第二章 谓词逻辑
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第二章 谓词逻辑
在D上是等值的，记作AB。
定义’ 设A,B是公式，如有AB为永真公式则称其
为等价永真公式，记为AB ，称A与B等值。
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二、一阶逻辑等值式
三、应用
32
第二节 一、前束范式的概念
一阶逻辑前束范式
定义 一个公式的所有量词均非否定地出现在在公 式的最前面，其辖域延伸到公式的末尾，且其中不 含有→，联结词，则该公式称为前束范式。即具 有下列形式的公式：
xywt(﹁A(x,w)∨﹁A(x,z)∨B(u,v,t))
35
(2)﹁x(yP(x,y)→xy(Q(x,y)∧y(P(y,x)→Q(x,y)))) 解﹁x(yP(x,y)→xy(Q(x,y)∧y(P(y,x) →Q(x,y)))) ﹁x(﹁yP(x,y)∨xy(Q(x,y)∧y(﹁P(y,x)
是确定的。
23
2、改名规则和代入规则
a、改名规则——约束变元的更改
对公式中的约束变元改名时，应遵循下列规则：
(1)改名时需要改的变元符号的范围是量词中的变元 以及该量词辖域中此变元的所有约束出现处，而在 公式的其他部分不变。 (2)改名时所取的符号一定没有在量词辖域内出现过。
24
b、代入规则——自由变元的更改
(3)函数符号：f,g,h…
(4)谓词符号：F,G,H…
(5)联结词： ﹁, ∧, ∨, →, (6)量词： , (7)括号：（，）
18
2、公式概念
(a)项 定义 (1)个体常量是项；(2)个体变量是项；
(3)设f为n元函数符, x1,x2,…,xn是项，则
f(x1,x2,…,xn)是项；
6
三、量词
定义 表示个体常项或变项之间数量关系的词称 为量词。量词分为两类：全称量词x和存在量词 x，分别表示所有的个体x和存在一个个体x。 [注] a)x后面括号内的式子称为全称量词的辖域； x后面括号内的式子称为存在量词的辖域。
第二章谓词逻辑
主语一般是客体，可以独立存在，可以是具体的
事物也可以是抽象的概念 用以刻划客体性质或关系的是谓词。 原子命题组成：客体、谓词。
第二章
谓词逻辑
谓词：用来刻划个体词的性质或个体词之间相互关系的词。 例如: ① 在命题“ 2 是无理数”中，“…是无理数”是 谓词。 ② 在命题“x 是有理数”中，“…是有理数”是谓词。 ③ 在命题“小王与小李同岁”中，“…与…同岁”是 谓词。 ④ 在命题“x与y具有关系L”中，“…与…具有关系L” 是谓词。
第二章 2.2
谓词逻辑
命题函数与量词
使用量词时应注意以下几点： 1、不同的个体域中，命题符号化的形式可能不一样； 2、若事先没有给出个体域，都应以全总个体域为个体域； 3、引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词形式不同； 4、个体域为有限集时如D={a1、…、an}，对任意谓词 A(x)有： A(a1)、A(a2)、…、A(an) 5、多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序。
第二章
谓词逻辑
苏格拉底三段论：
2.1 谓词的概念与表示
所有人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底 是要死的。 用P,Q,R分别表示以上三个命题。 则得到推理的形式结构为： (P∧Q)→R
第二章
谓词逻辑
2.1 谓词的概念与表示
谓词逻辑命题符号化的三个基本要素：客体词、 谓词、量词。 反映判断的句子由主语和谓语组成。
第二章 2.2
谓词逻辑
命题函数与量词
量词: 表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词只有两个：全称量词、存在量词。
(1) 全称量词：表示“全部”含义的词。全称量词统 一符号化为“”。
注：a. 常用语中“全部”、“所有的”、“一 切”、“每一个”、“任何”、“任意的”、“凡”、 “都”等词都是全称量词。
第02章谓词逻辑
然而，(P∧Q)R并不是永真式，故上述 推理形式又是错误的。一个推理，得出矛盾的 结论
问题在哪里呢? ? ?
