中考数学第一轮复习第三章函数第12课时 二次函数(一)
第12课时 反比例函数 课件 2025年中考数学一轮总复习
（3）（2024·济宁）已知点A（－2，y1），B（－1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝ （k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ C ）
A. y1＜y2＜y3
B. y2＜y1＜y3
C. y3＜y1＜y2
D. y3＜y2＜y1
C
（4）已知点A（a，y1），B（a＋1，y2）在反比例函数y＝ （m是常数）的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是 .
（4－2）＝6.
而
在每个象限内，
y随x的增大
而
双曲线的两支关于直线
成轴对称；双曲线的两支关于 成中心对称
k＞0
k＜0
双曲线
所
在象
限
第 象
限（x，y同号）
第 象
限（x，y异号）
一、三
二、四
性
质
在每个象限内，
y随x的增大
2. 利用函数图象确定不等式的解集的
方法
图示
作图方法
过两函数图象的交点A，B分别
作x轴的垂线，连同y轴把平面分
成①②③④四部分
不等
式
ax＋b＞
ax＋b＜
结论
由图可知，在
②④部分，直
线位于双曲线
的上方，故不
等式ax＋b＞
的解集为xB＜
x＜0或x＞xA
由图可知，在①
③部分，直线位
于双曲线的下
方，故不等式ax
y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB
为边向上作正方形ABCD. 若图象经过点
C的反比例函数的解析式是y＝ ，则图
象经过点D的反比例函数的解析式
是 ；
y＝－
（4）（2024·牡丹江）矩形OBAC在平
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数图象与系数a,b,c的关系 练习课件
( D) A. 2a＋b>0 C. a>－1c
3
B. bc<0 D. －3<x1·x2<0
第5题图
微专题 二次函数图象与系数a，b，c的关系 6. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象关于直线x＝1对称，与x轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，若－2<x1<－1，则下列结论正确的是( C ) A. 3a＋2b>0 B. b2<a＋c＋4ac C. a>b>c D. a(m＋1)(m－1)<b(1－m)
第6题图
微专题 二次函数图象与系数a，b，c的关系
7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示．下列结论正确的是
( C) A. 10a＋3b＋c>0
B. a＋b>am2＋bm
C. 3a＋c<0
D.
若ax12＋b且x1≠x2，则x1＋x2＝4
第7题图
第2题图
微专题 二次函数图象与系数a，b，c的关系
3. (2023日照)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)满足
3a b 0 a b 0
，已知点(－3，m)，(2，n)，(4，t)在该抛物线上，则m，n，t
的大小关系为( C )
A. t<n<m
B. m<t<n
C. n<t<m
微专题
二次函数图象与系数a， b，c的关系
微专题 二次函数图象与系数a，b，c的关系
1. (2023贵州)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P(a，b)
所在的象限是( D ) A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
近年中考数学第一部分基础知识过关第三章函数及其图象第12讲二次函数精练(2021年整理)
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第12讲二次函数A组基础题组一、选择题1。
(2018陕西)对于抛物线y=ax2+（2a-1)x+a-3，当x=1时，y>0,则这条抛物线的顶点一定在（)A.第一象限B.第二象限C。
第三象限D。
第四象限2.(2018威海)抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)如图所示，下列结论错误的是（)A.abc〈0 B。
a+c<bC.b2+8a〉4acD.2a+b>03。
（2017甘肃兰州)将抛物线y=3x2—3向右平移3个单位长度，得到的新抛物线的表达式为( ）A。
y=3(x—3)2—3 B。
y=3x2C。
y=3(x+3）2—3 D。
y=3x2-64.如图，一次函数y1=kx+n（k≠0）与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0）的图象相交于A（-1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（)A。
—1≤x≤9 B.—1≤x〈9C。
—1〈x≤9D。
x≤—1或x≥95。
在同一坐标系中，一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是( ）二、填空题6。
（2017湖北武汉)已知关于x的二次函数y=ax2+（a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m,0）。
最新中考数学总复习第一部分数与代数 第12讲 二次函数
10, 题25
数的
题22,
题25 题25 题25 题25
图象和性质
题25
题25
二次函数的 题12,4 题7,
平移
分
3分
返回
数学
二次函数的
解析式
(待定系数)
二次函数图
象的
顶点坐标、
对称轴
题
25(1),
2分
题7,3分
题
题
25(1),
25(3),
1分
1分
题
23(3),
2
2
∴k＝ 3 或 k＝2,即 k 的值为 2 或 3.
返回
数学
(3)∵函数的对称轴为直线 x＝2,当 m＜2 时,当 x＝m 时,y 有最大
4m
1
值, 3 ＝－ 3 (m－2)+3,解得 m＝± 5,∴m＝－ 5;
4m
当 m≥2 时,当 x＝2 时,y 有最大值,∴
3
9
＝3,∴m＝ .
4
9
综上所述,m 的值为－ 5或 4.
题
题23(1) 3分
23(2),
(2),6分 题
3分
25(3),
2分
题10,
3分
题
23(3),
1分
返回
数学
二次函数与一元
二次方程、不等
题
题25(1), 题10,3
题23(3),
25(1),
式
5分
分
4分
(与x轴的交点坐
2分
标)
题10,3分
题25(3), 题25(3), 题25(3), 题25(3),
A,B(－1,0)两点,则下列说法正确的是( D )
中考数学第一轮复习精品讲解第三单元函数与其图象(共215张PPT)
·新课标
第11讲 │ 考点随堂练
9．一天老王骑摩托车外出旅游，刚开始行驶时，油箱中有油 9 升，行驶了 1 小时后发现已耗油 1.5 升． (1)求油箱中的剩余油量 Q(升)与行驶的时间 t(小时)之间的函数 关系式，并求出自变量 t 的取值范围； (2)画出这个函数的图象； (3)如果摩托车以 60 千米/小时的速度匀速行驶，当油箱中的剩 余油量为 3 升时，老王行驶了多少千米？
第12讲 函数的概念及其表示法
·新课标
第12讲 │ 考点随堂练 │考点随堂练│
考点1 一次函数的定义
≠0 ≠0
·新课标
第12讲 │ 考点随堂练
1.已知函数
y＝(m－1)xm＋3m
表示一次函数，则
m
等于(
Байду номын сангаас
B
)
A．1
B．－1
C．－1 或 1
D．0 或－1
[解析] m＝1，所以 m＝±1，又根据 m－1≠0，m≠1， 所以 m＝－1.
