24.1.3 弧、弦、圆心角 导学案
九年级数学上册 24.1.3 弧.弦.圆心角 精品导学案 新人教版
圆周角课题：24.1.3弧.弦.圆心角序号:学习目标：1、知识与技能：掌握圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个量就相等，及其它们在解题中的应用2．过程与方法：通过研究圆的旋转不变性，得出了弧.弦.圆心角之间的相等关系，并学会运用这些结论解决一些有关证明。
计算和作图问题。
3、情感.态度与价值观：引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
学习重点：“弧、弦、圆心角、弦心距关系的性质学习难点：“弧、弦、圆心角、弦心距关系的性质导学过程一、课前预习：阅读课本P80---81的有关内容，完成《导学》教材导读中的问题及自主测评。
.二、课堂导学：1．情境导入.阅读《导学案》85页的问题导学2. 出示任务自主学习阅读教材80.81页的有关内容，尝试解决下面的问题：1）举例说明什么是圆心角？2）教材Ｐ82探究中，通过旋转∠AOB，试写出你发现的哪些等量关系？为什么？3）在圆心角的性质中定理中，为什么要说“同圆或等圆”？能不能去掉？4）由探究得到的定理及结论是什么？3.合作探究《导学》难点探究和展题设计三、展示与反馈检查预习情况，解决学生疑惑。
四、课堂小结在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，•所对的也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的相等，•所对的也相等。
垂径定理：分析：给出定理的推理格式推论：平分弦（）的直径垂直于弦，并且五、达标检测：1、教材P83练习1.（直接填写在教材上）2、教材P83练习2.3、完成85页《导学案》.自主测评1—4题课后作业教材88页习题24.1 9-11题板书设计：24.1.3弧.弦.圆心角1.圆的旋转不变性----弧.弦.圆心角的关系定理2.强调“同圆或等圆”的含义和意义课后反思：通过本节课的学习，教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
24.1.3弧、弦、圆心角导学案 2022—2023学年人教版数学九年级上册
24.1.3 弧、弦、圆心角导学案一、知识点概述本章节是《数学九年级上册》的第 24 单元，主要涉及弧、弦、圆心角的知识点。
在本单元中，我们将学习如下几个知识点：1.弧相关概念2.弦相关概念3.圆心角相关概念4.利用圆心角定理、角平分线定理、垂径定理等解决相关问题二、知识点详解1. 弧相关概念定义：在平面几何中，圆上两点之间的弧就是这两点之间的曲线部分。
如上图所示，弧 AD 和弧 BC 分别是从点 A 到点 D 和从点 B 到点 C 所构成的圆弧。
当弧所对圆心角的度数不足 180 度时，我们称其为锐弧；等于 180 度时，我们称其为半圆；超过 180 度但小于 360 度时，我们称其为钝弧；等于 360 度时，我们称其为整圆。
性质：1.对圆的任意两个点，它们之间只有一条弧；2.半圆所对的圆心角为 180 度，其余圆弧所对的圆心角等于弧所对圆周角的一半；3.同样的圆弧所对的圆心角相等。
2. 弦相关概念定义：圆上的弦是圆上任意两个点间的线段。
如上图所示，线段 AB 和线段 CD 都是圆上的弦。
性质：1.任意一条弦将圆分成两个部分，这两部分中的每一部分都是弓形；2.相等弧所对的圆心角相等，对等圆心角所对的弧相等，相等弦所对的弧相等，对等弦所对的圆心角相等；3.任何弦都必定小于其所对的圆心角所夹的弧。
3. 圆心角相关概念定义：以圆心为顶点，圆上的两条弧所对的角叫做圆心角。
如上图所示，圆心 O 所对的圆弧是弧 AB 和弧 CD，其所成的角 AOC 就是圆心角。
圆心角定理：处于同一圆周上的两个弧所对的圆心角相等。
4. 相关定理角平分线定理：若一条线段和圆的切线相交，那么它所对圆心角的一半恰等于该切线与圆心的连线与所截弦所对圆心角的相差。
如上图所示，线段 CD 是圆的一条切线，点 O 是圆心，线段 CE 是 CD 延长线与圆的交点，线段 AB 是圆上的弦。
（注意：应该以实线表示 CD，而非虚线）由角平分线定理可知，∠COE 等于弧 AD 所对圆心角的一半，即∠COE = 1/2 × ∠CAB。
24.1.3弧、弦、圆心角 导学案
维
目
标
1、知识与能力：掌握圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个量就相等，及其它们在解题中的应用
2、过程与方法：经历用圆心角和旋转的知识探索的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
3、情感态度与价值观：向学生进行美育渗透，激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么︿AB与︿CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？ 为什么？∠AOB与∠COD呢？
四、归纳反思
1.圆心角：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2.在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个量就相等，及其它们在解题中的应用。
9.如图1和图2，MN是⊙O的直径，弦AB、CD 相交于MN上的一点P， ∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由．
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（图1）（图2）
教法与学法指导
(1)
(2)
重、难点：
弧、弦、圆心角关系的性质推导及其应用
教法与学法指导
一、自主预习
1.已知△OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．
2.举例说明什么是圆心角？
二、合作探究
1.请同学们按下列要求作图并回答问题：
如图所示的⊙O中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′OB ′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
人教版九年级(上)数学导学案设计：24.1.3弧-弦-圆心角
24.1.3弧、弦、圆心角主备人：符后丽审核：数学备课组课型：新授课班级：学号：姓名：学习目标：1、了解圆的旋转不变性。
2、理解圆心角、弦心距的概念。
3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并能利用相关量之间的相互转化关系进行证明和计算。
学习重点：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系学习难点：灵活运用相关量之间的相互关系进行证明和计算学习过程：一复习回顾圆是轴对称图形吗？它的对称轴是，它有条对称轴。
二观察思考圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？圆和一般的中心对称图形相比有什么特殊性吗？圆旋转多少度可以和它本身重合？三圆心角的概念1、叫圆心角。
四探索新知1、观察与思考A、说一说：如图：圆心角是，它所对的弧是，它所对的弦是B、如图，在⊙O中有哪些圆心角？并指出他们说对的弧，所对的弦。
C、在上图中，如果：∠AOB=∠COD，观察一下圆心角与它所对的弦、弧，你可以发现什么？你有什么样的猜想？并把你的猜想写下来。
如果∠AOB=∠COD，我猜想。
D、证明猜想。