问题就在于这类推理中，各命题之间的逻辑关系 不是体现在原子命题之间，而是体现在构成原子命题 的内部成分之间，即体现在命题结构的更深层次上。
对此，命题逻辑是无能为力的。 所以，在研究某些推理时，有必要对原子命题作
③符号!称为存在唯一量词符，用来表达 “恰有一个”、“存在唯一”等词语；!x称为 存在唯一量词，称 x 为指导变元。
全称量词、存在量词、存在唯一量词统称量 词。
量词记号是由逻辑学家Fray引入的，有了量 词之后，用逻辑符号表示命题的能力大大加强了。
例：(1) 所有的人都是要死的。
(2) 有的人活百岁以上。 一、考虑个体域 D 为人类集合
列规则形成的符号串： P60 ① 原子谓词公式是谓词合式公式；
② 若A是谓词合式公式，则(¬A)是谓词合式公式； ③ 若A、B是谓词合式公式，则(A∧B)，(A∨B)， (AB)和(AB)都是谓词合式公式； ④ 若A是谓词合式公式，x是个体变元，则(x)A、 (x)A都是谓词合式公式； ⑤ 只有经过有限项次地使用①、②、③、④形成的 才是谓词合式公式。——简称为谓词公式。
例如：令 f(x,y) 表示 x+y，谓词 N(x) 表示x是 自然数，那么 f(2,3) 表示个体自然数 5，而 N(f(2,3))表示 5是自然数。
这里函数是就广义而言的。
例如：P(x): x是教授，f(x): x的父亲，c: 张 强，那么 P(f(c)) 便是表示“张强的父亲是教授” 这一命题。
客体——是指可以独立存在的，它可以是具体
的事物，也可以是抽象的概念。
如：李明，计算机，玫瑰花，自然数，思想，定 理等。
第二章 谓词逻辑
例6 设个体域是人类，
每个人都有人爱，但没有人为所有人爱。 用L(x,y)表示“x爱y” 它可译为 x yL(y,x) ∧┐y x L(x,y)
例7 每人都有自己喜欢的水果，有人喜欢所有的水果。 F(x)：x是水果 M(x):x是人 L(x,y):x喜欢y x(M(x)→y (F(y)∧L(x,y)))∧x(M(x)∧y(F(y)→L(x,y)))
F(x,y)x摆满了y。 R(x)x是大红书柜。 Q(y)y是古书。
a这只 b那些 R(a)Q(b)F(a,b)
例5 所有运动员都钦佩一些教练员。
设：S（x）：x是运动员； J（x）：x是教练员； L（x,y）：x钦佩y。 谓词符号化为： (x)(S(x)→(y)(J(y)∧L(x,y)))
A(x)中的约束出现；约束出现的变元称为约束变元； A(x)中不是约束出现的其它变元称为该变元的自由 出现，自由出现的变元成为自由变元。
例1(x)(A(x)(y)Q(x,y)) 解：由x后的（），x是指导变元，x的辖域是 后面整个式子，y是指导变元，辖域仅Q（x，y） 此部分。x两次出现均是约束出现，y的一次出现 是约束出现，故x，y是约束变元，而不是自由变 元。 例2(x)F(x)G(x,y) 解：x的辖域仅F(x),x是指导变元，变元x第一次 出现是约束出现，第二次出现是自由出现，y的出 现是自由出现。所以第一个x是约束变元，第二个x 是自由变元，本质上这两个x的含义是不同的；而y 仅是自由变元。
关于特性谓词的说明
M(x):x是人 B(x):x勇敢 D(x):x是要死的 x (M(x)∧B(x))（有人勇敢) x(M(x)→D(x))（所有人都是要死的） 对全总个体域而言，“有人勇敢”即“有个体不仅 是人而且勇敢”，M(x)与B(x)合取是当然的； 而“所有的人都是要死的”则是指“全总域中是人 的那部分个体都是要死的”，即“是人则要死” 因而M(x)与D(x)是条件关系。
离散数学第二章谓词逻辑
一般来说，当多个量词同时出现时， 它们的顺序不能随意调换。
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
*
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
*
小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
添加标题
第二章 谓 词 逻 辑
添加标题
命题函数与量词
*
当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
*
第二章 谓 词 逻 辑 命题函数与量词
当个体域为有限集合时，如D={a1, a2 …, an}，对任意谓词A(x)，有 xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an ) xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an )
特性谓词常作合取项，如x(M(x)∧ G(x))。
第二章 谓 词 逻 辑
命题函数与量词
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第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
例如：在实数域上用H(x,y)表示x+y=5，则命题“对于任意的x，都存在y使得x+y=5”可符号化为：xyH(x,y)，其真值为1。若调换量词顺序后为： yxH(x,y) , 其真值为0。
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第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
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令S(x): x吸烟。则符号化为：
（x）(M(x)∧S(x))
令D(x): x登上过木星。则符号化为：
令Q(x):x是清华大学的学生。H(x):x是高
第二章 谓 词 逻 辑 2.2 命题函数与量词
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小结:本节介绍了n元谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握全称量词和存在量词及量化命题的符号化。
添加标题
x(M(x) F(x)).
