传热学3-非稳态导热
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
传热学 第3章-非稳态导热分析解法
第三章 非稳态导热分析解法1、 重点内容：① 非稳态导热的基本概念及特点；② 集总参数法的基本原理及应用；③一维及二维非稳态导热问题。
2、掌握内容：① 确定瞬时温度场的方法；② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3、了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
许多工程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某一极限值所需的时间。
如：机器启动、变动工况时，急剧的温度变化会使部件因热应力而破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素；金属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中心温度。
§3—1 非稳态导热的基本概念一、非稳态导热1、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间而变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间而作周期性变化1）物体的温度随时间而趋于恒定值如图3-1所示，设一平壁，初值温度t 0，令其左侧的表面温度突然升高到1t 并保持不变，而右侧仍与温度为0t 的空气接触，试分析物体的温度场的变化过程。
首先，物体与高温表面靠近部分的温度很快上升，而其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩大，到某一时间后，右侧表面温度也逐渐升高，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到一定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述非稳态导热过程中，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段。
11-2 传热学第三章-导热四学时-3非稳态导热
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
下面用实例介绍这两类非稳态导热的特点。
§3-1 非稳态导热的基本概念
（1）周期性非稳态导热过程简介
室内墙 面温度
墙内各 处温度 最高值
★ 夏季室外空气温度以一天 24小时为周期变化；
★ 室外墙面温度也以24小时为 周期变化，但比室外空气温 度变化滞后一个相位、振幅 有所减小；
(
t n
)w
h(tw
t
f
)
★ 解的唯一性定理：
本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题的唯一解。
§3-1 非稳态导热的基本概念
5.第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征 与边界条件参数的关系。
t
已知：平板厚2δ、平板导热系数λ、
初温t0，将其突然置于温度为
第三章 非稳态导热
2
§3-1 非稳态导热的基本概念
2.非稳态导热的分类及其特点
非稳态导热分为周期性和非周期性（瞬态导热）两大类。
周期性非稳态导热：物体温度按一定的周期发生变化；
非周期性非稳态导热（非稳态 稳态）：
物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过 程）；在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温
(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法。
分析解法： 分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换； 近似分析法： 集中参数法、积分法； 数值解法： 有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、
分子动力学模拟。
§3-1 非稳态导热的基本概念
4.导热微分方程解的唯一性定律
非稳态导热问题的求解实质：在规定的初始条件及边界条 件下求解导热微分方程式。
传热学-3 非稳态导热
0
方程中指数的单位：
物体中的 温度呈指 数分布
hA
W m2K
m
2
w1
Vc
kg m3
[
m3
]
J kgK