证明：2、归纳与总结A、（文字语言）圆心角定理：B、几何语言（推理格式）（已知）（）3、辨析与反思：（1）如图，两同心圆中，∠AOB=∠A’OB’,问：①AB与A ‘B’是否相等？②AB与A‘B‘是否相等？A、观察与思考：在同圆或等圆中,如果轮换下面四组条件:①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.我们的结论是：(1)如图，若AB=CD，则、、；（2）如图若弧AB=弧CD，则、、；（3）如图，OE和OF是弦心距。
若OE=OF则、、；（4）如图，若∠AOB=∠COD，则、、。
B、总结与归纳归纳起来可以说成：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别。
C、几何语言：（1）∵∠AOB=∠COD（已知）∴；（2）∵AB=CD（已知）∴；(3)∵AB=CD（已知）∴；(4)∵OE=OF（已知）∴；六、例题引导例1：如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC七、巩固训练1、如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度数。
24.1.3 弧、弦、圆心角导学案
24.1.3 弧、弦、圆心角导学案
24.1 圆的有关性质24.1.3 弧、弦、圆心角
学校课型：时间：年月日执笔：审核：课堂笔
记
【学习目标】 1.了解负数产生是生活、生产的需要；
2.掌握正、负数的概念和表示方法，理解数0表示的量的意义；
3.理解具有相反意义的量的含义.
【重点】圆心角、弦、弧、弦心距的关系定理：
【难点】正确识别圆心角，圆心角所对的弧，圆心角所对的弦，圆心角所对的弦的弦心距，探索定理和推论及其应用．
【学习导航】
一、孕育
1.圆是轴对称图形,其对称轴是______________________.圆还是____________对称图形,其对称中心是____________.
2.圆绕____________旋转____________度可以与自身重合,由此可得:圆具有旋转不变性.
二、萌发
1.圆心角:顶点在____________的角,叫圆心角.
2.探究:
(1)如图,☉O 中∠AOB=∠A'OB',则A____________A'B',AB
⏜ ____________A 'B '⏜ .
(2)如图,☉O 中AB ⏜=A 'B '⏜ ,则∠AOB____________∠
A'OB',AB____________A'B'.
【例3】 如图,在☉O 中,AD=BC,比较AB
⏜与CD ⏜的大小.,并证明你的
结论.
四、收获：。
24.1.3 弧、弦、圆心角导学案(人教版)
图2 图3C图1 24.1.3 弧、弦、圆心角导学案一、自主学习：1.圆（填“是”或“不是”）中心对称图形，若是，它的对称中心在哪里？2.把圆绕圆心旋转角度后，仍与原来的圆重合．把圆的这个性质叫圆的旋转不变性.3. 的角叫做圆心角．若把圆的圆心角等分成360 份，则每一份的圆心角是，同时整个圆也被分成了360 份，每一份这样的弧叫做的弧。
由此可得圆心角的性质：圆心角的度数和它所对弧的度数.例如，图1中，若∠AOB=50°，则AB的度数为，BC的度数为4.如图2，①∠AOB所对的弧为，所对的弦为；②AB所对的圆心角为，所对的弦为；③弦AB所对的圆心角为，所对的弧为.5.阅读教材83—84页，思考：①教材中是如何证明“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”的？（1）如图3所示的⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？（2）类比（1），当AB=A'B'时，能得到哪些等量关系？若AB=A'B'呢？②教材84页的三个定理表述上有什么不同？为什么不说“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等”呢？③为什么要强调“在同圆或等圆中”？你能画图说明吗？④如何用数学符号语言表示“弧、弦、圆心角之间的关系”？二、练习作业：1．如图，AB、CE是⊙O的直径，∠COD=60°，且弧AD=弧BC，那么与∠AOE相等的角有，与∠AOC相等的角有_________．2．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________．3．弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____．4．如图，AB为圆O的直径，弧BD=弧BC，∠A=25°，则∠BOD=______．5．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，M、N分别为AB、CD的中点，且∠AMN=∠CNM，AB=6，则CD=_______．6．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐标为（4，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标为_________．7．如图，已知C为弧AB的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA=r，ON=a，则CD=_ _ __．8．如果两条弦相等，那么（）A．这两条弦所对的弧相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦的弦心距相等D．以上答案都不对9．如图，在圆O中，直径MN⊥AB，垂足为C，则下列结论中错误的是（）A．AC=BC B．弧AN=弧BN C．弧AM=弧BM D．OC=CN10．在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）A．42B．82C．24 D．1611. 在半径为2cm的⊙O中有长为2cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角为（）A．60°B．90°C．120°D．150°12.如图，在半径为2cm的⊙O内有长为23cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为（）A．60°B．90°C．120°D．150°13．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DE C．OE=BE D．弧BD=弧BC14．如图，在△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，∠BOC=（）A．140°B．135°C．130°D．125°ONCA B第9题第12题OA BAEBOC D第13题OB第14题。
《24.1.3 弧、弦、圆心角》教案、导学案