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第二章 谓 词 逻 辑
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命题函数与量词
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当个体域为全体学生的集合时：
01
令P(x): x要参加考试。则（2）符号化为
02
xP(x).
03
当个体域为全总个体域时：
04
令S(x): x是学生。则（2）符号化为
05
x(S(x) P(x)).
第2章 谓词逻辑hhs
第二章 谓词逻辑
在命题逻辑中，主要研究以原子命题为基本单 位的复合命题之间的逻辑关系和推理。 命题逻辑的推理具有很大的局：（1）所有 的人都是要死的；（2）苏格拉底是人；（3）苏 格拉底是要死的。 不难发现使用命题逻辑无法对上述三段论进行 推证。 为了解决这类推理问题，需要对命题内部进行 进一步分析，分析其中的个体、谓词、量词，研 究它们的形式结构和逻辑关系、正确的推理形式 和规则。 这些是谓词逻辑的基本研究内容。
陈述句
主语：是独立存在的个体，既可以表示一个 具体的事物，也可以表示一个抽象的概念， 一般称为个体。 谓语：用以刻画个体的性质和关系，一般称 为谓词。
例如：(1) 李四是优秀学生。(2) 张三是优秀学生。 (3) 4是偶数。(4) 武汉位于北京和广州之间。 上述语句中，李四、张三、4、武汉、北京、广州均是个体， “是三好学生”、“是偶数”、“位于…和…之间”都是谓词。 (1)、(2)、(3)句中的谓词用以指明个体的性质。(4)句中的谓词用以 指明个体之间的关系。
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2.1 谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词 2.1.2 命题函数 2.1.3 量词
定义2.1.2 由一个谓词（如P）和n个个体变元（x1, x2, …, xn） 组成的P(x1, x2, … , xn)，称为n元原子谓词或n元命题函数， 简称n元谓词。 当n=1时，P称为一元谓词；当n=2时，P称为二元谓词； 当n=0时，P称为零元谓词。零元谓词即是命题。一元谓词刻 划了个体的性质，多元谓词刻划了个体之间的关系。 个体变元的取值范围称为个体域或论域。如果不事先 指明，认为论域是一切可以作为对象的东西的集合，这样的 论域称为全总个体域。
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2.1 谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词 2.1.2 命题函数 2.1.3 量词
在命题逻辑中，主要研究以原子命题为基本单 位的复合命题之间的逻辑关系和推理。 命题逻辑的推理具有很大的局：（1）所有 的人都是要死的；（2）苏格拉底是人；（3）苏 格拉底是要死的。 不难发现使用命题逻辑无法对上述三段论进行 推证。 为了解决这类推理问题，需要对命题内部进行 进一步分析，分析其中的个体、谓词、量词，研 究它们的形式结构和逻辑关系、正确的推理形式 和规则。 这些是谓词逻辑的基本研究内容。
陈述句
主语：是独立存在的个体，既可以表示一个 具体的事物，也可以表示一个抽象的概念， 一般称为个体。 谓语：用以刻画个体的性质和关系，一般称 为谓词。
例如：(1) 李四是优秀学生。(2) 张三是优秀学生。 (3) 4是偶数。(4) 武汉位于北京和广州之间。 上述语句中，李四、张三、4、武汉、北京、广州均是个体， “是三好学生”、“是偶数”、“位于…和…之间”都是谓词。 (1)、(2)、(3)句中的谓词用以指明个体的性质。(4)句中的谓词用以 指明个体之间的关系。
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2.1 谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词 2.1.2 命题函数 2.1.3 量词