J
s
3-2 集 总 参 数 法
即与
1 的量纲相同，当
Vc
时，则
hA
hA
1 Vc
此时，
e1 36.8%
0
上式表明：当传热时间等于 Vc 时，物体的过余温
3-1 概 述
t1
H
G
F
t0
A
温度场的特征（三个阶段）：
E B CD
1) 不规则情况阶段：温度变化从边界面逐渐地深入
到物体内，温度分布受初始温度分布的影响很大。
2）正常情况阶段（正规状况阶段）：初始温度分布
影响消失，物体内各处温度随时间的变化率具有一
定的规律。温度分布主要取决于边界条件及物性。
3）建立新的稳态阶段：温度分布不再随时间变化。
第三章 非稳态导热
１ 重点内容： ① 非稳态导热的基本概念及特点； ② 集总参数法的基本原理及应用； ③ 一维及二维非稳态导热问题。
2 掌握内容： ① 确定瞬时温度场的方法； ② 确定在一时间间隔内物体所传导热量的计算方法。
3 了解内容：无限大物体非稳态导热的基本特点。
3-1 概 述
非稳态导热 ：导热体的温度场随时间而变化。
通常，当毕渥数 Bi<0.1 时，采用集总参数法求解温 度影响误差不大。
3-2 集 总 参 数 法
集总参数法的特点： 1）是一种理想化模型； 2）物体内热阻忽略不计； 3）物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有 相同的温度； 4）通过表面传递的热量立即使整个物体的温度同 时发生变化 5）把一个有分布热容的物体看成一个集中热容的 物体。
03传热学第三章非稳态热传导
cV
dt
d
cV (t0
t )(
hA
cV
)
exp(
hA
cV
)
hA0
exp(
hA
cV
)
※0~ 时间内传给流体的总热量：
Q 0 d
0
h
A
0
e
xp(
hA
cV
)d
2021/1/14
0 cV
1
exp
hA
cV
15
（2） 时间常数
令
c
cV
hA
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e c
0
※当 时
0 0
即t t
※当
时
c
与几何参数、物理性 质、换热条件有关
(, ) m ( )
cos(1)
f
( Bi , )
则平板中任意点过余温度比 m 0 m 0
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31
相当于第一 类边界条件
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32
2021/1/14
任意时刻平板 内温度均匀
33
书中的诺谟图仅适用一维平板第一类边界条件下的加热及冷却
过程以及具有恒温介质的第三类边界条件，并且Fo>0.2
Q0
cV (t0 t )
0
τ时刻的平均 过余温度
当Fo>0.2时，正规状况阶段温度场与导热量的计算式可统一表示为：
( , 0
)
A exp(
12 Fo)
f
( 1 )
Q Q0
1
A exp(12Fo)B
其中，A、B、f(μ1η)的表达示见表3-1。
2021/1/14
30
传热学第3章-非稳态导热分析解法
传热学第3章-⾮稳态导热分析解法第三章⾮稳态导热分析解法1、重点内容：①⾮稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应⽤；③⼀维及⼆维⾮稳态导热问题。
2、掌握内容：①确定瞬时温度场的⽅法；②确定在⼀时间间隔内物体所传导热量的计算⽅法。
3、了解内容：⽆限⼤物体⾮稳态导热的基本特点。
许多⼯程问题需要确定：物体内部温度场随时间的变化，或确定其内部温度达某⼀极限值所需的时间。
如：机器启动、变动⼯况时，急剧的温度变化会使部件因热应⼒⽽破坏。
因此，应确定其内部的瞬时温度场。
钢制⼯件的热处理是⼀个典型的⾮稳态导热过程，掌握⼯件中温度变化的速率是控制⼯件热处理质量的重要因素；⾦属在加热炉内加热时，要确定它在炉内停留的时间，以保证达到规定的中⼼温度。
§3—1 ⾮稳态导热的基本概念⼀、⾮稳态导热1、定义：物体的温度随时间⽽变化的导热过程称⾮稳态导热。
2、分类：根据物体内温度随时间⽽变化的特征不同分：1）物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定值，即：const t =↑τ2）物体的温度随时间⽽作周期性变化1）物体的温度随时间⽽趋于恒定值如图3-1所⽰，设⼀平壁，初值温度t 0，令其左侧的表⾯温度突然升⾼到1t 并保持不变，⽽右侧仍与温度为0t 的空⽓接触，试分析物体的温度场的变化过程。
⾸先，物体与⾼温表⾯靠近部分的温度很快上升，⽽其余部分仍保持原来的t 0 。
