使得路程相等，
即这人两天在同一时刻经过路途中的同一 地点。
x0 F(t0) G(t0)
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问题３ 在一摩天大楼里有三根电线从底层 控制室通向顶楼，但由于三根电线各处的转弯不同 而有长短，因此三根电线的长度均未知。现工人师 傅为了在顶楼安装电气设备，需要知道这三根电线 的电阻。如何测量出这三根电线的电阻？
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§2 数学模型基本概念
一、模型 什么叫模型？ 模型就是对现实原型的一种抽象或模仿。 模型既反映原型，又不等于原型，或者是原型 的一种近似。 如地球仪这个模型，就是对地球这一原型的本 质和特征的一种近似和集中反映； 一个人的塑像就是这个人的一个模型。
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模型的含义非常广泛，如自然科学和工程技术 中的一切概念、公式、定律、理论，社会科学中的 学说、原理、政策，甚至小说、美术、表格、语言 等都是某种现实原型的一种模型。
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严格的数学论正：
令 H(t)=F(t)-G(t) 由F(t)、G(t)在区间[8,17]上连续，所以H(t) 在区间[8,17]上连续， 又 H(8)=F(8)-G(8)=0-d=-d<0
H(17)=F(17)-G(17)=d-0=d>0
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由介值定理知在区间[8,17]内至少存在
一点使
H (t0 ) 0,
电阻是怎样测量的？
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「方法」不妨用a、b、c及a*、b*、c*分别表示三 根电线的底端和顶端，并用aa*、bb*、cc*分别表 示三根电线, 假设x,y,z分别是aa*,bb*,cc*的电阻，这 是三个未知数。电表不能直接测量出这三个未知数。 然而我们可以把a*和b*连接起来，在a和b处测量得 电阻x+y为l；然后将b*和c*联接起来，在b和c处测 量得y+z为m，联接c*和a*可测得x+z为n。
中的蓝球数等于10000,所以 10000-x+y=10000 x=y
故甲桶中红球与乙桶中蓝球一样多。
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问题２ 某人早8时从山下旅店出发沿 一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿， 次日早8时沿同一路径下山，下午5时回到 旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途 中的同一地点，为什么？
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解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天
可用简捷数学方法完美的解决。
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几个简单的实际问题。
问题１ 已知甲桶中放有10000个蓝色的玻璃 球，乙桶中放有10000个红色的玻璃球。任取甲 桶中100个球放入乙桶中，混合后再任取乙桶中 100个球放入甲桶中，如此重复3次，问甲桶中的 红球多还是乙桶中的蓝球多?
怎样用数学方法解决问题1？
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解：设甲桶中有x个红球; 乙桶中有y个蓝球 因为对蓝球来说，甲桶中的蓝球数加上乙桶