定义2.1.2 由一个谓词（如P）和n个个体变元（x1, x2, …, xn） 组成的P(x1, x2, … , xn)，称为n元原子谓词或n元命题函数， 简称n元谓词。 当n=1时，P称为一元谓词；当n=2时，P称为二元谓词； 当n=0时，P称为零元谓词。零元谓词即是命题。一元谓词刻 划了个体的性质，多元谓词刻划了个体之间的关系。 个体变元的取值范围称为个体域或论域。如果不事先 指明，认为论域是一切可以作为对象的东西的集合，这样的 论域称为全总个体域。
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2.1 谓词逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词 2.1.2 命题函数 2.1.3 量词
第二章 谓词逻辑
离散数学
第一章
例3 设Q(x,y)表示“x比y重”。 当x,y指人或物时，它是一个命题，但 若x,y指实数时，Q(x,y)就不是一个命题。
离散数学
第一章
例4 R(x)表示“x是大学生”。 如果x的讨论范围为某大学里班级中的学 生，则R(x)是永真式。 如果x的讨论范围为某中学里班级中的学 生，则R(x)是永假式。 如果x的讨论范围为一个剧场中的观众， 观众中有大学生也有非大学生，那么，对某些 观众，R(x)为真，对另一些观众，R(x)为假。 真值不理，若L(x,y)表示x小于y，那么 L(2,3) 表示一个命题：“2小于3”, 为真。 而 L(5,1) 表示一个命题：“5小于1”, 为假。 又如,A(x,y,z)表示一个关系“x加上y等于z” 则 A(3,2,5) 表示了真命题“3+2=5”，而A(1,2,4)表示了一个假命题 “1+2=4”。 从上述三个例子中可以看到 H(x)，L(x,y)，A(x,y,z) 中的x，y，z等都是客体变元。 它们很象数学中的函数，这种函数就是命题函数。
离散数学
第一章
3. 量词 使用上面所讲的一些概念，还不能用符号很好地表达 日常生活中的各种命题。 例如：S(x)表示x是大学生，而x的个体域为某单位的 职工。那么S(x)可以表示某单位职工都是大学生，也可以 表示某单位存在一些职工是大学生。 为了避免这种理解上的混乱，需要引入量词，以刻划 “所有的”和“存在一些’的不同概念。 例如: (1) 所有的人都是要呼吸的。 (2) 每个学生都要参加考试。 (3) 任何整数或是正的或是负的。 这三个例子都需要表示“对所有的x”这样的概念，为此 ，引入符号： (x) 或 (x) 表示“对所有的x”。
离散数学
第一章
离散数学-谓词逻辑
2-2.6 命题的符号化
在谓词演算中，命题的符号化比较复杂，命题的 符号表达式与论域有关系。例如 1.每个自然数都是整数。 (1).如果论域是自然数集合 N，令 I(x)：x 是整数，则命题的表达式为 xI(x) (2).如果论域扩大为全总个体域时，上述表达式xI(x)表示“所有客体都是整数”，显然这是假的命题，此 表达式已经不能表达原命题了。因此需要添加谓词 N(x)：x 是自然数，用于表明 x 的特性，于是命题的符 号表达式为: x(N(x)→I(x)) 4
则 E(a)∈{T,F}。
• 2-2.2 原子谓词公式
定义：称 n 元谓词 P(x1,x2,...,xn)为原子谓词公式。例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x))、B(x,y,a) 都是原子谓词 公式。
2-2.3 谓词合式公式 (WFF)(Well Formed Formulas)
