非线性电路混沌实验

图十二 四倍周期（Four times the cycle)
图十一 二倍周期 CH2-地 （Two times cycle CH2-GND)
图十八 三倍周期（Three time cycle)
图十九 三倍周期 CH1-地 （Three time cycle CH1-GND)
图二十四 双吸引子 1（Double attractor one）
一、引言 混沌实验研究起源于 1963 年美国气象学家洛伦茨（E.lorenz）研究天气预
报时用到的三个动力学方程，后来他在《确定论非周期流》一文中，给出了描述 大气湍流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科 学深入研究的序幕。混沌来自非线性，是非线性系统中存在的一种普遍现象。无 论是复杂系统，如气象系统、太阳系、还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆 因存在着内在随机性而出现类似无轨、但实际是非周期有序运动，即混沌现象。 迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以 精密元件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电 路是华裔科学家蔡少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线 性现象的经典电路。 本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借 助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律性，了解混沌同步和控制的基 本概念。 二、实验原理 1.名词解释
混沌现象：混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一 个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这 就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性 系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系 统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混 沌是无处不在的。
2.非线性电路---蔡氏电路与非线性动力学 实验电路如图 1 所示,图 1 是非线性电路系统的一种简单而又经典的电路---
蔡氏电路，它只有一个非线性电阻 R，电感器 L 和电容器 C2 组成一个损耗可以 忽略的谐振回路，可调电阻 RV 以及电容器和 C1 串联将振荡器产生的正弦信号移 相输出。其中非线性电阻 R 是一个三段分线性元件，它的伏安特性曲线如图二， 它的电流随电压增高而减小，称之为非线性负阻元件，它是核心元件，是系统产 生混沌的必要条件。
b、有源非线性负阻伏安特性原始记录表
利用 Microsoft Office Excel 对数据进行处理，根据欧姆定律 IR=UR/R 可
计算出流过电阻箱的电流 I，计入表中 I，记得换算成 SI 单位。 根据回路的 KCL 方程：在任一瞬间，流向某一结点的电流之和恒等于由该结
点流出的电流之和，即 IR1=-IR ,和 KVL 方程：在任一瞬间，沿电路中的任一回 路绕行一周，在该回路上电动势之和恒等于各电阻上的电压降之和,即 UR1=-UR ,
则电路的非线性动力学状态方程为：
C1
dUc1 dt
=G(Uc2
−Uc1 ) − gUc1
C2
dUc2 dt
= G(Uc1
−Uc2 ) + iL
L diL dt
= −U c2
�
式中，到那 G=1/RV,UC1 和 UC2 分别表示加在电容器 C1 和 C2 上的电压，iL
表示流过电感器 L 的电流，g 表示非线性电阻的导纳。则
a、因为非线性电阻是含源的，测量时不用电源。连接电路的方式为：如图 5， 断开试验仪的电源，将+15V 电源输出端与有源非线性负阻的正连接，负极与电 阻箱的一端连接，然后将电阻箱的另一端与-15V 电源输出端连接，最后在有源 非线性负阻两端并联上实验仪上的数字电压表。将电阻箱阻值调到最大，检查电 路无误后打开试验仪电源。
可知：流过有源非线性负阻的电流为-I，其两端电压为 U。
U/V
-0.013 -0.02 -0.027 -0.037 -0.05 -0.068 -0.094 -0.135 -0.21 -0.387 -1.357 -2.009 -2.356 -2.776 -3.297 -3.957
I/A
0.000043 0.00005 0.000054 0.000062 0.000071 0.000085 0.000104 0.000135 0.000191 0.000322 0.001044 0.001435 0.001571 0.001735 0.001939 0.002198
混沌现象的产生：混沌的产生是系统整体稳定性和局部不稳定性共同作用的 结果，局部的不稳定性使它具有对初值的敏感性，而整体的稳定性则使它在相空 间（又称状态空间）表现出一定的分形结构，这种结构被称为混沌吸引子。
混沌现象的基本特征：混沌的产生依赖于初始条件。随着初始条件的改变， 系统的稳定状态会从一个解逐渐分岔到两个解以至于无穷解，也即混沌。同时也 可以发现系统对于初始条件十分敏感，一点点微小变化就能引起稳定状态的极大 变化。 2) 混沌系统在整体上是稳定的，在内部的运动则是混合和随机的。从示 波器上的图可以看到，不管是单吸引子还是双吸引子，都有一个明确的边界。但 是在边界内部，图案十分复杂，不可预测。 3) 存在奇异吸引子。观察示波器的 图案可以发现，在单吸引子和双吸引子的图像中，所有的轨道似乎都有一种被某 点产生的力吸引的趋势。但是同时也可以发现，两条在某个位置相差不大的轨道 在经过一段时间后会分道扬镳，就好象轨道之间会相互排斥一般。
⎪⎩− 0.000761U.............................. ............. −1.8 ≤ U ≤ 0.0
经计算可以
得出，三段线性回归相关系数均非常接近 1（r 分别 0.99732,0.99979,0.99992），
U/V
