《数轴上的基本公式》教案

《数轴上的基本公式》教案

教学目标

1．理解实数与数轴上的点的对应关系，理解实数运算在数轴上的几何意义．

2．掌握数轴上两点间的距离公式．

3．掌握数轴上向量加法的坐标运算．

4．理解向量相等及零向量的概念．

教学重难点

1．理解和掌握数轴上的基本公式；

2．熟练应用数轴上的基本公式；

教学关键

1．判断一个量是否为向量，就是要判断该向量是否既有大小，又有方向；

2．注意向量的长度与向量的坐标之间的区别：向量的长度是一个正数，而向量的坐标是一个实数（正数，负数，零）；

3．数轴上一个向量的坐标等于其终点坐标减去起点坐标．

教学过程

一、研习点

研习点1：直线坐标系

1．直线坐标系：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或说在这条直线上建立了直线坐标系．如图：

2．数轴上的点P 与实数x 的对应法则：

如果点P 在原点朝正向的一侧，则x 为正数，且等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点朝负向的一侧，则x 为负数，其绝对值等于点P 到原点的距离；如果点P 在原点，则表示x =0，由此，实数集和数轴上的点之间建立了一一对应关系；

3．如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )；

研习点2：向量

1．既有大小又有方向的量，叫做位移向量，简称向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ，

读作“向量AB ”．点A 叫做向量AB 的起点，点B 叫做向量AB 的终点；

2．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |；

3．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量；

4．数量：用实数表示数轴上的一个向量，这个实数叫做向量的坐标或数量．

常用AB 表示向量AB 的坐标．

研习点3：如何理解相等向量？

1．数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量，定义中没有对向量的起点和终点作出限制，实际上不管起点在什么位置，只要方向相同，长度相等，这样的向量就是相等向量．

2．相等的向量，坐标相等，反之，如果数轴上的两个向量的坐标相等，则这两个向量相等．

3．如果把相等的所有向量看成一个整体，作为同一个向量，则实数与数轴上的向量之间是一一对应的．

研习点4：基本公式

1．位移的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC

叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+ ;

2．数量的和：对数轴上任意三点A 、B 、C 都有关系AC =AB +BC ；

3．数量的坐标表示：使AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为x 1，点B 的坐标为x 2，则AB =x 2

－x 1；

4．数轴上两点间的距离公式：用d (A ，B )表示A 、B 两点间的距离，则d (A ，B )=|x 2－x 1|．

二、例题

例1．下列说法中，正确的是（ ）

（A ）AB =AB （B ）AB =BA

（C ）零向量是没有方向的 （D ）相等的向量的坐标（数量）一定相同

解：根据向量和数量的定义可知D 正确．

例2．在数轴上表示下列各点：A (－3)，B (－1)，C (1)，D (2)，并找出与C 的距离是1 两点M 、N ，并写出它们的坐标．

解：如图

与C 的距离是1的点M 、N 分别位于点C 的两侧：M (0)，N (2)，点N 与点D 重合

例3．已知A 、B 、C 是数轴上任意三点，

（1）若AB =5，CB =3，求AC ；

（2）证明：AC +CB =AB ；

（3）若|AB |=5，|CB |=3，求|AC |．

解：（1）AC =AB +BC =AB －CB =2．

（2）设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为x 1，x 2，x 3，则AC =x 3－x 1，CB =x 2－x 3，AB =x 2－x 1，∴AC +CB =(x 3－x 1)+(x 2－x 3)=(x 2－x 1)=AB ．

（3）AC =2或8．

三、教考动向与演练

1．在下列四个命题中，正确的是（ D ）

（A ）两点A 、B 惟一确定一条有向线段

（B ）起点为A ，终点为B 的有向线段记作AB

（C ）有向线段AB 的数量AB =－|BA |

（D ）两点A 、B 惟一确定一条线段

2．对于数轴上任意三点A 、B 、O ，如下关于有向线段的数量关系不恒成立的是（ D ）

（A ）AB =OB －OA （B ）AO +OB +BA =0

（C ）AB =AO +OB （D ）AB +AO +BO =0

3．若点A 、B 、C 、D 在一条直线上，BA =6，BC =－2，CD =6，则AD 等于（ B ）

（A ）0 （B ）－2 （C ）10 （D ）－10

4．如图所示，设AB 是x 轴上的一个向量，O 是原点，则下列各式中不成立的是（ B ）

（A ）OA =||OA （B ）OB =||OB （C ）AB =OB －OA （D ）BA =OA －OB

5．在数轴上已知点B 的坐标为3，AB =4，则点A 的坐标为 －1 ；已知点B 的坐标为2，||BA =2，则点A 的坐标为 0或4 ；已知点B 的坐标为－1，BA =2，则点A 的坐 1．

6．数轴上一点P (x )，它到点A (－8)的距离是它到点B (－4)距离的2倍，则x = 0 或163

．