如图中曲线HBD ，随时间的推移，由于物体导热温度变化波及范围扩⼤，到某⼀时间后，右侧表⾯温度也逐渐升⾼，如图中曲线HCD 、HE 、HF 。
最后，当时间达到⼀定值后，温度分布保持恒定，如图中曲线HG （若λ=const ，则HG 是直线）。
由此可见，上述⾮稳态导热过程中，存在着右侧⾯参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第⼀阶段（右侧⾯不参与换热）温度分布显现出部分为⾮稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受t 分布的影响较⼤，此阶段称⾮正规状况阶段。
传热学第3章非稳态导热
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
§3-4 半无限大的物体
半无限大物体的概念
• 第一类边界条件： • 第二类边界条件： • 第三类边界条件：
•* - 31 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
问题的解：
•
误差函数 无量纲变量
• 第一类边界：
• 第二类边界：
• ● 非周期性（瞬态导热）：物体的温度随时间的推移逐渐趋于恒定。
• 3、工程上几种典型非稳态导热过程温度变化率的数量级
•* - 2 -
•第3章 非稳态导热——§3-1 非稳态导热的基本概念
着重讨论瞬态非稳态导热
• 4、温度分布：
•t
• 开始的一段时间，物体内部温度变化一层
层逐渐深入到内部，温度变化速度不一样，反映 到吸热量上，吸热量不一样。
• 此时x处的温度可认为完全不变，因而可以把
视为惰性时间。
•
当
时x处的温度可以认为等于t0。
•对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的 初始阶段，那在惰性时间以内。
•* - 35 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
即任一点的热流通量： 令 即得边界面上的热流通量
• 第三类边界：
•* - 32 -
•第3章 非稳态导热——§3-4半无限大的物体
• 误差函数：
• 无量纲 坐标
• 说明：(1) 无量纲温度仅与无量纲坐标 有关
•
(2) 一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间无论 x 有多么
大，
•
该处总能感受到温度的化。？
•
(3) 但解释Fo, a 时，仍说热量是以一定速度传播的，这是因为，
传热学第三章-非稳态导热-3
等温层：当深度足够大时，温度波振幅的衰减可以忽略 不计，这种深度下的地温可以认为常年不变，称为等温 层。
2）温度波的延迟，用 表示延迟时间
相位角 角速度
x
aT
2
1x 2
T
a
T
3）周期性变化的热流波
热流能量：
qw,z
x
w,
代入式（13），并令 x=0，得
x
w,
Aw
cos 2 sin 2
热流影响的范围
12a 3.46 a
工程实际中，若物体本身的厚度 L ( ) ，则可认为
该物体为半无限大物体。
从式5 当x 0时 因ierfc0 1
则有 0, 2qw a 1 2qw a
即
qw
t
x0 a
t0
tw t0
1.13 a
（6）
2）初始温度为t，而壁面温度保持tw （常壁 温）条件下的非稳态导热情况
h 2 a 2
erf c
2
x
a
h
a
（12）
例2：地下埋管问题
泥土初始温度为20℃，60天内常表面温度为15℃，
为避免结冰， 求最小埋没深度。设土壤物性300K ，
2050 Kg m3 , 0.52W m K ,
c 1.84 KJ Kg K , a 0.138106 m2 s
分析: 该情况相当于初始温度为t0， 而壁面温度保持在tw的 半无限大物体的非稳态导热情况， 在表面温度改变60天后
r, x,t r, z
r, z
0
0 无限长柱
0 平壁
（2）
即，它的二维解可表示为厚度为 2 的平壁和半径为 r 的无限长圆柱体的一维解的乘积。于是，利用海斯
《传热学》第3章_非稳态热传导分析
《传热学》第3章_非稳态热传导分析非稳态热传导分析是传热学中一个重要的研究内容。
在真实的物理系统中，尤其是工程实际中，非稳态热传导过程往往更为常见。
非稳态热传导分析主要研究物体内部温度分布随时间的变化规律，以及热传导过程中的能量交换。
本文将重点介绍非稳态热传导分析的基本原理和方法。
非稳态热传导分析需要考虑时间因素以及物质的热传导性质。
在非稳态热传导过程中，物体内部的温度分布随时间的变化满足热传导方程。
传热方程的一般形式为：∂(ρcT)/∂t=k∇²T+Q其中ρ是物质密度，c是比热容，T是温度，k是热传导系数，∇²是拉普拉斯算子，Q是热源项，即热传导过程中的能量增减。