定义：谓词合式公式递归定义如下： 1.原子谓词公式是合式公式。 2.如果 A 是合式公式，则A 也是合式公式。 3.如果 A、B 是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、(AB)都是合式公式。 4.如果 A 是合式公式，x 是Ａ中的任何客体变元，则xＡ和xＡ也是合式公式。 5.只有有限次地按规则(1)至(4)求得的公式才是合式公式。 谓词合式公式也叫谓词公式，简称公式。 下面都是合式公式： P、(P→Q)、(Q(x)∧P)、x(A(x)→B(x))、xC(x) 而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)∧Q(x)x • • 为了方便，最外层括号可以省略，但是若量词后边有括号，则此括号不能省。 注意：公式x(A(x)→B(x))中x 后边的括号不是最外层括号，所以不可以省略。
2-2.4 量词的作用域(辖域)
定义：在谓词公式中，量词的作用范围称为量词的作用域，也叫量词的辖域。 • • 例如 xA(x)中x 的辖域为 A(x). x((P(x)∧Q(x))→yR(x,y))中 x 的辖域是((P(x)∧Q(x))→yR(x,y)) y 的辖域为 R(x,y)。 • 一般地， • • • 如果量词后边只是一个原子谓词公式时，该量词的辖域就是此原子谓词公式。 如果量词后边是括号，则此括号所表示的区域就是该量词的辖域。 如果多个量词紧挨着出现，则后边的量词及其辖域就是前边量词的辖域。 xyz(A(x,y)→B(x,y,z))∧C(t)
第2章 谓词逻辑
第2章谓词逻辑本章主要内容包括谓词逻辑的基本概念、谓词逻辑命题的符号化，谓词公式及其真值，谓词公式的前束范式，重言蕴含式与推理规则等。
下面就此作一简要介绍。
一、谓词逻辑的基本概念及其符号化个体是指可以独立存在的客观实体，它可以是具体的，也可以是抽象的。
具体的特定个体称为个体常量；抽象的、泛指的或在一定范围内变化的个体称为个体变量，也称为个体变元；个体变量的取值范围称为个体域(或论域)；在命题中，表示一个个体性质、特征或多个个体之间关系的成份称为谓词；表示具体性质或关系的谓词称为谓词常量或常谓词，否则称为谓词变量。
一般用大写字母F、G、H等表示谓词，而用X、Y、Z等表示谓词变量。
表示一个个体性质的谓词称为一元谓词：表示多个个体之间关系的谓词称为多元谓词。
在命题中除了个体和谓词外，有时还出现表示数量的词称为量词。
我们讨论的量词有两个，即存在量词和全称量词。
全称量词对应于汉语中的“每个”、“所有的”、“任意的”等，用符号“∀”表示。
存在量词对应于汉语中的“有的”、“至少有一个”、“存在”等，用符号“∃”表示。
在个体域事先给定的情形下，我们只有将个体域中的每个具体的个体代入到F(x)中去确定其真假，才能断定∀xF(x)的真假。
当每一个个体都使得F(x)=1时，就有∀xF(x)=l；否则∀xF(x)=0。
对于∃F(x)，我们只要发现个体域中有(一个或多个)个体使得F(x)=1时，就有∃xF(x)=1；否则(即任何个体都使得F(x)=O)∃xF(x)=0。
在用量词符号化命题时，首先强调的是个体域，同一命题在不同的个体域内可能有不同的符号化形式，同时也可能有不同的真值，因此必须先清楚个体域，不先确定所考虑的个体域就不能准确地表达原命题的意思。
为了解决这一问题，使得符号化表达式有确定的含义而不需事先考虑个体域，我们在符号化表达式中增加一个指出个体变量的变化范围的谓词，这样就可以不需事先考虑个体域而能够准确地把命题的意思表示出来。
第2章 谓词逻辑
（3）不是所有的人都喜欢看电影。 解：令F(x)：x是人，G(x)：x喜欢看电影。 则命题表示为：(x)(F(x)G(x))
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第二章 谓词逻辑
练习
在谓词逻辑中将下列命题符号化（个体域为全体鸟类）： (1) 所有蜂鸟都有鲜艳的羽毛。 (2) 没有大鸟以蜂蜜为食。 (3) 不以蜂蜜为食的鸟类有灰暗的羽毛。 (4) 蜂鸟是小鸟。 解：设P(x)：x是蜂鸟， Q(x)：x是大鸟，R(x)：x以蜂蜜为 食。S(x)：x有鲜艳的羽毛。
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第二章 谓词逻辑
6. 多个量词同时出现时,不能随意颠倒它们 的顺序，颠倒后会改变原命题的含义
例：取个体域为实数集：
考虑命题： 对任意的x，存在着y，使得x+y=5
H(x,y): x+y=5 真命题 符号化为：∀x∃yH(x,y)，
