2002年高考试题——数学理(全国卷)

2002年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工农医类）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

试卷类型：A

参考公式：

三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式 )sin()[sin(2

1

cos sin βαβαβα-++=

)]sin()[sin(2

1

sin cos βαβαβα--+=

)]cos()[cos(2

1

cos cos βαβαβα-++=

)]cos()[cos(2

1

sin sin βαβαβα--+-=

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 1．圆1)1(22=+-y x 的圆心到直线x y 3

3

=

的距离是

A ．

2

1 B ．

2

3 C ．1

D ．3

2．复数3

)2

321(i +的值是

A ．－i

B ．i

C ．－1

D ．1

3．不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是 A ．}10|{<≤x x B ．}10|{-≠

C ．{11|<<-x x }

D ．}11|{-≠

4．在（π2,0）内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为

A ．)45,()2,4(

πππ

π B ．),4(ππ

C ．)45,4(ππ

D ．)2

3,45(),4(π

πππ 5．设集合M=},2

1

4|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则

A ．M =N

B ．N M ⊂

C ．N M ⊃

D ．=N M ø

S 台侧=l c c )(2

1+'

其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长 球的体积公式

33

4

R V π=球

其中R 表示球的半径

6．点P （1，0）到曲线⎩⎨⎧==t

y t x 22

（其中参数t ∈R ）上的点的最短距离为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．2

7．一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这个

圆锥轴截面顶角的余弦值是

A ．

4

3

B ．

5

4 C ．

5

3 D ．5

3-

8．正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线

E 1D 与BC 1所成的角是 A ．90° B ．60°

C ．45°

D ．30°

9．函数)),0[(2+∞∈++=x c bx x y 是单调函数的充要条件是

A ．b ≥0

B ．b ≤0

C ．b>0

D ．b<0

10．函数1

1

1--

=x y 的图象是 A B C D

11．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 A ．8种 B ．12种 C ．16种 D ．20种 12．据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：

“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%.”如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为

A ．115 000亿元

B ．120 000亿元

C ．127 000亿元

D ．135 000亿元

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．函数

x a y =在[0，1]的最大值与最小值的和为3，则a = .

14．椭圆552

2

=+ky x 的一个焦点是（0，2），那么k = . 15．7

2)2)(1(-+x x 的展开式中x 3

项的系数是 .

16．已知函数2

2

1)(x

x x f +=那么=++++++)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f .

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分

12分）

已知απ

αααααsin ).2

,

0(,12cos cos 2sin 2sin 2

求∈=-+、αtg 的值.

18．（本小题满分12分）

如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直. 点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=)20(<

（Ⅰ）求MN 的长；

（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；

（Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小. 19．（本小题满分12分） 设点P 到点M （－１，0）、N （1，0）距离之差为2m ， 到x 轴、y 轴距离之比为2.求m 的取值范围.

20．（本小题满分12分）

某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 21．（本小题满分12分） 设a 为实数，函数.,1||)(2

R x a x x x f ∈+-+= （Ⅰ）讨论)(x f 的奇偶性；

（Ⅱ）求)(x f 的最小值.

22．（本小题满分14分） 设数列{a n }满足,,3,2,1,12

1 =+-=+n na a a n n n

（Ⅰ）当21=a 时，求432,,a a a ,并由此猜想出n a 的一个通项公式；

（Ⅱ）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有