解决非稳态热传导分析的一般步骤如下：1.建立热传导方程。
根据实际情况，确定适当的坐标系，并根据系统的几何形状和边界条件，建立热传导方程。
2.确定边界条件。
边界条件包括物体表面的温度、热通量以及对流边界等。
根据具体情况，选择适当的边界条件。
3.选择合适的数值方法。
非稳态热传导问题通常需要借助数值方法进行求解。
有限差分法、有限元法、迭代法等都可以应用于非稳态热传导分析，具体选择哪种方法需要根据具体问题的特点进行判断。
4.数值求解。
根据使用的数值方法，将热传导方程离散化，并进行数值求解。
通常需要在计算过程中进行迭代，直到得到满足要求的结果。
5.结果分析和验证。
得到物体内部温度随时间的变化规律后，可以通过实验进行验证。
比较模拟结果与实验结果，判断模拟的准确性。
非稳态热传导分析的典型应用包括热处理过程中的温度变化分析、电子元器件的散热分析、建筑物内部温度分布分析等。
通过对非稳态热传导问题的分析，可以更好地理解和控制物体内部温度分布的变化规律，为实际工程提供指导。
然而，非稳态热传导分析也存在一些挑战和限制。
首先，非稳态热传导分析通常需要考虑物质性质的非线性以及边界条件的复杂性，这增加了问题的难度。
其次，非稳态热传导问题的求解往往需要较长的计算时间和大量的计算资源。
《传热学》第三章 非稳态导热
令：
—— 过余温度
使导热微分方程边界条件齐次化：
1.分离变量法求解导热微分方程：
对于此类偏微分方程，应采用分离变量法来进行求解： 假定：
代入导热微分方程，得出：
令：
并对两式分别求解
求解结果： 因φ 不可能是无限大或常数，所以只能有：μ <0，因而可令：
求解结果：
将两个求解结果合并，得到：
其中：
A c1c2 , B c1c3
集总热容体的温度分布：
其中：
L
V ——定型尺寸 A
cV
hA
——时间常数（表示物体温度接近流体温度的快慢）
集总热容体的温度分布亦可写成：
四、不同加热方式下的无限大平壁瞬态导热
t
qv
h, t f
h, t f
qw
qw
h, t f
h, t f
x
第三节 半无限大物体的瞬态导热
应用领域：大地 一、第一类边界条件
半无限大物体表面温度：
半无限大物体表热负荷：
——一定时间内将壁温提高至tw所需的热负荷
第四节 其他形状物体的瞬态导热
一、无限长圆柱体和球体——计算线图法 分无 布限 计长 算圆 步柱 骤温 度
计算Bi和Fo
由图3－13计算中心温度
由图3－14计算任意处温度 无限大平壁—— 半壁厚δ
定型尺寸
无限长圆柱体和球体—— 半径 R 其他不规则形状物体——V/A
或：
傅立叶准则——
二、正常情况阶段——Fo准则对温度分布的影响
对
进行收敛性分析： 随着β n的递增，级数中指数一项收敛很快，所以级数收敛很快，尤其当Fo较 大时，收敛性更加明显。 因此，当Fo>0.2时，仅用级数第一项来描述，已足够精确，即：
传热学第三章-非稳态导热-(1)
11
ln(/0)
Fo > 0.2时，任一点过余温度与
中心过余温度m之比为
正规状况阶段
x/=0
(x, ) m ( )
cos(1
)
x
（e）
x/=1
Fo
0.2
即：比值与无关，仅与几何位置(x/)及边界条件(Bi数) 有关。这表明初始条件的影响已经消失，无论初始分布 如何，无量纲温度都是一样的。此时非稳态导热已进入 正规状态或充分发展阶段。
将无穷个解叠加，得：
(x, ) ean2 [ An cos(n x)] n1
An可利用初始条件 0, 求t0-t取 0
An
0
n
2sin( n ) sin( )n cos(n )
7
于是，得到解的最后形式为：
(x,
)
0
n 1
n
2sin( n ) sin( n ) cos(n
)
cos(n x) exp(an2
1 0
这里:
1 V
V (t t )dV
是 时刻物体的平均过余温度。 9
3-3-2 非稳态导热的正规状况阶段
当Fo > 0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于1%，故 当Fo > 0.2时,由:
(x, 0
)
n 1
n
2sin(n ) sin n cos n
cos(n
x
) exp(
a 2
n2 )
围环境温度，所以 D 必须为负值，否则物体温度将无
穷增大。
令
D 2
则有
1 aT
dd以T 及 2
《传热学》第3章-非稳态导热
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
在第一类边界条件（初始温度均匀）或第三类边界条件（表面 传热系数h为常数）下的二维或三维的非稳态导热问题，在数学 上已经证明，它们的无量纲过余温度的解等于构成这些物体的 两个或三个物体在同样边界条件下一维非稳态导热问题解的连 乘。