-11.317 -11.349 -11.379 -11.408 -11.435 -11.462 -11.487 -11.511 -11.534 -11.557 -11.578 -11.598 -11.618 -11.637 -11.655 -12.489
I/A
0.003144 0.003067 0.002994 0.002925 0.002859 0.002796 0.002735 0.002677 0.002621 0.002568 0.002517 0.002468 0.00242 0.002375 0.002331 0.00041
利用这个电路，还可以观察到周期性窗口，仔细调节 R，有时原先的混沌吸 引子不是倍周期变化，却突然出现了一个三周期图像，再微调 R，又出现混沌吸 引子，这一现象称为出现了周期性窗口。
用手机等拍照工具拍照实验调节出来的一倍周期、二倍周期、四倍周期、 阵 发混沌、三倍周期、奇异吸引子、双吸引子的图像。同时在示波器 X-Y 工作状态 调出倍周期图像时，将示波器调至 X 和 Y 工作状态，分别记录在不同工作状态下 不同倍周期显示的波形。 2、测量有缘非线性电阻的伏安特性并画出伏安特性曲线
普通物理实验 C 课程论文
题 目 非线性电路混沌实验研究
学
院
专
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论文成绩
答辩成绩
物理科学与技术学院 物理学（师范）
2012 年 12 月 10 日
非线性混沌实验研究
摘要：本实验通过自己查资料，由有源非线性负阻、LC 振荡器和 RC 移相器三部分建立非线 性电路，通过测量非线性电阻的 I-U 特性曲线，了解非线性电阻，了解非线性电阻特性，从 而搭建出典型的非线性电路----蔡氏振荡电路，改变 RC 移相器中可调电阻 R 的值，通过 LC 振荡器产生的正弦波与经过 RC 移相器移相的正弦波移成的相图，观察混沌的产生，周期运 动，倍周期与分岔，点吸引子，双吸引子，双吸引子，周期窗口的物理图像，来增加对混沌 现象的认识。最后通过蔡氏电路测量有源非线性负阻元件的特性曲线。 关键词：混沌现象 非线性 蔡氏电路
3.有源非线性负阻元件的实现 有源非线性负阻元件实现的方法有多种，这里使用的是一种较简单的电路：
采用两个运算放大器(一个双运放 353LF) 和六个配置电阻来实现,其电路如图 3 所示,它的伏安特性曲线如图 2 所示。由于本实验研究的是该非线性元件对整 个电路的影响,只要知道它主要是一个负阻电路 (元件),能输出电流维持 2LC 振 荡器不断振荡,而非线性负阻元件的作用是使振动周期产生分岔和混沌等一系列 现象。
b、调节 Rv 的阻值，即可在示波器上观测到 CH1 和 CH2 所构成的相图，即李 萨如图形。首先将 Rv 调到最小值，示波器屏可观察到一条直线，调节 R，直线
变成椭圆，到某一位置，图形缩成一点。增大示波器的倍率，反向微调 R，可见 曲线做倍周期变化，曲线由一周期增为二周期，由二周期倍增至四周期，......， 直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线，这是一个单涡旋吸引子集。再细微调 节 R，单吸引子突然变成双引子，可看见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间 不断填充与跳跃，就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图像，也是一种奇怪吸 引子，它的特点是整体上的稳定性和局域上的不稳定性同时存在。
2.实验电路图 图 4 所示即为实际非线性混沌实验电路。
三、实验仪器 FD-NCE-II 非线性电路混沌实验仪，YB4325 双踪示波器，电阻箱等。
四、实验内容与步骤 1、倍周期分岔和混沌现象的观测及相图描绘
a、按照图四连接好实验电路。并将 CH1 和 CH2 接入示波器，检查电路无误 后打开电源。
这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的 I-U 曲线。可求出线性回归方程
⎧0.01962U + 0.02355184.................... .... −12.0 ≤ U ≤ −9.6 分析， I = ⎪⎨− 0.000407U + 0.00062534.................... − 9.6 ≤ U ≤ −1.8
U/V
I/A
-4.822 -6.014 -7.74 -10.542 -10.691 -10.759 -10.823 -10.939 -10.991 -11.04 -11.087 -11.13 -11.172 -11.211 -11.248 -11.283
0.00254 0.003007 0.003685 0.004792 0.004648 0.004483 0.004329 0.004051 0.003925 0.003807 0.003696 0.00359 0.003491 0.003397 0.003308 0.003224
表 1 非线性负阻伏安特性测定数据记录表（Nonlinear negative resistance volt -ampere characteristics detected data record）
根据上述表中可以发现，（-2.009,0.001435）和（-10.542,0.004792）两个实验 点是折线的拐点。故我们在
吸引子、非奇异吸引子：在系统条件一定下，无论个它什么样的初始条件， 最终都将落入到各自的终态集上，这些终态集被称为“吸引子”。 周期解的吸 引子称为非奇异吸引子，非周期解的吸引子称为奇异吸引子。
发生混沌现象的途径（来自网上资料）： 1) 倍周期分叉途径。所谓的倍周 期分叉是指一个映射的稳定周期随着参数增大而加倍的分叉现象。经过倍周期分 叉就能进入混沌。 2) 阵发性途径。所谓的阵发性途径也就是在时间域中系统不 规则行为和规则行为的随机交替现象。随着随机运动的次数增加，进入完全的混 沌状态。 3) 准周期运动分叉途径。具有两个或两个以上不可微的频率成分的 “准周期”运动，直接失稳成为奇怪吸引子而出现混沌。
R1：有源非线性负阻 图 5 非线性负阻伏安特性 测量示意图（Nonlinear negative resistance volt-ampere characteristics measuring schemes）
b、调节改变电阻的大小，记录电阻值和有有源非线性负阻两端的电压值。
尽量测多组。可以测 50 组，以便数据不会缺少。 五、实验数据记录与处理 a、倍周期分岔和混沌现象的观测结果（照片）