《24．1.3 弧、弦、圆心角》教案【教学目标】1．在实际操作中发现圆的旋转不变性．2．结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角．3．能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题．【教学过程】一、情境导入人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？二、合作探究探究点一：圆心角【类型一】圆心角的识别如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OCB解析：根据圆心角的概念，∠ABC、∠OAB、∠OCB的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的∠AOB的顶点在圆心，是圆心角．故选B.方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．探究点二：圆心角的性质 【类型一】利用圆心角的性质求角如图，已知：AB 是⊙O 的直径，C 、D 是BE ︵的三等分点，∠AOE ＝60°，则∠COE 的大小是( )A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°解析：∵C、D 是BE ︵的三等分点，∴BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∴∠BOC ＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC ＝∠COD＝∠DOE＝13×(180°－60°)＝40°，∴∠COE ＝80°.故选C.方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．探究点三：圆心角、弦、弧之间的关系 【类型一】结合三角形内角和求角如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B ＝70°，则∠A＝________．解析：由AB ︵＝AC ︵，得这两条弧所对的弦AB ＝AC ，所以∠B＝∠C.因为∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A 的度数为40°.故答案为40°.方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．【类型二】弧相等的简单证明如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N.求证：AC ︵＝BD ︵.解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．证法1：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD.∵OA＝OB.又M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON.又∵CM⊥AB，DN ⊥AB ，∴∠CMO ＝∠DNO＝90°.∴Rt △CMO ≌Rt △DNO.∴∠1＝∠2.∴AC ︵＝BD ︵.证法2：如图①所示，分别延长CM ，DN 交⊙O 于点E ，F.∵OM ＝12OA ，ON ＝12OB ，OA ＝OB ，∴OM ＝ON.又∵OM⊥CE，ON ⊥DF ，∴CE ＝DF ，∴CE ︵＝DF ︵.又∵AC ︵＝12CE ︵，BD ︵＝12DF ︵.∴AC ︵＝BD ︵.图①图②证法3：如图②所示，连接AC ，BD.由证法1，知CM ＝DN.又∵AM＝BN ，∠AMC ＝∠BND＝90°，∴△AMC ≌△BND.∴AC ＝BD ，∴AC ︵＝BD ︵.方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，只要确定一组等量关系，其他三组也随之确定了.《24.1.3 弧、弦、圆心角》教案【教学内容】1．圆心角的概念．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，•相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，•那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．【教学目标】了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．【重难点、关键】1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，•所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 【教学过程】 一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题．已知△OAB ，如图所示，作出绕O 点旋转30°、45°、60°的图形．老师点评：绕O 点旋转，O 点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠BOB ′=30°．二、探索新知如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． （学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题： 如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？=，AB=A ′B ′理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴与重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴=，AB=A ′B ′因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？•请同学们现在动手作一作．AB ''A B AB ''A B AB ''A B BAOB '（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O 和⊙O ′中，•分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．(1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？ 我能发现：=，AB=A /B /．现在它的证明方法就转化为前面的说明了，•这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，•所对的弧也相等．（学生活动）请同学们现在给予说明一下． 请三位同学到黑板板书，老师点评．例1．如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ．（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF ，那么与的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？B'A 'AB''A B AB CD D分析：（1）要说明OE=OF ，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF ，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF ，∴在Rt △AOE 和Rt △COF 中， 又有AO=CO 是半径，∴Rt △AOE ≌Rt•△COF ，∴AE=CF ，∴AB=CD ，又可运用上面的定理得到= 解：（1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE=OF 理由是：∵∠AOB=∠COD ∴AB=CD∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=AB ，CF=CD ∴AE=CF 又∵OA=OC ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴OE=OF （2）如果OE=OF ，那么AB=CD ，=，∠AOB=∠COD 理由是： ∵OA=OC ，OE=OF ∴Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴AE=CF又∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ∴AE=AB ，CF=CD ∴AB=2AE ，CD=2CF ∴AB=CD∴=，∠AOB=∠COD三、巩固练习 教材 练习1 四、应用拓展例2．