[解析] 注意理解：从家里出发走10分钟到离家500米的地方 吃早餐，吃早餐用了20分钟；再用10分钟赶到离家1000米的学校 参加考试所对应的图象．
观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义．弄清哪些是 自变量，哪些是因变量，然后分析图象的变化趋势，结合实际问题 的意义进行判断．
·新课标
第12讲 │ 函数的概念及其表示法
数量
x(千克) 1
2
3
4…
售价 y(元)
8＋0.4 16＋0.8 24＋1.2 32＋1.6 …
请根据表中所提供的信息，写出售价 y 与数量 x 之间的关
系式，并求出当数量是 2.5 千克时的售价．
2020 最新中考数学复习 第12讲第1课时 二次函数的图象与性质
第12讲 二次函数第1课时 二次函数的图象与性质知识点1 二次函数的概念1．关于x 的函数y ＝(m ＋1)x 2＋(m －1)x ＋m ，当m ＝0时，它是二次函数；当m ＝－1时，它是一次函数．知识点2 二次函数的图象与性质2．已知h 与t 的函数关系式为h ＝12gt 2(g 为常数，t 为时间)，则函数图象为(A )3．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，抛物线顶点坐标是P(1，3)，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是(C )A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＞1D ．x ＜15．二次函数y ＝x 2－2x －3的最小值是－4．知识点3 二次函数图象的平移6．抛物线y ＝(x ＋2)2－3由抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到．7．将抛物线y ＝2(x －1)2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为y ＝2(x ＋2)2－2．知识点4 确定二次函数的解析式8．已知二次函数的图象如图，则其解析式为(B)A．y＝x2－2x＋3B．y＝x2－2x－3C．y＝x2＋2x－3D．y＝x2＋2x＋39．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y＝－x2＋4x－3．知识点5二次函数与方程、不等式10．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是(A)A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－211．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是(A)A．－1＜x＜3B．x＞3C．x＜－1D．x＞3或x＜－1重难点1二次函数的图象和性质(2017·枣庄)已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(D)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大【思路点拨】(1)将a＝1代入原函数解析式，令x＝－1求出y值，由此得出A选项不符合题意；(2)将a＝2代入原函数解析式，令y＝0，根据根的判别式Δ＝8＞0，可得出当a＝－2时，函数图象与x轴有两个不同的交点，即B选项不符合题意；(3)利用配方法找出二次函数图象的顶点坐标，令其纵坐标小于零，可得出a的取值范围，由此可得出C选项不符合题意；(4)利用配方法找出二次函数图象的对称轴，结合二次函数的性质，即可得出D选项符合题意．【变式训练1】(2016·兰州)点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(D)A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3【变式训练2】(2017·泰安)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 1 3y －3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x ＝1；③当x<1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4.其中正确的结论有(B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个,方法指导解决二次函数图象和性质相关题，首先需明确二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等与解析式中相关字母的关系，若确定解析式，也可通过将解析式配方，得出函数的对称轴，顶点坐标，函数图象与坐标轴的交点等，从而画出函数大致图象，再利用数形结合思想解题．方法指导比较抛物线上点的纵坐标大小的基本方法有以下三种：(1)利用抛物线上对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较； (2)当已知抛物线的解析式及相应点的横坐标时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小；(3)利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”比较大小．重难点2 同一坐标系中的函数图象共存问题(2016·毕节)一次函数y ＝ax ＋c(a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在同一个坐标系中的图象可能是(D )【变式训练3】 函数y ＝kx与y ＝－kx 2＋k(k ≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是(B )方法指导解决函数图象共存问题主要有以下三种方法：(1)排除法：根据已知条件中得出的结论直接排除某选项，如：本例由已知条件可知两个函数的常数项都是c ，说明两个函数图象与y 轴交于同一个点，所以排除A 选项；(2)同一法：一般可以先假定其中一种函数的图象(如：一次函数，反比例函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的范围，去判断另一个函数图象是否正确．如：本例B 选项，若一次函数图象正确，则a<0，c<0，这与抛物线开口向上相矛盾．故B 选项错误．重难点3 二次函数图象与字母系数的关系(2016·随州)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的部分图象如图所示，图象过点(－1，0)，对称轴为直线x＝2，下列结论：(1)4a ＋b ＝0；(2)9a ＋c>3b ；(3)8a ＋7b ＋2c>0；(4)若点A(－3，y 1)，点B(－12，y 2)、点C(72，y 3)在该函数图象上，则y 1<y 3<y 2；(5)若方程a(x ＋1)(x －5)＝－3的两根为x 1和x 2，且x 1<x 2，则x 1<－1<5<x 2.其中正确的结论有(B )A．2个B．3个C．4个D．5个【思路点拨】(1)利用对称轴公式判别；(2)观察形式发现当x＝－3时，y＝9a－3b＋c＜0，可得9a＋c＜3b；(3)根据对称轴为x＝2，得b＝－4a，则8a＋7b＋2c＝－20a＋2c，由a＜0，c>0，可得－20a＋2c>0；(4)抛物线的开口向下，距离对称轴越远，纵坐标越小；(5)方程a(x＋1)(x－5)＝－3的两根x1和x2为直线y＝－3与抛物线y＝a(x ＋1)(x－5)的两个交点的横坐标，这两个交点在抛物线y＝a(x＋1)(x－5)与x轴两交点的两侧，因此x1<－1<5<x2.【变式训练4】(2017·荆门)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，则下列结论正确的是(D)A．a<0，b<0，c>0B．－b2a＝1C．a＋b＋c<0D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根变式训练4图变式训练5图【变式训练5】(2017·广安)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a－b＝0；④c－a＝3，其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个方法指导解答二次函数的图象信息问题，通常先抓住抛物线的对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系求解．常考的一些式子的判断方法如下：(1)判断2a＋b与0的关系，需比较对称轴与1的大小；判断2a－b与0的关系，需比较对称轴与－1的大小；(2)判断a＋b＋c与0的关系，需看x＝1时的纵坐标，即比较x＝1时函数值与0的大小；判断a－b＋c与0的关系，需看x＝－1时的纵坐标，即比较x＝－1时函数值与0的大小；(3)判断4a＋2b＋c与0的关系，需看x＝2时的纵坐标，即比较x＝2时函数值与0的大小；判断4a－2b＋c与0的关系，需看x＝－2时的纵坐标，即比较x＝－2时函数值与0的大小．1．(人教九上教材P37练习的变式题)(2017·长沙)抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(A)A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)。