特殊多维非稳态导热的简易求解方法
对于无限长方柱 θ (x, y,τ ) = θ (x,τ ) ⋅ θ (y,τ )
该问题的解可以由3块相应的无限大平板的 解得出。最低温度发生在钢锭的中心，即3 筷无限大平板中心截面的交点上，最高温度 发生在钢锭的顶角，即3块大平板表面的公 共点上。
4
例题3 θ
m/B则θi x0钢==锭hλδ(1θ中=m心3/ 4θ温840×0度).05x.2⋅5(θ=
2.14
m/θ 0
)
y
⋅ (θ
无限大平板的非稳态导热
当Fo ≥ 0.2时，可取
θ (x,τ )
θ0
=
β1
2 sin β1 + sin β1 cos β1
cos
β
1
x δ
e − β12 ⋅Fo
只与Bi、x/δ有关， 与时间无关
lnθ
=
−mτ
+ lnθ 0
β1
2sin β1 + sinτ β1 cos β1
cos
= 0.36
短圆柱的中心温度为
查图3-6得 θ
再讨论直径为
m2R/θ=600=0m0m.8的无θ限m长/ θ圆0柱=：0.13
×
0.8
=
0.104
Bi = hR = 232 × 0.3 = 1.72 λ 40.5
tm = 0.104θ0 + t∞ 查附=2图0.11得04θ×m(3/θ00−=103.0103) +1300
传热学(第四版)第三章：非稳态热传导
方程求解
dt cV hA t t d
一阶非齐次方程
0时，t =t0
令： t t — 过余温度，则有
d -hA Vc d 0时， t t 0 0
一阶齐次方程
方程式改写为：
d hA d Vc
3 拟合线1: t 12.7 79.4 exp 79.4 0.216 3 拟合线2 : t 11.1 80.0 exp 80.0 第三章 非稳态导热 1.252
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。 如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大）， 那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快。 对于测温的热电偶节点，时间常数越小、说明热电偶对 流体温度变化的响应越快。这是测温技术所需要的。
Q Q＝ Q 0 Q0
3.2 正规热状况的实用计算方法－近似拟合公式法（了解） 对上述公式中的A，B，μ 1，J0 可用下式拟合
b 1 (a ) Bi
2 1
A a b( 1 e cBi ) a cBi B 1 bBi J 0 ( x ) a` b` x c` x 2 d` x 3
第三章 非稳态导热 11
讨论4：零维问题（集中参数法）的应用条件 理论上，集中参数法是在Bi->0的条件下提出的。 在实际应用中，可以适当放宽适用条件： h(V A) Bi 0.1 (V/A)是物体的特征长度
对厚为2δ 的
无限大平板
对半径为R 的无限长 圆柱 对半径为R 的球
V A A A V R2 R A 2 R 2 4 R3 R V 3 2 A 4 R 3
传热学3-33.3 典型一维物体非稳态导热的分析解
数值计算表明，Fo>0.2后，略去无穷级数中的第二项及以 后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于 1%。
以平板为例进行分析
θ
( x,τ θ0
)
=
μ1
+
2 sin μ1 sin μ1 cos
μ1
cos(
μ1
e x ) −μ12F0
δ
e θm (τ ) = θ (0,τ ) =
传热学 第三章 非稳态导热
东北电力大学 柏静儒
1
毕渥数 Bi 对温度分布的影响
分析：设有一块金属平板 2δ,λ，a，фV=0，h， 初始温度t0,突置于流体t∞中，且t∞ < t0。
Bi → 0
Bi → ∞
Bi →0 (1)
t
τ=0 τ1
t0
τ2 τ3
t∞ -δ
t∞ 0 δx
9内部导热热阻
趋于零；
2 sin μ1
− μ12 F0
θ0
θ0
μ1 + sin μ1 cos μ1
θ (x,τ ) θm (τ )
=
θ (x,τ ) /θ0 θ m (τ ) / θ0
=
co
s(
μ1
x
δ
)
平板中心处 过余温度
与时间无关， 只取决于边界条件
2. 正规状况阶段三个分析解的简化表达式
平板；
θ (x / δ ,τ ) θ0
∂θ ∂τ
=
a
∂ 2θ
∂x 2
(0 ≤ x < δ , τ > 0)
t τ=0
I.C τ = 0 θ = θ 0 (0 ≤ x ≤ δ )
传热学课件-第3章-非稳态导热分析解法精选全文
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的 无限大平板