如图3和图4，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD•相交于MN•上的一点P ，•∠APM=∠CPM ．（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若AB CD 1212AB CD 1212AB CD不成立，请说明理由．(3) (4)分析：（1）要说明AB=CD ，只要证明AB 、CD 所对的圆心角相等，•只要说明它们的一半相等．上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的． 解：（1）AB=CD理由：过O 作OE 、OF 分别垂直于AB 、CD ，垂足分别为E 、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF连结OD 、OB 且OB=OD ∴Rt △OFD ≌Rt △OEB ∴DF=BE根据垂径定理可得：AB=CD（2）作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足为E 、F ∵∠APM=∠CPN 且OP=OP ，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt △OPE ≌Rt △OPF ∴OE=OF连接OA 、OB 、OC 、OD易证Rt △OBE ≌Rt △ODF ，Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD五、归纳总结（学生归纳，老师点评）PN本节课应掌握：1．圆心角概念．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．六、布置作业1．教材P94-95 复习巩固4、5、《24.1.3 弧、弦、圆心角》导学案学习目标：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．一、导学过程：（阅读教材P82 — 83 , 完成课前预习）1、知识准备（1）圆是轴图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．（2）垂径定理推论．2、预习导航。
弧、弦、圆心角（教案、导学案）
弧、弦、圆⼼⾓（教案、导学案）24.1.3 弧、弦、圆⼼⾓【知识与技能】1.理解圆⼼⾓概念和圆的旋转不变性.2.掌握在同圆或等圆中，圆⼼⾓、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中的应⽤.【过程与⽅法】通过学⽣动⼿或计算机演⽰使学⽣感受圆的旋转不变性，发展学⽣的观察分析能⼒.【情感态度】培养学⽣勇于探索的良好习惯，激发学⽣探究，发现数学问题的兴趣.【教学重点】圆⼼⾓、弧、弦之间的关系，并能运⽤此关系进⾏有关计算和证明.【教学难点】理解圆的旋转不变性和定理推论的应⽤.⼀、情境导⼊，初步认识汽车能正常⾏驶（其他情况正常）得益于车轮；⽽车轮⼜是具有什么性质才具有如此奇妙的作⽤呢？教师拿出做好的教具，在纸上画下任意圆，任意画出两条半径，构成⼀个顶点在圆⼼上的⾓α，将这个圆绕圆⼼O旋转任意⾓度α，你会发现什么？像α这样，顶点在圆⼼上的⾓叫圆⼼⾓.这节课我们将要研究与它有关的⼀些定理，引⼊课题.⼆、思考探究，获取新知1.圆的旋转不变性由上述探究活动中，我们不难发现：围绕圆⼼O旋转任意⾓度α，都能与原来的图形重合，所以圆是中⼼对称图形，并且具有旋转不变的特征.这也是车轮具有的特征，所以汽车才能正常⾏驶.2.弧、弦、圆⼼⾓之间的关系探究如图，将圆⼼⾓∠AOB绕圆⼼O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系，为什么？【教学说明】让学⽣利⽤学具动⼿演⽰，观察，思考，同学之间合作交流，并归纳总结.教师提问⼏位学⽣代表回答他们发现的等量关系，教师同时在⿊板上写出他们的结论.=''AB=A′B′【归纳结论】AB A B∴由圆的旋转不变性可得出下⾯的定理：在同圆或等圆中，相等的圆⼼⾓所对的弧相等，所对的弦也相同.议⼀议（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆⼼⾓相等吗？所对的弦相等吗？（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆⼼⾓相等吗？所对的弧相等吗？【教学说明】学⽣利⽤学具，结合圆的旋转不变性，很容易得出结论.这两个问题是为了使学⽣深切体会，圆⼼⾓、弧、弦三者在同圆或等圆中之间存在的关系.推论：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆⼼⾓相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆⼼⾓相等，所对的弧也相等.请同学们根据图形给出定理及其推论的符号语⾔.【教学说明】培养学⽣⽤符号语⾔表⽰结论，发展学⽣⽤符号语⾔说理的能⼒.由此可总结为：在同圆或等圆中，圆⼼⾓相等弧相等弦相等.3.圆⼼⾓、弧、弦定理及推论的应⽤例1如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.分析：在⊙O中，要使圆⼼⾓相等，可通过证明圆⼼⾓所对的弦或弧相等解题.证明：∵AB=AC，∴AB=AC，△ABC是等腰三⾓形.⼜∠ACB=60°，∴△ABC是等边三⾓形，AB=BC=CA.∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.例2如图所⽰，以ABCD的顶点A为圆⼼，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于G，判断EF和FG是否相等，并说明理由.证明：如图.连接AE，∵在ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠2，∠3=∠4⼜∵在⊙A中，AB=AE，∴∠2=∠3，∴∠1=∠4∴EF=FG（在同圆或等圆中，相等的圆⼼⾓所对的弧相等）【教学说明】巩固定理内容，加深对定理的理解，初步应⽤定理解决问题，培养学⽣的逻辑推理能⼒及运⽤知识的能⼒.三、运⽤新知，深化理解1.观察下列选项中的图形及推理，其中正确的是：∵∠AOB=∠A′OB′∵AD=BC∴AB=A′B′∴AB=CD（1）（2）∵∠AOC=∠BOC∴AD=BC（3）2.如图所⽰，C、D为半圆O的三等分点，AB为直径，则下列说法正确的有个.①AD=CD=BC②∠AOD=∠DOC=∠BOC③四边形ADCO为菱形【教学说明】这两道题要求学⽣当堂完成，学⽣独⽴思考并回答问题，教师作点评，要强调定理及推论的应⽤范围，以及对应量之间的关系.对回答好的同学及时给予⿎励表扬，增强学习数学的信⼼和热情.【答案】 1.（2） 2.3四、师⽣互动，课堂⼩结通过这堂课的学习，你掌握了哪些基本概念和基本⽅法?如圆⼼⾓的概念，弧、弦、圆⼼⾓三者之间的关系等，试着与同伴交流.【教学说明】先让学⽣对上述问题进⾏回顾与思考，完善知识体系，教师再进⾏补充说明.1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.1.本节课学⽣通过观察、⽐较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中⼼对称性、圆⼼⾓定理及推论，可以发展学⽣勇于探索的良好习惯，培养动⼿解决问题的能⼒.2.