数学中考复习第3章 第12课时 二次函数的图象及其性质
特别提醒： 当 b＝0 或 c＝0 或 b、c 同时为 0 时，也是二次函 数．
2．二次函数图象的画法 因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征是：(1)有 开口方向；(2)有对称轴；(3)有顶点．所以，画二次函数的图象通 常采用简化了的描点法——五点法，其步骤是：
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第三章
函数
(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标 系中描出顶点 m 并用虚线画出对称轴；
解：y＝－(x＋1)2＋4
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第三章
函数
2．已知抛物线的对称轴为直线 x＝1，且经过 A(－3，0)、B(0， 5)两点，求抛物线的解析式．
解：y＝－13(x－1)2＋136
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第三章
函数
类型二：利用“交点式”求二次函数解析式 3．已知抛物线经过 A(－2，0)、B(1，－9)、C(4，0)三点，求 抛物线的解析式．
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第三章
函数
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第三章
函数
3．c 决定抛物线与 y 轴的交点位置
解：y＝(x＋2)(x－4)＝x2－2x－8
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第三章
函数
类型三：利用“一般式”求二次函数解析式 4．已知抛物线经过 A(1，4)、B(2，3)、C(0，3)三点，求抛物 线的解析式．
解：y＝－x2＋2x＋3
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第三章
函数
5．已知抛物线 y＝－2x2＋bx＋c 经过点 A(－1，0)和点 B(2， 3)，求抛物线的解析式．
都填上)
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第三章
函数
考点 2：二次函数的图象及性质
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第三章
函数
【对点小练】
1．★(2020·淮安)二次函数 y＝－x2－2x＋3 的图象的顶点坐标
中考数学总复习 第三单元 函数 第12课时 二次函数数学课件
第十九页，共二十五页。
高频考向探究
拓考向
[2017·通州一模] 如图 12-5,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A,B,C
满足二次函数 y=ax2+bx 的表达式,则对该二次函数的系数 a 和
b 判断正确的是 (
)
图 12-5
A.a>0,b>0
B.a<0,b<0
C.a>0,b<0
D.a<0,b>0
[答案] D
内容(nèiróng)总结
UNIT THREE。第 12 课时 二次函数。【注意】 确定抛物线平移后所得新抛物线的函数解析式最好利用顶
点式,利用顶点的平移来研究图象的平移,但要注意平移前后a的值不变.。[答案] 1.B 2.A。高频考向探究
(tànjiū)。(2)求二次函数的图象的对称轴和顶点坐标
高频考向探究
2.在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移 3 个单位长
度,然后绕原点旋转 180°得到抛物线 y=x2+5x+6,则原抛物线的
解析式是 (
5 2 11
2
4
B.y=- x+
5 2 1
2
4
D.y=- x+
A.y=- xC.y=- x-
)
5 2 11
2
4
5 2 1
+
2
4
第二十三页，共二十五页。
在对称轴的左侧,即当 x<- 时,y 随 x 的增大
2a
性质
增大而减小;在对称轴的右侧,即当 x>-
b
2a
2a
b
而增大;在对称轴的右侧,即当 x>- 时,y 随 x 的
2022中考数学 第一轮 考点系统复习 第三章 函数第12讲 二次函数的图象与性质(练本)课件
设直线BC的解析式为y＝kx＋b′.
将点B(－3，0)，C(0，3)代入，
得
3k b b 3,
0,解得
k b
1, 3,
∴直线BC的解析式为y＝x＋3.
∵S△CPD∶S△BPD＝1∶2，即
1 CD PN 2 1 BD PN
，1
2
∴
CD BD
1 2
2
，∴BD＝2CD，
∴
BD BC
BD BD CD
4.(2021·绍兴)关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值，下列说法正 确的是( D )
A.有最大值4 C.有最大值6
B.有最小值4 D.有最小值6
5.对于二次函数y＝3(x－2)2＋1的图象，下列说法正确的是( C )
A.开口向下 C.有最低点
B.对称轴是直线x＝－2 D.与x轴有两个交点
中考先锋数学 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给
那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午7时13分22.3.319:13March 3, 2022
3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022年3月3日星期四7时13分37秒19:13:373 March 2022
解得
a
b
1, 2,
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
∴顶点坐标为(－1，4).
(2)连接PB，PO，PC，BC.PO交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，求点
D的坐标.
解：过点D作DM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥BC于点N.
2014中考数学复习课件12二次函数-第一轮复习第三单元函数及图象
考点四
二次函数图象的平移
一般地,由y=ax² 的图象通过平移可得到y=a(x-h)² +k
a≠0) 的图象可以看成
y=ax² 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位
(当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),
再沿y轴整体上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移)得到的.
方法总结 1.可根据对称轴的位置确定 b 的符号： b＝0⇔ 对称轴是 y 轴； a，b 同号⇔ 对称轴在 y 轴左侧；a，b 异号⇔ 对称轴在 y 轴右侧. 这个规律可简记为“左同右异”. 2.当 x＝1 时，函数 y＝a＋b＋c.当图象上横坐标 x＝1 的点 在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴 上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a ＋b＋c＜0.同理，可由图象上横坐标 x＝－1 的点判断 a－b＋c 的符号.
温馨提示 一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达 式， 它们之间可以互相转化 .将顶点式、 交点式去括号、 合并同类项就可转化为一般式；把一般式配方、因式 分解就可转化为顶点式、交点式 .
考点 用待定系数法求二次函数的解析式 例(2013· 湖州)已知抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过点 A(3,0)， B(－ 1,0)． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标．
解：(1)解法一： ∵抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过点 A(3,0)， B(－1,0)， －9＋3b＋c＝0， 分别代入抛物线解析式中，得 －1－b＋c＝0. b＝2， 解得 c＝ 3. ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3.
2．顶点式：y＝a(x－ h)2＋k(a≠0) 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴与最大 (最小)值，则设顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已 知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一 般式．
2025年广西中考数学一轮复习考点过关：二次函数的实际应用课件
3
16
＝ ＝3.2(m).
5
①
∵3.2＞2.6，∴这次守门员不能防守成功.