M 1
对半径为R的无 限长圆柱
M
1 2
对半径为R的 球
M 1 3
V A
AA
V R2 R
A 2R 2
V A
4 R3
3
4R 2
R 3
Biv Bi
Biv
Bi 2
Biv
Bi 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将
修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
由此可见，上述两个热阻的 相对大小对于物体中非稳态导热 的温度场的变化具有重要影响。 为此，我们引入表征这两个热阻 比值的无量纲数毕渥数。
Bi h 1h
1）毕渥数的定义：
Bi h 1h
毕渥数属特征数（准则数）。
2）Bi 物理意义： 固体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的换热热阻之比。Bi的大小
0
1
τ/τs
工程上认为= 4τc时导热体已达到热平衡状态
3 Bi F物o 理意义
hl l
Bi ＝
物体内部导热热阻
1 h 物体表面对流换热热阻
换热时间
Fo l2 a 边界热扰动扩散到l2面积上所需的时间
无量纲 热阻
无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点地温度就越接近周围介质的温度。
t(x, ) t — 过余温度
2
a
x2
0, t -t
0
0
x 0, 0
x , - x h x
采用分离变量法求解：
(, 0
)
n 1
Cn
exp(n2Fo) cos(n)
传热学-第三章
无量纲数
当Bi→∞时，⇒rλ>>rh ；因此，可以忽略对流换热热阻 当Bi→0 时，⇒rλ<<rh；因此，可以忽略导热热阻
(4) 无量纲数的简要介绍 基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很 多，为了减少问题所涉及的参数，将一些参数组合起来， 使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且 没有量纲。 因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则 数，比如，毕渥数又称毕渥准则。以后会陆续遇到许多类 似的准则数。特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一 般用符号 l 表示。 对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以 及定义式中各个参数的含义。
着重讨论瞬态非稳态导热
3. 温度分布：
4. 两个不同的阶段
非正规状况阶段 (不规则情况阶段) 正规状况阶段 (正常情况阶段) 温度分布主要受初始温度 分布控制 温度分布主要取决于边界 条件及物性
非稳态导热过程总会经历：非稳态导热非正规状况阶段 （起始阶段）、正规状况阶段、新的稳态
5. 热量变化
可以采用集总参数法。时间常数为
13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 −3 = = 148 τc = hA 11.63
ρcV
s
⎛ hA ⎞ 11.63 × 5 × 60 θ ⎛ ⎞ = exp⎜ − ⎟ ⎜ ρcV ⋅ τ ⎟ = exp⎜ − ⎟ −3 θ0 ⎝ 13110 × 0.138 × 1000 × 0.953 × 10 ⎠ ⎝ ⎠ = exp(− 2.02 ) = 0.133
5. 集总参数法的应用条件
对于平板、圆柱及圆球，如果Bi满足如下条件，则 物体中各点过余温度的差别小于5%
Bi v =
对厚为2δ的 无限大平板 对半径为R的 无限长圆柱 对半径为R的 球
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第三阶段 建立新的稳态阶段， 理论上需要无限长
t
H
1
时间
物体各处的温度达
t
0
G
F A B E C D
到新的稳态
两类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的 三个不同阶段，而周期性导热不存在。
5 热量变化
Φ 1－－板左侧导入的热流量 Φ 2－－板右侧导出的热流量
各阶段热流量的特征： 不规则情况阶段段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变；
物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值
着重讨论瞬态非稳态导热。