本节课中，教师应让学⽣掌握解题⽅法，即要证弦相等或弧相等或圆⼼⾓相等，可先证其中⼀组量对应相等.掌握这个解题⽅法有助于提升学⽣的抽象思维能⼒.24.1.3 弧、弦、圆⼼⾓⼀、新课导⼊1.导⼊课题：问题1：圆是中⼼对称图形吗？它的对称中⼼在哪⾥？问题2：把圆绕着圆⼼旋转⼀个任意⾓度，旋转之后的图形还能与原图形重合吗？这节课我们利⽤圆的任意旋转不变性来探究圆的另⼀个重要定理.(板书课题)2.学习⽬标：(1)知道圆是中⼼对称图形，并且具有任意旋转不变性.(2)知道什么样的⾓是圆⼼⾓，探究并得出弧、弦、圆⼼⾓的关系定理.(3)初步学会运⽤弧、弦、圆⼼⾓定理解决⼀些简单的问题.3.学习重、难点：重点：弧、弦、圆⼼⾓关系定理.难点：探究并证明弧、弦、圆⼼⾓关系定理.⼆、分层学习1.⾃学指导：(1)⾃学内容：教材第83页⾄第84页例3之前的内容.(2)⾃学时间：8分钟.(3)⾃学⽅法：完成探究提纲.(4)探究参考提纲：①剪⼀个圆形纸⽚，把它绕圆⼼旋转180°和任意⾓度，观察旋转前后的两个图形是否重合，并填空：圆是中⼼对称图形，圆⼼是它的对称中⼼；把圆绕着圆⼼旋转任意⼀个⾓度，旋转之后的图形都与原图形重合.②顶点在圆⼼的⾓叫做圆⼼⾓.重合④结论：在在同圆或等圆中，两个圆⼼⾓、两条弧、两条弦中如果有⼀组量相等，则它们所对应的其余各组量都相等.2.⾃学：学⽣结合⾃学指导进⾏⾃学.3.助学：(1)师助⽣：①明了学情：观察学⽣能否在提纲的指导下顺利完成整个探究活动.②差异指导：根据学情进⾏个别指导或分类指导.(2)⽣助⽣：⼩组内相互交流、研讨.4.强化：(1)弧、弦、圆⼼⾓关系定理，尤其是定理成⽴的前提条件是“在同圆或等圆中”.(2)该定理可以实现⾓、线段(弦)、弧的相互转换.(3)练习：如图，AB,CD是⊙O的两条弦.解：相等.理由：∵OE⊥AB,OF⊥CD，由垂径定理得AE=BE=AB，CF=DF=CD.⼜AB=CD,∴AE=CF.在Rt△AOE和Rt△COF中，OA=OC,AE=CF,∴Rt△AOE≌Rt△COF，∴OE=OF.1.⾃学指导：(1)⾃学内容：教材第84页例3.(2)⾃学时间：3分钟.(3)⾃学⽅法：阅读理解，推理论证.(4)⾃学参考提纲：它们所对的弦AB=BC=AC，或证明它们都是120°.b.在每⼀步后⾯填上相应的依据:证明：∴AB=AC(在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等).⼜∠ACB=60°，∴△ABC是等边三⾓形(有⼀个⾓是60°的等腰三⾓形是等边三⾓形).即AB=BC=AC，∴∠AOB=∠BOC=∠AOC(在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆⼼⾓相等).c. 你还有其他的证法吗？∴AB＝AC. ⼜∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三⾓形.易证△AOB≌△BOC≌△AOC,∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.2.⾃学：学⽣结合⾃学指导进⾏⾃学.3.助学：(1)师助⽣：①明了学情：观察学⽣是否会⽤定理实现⾓、线段、弧的转换.②差异指导：看图逐步适应从直线到曲线的过渡.(2)⽣助⽣：⼩组内相互交流、研讨.4.强化：弧、弦、圆⼼⾓的关系定理是证弧等、弦等、⾓等的常⽤定理.三、评价1.学⽣的⾃我评价(围绕三维⽬标)：这节课你学到了哪些知识？还存在哪些疑惑？2.教师对学⽣的评价：(1)表现性评价：点评学⽣的学习态度、积极性，⼩组合作情况、存在的问题等.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的⾃我评价(教学反思)：(1)本节课学⽣通过观察、⽐较、操作、推理、归纳等活动，得出了圆的中⼼对称性、圆⼼⾓定理及推论，可以发展学⽣勇于探究的良好习惯，培养动⼿解决问题的能⼒.(2)本节课中，教师应让学⽣掌握解题⽅法，即要证弦相等或弧相等或圆⼼⾓相等，可先证其中⼀组量对应相等.掌握这个解题⽅法有助于提升学⽣的抽象思维能⼒.(时间：12分钟满分：100分)⼀、基础巩固(70分)A．36°B．72°C．108°D．48°2.(15分)如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是半圆上两个三等分点，则∠COD=60°.3.(15分)如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=40°．⼆、综合应⽤(20分)6. (20分)如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C的中点，求证：四边形OACB是菱形.证明：∵C是AB的中点，∴AC=BC，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°.⼜∵OA=OC=OB,∴△AOC与△BOC是等边三⾓形.∴∠A=60°.⼜∠AOB=120°,∴AC∥OB.∵AC=OC=OB,∴四边形OACB是平⾏四边形.⼜OA=AC,∴四边形OACB是菱形.三、拓展延伸(10分)7.(10分)如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD．(1)求证：△AEC≌△DEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由．(2)解：对称.理由：连接OB、OC. 则OB=OC. 由(1)知BE=CE，连接BC，则OE垂直平分BC.∴点B与点C关于直线OE对称.。
《24.1.3弧、弦、圆心角》导学案
OABC DE《２４.１.3 弧、弦、圆心角》导学案教师寄语 今日事，今日毕。
不要把今天的事拖到明天。
课标要求掌握圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算.学习目标1、理解圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算2、弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据教学重点 弧、弦、圆心角之间的相等关系 教学难点定理的证明及应用学习过程: 复习巩固:垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧. 符号语言：∵AB 是⊙O 的直径 又∵CD AB ⊥∴DE CE =推论：平分不是直径的弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧 符号语言：∵AB 是⊙O 的直径 又∵DE CE =∴CD AB ⊥※方法提示：在圆中，解决有关弦的问题时常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线,实际上,往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可.这样把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R ，圆心到弦的距离d ，弦长a 之间的关系式R 2＝d 2+(2a )2这是一种重要的添加辅助线的方法 .一、自主学习：自学课本第82、83页内容:把知识点画在书上并将定理补充完整，然后完成下面内容。