②
6．(2024·柳州三模)每年的12月2日为“全国交通安全日”，因此将数字“122”
作为我国道路交通事故报警电话，不仅群众对此认知度高，而且方便记忆和宣
传.遇车减速是行车安全常识，公路上正在行驶的甲车发现前方10 m处沿同一方
轨迹可以看作是一条抛物线，运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的
水平距离x(m)之间的函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平距离为
1 m时达到最高点，当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离
为7 m，求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
解：由题意可知，抛物线过(0，10)和(3，7)两点，抛物线的对称轴为直线x＝1.
2
答：当甲车减速至10 m/s时，它行驶的路程是78 m.
(3)假如乙车以12 m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近？最近距离是多少？
解：∵当t＝0时，甲车的速度为16 m/s，
人诉说着历史，更有新兴的现代手工制品吸引着世人的目光.现老街某文
创专卖店在旅游文化节期间准备购进甲、乙两种坭兴陶水杯，其中每个乙
种坭兴陶水杯的进价比每个甲种坭兴陶水杯的进价少10元，已知每个甲种
坭兴陶水杯的售价为120元，每个乙种坭兴陶水杯的售价为100元.若用
2 000元购进甲种坭兴陶水杯的数量与用1 800元购进乙种坭兴陶水杯的数
设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
= 10，
＝－1，
∴ 9 + 3＋ = 7， 解得 = 2，
－ = 1，
= 10，
2
【2014中考复习方案】(江西专版)中考数学复习权威课件：12二次函数的图象和性质
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考点聚焦
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第12讲┃二次函数的图象和性质
赣 考 探 究
探究一 二次函数的图象特征与a，b，c之间的关系
例1 [2013· 滨州] 如图12－2，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象 与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为 (－1，0)．则下面的四个结论：①2a＋b＝0；②4a－2b＋c＜0；③ac ＞0；④当y＜0时，x＜－1或x＞2.其中正确的个数是( )
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第12讲┃二次函数的图象和性质
1 3．对于抛物线y＝－ (x＋1)2＋3，下列结论： 2 ①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线x＝1； ③顶点坐标为(－1，3)； ④x>1时，y随x的增大而减小． 其中正确结论的个数为( C ) A．1 B． 2 C．3 D． 4
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第12讲┃二次函数的图象和性质 【归纳总结】
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常 数，a≠0) a>0 a<0
图象
开口方向 对称轴 顶点坐标
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抛物线开口向上， 并向上无限延伸
抛物线开口向下， 并向下无限延伸 b 直线x＝－ 2a 2 4 ac － b b －2a， 4a
图12－2
A．1
B．2
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C．3
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D．4
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第12讲┃二次函数的图象和性质
由对称轴的位置确定①的对错；由图象上x＝－2的点的纵坐 标确定②的对错；由开口方向和图象与y轴的交点确定a，c的符号，确 定③的对错；由图象在x轴下方对应的x的值确定④的对错． b ∵－ ＝1，∴b＝－2a，即2a＋b＝0，∴①正确；∵图象上横坐标 2a x＝－2的点在x轴下方，则y＜0，即4a－2b＋c＜0，∴②正确；∵图象 开口向下，∴a＜0.∵图象与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，∴③错 误；∵抛物线是轴对称图形，∴A点的坐标为(3，0)．∵图象在x轴下方 的部分对应的x的值分别是x＜－1或x＞3，∴④错误．综上所述，选B.
人教版中考数学一轮复习课件第3章 第12讲 二次函数
例题：如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(3，0)，
对称轴为x＝1，给出下列结论：
①b2－4ac＞0；
②2a＋b＝0；③a＋b＋c＝0；
④当x＝－1或3时，函数y的值都等于0.
其中正确的有( D )
A.②③④
B.①③④ C.①②③
D.①②④
思维点拨：由函数图象可以得到a<0，b>0，c>0，对称轴为直线x＝1，与x 轴交于(－1，0)，(3，0)两点，根据以上信息，判断结论是否正确.
考点5 二次函数的图象与系数的关系
11.(2022 毕 节 ) 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 已 知 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋
c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc>0；②2a－b＝0；
③9a＋3b＋c>0；④b2>4ac；
⑤a＋c<b.
其中正确的有( B )
考点3 多个函数图象问题
5.(2019深圳)已知y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则y＝ax＋b和y＝
c x
的图象为(
C
)
6.(2021深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋1的图象与一次函数y＝2ax＋b在 同一平面直角坐标系中的图象可能是( A )
考点4 二次函数的最值问题
7.当x＝___1___时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值为___5___．
5.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与系数a，b，c的关系
图象的特征
符号
开口向上
a>0
a
开口向下
a<0
对称轴为y轴
b＝0
b
对称轴在y轴左侧
人教版九年级数学下 第12讲 二次函数的图象与性质 中考知识点梳理
一、知识清单梳理
知识点一：二次函数的概念及解析式
关键点拨与对应举例
1.一次函数的定义
形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.
