《数轴上的基本公式》教案

《数轴上的基本公式》教案
教学目标
1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义．
2．掌握数轴上两点间的距离公式．
3．掌握数轴上向量加法的坐标运算．
4．理解向量相等及零向量的概念．
教学重难点
1．理解和掌握数轴上的基本公式；
2．熟练应用数轴上的基本公式；
教学关键
1．判断一个量是否为向量，就是要判断该向量是否既有大小，又有方向；
2．注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个正数，而向量的坐标是一个实数（正数，负数，零）；
3．数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标．
教学过程
一、研习点
研习点1：直线坐标系
1．直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系．如图：
2．数轴上的点P 与实数x 的对应法则：
如果点P 在原点朝正向的一侧，则x 为正数，且等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点朝负向的一侧，则x 为负数，其绝对值等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点，则表示x =0，由此，实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系；
3．如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )；
研习点2：向量
1．既有大小又有方向的量，叫做位移向量，简称向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ，
读作“向量AB ”．点A 叫做向量AB 的起点，点B 叫做向量AB 的终点；
2．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |；
3．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量；
4．数量：用实数表示数轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量．
常用AB 表示向量AB 的坐标．
研习点3：如何理解相等向量？
1．数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量，定义中没有对向量的起点和终点作出限制，实际上不管起点在什么位置，只要方向相同，长度相等，这样的向量就是相等向量．
2．相等的向量，坐标相等，反之，如果数轴上的两个向量的坐标相等，则这两个向量相等．
3．如果把相等的所有向量看成一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．
研习点4：基本公式
1．位移的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC
叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+ ;
2．数量的和：对数轴上任意三点A 、B 、C 都有关系AC =AB +BC ；
3．数量的坐标表示：使AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB =x 2
－x 1；
4．数轴上两点间的距离公式：用d (A ，B )表示A 、B 两点间的距离，则d (A ，B )=|x 2－x 1|．
二、例题
例1．下列说法中，正确的是（ ）
（A ）AB =AB （B ）AB =BA
（C ）零向量是没有方向的 （D ）相等的向量的坐标（数量）一定相同
解：根据向量和数量的定义可知D 正确．
例2．在数轴上表示下列各点：A (－3)，B (－1)，C (1)，D (2)，并找出与C 的距离是1 两点M 、N ，并写出它们的坐标．
解：如图
与C 的距离是1的点M 、N 分别位于点C 的两侧：M (0)，N (2)，点N 与点D 重合
例3．已知A 、B 、C 是数轴上任意三点，
（1）若AB =5，CB =3，求AC ；
（2）证明：AC +CB =AB ；
（3）若|AB |=5，|CB |=3，求|AC |．
解：（1）AC =AB +BC =AB －CB =2．
（2）设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为x 1，x 2，x 3，则AC =x 3－x 1，CB =x 2－x 3，AB =x 2－x 1，∴AC +CB =(x 3－x 1)+(x 2－x 3)=(x 2－x 1)=AB ．
（3）AC =2或8．
三、教考动向与演练
1．在下列四个命题中，正确的是（ D ）
（A ）两点A 、B 惟一确定一条有向线段
（B ）起点为A ，终点为B 的有向线段记作AB
（C ）有向线段AB 的数量AB =－|BA |
（D ）两点A 、B 惟一确定一条线段
2．对于数轴上任意三点A 、B 、O ，如下关于有向线段的数量关系不恒成立的是（ D ）
（A ）AB =OB －OA （B ）AO +OB +BA =0
（C ）AB =AO +OB （D ）AB +AO +BO =0
3．若点A 、B 、C 、D 在一条直线上，BA =6，BC =－2，CD =6，则AD 等于（ B ）
（A ）0 （B ）－2 （C ）10 （D ）－10
4．如图所示，设AB 是x 轴上的一个向量，O 是原点，则下列各式中不成立的是（ B ）
（A ）OA =||OA （B ）OB =||OB （C ）AB =OB －OA （D ）BA =OA －OB
5．在数轴上已知点B 的坐标为3，AB =4，则点A 的坐标为 －1 ；已知点B 的坐标为2，||BA =2，则点A 的坐标为 0或4 ；已知点B 的坐标为－1，BA =2，则点A 的坐 1．
6．数轴上一点P (x )，它到点A (－8)的距离是它到点B (－4)距离的2倍，则x = 0 或163
．
7．已知数轴上A 、B 、C 的坐标分别为&－3，7，9，则AB +BC +CA = 0 ，||||||AB BC CA ++ = 24 ．
8．在数轴上M 、N 、P 的坐标分别为3，－1，－5，则MP +PN 等于（ A ）
（A ）－4 （B ）4 （C ）－12 （D ）12
9．数轴上任取三个不同点P 、Q 、R ，则一定为零值的是（ D ）
（A ）PQ +P R （B ）PQ +R Q （C ）PQ +Q R+P R （D ）PQ +Q R+R P
10．数轴上两点A (2x )，B (2x +a )，则A 、B 两点的位置关系为（ D ）
（A ）A 在B 左侧 （B ）A 在B 右侧 （C ）A 与B 重合 （D ）由a 的取值决定
11．在数轴上从点A (－2)引一线段到B (3)，再延长同样的长度到C ，则点C 的坐标为（ C ）
（A ）13 （B ）0 （C ）8 （D ）－2
12．已知数轴上两点A (x 1)，B (x 2)，则线段AB 中点坐标为 122
x x + ． 13．已知数轴上两点A (a )，B (5．5)，并且d (A ，B )=7．5，则a = －2或13 ；若AB =7．5，则a = －2 ．
14．下列各组点中，点B 在点A 右侧的是 ②④⑤ ．
①A (－3)和B (－4)，②A (a )和B (a +1)，③A (a )和B (3a )，④A (－2)和B (0)，⑤A (a )和B (b )，(其中a <b )，⑥A (2x )和B (x 2)，
15．对于数轴上任意四点A 、B 、C 、D ，求证：AC +BD =AD +BC ．。