【要点梳理】1． 圆心角：顶点在 的角叫做圆心角.2． 在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等.3. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们 其余各组量都分别 .4． 在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也___ __．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么__ _． 巩固练习： 教材P83 练习1、21．如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________． 3．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 的长为22cm ，则∠AOB ＝__________.4． 如图，已知D 、E 分别为半径OA 、OB 的中点，C 为AB 的中点.试问CD 与CE 是否相等？说明你的理由.【课后作业】1．下列说法中正确的是（ ）①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，圆心到这两条弦的距离相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等． A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③ 2．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC CD DE ==，∠BOC ＝40°，那么∠AOE 为（ ） A ．40 B ．60° C ．75 D ．120°3．在同圆中，圆心角∠AOB ＝2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（ ） A ．2AB CD = B ．AB CD > C ．2AB CD < D ．不能确定4．⊙O 的半径为6cm,一弦长为2560x x --=的一个根，则该弦的弦心距和所对的圆心角为： A.3 30°B. 33 30°C. 3 60°D. 33 60° 5．如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE ＝3，则弦CE ＝________．6．已知⊙O 的弦AB 把圆弧分成两部分的比为1∶2，若AB ＝6cm ，则⊙O 的半径长等于_____cm ． 7．如图，在Rt ABC △中，C ∠=90°，AB =10，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于 ．8．如图，在⊙O 中，弦AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ，则⊙O 的半径等于_________cm ．9．如图所示，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 、⊙E 的半径都是1，顺次连接它们的圆心得到五边形ABCDE ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是 ．_D_CA_B_OEO A B C E D OABEDC B CD A O C B A（第5题） （第7题） （第8题） （第9题）。
人教版数学九年级上册第24章圆24.1.3弧、弦、圆心角优秀教学案例
在课堂练习环节，我将设计一系列具有层次性的题目，让学生在解答问题的过程中巩固所学知识，并通过小组合作交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。最后，我将进行课堂总结，强调本节课的重点和难点，为学生后续的学习打下坚实的基础。
3.学生通过自主学习、合作学习和探究学习，培养自学能力、合作能力和创新意识。
4.学生通过运用弧、弦、圆心角的知识解决实际问题，提高应用能力和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.学生能够积极参与课堂学习，对数学产生兴趣，树立自信心。
2.学生能够体验到数学学习的乐趣，养成积极思考、善于动手的良好学习习惯。
2.问题情境：设计一些与圆的弧、弦、圆心角相关的问题，如“自行车轮的周长是多少？”、“如何测量圆的直径？”等，激发学生的思考和探究欲望。
3.操作情境：利用多媒体课件和教具，展示圆的弧、弦、圆心角的动态变化，让学生直观地感受和理解它们之间的关系。
4.实践情境：让学生亲自动手进行实验和操作，如测量和绘制圆的弧、弦、圆心角，增强学生的实践能力和体验。
（五）作业小结
3.举例说明弧、弦、圆心角在实际问题中的应用：通过实际问题的引入，讲解如何运用弧、弦、圆心角的知识解决问题，引导学生运用和巩固。
（三）学生小组讨论
1.设计小组讨论任务，让学生分组讨论和探究弧、弦、圆心角的关系和应用。
2.引导学生通过观察、操作和思考，发现弧、弦、圆心角之间的联系，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
24.1.3弧、弦、圆心角(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与弧、弦、圆心角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用硬纸片制作圆并观察不同圆心角所对的弧和弦。
-圆心角的度数与所对弧的度数关系：掌握圆心角的度数等于其所对弧的度数。
-实际问题的解决：将弧、弦、圆心角的知识应用于解决复杂的几何问题。
举例：在讲解弧和弦对应关系时，通过具体示例，引导学生观察并发现同一条弦对应的两个弧的关系。在讲解圆心角的度数与所对弧的度数关系时，通过动态演示或实际操作，让学生直观感受圆心角变化时，所对弧的度数也随之变化。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了弧、弦、圆心角的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，题，提高数学应用意识，培养数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-弧、弦、圆心角的基本概念：准确理解并掌握这三个基本几何概念，以及它们之间的关系。
-弧、弦、圆心角的性质：了解并掌握同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；弦与弧的对应关系；圆心角的度数与所对弧的度数关系。
本节课将结合实际例子，通过观察、实践和讨论，使同学们深入理解弧、弦、圆心角的概念及其相互关系。
二、核心素养目标
九年级数学上册24.1.3弧、弦、圆心角(导学案)