2.解析式
（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2．
知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式
5.二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
知识点二：二次函数的图象与性质
3.二次函数的图象和性质
图象
（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数综合题 知识精练(含答案)
2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章微专题二次函数综合题知识精练类型一线段问题1.(2023重庆A卷节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过点(1，3)，且交x轴于点A(－1，0)，B两点，交y轴于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标．第1题图2.(2023济宁节选)如图，直线y＝－x＋4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为x＝32的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A.P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)若m<32，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．第2题图类型二面积问题3.(2023安徽)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，3)，对称轴为直线x＝2.(1)求a，b的值；(2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t＋1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E.(ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和；(ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B，C，D，E为顶点的四边形的面积为32若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由．类型三等腰三角形存在性问题4.(2023青海省卷节选)如图，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴相交于点A和点C(1，0)，交y轴于点B(0，3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．第4题图类型四直角三角形存在性问题5.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A(4，0)，B(0，－4)，对称轴是直线x＝1，点P为平面内一点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P为y轴右侧抛物线上一点，其横坐标为t，过点P分别作AB和y轴的垂线，垂足分别为点E，F，PF交AB于点G，当△PEG≌△BFG时，求t的值；(3)若P是抛物线对称轴上的点，将抛物线y＝ax2＋bx＋c先向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线y1，抛物线y1与y轴交于点M，点N为抛物线y1的顶点，当△PMN 为直角三角形时，直接写出所有符合条件的点P的纵坐标．第5题图备用图类型五特殊四边形存在性问题6.(2023邵阳节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋x＋c经过点A(－2，0)和点B(4，0)，且与直线l：y＝－x－1交于D，E两点(点D在点E的右侧)，点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B，C，M，R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．第6题图类型六相似三角形问题7.(2023随州节选)如图，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(2，0)和C(0，2)，连接BC，点P(m，n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N.(1)直接写出．．．．抛物线和直线BC的解析式；(2)当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似(其中点P与点C相对应)，若存在，直接写出．．．．点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图类型七角度问题x2＋bx＋c经过点A(－4，0)，B(2，0)，与y轴8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12交于点C，作直线A C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点M是直线AC下方抛物线上的一个动点，连接MA，MC，BC，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)若点D是抛物线的顶点，点P是抛物线上的一个动点，是否存在点P，使得∠ACP＝∠CAD，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图参考答案与解析1.解：(1)将点(1，3)，(－1，0)代入抛物线y＝ax2＋bx＋2，＋b＋2＝3，－b＋2＝0，＝－12，＝32，∴该抛物线的表达式为y＝－12x2＋32x＋2；(2)∵当x＝0时，y＝2，∴C(0，2).∵当y＝0时，x＝－1或x＝4，∴B(4，0)，∴OC＝2，OB＝4，BC＝25.∵直线BC过点B(4，0)，C(0，2)，∴直线BC的函数表达式为y＝－12x＋2.∵PD⊥BC，PE∥y轴，∴∠PDE＝∠BOC＝90°，∠PED＝∠BCO，∴△PDE∽△BOC，∴DEOC＝PEBC＝PDBO，∴DE2＝PE25＝PD4，∴DE＝55PE，PD＝255PE.设P(m，－12m2＋32m＋2)，则E(m，－12m＋2)(0<m<4).∴PE＝－12m2＋32m＋2－(－12m＋2)＝－12(m－2)2＋2.∵－12<0，∴当m＝2时，PE有最大值，最大值为2，∴△PDE 周长的最大值为DE ＋PD ＋PE ＝55PE ＋255PE ＋PE ＝655＋2.此时点P 的坐标为(2，3).2.解：(1)在直线y ＝－x ＋4中，当x ＝0时，y ＝4，当y ＝0时，x ＝4，∴B (4，0)，C (0，4).由题可设抛物线的解析式为y ＝a (x －32)2＋k (a ≠0)，把B (4，0)，C (0，4)（4－32）2＋k ＝0，（0－32）2＋k ＝4，＝－1，＝254，∴抛物线的解析式为y ＝－(x －32)2＋254＝－x 2＋3x ＋4；(2)存在，理由如下：∵点A 是抛物线y ＝－x 2＋3x ＋4与x 轴的另一个交点，∴点A (－1，0).①当－1＜m ＜32时，点P 在x 轴的上方，∵MN ＝2ME ，∴点E 为线段MN 的中点，∴点E 的横坐标为x E ＝3－m ＋m 2＝32，纵坐标y E ＝y M ＋y N 2＝－m 2＋3m ＋42∴点E 的坐标为(32，－m 2＋3m ＋42).又∵点E 在直线BC ：y ＝－x ＋4上，代入得m 2－3m ＋1＝0，解得m 1＝3＋52(舍去)，m 2＝3－52.②当m ＝－1时，P 点即A 点，此时点E 与点M 重合，不合题意．