振动力学单自由度系统自由振动

tg 1
x00
x0
2020年8月5日 8
《振动力学》
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t)
x0
cos(0t
)
x0
0
sin( 0t)
Asin( 0t )
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 0
为振动频率的简谐振动，并且永无休止
x
T 2 / 0
初始条件的说明：
初始条件是外界能量转入的一 x0
2020年8月5日 15
《振动力学》
单自由度系统自由振动
解：
取平衡位置 以梁承受重物时的静平 衡位置为坐标原点建立 坐标系
静变形 由材料力学 ： mgl 3
48 EJ
m h
l/2
0
l/2
x
自由振动频率为 ： 0
g
48 EJ ml 3
2020年8月5日 《振动力学》
静平衡位置
16
单自由度系统自由振动
mx mg k( x)
在静平衡位置： mg k
固有振动或自由振动微分方程 ：
mx kx 0
2020年8月5日 《振动力学》
动画1
弹簧原长位置
m
0
静平衡位置
k
x
k
m
弹簧原长位置
0
静平衡位置
x
3
单自由度系统自由振动
固有振动或自由振动微分方程 ： mx kx 0
令 ： 0
k m
固有频率
则有 ： x 02 x 0
单自由度系统自由振动
单自由度系统自由振动
教学内容
• 无阻尼自由振动 • 能量法 • 瑞利法 • 等效质量和等效刚度 • 阻尼自由振动 • 等效粘性阻尼
2020年8月5日 2
《振动力学》
单自由度系统自由振动
• 无阻尼自由振动
令 x 为位移，以质量块的静平衡位置 为坐标原点，λ为静变形
当系统受到初始扰动时，由牛顿第 二定律，得：
x 02x 0
0
k m
x(t) c1 cos(0t) c2 sin( 0t) Asin( 0t )
A c12 c22
tg 1 c1
c2
x
T 2 / 0
A
0
0
t
动画2
2020年8月5日 5
《振动力学》
单自由度系统自由振动
mx kx 0
x 02x 0
0
k m
x(t) c1 cos(0t) c2 sin( 0t) Asin( 0t )
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
m
x0
h
x0 2gh
则自由振动振幅为 ：
l/2
0
l/2
静平衡位置
A
x0 2
x0
0
2
2 2h
x
梁的最大扰度：
2020年8月5日 《振动力学》
max A
x(t)
x0
cos(0t)
x0
0
式计算是较为方便的
2020年8月5日 11
《振动力学》
单自由度系统自由振动
例： 提升机系统
重物重 量 W 1.47105 N
钢丝绳的弹簧刚度 k 5.78104 N / cm
重物以 v 15m/ min 的速度均匀下降
v W
求：绳的上端突然被卡住时， （1）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力
x(t) c1 cos(0t) c2 sin( 0t) Asin( 0t )
设 t 的初始位移和初始速度为：
x( ) x
x( ) x
令：
c1 b1 cos(0 ) b2 sin(0 ) c2 b1 sin(0 ) b2 cos(0 )
有 ： x(t) b1 cos0 (t ) b2 sin 0 (t )
2020年8月5日 12
《振动力学》
单自由度系统自由振动
解：
振动频率
0
gk 19.6rad / s W
重物匀速下降时处于静平衡位 置，若将坐标原点取在绳被卡 住瞬时重物所在位置
v
k
则 t=0 时，有：x0 0 x0 v
静平衡位置
W
W
振动解：
x(t)
v
0
s in(0t )
1.28
sin(19.6t)
(cm)
x
2020年8月5日 《振动力学》
x(t)
x0
cos(0t)
x0
0
sin(
0t
)
13
单自由度系统自由振动
振动解：
x(t)
v
0
s in(0t )
1.28
sin(19.6t)
( cm)
v
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起
的动张力之和 ：
Tmax Ts kA W kA
1.47 105 0.74105
A c12 c22
tg 1 c1
c2
0： 系统固有的数值特征，与系统是否正在振动着以及如 何进行振动的方式都毫无关系
A,：不是系统的固有属性的数字特征，与系统过去所受到
过的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关
2020年8月5日 6
《振动力学》
单自由度系统自由振动
考虑系统在初始扰动下的自由振动
2020年8月5日
b1 x
b2
x
0
7
《振动力学》
单自由度系统自由振动
时刻以后的自由振动解为：
xt
x
cos0 t
x
0
sin 0 t
零时刻的初始条件：
x(0) x0
x(0) x0
零初始条件下的自由振动：
x(t)
x0
cos(0t)x0源自0sin( 0t)
Asin( 0t )
A
x0 2
x0
0
2
单位：弧度/秒（rad/s）
通解 ： x(t) c1 cos(0t) c2 sin( 0t) Asin( 0t )
c1, c2： 任意常数，由初始条件决定
振幅 ： A c12 c22
初相位 ： tg 1 c1
c2
2020年8月5日 4
《振动力学》
单自由度系统自由振动
mx kx 0
A
种方式，有初始位移即转入了
0
t
弹性势能，有初始速度即转入
0
了动能
2020年8月5日 9
《振动力学》
单自由度系统自由振动
零初始条件下的自由振动：
x(t)
x0
cos(0t
)
x0
0
sin( 0t)
Asin( 0t )
无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 0
为振动频率的简谐振动，并且永无休止
W
2.21105 (N ) 动张力几乎是静张力的一半
由于 kA k v v km 0
为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度
2020年8月5日 14
《振动力学》
单自由度系统自由振动
例： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞
梁长 L，抗弯刚度 EJ
m h
l/2
0
l/2
求： 梁的自由振动频率和最大挠度
初始条件：
x0 2, x0 0
固有频率从左到右：
0, 20, 30
2020年8月5日 《振动力学》
位置
时间
10
单自由度系统自由振动
固有频率计算的另一种方式：
mx kx 0
0
k m
在静平衡位置： mg k
则有：
0
k m
g
m
k
弹簧原长位置
0
静平衡位置
x
对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 ，则用该