24.1.3 弧、弦、圆心角一、新课导入1.导入课题：问题 1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？问题 2：把圆绕着圆心旋转一个随意角度，旋转以后的图形还可以与原图形重合吗？这节课我们利用圆的随意旋转不变性来研究圆的另一个重要定理.(板书课题 )2.学习目标：(1)知道圆是中心对称图形，而且拥有随意旋转不变性.(2)知道什么样的角是圆心角，研究并得出弧、弦、圆心角的关系定理.(3)初步学会运用弧、弦、圆心角定理解决一些简单的问题.3.学习重、难点：要点：弧、弦、圆心角关系定理.难点：研究并证明弧、弦、圆心角关系定理.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：教材第83 页至第 84 页例 3 以前的内容 .(2)自学时间： 8 分钟 .(3)自学方法：达成研究纲要.(4)研究参照纲要：①剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°和随意角度，察看旋转前后的两个图形能否重合，并填空：圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；把圆绕着圆心旋转随意一个角度，旋转以后的图形都与原图形重合.②极点在圆心的角叫做圆心角.重合④结论：在在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中假如有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都相等.2.自学：学生联合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①了然学情：察看学生可否在纲要的指导下顺利达成整个研究活动.②差别指导：依据学情进行个别指导或分类指导.(2)生助生：小组内互相沟通、商讨.4.加强：(1)弧、弦、圆心角关系定理，特别是定理建立的前提条件是“在同圆或等圆中”.(2)该定理能够实现角、线段(弦 )、弧的互相变换.(3)练习：如图，AB,CD 是⊙ O 的两条弦 .解：相等 .原因：∵ OE⊥ AB,OF ⊥ CD，由垂径定理得AE=BE= AB ， CF=DF= CD.又 AB=CD, ∴ AE=CF. 在 Rt△ AOE 和 Rt△ COF 中，OA=OC,AE=CF,∴Rt△AOE ≌ Rt△ COF，∴ OE=OF.1.自学指导：(1)自学内容：教材第84 页例 3.(2)自学时间： 3 分钟 .(3)自学方法：阅读理解，推理论证.(4)自学参照纲要：它们所对的弦AB=BC=AC ，或证明它们都是120°.b.在每一步后边填上相应的依照:证明：∴ AB=AC( 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等).又∠ ACB=60°，∴△ ABC 是等边三角形 (有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形).即 AB=BC=AC ，∴∠ AOB= ∠BOC= ∠AOC( 在同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆心角相等 ).c. 你还有其余的证法吗？∴AB ＝AC. 又∠ ACB ＝ 60°，∴△ ABC 是等边三角形 .易证△ AOB ≌△ BOC ≌△ AOC,∴∠ AOB= ∠BOC= ∠ AOC.2.自学：学生联合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①了然学情：察看学生能否会用定理实现角、线段、弧的变换.②差别指导：看图逐渐适应从直线到曲线的过渡.(2)生助生：小组内互相沟通、商讨.4.加强：弧、弦、圆心角的关系定理是证弧等、弦等、角等的常用定理.三、评论1.学生的自我评论( 环绕三维目标 )：这节课你学到了哪些知识？还存在哪些迷惑？2.教师对学生的评论：(1)表现性评论：评论学生的学习态度、踊跃性，小组合作状况、存在的问题等.(2)纸笔评论：讲堂评论检测.3.教师的自我评论( 教课反省 )：(1)本节课学生经过察看、比较、操作、推理、概括等活动，得出了圆的中心对称性、圆心角定理及推论，能够发展学生勇于研究的优秀习惯，培育着手解决问题的能力.(2)本节课中，教师应让学生掌握解题方法，即要证弦相等或弧相等或圆心角相等，可先证此中一组量对应相等.掌握这个解题方法有助于提高学生的抽象思想能力.(时间： 12 分钟满分： 100 分)一、基础稳固(70 分)A．36°B． 72°C． 108 °D．48°2.(15 分 )如图，已知AB 是⊙ O 的直径，C、 D 是半圆上两个三均分点，则∠COD=60°.3.(15 分 )如图，在⊙O 中，点 C 是的中点，∠A=50°，则∠BOC=40°．二、综合应用(20 分)6. (20 分 )如图， A,B 是⊙ O 上的两点，∠ AOB=120°， C的中点，求证：四边形OACB 是菱形 .证明：∵ C 是 AB 的中点，∴ AC=BC ，∴∠ AOC= ∠BOC= ∠ AOB=60° .又∵ OA=OC=OB,∴△ AOC 与△ BOC 是等边三角形 .∴∠ A=60°.又∠ AOB=120° ,∴ AC ∥ OB.∵AC=OC=OB,∴四边形 OACB 是平行四边形 .又 OA=AC, ∴四边形 OACB 是菱形 .三、拓展延长(10 分)7.(10 分 )如图，在⊙ O 中，弦 AB 与 CD 订交于点 E， AB=CD ．(1)求证：△ AEC ≌△ DEB ；(2)点 B 与点 C 对于直线OE 对称吗？试说明原因．(2)解：对称 .原因：连结OB、 OC.则OB=OC. 由 (1)知 BE=CE ，连结 BC ，则 OE 垂直均分BC.∴点 B 与点 C 对于直线OE 对称.。
人教版数学九年级上册24.1.3弧、弦、圆心角教案
24.1.3《弧、弦、圆心角》教案教材分析本节内容主要研究的是弧、弦、圆心角的关系的推导和应用.它是在学生学习了圆的有关概念和性质后学习的，是以后学习圆周角的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能.学情分析九年级学生的心理特点是形象思维大于抽象思维和认知规律从特殊到一般.结合学生实际学习情况（已较学习了圆的相关概念和性质）进行本课设计的.从引入时实物圆的构成元素的启发引导，到弧、弦、圆心角三个量的关系的学生自主探索，再到学生与学生之间的合作交流学习，都要突出学生是探索性学习活动的主体是否能充分发挥学生自主学习、探究能力的关键.教学目标知识技能1．通过观察和实验，使学生了解圆心角的概念；2．掌握圆心角定理及其推论，并应用定理和推论解决问题；3. 感悟数学思想过程与方法1．经历用圆心角和旋转的知识探索的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．情感态度1．结合本节课特点，让学生了解数学的价值，激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望．教学重点在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等及其两个推论和它们的应用．教学难点探索定理和推论，以及它们的应用．教学准备与教学媒体学案、多媒体课件、教具、人教版九年级数学课本教法及学法自主、合作、探究、体验式教学法教学过程设计教学环节教学活动师生活动设计意图环节1情境引入环节2探究新知活动1：播放古老水车保稻田的视频，利用水车引入圆的有关概念和性质．1、圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.2、圆心角所对的弧和所对的弦；3、圆的性质：圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性.活动2：探究：任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角，圆心角所对的弦和所对的弧，这三个量之间会有什么关系呢？（出示思考题，演示教具）思考：如图，⊙O（及⊙O1和⊙O2）中，当圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′相等时，它们所对的弧AB和''A B、弦AB和弦A′B′有怎样的数量关系？为什么？AB=''A B，AB=A′B′理由：∵半径OA与O′A′重合，且∠AOB=∠A′OB′∴半径OB与OB′重合∵点A与点A′重合，点B与点B′重合∴AB与''A B重合，弦AB与弦A′B′重合∴AB=''A B，AB=A′B′因此，在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．播放古老水车保稻田的视频，出示水车图片，学生回答在水车上看到那些圆的基本元素.教师出示思考题，并演示教具学生思考，合作讨论,教师点名回答问题.通过观看视频，感受中国人民在生产实践中表现出的聪明才智,利用水车的形象引入课题.运用教具直观形象的表示圆心角、弧、弦三组相对应的量之间的关系让学生亲自动手，进行实验、探究、得出结论，激发学生的求知欲望，进而得到成功的体验.规范学生证明过程的书写.环节4知识应用环节5大展身手练习：1、如图，AB、CD是⊙O的两条弦。