③当m ＜－1时，点P 在x 轴下方，点E 在射线NM 上．设线段MN 的中点是点F (32，－m 2＋3m ＋42).∵MN ＝2ME ，∴M 为EF 的中点，∴点M 的横坐标为x m ＝3－m ＝x E ＋x F 2＝x E ＋322.纵坐标为y m ＝－m 2＋3m ＋4＝y E ＋y F 2＝y E ＋－m 2＋3m ＋422.∴点E 的坐标为(92－2m ，－3m 2＋9m ＋122).又∵点E 在y ＝－x ＋4上，∴代入得－3m 2＋9m ＋122＝2m －12，即3m 2－5m －13＝0，解得m 1＝5＋1816(舍去)，m 2＝5－1816.综上，存在m 使MN ＝2ME ，m ＝3－52或m ＝5－1816. 3.解：(1)－b 2a＝2，a ＋3b ＝3，＝－1＝4；(2)(i)如解图①，延长BD 与x 轴交于点M ，延长CE 与x 轴交于点N ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，第3题解图①由(1)知抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ，由题意知直线OA 的解析式为y ＝x ，∴B (t ，－t 2＋4t )，C (t ＋1，－(t ＋1)2＋4(t ＋1))，D (t ，t )，E (t ＋1，t ＋1)，∴OM ＝t ，BD ＝－t 2＋3t ，CE ＝－(t ＋1)2＋3(t ＋1)，AF ＝－t ＋2，∵0<t <2，∴1<t ＋1<3，∴S △OBD ＋S △ACE＝12OM ·BD ＋12CE ·AF＝12t ·(－t 2＋3t )＋12[－(t ＋1)2＋3(t ＋1)]·(－t ＋2)＝2.(ii)存在．如解图②，当点B 在点D 上方，即2<t <3时，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，第3题解图②∵BD ∥EC ，∴四边形DBEC 为梯形，则S 四边形DBEC ＝12(BD ＋EC )·DQ ＝12(－t 2＋3t ＋t 2－t －2)·1＝t －1，当S 四边形DBEC ＝32时，可得t －1＝32，解得t ＝52；当点D 在点B 上方，即t >3时，如解图③，过点D 作DQ ⊥EC 于点Q ，第3题解图③此时S 四边形DBCE ＝12(BD ＋EC )·DQ ＝12(t 2－3t ＋t 2－t －2)·1＝t 2－2t －1，令t 2－2t －1＝32，解得t 1＝142＋1<3，t 2＝－142＋1<3，均舍去．综上所述，t 的值为52.4.解：(1)∵点C (1，0)和点B (0，3)是二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 图象上的两点，把点C (1，0)和点B (0，3)1＋b ＋c ＝0，＝3，＝－2，＝3，∴二次函数的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3；(2)存在．如解图，连接AB ，作线段AB 的垂直平分线交对称轴于点M ，连接AM ，BM ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G .设点M (－1，y )，对称轴与x 轴交于点Q ，则QM ＝y ，BG ＝3－y .∵△AMB 是等腰三角形，∴AM ＝BM ，则AM 2＝BM 2，∴在Rt △AQM 中，AM 2＝AQ 2＋MQ 2＝22＋y 2.在Rt △BMG 中，BM 2＝MG 2＋BG 2＝12＋(3－y )2∴22＋y 2＝12＋(3－y )2，解得y ＝1，∴点M 的坐标为(－1，1).第4题解图5.解：(1)∵抛物线过点B (0，－4)，∴c ＝－4，即抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋bx －4.将点A (4，0)代入y ＝ax 2＋bx －4中，得16a ＋4b －4＝0.∵抛物线的对称轴是直线x ＝1，∴－b 2a＝1，a ＋4b －4＝0，－b 2a＝1，＝12，＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －4；(2)∵PE ⊥AB ，PF ⊥y 轴，∴∠PEG ＝∠BFG ＝90°.∵∠PGE ＝∠BGF ，∴△PEG ∽△BFG .∵A (4，0)，B (0，－4)，∴OA ＝OB ＝4，∴△OAB 是等腰直角三角形，∴∠OBA ＝45°.∵PF ⊥y 轴，∴△BFG 是等腰直角三角形，∴∠BGF ＝45°，∴∠PGE ＝45°∵PE ⊥AB ，∴△PEG 是等腰直角三角形，∴PG ＝2EG .当△PEG ≌△BFG 时，∴EG ＝FG ，∴PG ＝2FG .由A (4，0)，B (0，－4)可知直线AB 的函数表达式为y ＝x －4，∴P (t ，12t 2－t －4)，G (12t 2－t ，12t 2－t －4)，∴PG ＝t －(12t 2－t )＝－12t 2＋2t ，FG ＝12t 2－t ，∴－12t 2＋2t ＝2(12t 2－t )，解得t ＝0(舍去)或t ＝22；第5题解图(3)当△PMN 为直角三角形时，所有符合条件的点P 的纵坐标为－256或73或3＋174或3－174.【解法提示】∵y ＝12x 2－x －4＝12(x －1)2－92，∴y 1＝12(x －1＋4)2－92＋3＝12(x ＋3)2－32＝12x 2＋3x ＋3，∴N (－3，－32).令x ＝0，则y 1＝3，∴M (0，3).∵抛物线y 的对称轴为直线x ＝1，点P 在抛物线对称轴上，∴设P (1，m )，∴PN 2＝(1＋3)2＋(m ＋32)2，MN 2＝1174，PM 2＝12＋(m －3)2.∵△PMN 为直角三角形，∴需要分以下三种情况：①当∠MNP ＝90°时，MN 2＋PN 2＝PM 2，1174＋(1＋3)2＋(m ＋32)2＝12＋(m －3)2，解得m ＝－256；②当∠PMN ＝90°时，PM 2＋MN 2＝PN 2，12＋(m －3)2＋1174＝(1＋3)2＋(m ＋32)2，解得m ＝73；③当∠MPN ＝90°时，PM 2＋PN 2＝MN 2，12＋(m －3)2＋(1＋3)2＋(m ＋32)2＝1174，解得m ＝3＋174或m ＝3－174.综上所述，当△PMN 为直角三角形时，所有符合条件的点P 的纵坐标为－256或73或3＋174或3－174.6.解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋x ＋c 经过A ，B 两点，a －2＋c ＝0a ＋4＋c ＝0，＝－12，＝4，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋x ＋4；(2)∵抛物线与y 轴交于点C ，∴当x ＝0时，y ＝4，即C (0，4).∵B (4，0)，M (t ，－t －1)，∴BC ＝42＋42＝42，BM 2＝(t －4)2＋(－t －1)2＝2t 2－6t ＋17，CM 2＝t 2＋(t ＋5)2＝2t 2＋10t ＋25，①如解图①，当BC 为对角线时，MB ＝CM ，∴2t 2－6t ＋17＝2t 2＋10t ＋25，解得t ＝－12，∴M (－12，－12).R －12＝4＋0，R －12＝4＋0，R ＝92，R ＝92，∴R (92，92)；②当CM 为对角线时，如解图②，∵四边形BMRC 为菱形，∴BM ＝BC ，∴2t 2－6t ＋17＝(42)2，解得t ＝3－392或t ＝3＋392，∴－t －1＝－3－392－1＝－5＋392或－t －1＝－3＋392－1＝－5－392，∴M (3－392，－5＋392)或M (3＋392，－39－52).由菱形的性质可得，R ＋4＝3－392＋0，R ＋0＝－5＋392＋4，或R ＋4＝3＋392＋0，R ＋0＝－5－392＋4，解得R ＝－5－392，R ＝3＋392，或R ＝－5＋392，R ＝3－392，∴R (－5－392，3＋392)或R (－5＋392，3－392)；③当BM 为对角线时，如解图③，即四边形CMRB 是菱形，点R 的坐标即为四边形BMRC 为菱形时，点M 的坐标，∴R (3－392，－5＋392)或R (3＋392，－39－52).