数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式
根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型
一、n S 是数列{}n a 的前n 项的和
1
1(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩
【方法】： “1n n S S --”代入消元消n a。

【注意】漏检验n 的值 (如1n =的情况
【例1】.（1）已知正数数列{}n
a 的前n 项的和为n S ，
且对任意的正整数n 满足1n a =+，求数列{}n a 的
通项公式。

（2）数列{}n
a 中，11a =对所有的正整数n 都
有2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a 的通项公式
【作业一】 1－ 1.
数
列
{}
n a 满足
2
1
*123333()3
n n n
a a a a n N -+++
+=∈，求数列{}n a 的通
项公式．
（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1
()n
n a f n a -=
1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）
【方法】
1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……，
21(2)a a f -=2n ≥，
从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+
+，检验1n
=的情
况
()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，1
2
12
1
()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---⋅⋅⋅
=⋅-⋅⋅
即1
()(1)(2)n
a f n f n f a =⋅-⋅
⋅，
检验1n =的情况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1
n -个等式相加（相乘）.
【例2】. (1) 已知21
1=a ，)2(1
1
21≥-+=-n n a a n n
，
求n a . （2）已知数列{}n a 满足1
2n n n a
a n +=+，且3
21=a ，求n a .
【例3】.（2009广东高考文数）在数列{}n a 中，
1111
1,(1)2
n n n n a a a n ++==++.设n n a b n =，求数列{}
n b 的通项公式
（三）.待定系数法
1n n a ca p +=+ （,1,1c,p c p ≠≠为非零常数）
【方法】构造1()n n a x c a x ++=+，即
1(1)n n a ca c x +=+-，故(1)c x p -=， 即{}1
n p a c +-为
等比数列
【例4】. 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。

(四).倒数法
1n
n n
ka a ca p +=+ (,,k p c 为非零常数)
【方法】两边取倒数，得111n n p c
a k a k
+=⋅+, 转化为待定系数法求解
【例5】. 已知数列{}n a 的首项为13
5a =，
1
321n n n a a a +=+，
1,2,n =，求{}n a 的通项公式
数列专题2：数列求和
1.数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，
且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10之值为 ( )
A ．31
B ．120
C ．130
D ．185 练习1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1
2
n ，
其前n项和S n＝321
64，则项数n等于()
A．13 B．10 C．9 D．6
2.设函数f(x)＝x＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，
则数列{1
f(n)}(n∈N
*)的前n项和是()
A.
n
n＋1
B.
n＋2
n＋1
C.
n
n－1
D.
n＋1
n
练习2.数列a n＝
1
n(n＋1)
，其前n项之和为
9
10，
则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()
A．－10 B．－9 C．10 D．9
3.求和：S n＝1
a＋
2
a2＋
3
a3＋…＋
n
a n.
练习3(2010·昌平模拟)设数列{a n}满足a1＋3a2＋
32a3＋…＋3n－1a n＝n
3，n∈N
*.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设b n＝n
a n，求数列{
b n}的前n项和S n.。