非稳态导热过程中在热量传递方向上不
同位臵处的导热量是不同的；
不同位臵间导热量的差别用于（或来自）
该两个位臵间内能随时间的变化，这是 区别与稳态导热的一个特点。
对非稳态导热一般不能用热阻的方法来
作问题的定量分析。
3 温度分布
h Bi 1h
（3） / 与 1/ h 的数值比较接近
平板中不同时刻的温度分布
介于上述两种极端情况之间。 两个热阻的相对大小对于物体
中非稳态导热的温度场的变化 具有重要影响。 引入表征这两个热阻比值的无 量纲数毕渥数。 Bi h
1h
近似分析法
a
L2
exp Bi Fo 0
0
exp Bi Fo 0
Bi Fo
应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化 关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的 对数与时间的关系是一条负斜率直线
3.2.2 导热量计算式、时间常数与傅立叶数
1、导热量计算
hA Vc 0
Q Φ ( )d (t0 t ) hAe
0
d
＝(t0 t ) cV （ 1 e
hA Vc
） J
当物体被加热时(t<t)，计算式相同。
2、时间常数 方程中指数的量纲：
t t e 0 t0 t
hA Vc
没有考虑两端
M 1 1 M 2 1 M 3
V A A A V R 2 L R A 2RL 2 4 3 R V 3 R A 4R 2 3
Biv Bi Bi Biv 2 Bi Biv 3
对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将 修正系数M取为1/3，即 BiV 0.0333
换热时间 Fo 2 l a 边界热扰动扩散到l 2面积上所需的时间
无量纲 热阻 无量纲 时间
Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体， 各点的温度就越接近周围介质的温度。
Fo物理意义：表征非稳态过程进行深度的无量纲时间。
3.2.3 集总参数系统的适用范围
如何去判定一个任意的系统是集总参数系统 ？
控制方程 hA - Vc d d ( 0) t t 初始条件 0 0
方程式改写为：
d
hA d Vc
d
hA d Vc
积分
hA 0 d Vc
0
d
hA ln 0 Vc
第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响
t ( ) w h(tw t f ) n
在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中 的温度变化特征与边界条件参数的关系。 已知：平板厚2、初温t0、表面传热系数h、平板导 热系数，将其突然臵于温度为t∞的流体中冷却。
平板中温度场的变化会出现以下三种情形：
3.2
零维问题的分析法－集总参数法
定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均 匀一致的分析方法。
Bi
h 1h
此时，Bi 0 ，温度分布只与时间有关，
即
t f ( ) ，与空间位臵无关。
因此，也称为零维问题。
工程上把Bi﹤0.1作为该情况的判据
集总参数法的简化分析
h 如果物体的导热系数很大， Bi 1h 或几何尺寸很小，
hA
Vc
Vc
hA
时间常数反映了系统处于一定的环境中所表现出
来的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有
关，还与环境的换热情况相关。
同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体
在不同的环境下时间常数也是不相同。
如果导热体的热容量（ cV ）小、换热条件好 （hA大），那么单位时间所传递的热量大、导热 体的温度变化快，时间常数 ( Vc / hA) 小
2
t t e 0 t0 t
hA Vc
其中的指数：
hA hV A 2 cV A V c h(V A) a Bi Fo 2 (V A)
Bi Fo hL
过余温度 比 傅立叶数
温度呈指数 分布
V 特征长度 lc A
普拉斯变换
近似分析法：
集总参数法、积分法
数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有
限元法、分子动力学模拟
无量纲特征数（准则数） -毕渥数
hl lh / 物体内部导热热阻 Bi 1）定义： Bi 1/ h 物体表面换热热阻 1h
V