综上所述，点R 的坐标为(3－392，－5＋392)或(3＋392，－39－52)或(－5－392，3＋392)或(－5＋392，3－392)或(92，92).图①图②图③第6题解图7.解：(1)抛物线的解析式为y ＝－x 2＋x ＋2，直线BC 的解析式为y ＝－x ＋2；【解法提示】(1)∵抛物线过点A (－1，0)，B (2，0)，∴抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)·(x －2)，将点C (0，2)的坐标代入上式，得2＝－2a ，∴a ＝－1.∴抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2)，即y ＝－x 2＋x ＋2.设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋t ，将点B (2，0)，C (0，2)的坐标代入上0＝2k ＋t2＝t k ＝－1t 2.∴直线BC 的解析式为y ＝－x ＋2；(2)存在．P (2，2)，Q (0，2－1)或P (13＋13，7＋139)，Q (0，4－2139)或P (1＋3，－1－3)，Q (0，1)或P (1＋5，－3－5)，Q (0，－2).【解法提示】∵点P 与点C 相对应，∴△POQ ∽△CBN 或△POQ ∽△CNB .①若点P 在点B 左侧，则∠CBN ＝45°，BN ＝2－m ，CB ＝22.当△POQ ∽△CBN ，即∠POQ ＝45°时，直线OP 的解析式为y ＝x ，∴－m 2＋m ＋2＝m ，解得m ＝2或m ＝－2(舍去).∴OP 2＝(2)2＋(2)2＝4，即OP ＝2.∴OP BC ＝OQ BN ，即222＝OQ 2－2，解得OQ ＝2－1.∴P (2，2)，Q (0，2－1).当△POQ ∽△CNB ，即∠PQO ＝45°时，当点Q 在点P 上方时，PQ ＝2m ，OQ ＝－m 2＋m ＋2＋m ＝－m 2＋2m ＋2，∴PQ CB ＝OQ NB ，即2m 22＝－m 2＋2m ＋22－m，解得m ＝1＋5(舍去)或m ＝1－5(舍去).当点Q 在点P 下方时，PQ ＝2m ，直线QP 的解析式为y ＝x －m 2＋2.∴OQ ＝m 2－2，∴PQ CB ＝OQ NB，即2m 22＝m 2－22－m，解得m ＝13＋13或m ＝1－133(舍去)，∴OQ ＝－4＋2139，∴P (13＋13，7＋139)，Q (0，4－2139).②若点P 在点B 右侧，则∠CBN ＝135°，BN ＝m －2.当△POQ ∽△CBN ，即∠POQ ＝135°时，直线OP 的解析式为y ＝－x ，∴－m 2＋m ＋2＝－m ，解得m ＝1＋3或m ＝1－3(舍去)，∴OP ＝2m ＝2＋6，∴OP BC ＝OQ BN ，即2＋622＝OQ 3－1，解得OQ ＝1.∴P (1＋3，－1－3)，Q (0，1).当△POQ ∽△CNB ，即∠PQO ＝135°时，PQ ＝2m ，OQ ＝|－m 2＋m ＋2＋m |＝m 2－2m －2.∴PQ CB ＝OQ NB ，即2m 22＝m 2－2m －2m －2，解得m ＝1＋5或m ＝1－5(舍去).∴P (1＋5，－3－5)，Q (0，－2).综上所述，P (2，2)，Q (0，2－1)或P (13＋13，7＋139)，Q (0，4－2139)或P (1＋3，－1－3)，Q(0，1)或P(1＋5，－3－5)，Q(0，－2).8.解：(1)∵抛物线y＝12x2＋bx＋c经过点A(－4，0)，B(2，0)，－4b＋c＝0，2b＋c＝0，＝1，＝－4，∴抛物线的函数表达式为y＝12x2＋x－4；(2)在y＝12x2＋x－4中，令x＝0，得y＝－4，∴点C(0，－4).设直线AC的函数表达式为y＝kx＋c，将A(－4，0)，C(0，－4)代入，＝－4k＋c，4＝c，＝－1，＝－4，∴直线AC的函数表达式为y＝－x－4.如解图①，过点M作ME⊥x轴于点E，交AC于点F，设点M的坐标为(d，12d2＋d－4)，则点F的坐标为(d，－d－4)，∴MF＝(－d－4)－(12d2＋d－4)＝－12d2－2d.∵A(－4，0)，B(2，0)，C(0，－4)，∴OA＝4，AB＝6，OC＝4，∴S△ABC＝12AB·OC＝12×6×4＝12，S△ACM＝12MF·OA＝12×(－12d2－2d)×4＝－d2－4d＝－(d＋2)2＋4.当d＝－2时，S△ACM取得最大值，为4.∴四边形ABCM面积的最大值＝12＋4＝16，此时点M的坐标为(－2，－4)；第8题解图①(3)存在点P，点P的坐标为(－5，72)或(－103，－169).【解法提示】如解图②，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，过点P 作PH ⊥y 轴于点H ，则∠DGA ＝∠CHP ＝90°.由题意得点D (－1，－92)，设P (m ，12m 2＋m －4)，∴DG ＝92，AG ＝3，CH ＝12m 2＋m －4－(－4)＝12m 2＋m ，PH ＝－m ，分两种情况讨论：①当点P 在直线AC 上方时，记为P 1，设过点P 1作P 1H ⊥y 轴的点H 为H 1，∵∠ACP 1＝∠CAD ，∴P 1C ∥AD ，易得∠DAG ＝∠CP 1H 1.又∵∠DGA ＝∠CH 1P 1＝90°，∴△DAG ∽△CP 1H 1，∴DG CH 1＝AG P 1H 1，即9212m 2＋m ＝3－m ，解得m ＝0(舍去)或m ＝－5，∴点P 1(－5，72)；②当点P 在直线AC 下方时，记为P 2，设过点P 2作P 2H ⊥y 轴的点H 为H 2，∵OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝∠OCA .∵∠ACP 2＝∠CAD ，∴∠OAC ＋∠CAD ＝∠OCA ＋∠ACP 2，即∠DAG ＝∠P 2CH 2.又∵∠DGA ＝∠P 2H 2C ＝90°，∴△DAG ∽△P 2CH 2，∴DG P 2H 2＝AG CH 2，即92－m ＝312m 2＋m ，解得m ＝0(舍去)或m ＝－103，∴点P 2(－103，－169).综上所述，存在点P，点P的坐标为(－5，72)或(－103，－169).第8题解图②。
安徽省中考数学专题复习课件 第12课时 二次函数的图像与性质
字母
关键点回顾
1.a>0 时，开口向上；2.a<0 时，开口向下. a
|a|越大，抛物线的开口程度___越__小___，|a|越小，抛物线的开口程度__越__大____.
1.b＝0 时，对称轴为 y 轴； b 2.ab>0(b 与 a 同号)时，对称轴在 y 轴左侧；
3.ab<0(b 与 a 异号)时，对称轴在 y 轴右侧．
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第12课时┃ 二次函数的图象与性质
解 可设所求二次函数的解析式为 y＝a(x－1)2－1(a≠0)， ∵抛物线过原点(0，0)， ∴a(0－1)2－1＝0，解得 a＝1， ∴该函数解析式为 y＝(x－1)2－1，即 y＝x2－2x.
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第12课时┃ 二次函数的图象与性质
①它的图象与 x 轴有两个公共点； ②如果当 x≤1 时 y 随 x 的增大而减小，则 m＝1； ③如果将它的图象向左平移 3 个单位后过原点，则 m＝ －1； ④如果当 x＝4 时的函数值与 x＝2008 时的函数值相等， 则当 x＝2012 时的函数值为－3. 其中正确的说法是__①__④____．(把你认为正确说法的序号 都填上)
方程的 方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
关系 3.当 b2－4ac＜0 时 抛物线与 x 轴___没__有_____交点，
方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根.