但颠倒量词顺序得：∃y∀xH(x,y)，表示的含义：
存在着y，对任意的x，都有x+y=5，假命题
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第二章 谓词逻辑
§2-1-3 谓词逻辑命题符号化
例2-1.3 用谓词逻辑符号化下列命题。 （1）所有大学生都爱学习。 解：令S(x)：x是大学生，L(x)：x爱学习，(x)(S(x)L(x)) （2）每个自然数都是实数。 解：令N(x)：x是自然数，R(x)：x是实数，(x)(N(x)R(x))
6
第二章 谓词逻辑 定义2-1.1 一个原子命题用一个谓词（如P）和n个有次 序的个体常元（如a1，a2，…，an）表示成P(a1，a2，…， an)，称它为该原子命题的谓词形式或命题的谓词形式。 定义2-1.2 由一个谓词（如P）和n个体变元（如x1， x2，…，xn）组成的P(x1，x2，…，xn)，称为n元原子谓词 或n元命题函数，简称n元谓词。 • n=1，一元谓词——表示性质 • n2，多元谓词——表示事物之间的关系， • 例如：L(x,y)：xy • 0元谓词——不含个体变元的谓词——命题常元或变元； 例如：ab:a取为2,b取为3 命题看成谓词的特殊情况，命题逻辑的联结词均可应用。
离散数学_谓词逻辑
(3) 当个体域为全体整数的集合时： 令P(x): x是正的。N(x): x是负的。则（3）符 号化为 （x）(P(x)∨N(x)) 当个体域为全总个体域时： 令I(x): x是整数。则（3）符号化为 （x）(I(x)(P(x)∨N(x))).
全称量词的一些重要性质： 设P是任意的命题，F(x)与A(x,y)均为谓词， 则有：
【例】设 P 表示命题：张辉是工人。 Q 表示命题：李明是工人。 仅仅从命题符号 P 和 Q 看不出张辉和李明 都是工人这一特性。 【例】 x=3 ? x+y=z ? f(x)=0 ?
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression) 谓词：用来刻划个体的性质或个体之间的相互关系的词。 例如在下面命题中： （1）张明是个劳动模范。 （2）李华是个劳动模范。 刻划客体的性质 （3）王红是个大学生。 （4）小李比小赵高2cm。 （5）点a在b与c之间。 刻划客体之间的相互关系 （6）阿杜与阿寺同岁。 （7） x与y具有关系L。 “是个劳动模范”、“是个大学生”、“…比…高2cm”、 “… 在…与…之间”、“…与…具有关系L”都是谓词。
2.1 谓词的概念与表示(Predicate and Its Expression)
（2）当个体域为人类集合时： 令G(x): x活百岁以上。则（2）符号化为 （ x）G(x) 当个体域为全总个体域时： 令M(x): x是人。则（2）符号化为 （x） (M(x) ∧ G(x))
存在量词的一些重要性质： 设P是任意的命题，F(x)与A(x,y)均为谓词， 则有：
第二章 谓词逻辑
2-7
第２章 谓词逻辑
【例2.1.1】 将下列语句形式化为谓词逻辑 】 中的命题或命题函数。 中的命题或命题函数。 （1）小王是二年级大学生。 ）小王是二年级大学生。 （2）小王是李老师的学生。 ）小王是李老师的学生。 （3）如果 且y≤x，则x=y。 ）如果x≤y且 ， 。 是大学生； （ ） 解：（1）令F（x）：x是大学生；G（x）：x ） （ ） 是大学生 是二年级的； ：小王。则原句形式化为： 是二年级的；a：小王。则原句形式化为： F（a）∧G（a）。 （ ） （ ）
（ （ ） （ ）） ∀ x（H（x）→F（x））
2-13
第２章 谓词逻辑
（ 2） 引入特性谓词 （ x） ： x是我们班 ） 引入特性谓词W（ ） 是我们班 的人。 （ ） 会吸烟。 的人。 G（x） ：x会吸烟。 会吸烟 "我们班有人吸烟 的涵义可以这样理解： 我们班有人吸烟"的涵义可以这样理解 ： 我们班有人吸烟 的涵义可以这样理解 在宇宙间的万物（全总个体域） 在宇宙间的万物（全总个体域）中，有一个子 我们班， 吸烟的人。 集 --我们班 ， 还有另一个子集 吸烟的人 。 强 我们班 还有另一个子集--吸烟的人 调的是既在我们班，又吸烟的的人， 调的是既在我们班，又吸烟的的人，所以是两 个子集的交集。特性谓词用合取项加入。 个子集的交集。特性谓词用合取项加入。则原 句可形式化为： 句可形式化为：