2）Bi 物理意义： 物体内部单位导热面积上的导 热热阻与单位表面积上的对流换热热阻之比。 Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场 的分布规律。 3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过 程特征的无量纲数。 4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。
瞬时热流量
hA hA cV dt ( ) cV cV t0 t e
t t e 0 t0 t
d
hA Vc
cV
hA t0 t hAe cV
导热体在时间
0－ 内传给流体的总热量：
W 2 m 2 hA W 1 m K Vc J s kg J 3 3 Kkg [m ] m
1 即与 的量纲相同
hA 若 =1 hA Vc
Vc
e 1 36.8% 0
上式表明：当传热时间等于 时，物体的过余 hA Vc 温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称 为时间常数，也称弛豫时间，用 c 表示。
t ( x, y, z,0) f ( x, y, z)
简单特例 f(x,y,z)=t0
边界条件：着重讨论第三类边界条件
t ( ) w h(tw t f ) n
学习非稳态导热的目的：
(1) 温度分布和热流量分布随时间和空间的变 化规律
t f ( x, y, z, ) ;
Φ f( )
h Bi 1h
（1） 1/ h /
表面对流换热热阻几乎 可以忽略，因而过程一开 始平板的表面温度就被冷 却到t∞ 随着时间的推移，整体 地下降，逐渐趋近于一致
1/ h
t
Bi
1 h
（2） / 1/ h
平板内部导热热阻 / 几乎可以忽略，因而任一 时刻平板中各点的温度接 近均匀， 随着时间的推移，整体 地下降，逐渐趋近于t∞
自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f()
冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；
锅炉、内燃机等装臵起动、停机、变工况；
自然环境温度；
供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。
2
非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期 性的变化 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随 时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程）， 在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介 质温度，最终达到热平衡。
Bi
hl
0.1
特征长度
特征长度的取值
l , 厚度为2的平板 l R, 圆柱 l R，球
工程计算中，物体中各点过余温度的差别小于5%
h( V A )
Biv
0.1M
是与物体几何形状 有关的无量纲常数
对厚为2δ的
无限大平板 对半径为R的无 限长圆柱 对半径为R的 球
h, t
数学模型建立
利用两种方法
根据导热微分方程的一般形式进行简化； 利用能量守恒
热平衡关系：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通
过表面与外界交换的热流量φ 。
方法一
导热微分方程：
qv t 2 a t＋ c
物体内部导热热阻很小，忽略不计。 物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是 τ的一元函数，与坐标x、y、z无关，即: 2t 2t 2t 2 2 2 0 x y z
A
qv t 2 a t＋ c
dt qv d c
ΔΕ
ρ , c, V, t0
φ
qv可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界 （零维无任何边界） 界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：
h, t
qvV Aht t
物体被冷却，φ应为负值
dt cV Ah(t t ) d
必须用无穷级数描述。
第二阶段
正常情况阶段(右侧参与换热 ) 当右侧面参与换热以后，物
体中温度分布不受初始温度的
影响，主要取决于边界条件及 物性，此时非稳态导热过程进 入到正规状况阶段。 环境的热影响已经扩展到整
t
0
t
H
1
G
F A B E C D
个物体内部，即物体（或系统
）不再受到初始温度分布影响 的阶段。可以用初等函数描述
或表面换热系数极低， 其导热问题都可能属于这一类型的非稳态导