2002年高考试题——数学理(全国卷)

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共60分）试卷类型：A参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 )sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 33=的距离是A ．21 B ．23 C ．1D ．32．复数3)2321(i +的值是A ．－iB ．iC ．－1D ．13．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．}10|{-≠<x x x 且C ．{11|<<-x x }D ．}11|{-≠<x x x 且4．在（π2,0）内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为A ．)45,()2,4(ππππ B ．),4(ππC ．)45,4(ππD ．)23,45(),4(ππππ 5．设集合M=},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则A ．M =NB ．N M ⊂C ．N M ⊃D ．=N M øS 台侧=l c c )(21+'其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球的体积公式334R V π=球其中R 表示球的半径6．点P （1，0）到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为A ．0B ．1C ．2D ．27．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个圆锥轴截面顶角的余弦值是A ．43B ．54 C ．53 D ．53-8．正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°9．函数)),0[(2+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是A ．b ≥0B ．b ≤0C ．b>0D ．b<010．函数111--=x y 的图象是 A B C D11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种 12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.”如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为A ．115 000亿元B ．120 000亿元C ．127 000亿元D ．135 000亿元第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．函数x a y =在[0，1]的最大值与最小值的和为3，则a = .14．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k = . 15．72)2)(1(-+x x 的展开式中x 3项的系数是 .16．已知函数221)(xx x f +=那么=++++++)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知απαααααsin ).2,0(,12cos cos 2sin 2sin 2求∈=-+、αtg 的值.18．（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直. 点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=)20(<<a a .（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；（Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小. 19．（本小题满分12分） 设点P 到点M （－１，0）、N （1，0）距离之差为2m ， 到x 轴、y 轴距离之比为2.求m 的取值范围.20．（本小题满分12分）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 21．（本小题满分12分） 设a 为实数，函数.,1||)(2R x a x x x f ∈+-+= （Ⅰ）讨论)(x f 的奇偶性；（Ⅱ）求)(x f 的最小值.22．（本小题满分14分） 设数列{a n }满足,,3,2,1,121 =+-=+n na a a n n n（Ⅰ）当21=a 时，求432,,a a a ,并由此猜想出n a 的一个通项公式；（Ⅱ）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有（i ）;2+≥n a n（ii ）.2111111121≤++++++n a a a数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. A 卷选择题答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分. 1．A 2．C 3．D 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．2 14．1 15．1 008 16．27 三、解答题 17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.满分12分.解：由倍角公式，1cos 22cos ,cos sin 22sin 2-==ααααα (2)分由原式得0cos 2cos sin 2cos sin 42222=-+ααααα0)1sin sin 2(cos 222=-+⇔ααα,0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-⇔ααα (8)分)2,0(πα∈ ，.21sin ,01sin 2,0cos ,01sin 2==-∴≠≠+∴αααα即,6πα=∴.33=∴αtg ……………12分 18．本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分. 解：（Ⅰ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即MNQP 是平行四边形，∴ MN=PQ. ……………3分 由已知，CM=BN=a ，CB=AB=BE=1，∴ AC=BF=2， 21,21a BQ a CP ==即 2a BQ CP ==2222)2()21()1(a a BQ CP PQ MN +-=+-==∴)20(21)22(2<<+-=a a . (6)分 （Ⅱ）由（Ⅰ），,21)22(2+-=a MN 所以，当.22,22==MN a时即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为.22……9分（Ⅲ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵ AM=AN ，BM=BN ，G 为MN 的中点∴ AG ⊥MN ，BG ⊥MN ，∠AGB 即为二面角α的平面角， 又AG=BG=46，所以，由余弦定理有.31464621)46()46(cos 22-=⋅⋅-+=α 故所求二面角)31arccos(-=α.