数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式

根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型

一、n S 是数列{}n a 的前n 项的和

1

1(1)(2)n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩

【方法】： “1n n S S --”代入消元消n a

。 【注意】漏检验n 的值 (如1n =的情况

【例1】.（1）已知正数数列{}n

a 的前n 项的和为n S ，

且对任意的正整数n 满足1n a =+，求数列{}n a 的

通项公式。

（2）数列{}n

a 中，11a =对所有的正整数n 都

有2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a 的通项公式

【作业一】 1－ 1.

数

列

{}

n a 满足

2

1

*123333()3

n n n

a a a a n N -+++

+=∈，求数列{}n a 的通

项公式．

（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1

()n

n a f n a -=

1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）

【方法】

1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……，

21(2)a a f -=2n ≥，

从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+

+，检验1n

=的情

况

()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，1

2

12

1

()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---⋅⋅⋅

=⋅-⋅⋅

即1

()(1)(2)n

a f n f n f a =⋅-⋅

⋅，

检验1n =的情况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1

n -个等式相加（相乘）.

【例2】. (1) 已知21

1=a ，)2(1

1

21≥-+=-n n a a n n

，

求n a . （2）已知数列{}n a 满足1

2n n n a

a n +=+，且3

21=a ，求n a .

【例3】.（2009广东高考文数）在数列{}n a 中，

1111

1,(1)2

n n n n a a a n ++==++.设n n a b n =，求数列{}

n b 的通项公式

（三）.待定系数法

1n n a ca p +=+ （,1,1c,p c p ≠≠为非零常数）

【方法】构造1()n n a x c a x ++=+，即

1(1)n n a ca c x +=+-，故(1)c x p -=， 即{}1

n p a c +-为

等比数列

【例4】. 11a =，123n n a a +=+，求数列{}n a 的通项公式。

(四).倒数法

1n

n n

ka a ca p +=+ (,,k p c 为非零常数)

【方法】两边取倒数，得111n n p c

a k a k

+=⋅+, 转化为待定系数法求解

【例5】. 已知数列{}n a 的首项为13

5a =，

1

321n n n a a a +=+，

1,2,n =，求{}n a 的通项公式

数列专题2：数列求和

1.数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，

且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10之值为 ( )

A ．31

B ．120

C ．130

D ．185 练习1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －1

2

n ，

其前n项和S n＝321

64，则项数n等于()

A．13 B．10 C．9 D．6

2.设函数f(x)＝x＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，

则数列{1

f(n)}(n∈N

*)的前n项和是()

A.

n

n＋1

B.

n＋2

n＋1

C.

n

n－1

D.

n＋1

n

练习2.数列a n＝

1

n(n＋1)

，其前n项之和为

9

10，

则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()

A．－10 B．－9 C．10 D．9

3.求和：S n＝1

a＋

2

a2＋

3

a3＋…＋

n

a n.

练习3(2010·昌平模拟)设数列{a n}满足a1＋3a2＋

32a3＋…＋3n－1a n＝n

3，n∈N

*.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)设b n＝n

a n，求数列{

b n}的前n项和S n.