人教版九年级数学上册《24-1-3 弧、弦、圆心角》导学案设计优秀公开课
24.1.3 弧、弦、圆心角学习目标：了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧、弦心距中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．一、导学过程：（阅读教材P82—83,完成课前预习）1、知识准备（1）圆是轴图形，任何一条所在直线都是它的对称轴．（2）垂径定理推论．2、预习导航。
（1）圆心角：顶点在的角叫做圆心角。
（2）等圆：能够的圆叫做等圆，同圆或等圆的半径。
（3）弧、弦、弦心距、圆心角的关系：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的相等，所对的弦也．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的相等，所对的弦也，所对的弦心距也。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的、、相等．注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也。
O二、课堂练习。
1. 如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对2. 在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD，则两条弧 AB 与 CD 的关系是（）A. AB=2CDB ．AB>2CDC ．AB<2CD D ．不能确定3. 一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的 ．4. 如图，在⊙O 中，AB=AC ，∠AOB=60 °，求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC三、课堂小结在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也． 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 、、相等． 四、反馈检测。
A1. 如图，⊙O 中，如果 AB=2CD ，那么（ ）．CBA ．AB=ACB ．AB=ACC ．AB<2ACD ．AB>2AC2.如图，以平行四边形 ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交 BC 、AD 于 E 、F ，若∠D=50°，求 BE 的度数和 BF 的度数．OBCE OD3.如图，在⊙O 中，C 、D 是直径 AB 上两点，且 AC=BD ，MC⊥AB，ND⊥AB，M 、N 在⊙O 上．（1）求证：AM =BN （2）若 C 、D 分别为 OA 、OB 中点，则 AM=MN=NB 成立吗？4. 如图，∠AOB=90°，C 、D 是 AB 三等分点，AB 分别交 OC 、OD 于点 E 、F ， 求证：AE=BF=CD ．C5. 如图 ， AB 和 DE 是⊙O 的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，A B求弦 CE 长度。
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24.1.3弧、弦与圆心角的关系
主备：总课时数：周课时数：
1.知识与技能
通过探索理解并掌握:
（1）圆的旋转不变性；
（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理。
2.过程与方法
通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问
题的能力。
3.情感态度与价值观
（1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣．
（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐．
（3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．
4.教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．
教学环节教师活动学生活动个性备课
活动1：情境创设问题：观察折扇收拢和展开的动画过程，哪些弧重
合？哪些弦重合？哪些角重合？引出课题。
观察思考作答；
带着问题进入学习。
活动2：
探究圆心角的概念。
问题：观察折扇收拢过程中，这些重合的角有什么特
征？
在学生归纳出特征以后给出圆心角的概念，并通过改
变角顶点的位置让学生判断是否任为圆心角。
观察得出圆心角的特征。
讨论、回答问题
活动3：
探究圆的旋转不变性。
操作：把两个半径相等的圆的圆心重合在一起，绕
圆心转动其中一个圆。
问题：你发现了什么奇怪的现象？
观察圆的旋转并思考作答。
（圆具有旋转不变性。
）
活动4：
探究圆心角、弧、弦之间的关系定理。
操作：将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′
的位置。
问题1：在旋转过程中你能发现哪些等量关系？
问题2：由上面的现象你能猜想出什么结论？
问题3：你能证明这个结论吗？在学生推导归纳出上
面结论后又提出问题：
问题4：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角
_____，所对的弦________；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______，所
对的弧_________．
通过观察——猜想——证明
——归纳得出圆心角、弧、
弦之间的关系定理。
活动5：应用新知如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么，。
（2）如果弧AB=弧CD ，那么，。
（3）如果∠AOB=∠COD，那么，。
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
活动6：
例题探究
例：如图, 在⊙O中，弧AB= 弧AC，∠ACB=60°，
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
活动7：
应用提高
给出三个题目，让每小组自己选择一个题解答。
1.如图，AB是⊙O 的直径，弧BC=弧CD=弧DE，∠COD=35°，求∠AOE 的度
数．
2.已知：如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，弧AD=弧BC 。
求证AB＝CD.
3.AB为⊙O的直径，∠DOC=90°，∠DOC绕O点旋转，DC两点不与A、B重合。
①求证：弧AD+弧BC=弧CD
②AD+ＢＣ＝ＣＤ这个式子成立吗？若成立请证明;若不成立请说明理由？
活动8：
课堂小结
、作业
问：(1)在本节课的学习中，你有哪些收获和我们共享？
(2)你还有什么不理解的地方，需要老师或同学帮助？
布置作业：《学海风暴》相应部分
教学反思。