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第12课时┃ 二次函数的图象与性质
考点 5 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象特征与 a、b、 c 之间的关系
中考数学冲刺复习 第三章 函数 第12课 二次函数课件
解：（1）y=－x2+2x+3 （2）与x轴的交点为（3,0），（－1,0），
顶点为（1,4）
（3）略
第四页，共十五页。
【变式1】已知抛物线的顶点坐标(zuòbiāo)为M(－1，－2) 且过点N(0，－1.5)．
(1)求此抛物线的解析式； (2)x取什么值时，y随x的增大而减小；
x x1 x2 2
第三页，共十五页。
二、例题(lìtí)与变式
【考点(kǎo diǎn)1】求二次函数解析式，二次函数的图象与性
质
【例1】已知二次函数的图象经过(jīngguò)A(－2，－5)， B(1，4)，C(2，3)三点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求该函数的图象与x轴的交点和顶点坐标；
第九页，共十五页。
三、过关(guò 训 〃guān) A练组
1．关于二次函数y＝2x2＋4x－1，下列说法正确的是( ) D
A．图象(tú xiànɡ)与y轴的交点坐标为(0，1)
B．图象的对称轴在y轴的右侧 C．当x<0时，y的值随x值的增大而减小 D．y的最小值为－3
2．如图，函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a (a是常数(chángshù)，且a≠0)在同
线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线解析式；
如果不存在，说明理由．
解：（1）已知点A（－1，－1）在已知抛物线上,
则(k2－1)+2(k－2)+1=－1，解得k1=1,k2=－3, 当k1=1时，函数为一次函数，不合(bùhé)题意，舍去 当k2=－3时，抛物线的解析式为y=8x2+10x+1,
截得的线段AB的长为6. (1)求此抛物线的解析式；
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第三章 函数
第 12 课时 二次函数（一）
1.（2016·甘孜藏族自治州）将 y=x2 向上平移 2 个单位后
所得的抛物线的解析式为（ A ）
A．y=x2+2
B．y=x2-2
C．y=(x+2)2
D．y=(x-2)2
2.（2016·南充市）抛物线 y=x2+2x+3 的对称轴是（ B ）
A．直线 x=1
分析：（1）直接将 A(-1，0) 代 入求出 c 即可，再利用配方法求 出顶点坐标； （2）利用EM∥BN，则 △EMF∽△BNF，进而求出 △EMF 与△BNF 的面积之比．
解：（1）由题意可得 -(-1)2+2×(-1)+c=0，解得 c=3.
∴该抛物线的解析式为 y= -x2+2x+3.
∵y= -x2+2x+3= -(x-1)2+4，
___抛__物___线_，其中 a 由___开___口__方__向_确定，b 由___对__称___轴确 定，c 由___图___象__与___y_轴___的__交__点___坐__标_确定．
对于函数的平移情况参照下图：
考点二：确定二次函数的关系式
3．二次函数解析式的表示方法： （1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）； （2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k为常数，a≠0）； （3）交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0，x1，x2是抛物线与 x轴两交点的横坐标）.
图象大致是（ D ）
考点一：二次函数的图象和性质
1．二次函数的图象和性质列表如下：
函数 二次函数 y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0) Nhomakorabeaa>0
a<0
图象
函
二次函数 y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)
数
a>0
a<0
(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸 (1)抛物线开口向下，并向下无限延伸
B．直线 x=-1
C．直线 x=-2
D．直线 x=2
3.（2016·兰州市）二次函数 y=x2-2x+4 化为 y=a(x-h)2+k
的形式，下列正确的是（ B ）
A．y=(x-1)2+2
B．y=(x-1)2+3
C．y=(x-2)2+2
D．y=(x-2)2+4
4.（2015·深圳市）二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象
如图所示，下列说法中正确的个数有（ B ）
①a>0
②b>0
③c<0
④b2-4ac>0
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5.（2015·广东省）如图，已知正三角形ABC 的边长为2， E，F，G 分别是 AB，BC，CA 上的点，且AE=BF=CG. 设△EFG 的面积为 y，AE 的长为 x，则 y 关于 x 的函数
时，y随x的增大而增大；在对称轴的
b 右侧，即当 x 时，y随x的增
2a
大而增大，简记左减右增
大而减小，简记左增右减
b
(4)抛物线有最低点，当 x 时，
y有最小值，y最小值=
4ac b2 4a
2a
(4)抛物线有最高点，当 x b 时，
y有最大值，y最大值=
4ac b2 4a
2a
2．二次函数 y=ax2+bx+c (a，b，c是常数，a≠0) 的图象是
分析：利用配方法即可将二次函数的解析式由一般式转 化为顶点式. 答案：y=(x-6)2-36 点评：本题考查了二次函数的一般式与顶点式之间的互 相转化.
【例 2】 （2014·温州市）如图，抛物线 y= -x2+2x+c 与 x 轴交于 A，B 两点，它的对称轴与 x 轴交于点 N，过 顶点 M 作ME⊥y轴于点 E，连接 BE 交 MN 于点 F，已 知点 A 的坐标为 (-1，0)． （1）求该抛物线的解析式及顶点 M 的坐标； （2）求△EMF 与△BNF 的面积之比．
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或 顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只 有抛物线与 x 轴有交点，即 b2-4ac≥0 时，抛物线的解析 式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式 可以互相转化.
【例 1】（2015·舟山市）把二次函数 y=x2-12x 化为形如 y=a(x-h)2+k 的形式：_______________.
(2)对称轴是直线
x
b
，顶点坐标
2a
是 ( b ，4ac b2 )
2a 4a
(2)对称轴是直线 x b ，顶点坐标 2a
是 ( b ，4ac b2 ) 2a 4a
性
(3)在对称轴的左侧，即当
x
b 2a
质 时，y随x的增大而减小；在对称轴的
右侧，即当
x
b 2a
时，y随x的增
(3)在对称轴的左侧，即当 x b 2a
∴顶点 M 的坐标为（1，4）.
（2）∵点 A 的坐标为（-1，0），抛物线的对称轴为直
线 x=1，∴点 B 的坐标为（3，0）.
∴EM=1，BN=2.
∵EM∥BN，∴△EMF∽△BNF.
∴ S△EMF ( EM )2 ( 1 )2 1 ．
S△BNF
BN
24
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