……………12分19．本小题主要考查直线、双曲线等基础知识，考查基本运算、逻辑推理能力.满分12分.解法一：设点P 的坐标为（x ,y ），依题设得||||x y =2， 即.0,2≠±=x x y①………2分因此，点P （x ,y ）、M （－1，0）、N （1，0）三点不共线，得,2||||||||=<-MN pN PM ,0||2||||||>=-m PN PM ,1||0<<∴m因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故.112222=--my m x②…………6分将①式代入②，并解得222251)1(m m m x --=， ……………8分,0510122>-∴>-m m 解得55||0<<m . 即m 的取值范围为).55,0()0,55( -……………12分解法二：设点P 的坐标为（x ,y ），依题设得2||||=x y ，即0,2≠±=x x y . ①…………2分 由|PM|－|PN|=2m ，得 ,2)1()1(2222m y x y x =+--++ ②…………4分由②式可得,2)1()1(42222m y x y x x=+-+++所以，0||,21||2||2||≠=<m y x m 且.……………6分由②式移项，两边平方整理得.)1(222m x y x m -=+- 将①式代入，整理得)1()51(2222m m x m -=-.③…………8分且,02>x③式右端大于0，0512>-∴m .综上，得m 满足.55||0<<m即m 的取值范围为).55,0()0,55( - ……………12分20．本小题主要考查为数列、数列的极限等基础知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.满分12分.解：设2001年末汽车保有量为b 1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b 2万辆，b 3万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则.94.0,30121x b b b +⨯== (2)分对于n >1，有 ,)94.01(94.094.0211x b x b b n n n ++⨯=+⨯=-+x b x b b nnn n n 06.094.0194.0)94.094.01(94.01111-+⨯=++++⨯=∴-+.94.0)06.030(06.0n x x ⨯-+= (6)分当.30,8.1,006.03011=≤≤≤≤≥-+b b b x xn n 时即 (8)分当,06.0]94.0)06.030(06.0[lim lim ,8.1,006.0301x x x b x x n n n n =⨯-+=><--∞→∞→时即并且数列{b n }逐项增加，可以任意靠近06.0x. ……………10分因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即),3,2,1(60 =≤n b n .则6.3,6006.0≤≤x x即（万辆）.综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.………12分 21．本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查分类讨论的思想和逻辑思维能力.满分12分. 解：（Ⅰ）当)(),(1||)()(,02x f x f x x x f a 此时函数时=+-+-=-=为偶函数. (2)分当,1||2)(,1)(,022++=-+=≠a a a f a a f a 时)()(),()(a f a f a f a f -≠-≠-.此时函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数. (4)分（Ⅱ）（i ）当.43)21(1)(,22++-=++-=≤a x a x x x f a x 函数时 若],()(,21a x f a -∞≤在则函数上单调递减，从而，函数],()(a x f -∞在上的最小值为.1)(2+=a a f若21>a ，则函数],()(a x f -∞在上的最小值为).()21(,43)21(a f f a f ≤+=且………7分（ii ）当a x ≥时，函数.43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f若).()21(,43)21(),[)(,21a f f a f a x f a ≤--=-+∞-≤且上的最小值为在则函数若.1)(),[)(,,),[)(,212+=+∞+∞->a a f a x f a x f a 上的最小值为在函数从而上单调递增在则函数……………10分综上，当.43)(,21a x f a --≤的最小值是函数时当.1)(,21212+≤<-a x f a 的最小值是函数时当.43)(,21+>a x f a 的最小值是函数时 ……………12分22．本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力.满分14分. 解：（Ⅰ）由,412,3,31,22223212121=+-===+-==a a a a a a a a 得由得由.513,432343=+-==a a a a 得由此猜想n a 的一个通项公式：)1(1≥+=x n a n ………4分（Ⅱ）（i ）用数学归纳法证明： ①当213,11+=≥=a n ，不等式成立. (6)分②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么,31)2)(2(1)(1+≥+-++≥+-=+k k k k k a a a k k k也就是说，当.2)1(11++≥+=+k a k n k 时根据①和②，对于所有.2,1+≥≥n a n n 有……………10分（ii ）由及1)(1+-=+n a a a n n n （i ），对1)1(,211++-=≥--k a a a k k k k 有,121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a.1)1(2122211211-+=++++≥∴---a a a k k k k……………12分于是.2,21111111≥⋅+≤+-k a a k k∑∑∑===--=+≤+≤+=+++≤+nk n k n k k k ka a a a a 121111111.2131212211121111111……14分。