2-9
第２章 谓词逻辑
前两句均是命题， 前两句均是命题 ， 第三句因为含有变元 所以是命题函数。 但实际上我们知道， 所以是命题函数 。 但实际上我们知道 ， 只要 限制在数的范围内， 将 x、 y限制在数的范围内 ， 第三句是定理 ， 、 限制在数的范围内 第三句是定理， 是永真的。 这就涉及到了个体域。 是永真的 。 这就涉及到了个体域 。 在简单命 题中，常有一些表示数量关系的词语，诸如" 题中，常有一些表示数量关系的词语，诸如 所有的"、 有一些 等等， 有一些"等等 所有的 、"有一些 等等，用来表示论域中的 全体或部分个体， 在谓词逻辑中， 我们用量 全体或部分个体 ， 在谓词逻辑中 ， 词把它们形式化。 词把它们形式化。
第２章 谓词逻辑
【例2.1.1】 将下列语句形式化为谓词逻辑 】 中的命题或命题函数。 中的命题或命题函数。 （1）小王是二年级大学生。 ）小王是二年级大学生。 （2）小王是李老师的学生。 ）小王是李老师的学生。 （3）如果 且y≤x，则x=y。 ）如果x≤y且 ， 。 是大学生； （ ） 解：（1）令F（x）：x是大学生；G（x）：x ） （ ） 是大学生 是二年级的； ：小王。则原句形式化为： 是二年级的；a：小王。则原句形式化为： F（a）∧G（a）。 （ ） （ ）
（ （ ） （ ）） ∀ x（H（x）→F（x））
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第２章 谓词逻辑
（ 2） 引入特性谓词 （ x） ： x是我们班 ） 引入特性谓词W（ ） 是我们班 的人。 （ ） 会吸烟。 的人。 G（x） ：x会吸烟。 会吸烟 "我们班有人吸烟 的涵义可以这样理解： 我们班有人吸烟"的涵义可以这样理解 ： 我们班有人吸烟 的涵义可以这样理解 在宇宙间的万物（全总个体域） 在宇宙间的万物（全总个体域）中，有一个子 我们班， 吸烟的人。 集 --我们班 ， 还有另一个子集 吸烟的人 。 强 我们班 还有另一个子集--吸烟的人 调的是既在我们班，又吸烟的的人， 调的是既在我们班，又吸烟的的人，所以是两 个子集的交集。特性谓词用合取项加入。 个子集的交集。特性谓词用合取项加入。则原 句可形式化为： 句可形式化为：
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第２章 谓词逻辑
前两句均是命题， 前两句均是命题 ， 第三句因为含有变元 所以是命题函数。 但实际上我们知道， 所以是命题函数 。 但实际上我们知道 ， 只要 限制在数的范围内， 将 x、 y限制在数的范围内 ， 第三句是定理 ， 、 限制在数的范围内 第三句是定理， 是永真的。 这就涉及到了个体域。 是永真的 。 这就涉及到了个体域 。 在简单命 题中，常有一些表示数量关系的词语，诸如" 题中，常有一些表示数量关系的词语，诸如 所有的"、 有一些 等等， 有一些"等等 所有的 、"有一些 等等，用来表示论域中的 全体或部分个体， 在谓词逻辑中， 我们用量 全体或部分个体 ， 在谓词逻辑中 ， 词把它们形式化。 词把它们形式化。
第二章 谓词逻辑
§5谓词演算的等价式与蕴含式 谓词演算的等价式与蕴含式
命题逻辑 ¬¬Ｐ⇔Ｐ Ｐ∨Ｐ⇔Ｐ
《定义》给定谓词公式A，E是A的个体域。若给A中客体 定义》 变元指派E中的每一个客体所得命题的值均为真，则称A在 在 E中是永真的 中是永真的。若E为任意域则称A是永真的 是永真的。 中是永真的 是永真的
§5谓词演算的等价式与蕴含式 谓词演算的等价式与蕴含式
《定义》给定谓词公式A，E是A的个体域。若给A中客体变 定义》 元指派E中客体时在E中存在一些客体，使得指派后的真值为 “T”，则A称是可满足的 可满足的。 可满足的 《定义》若给A中客体变元指派个体域中任一客体名称，使 定义》 命题的值均为“F”，则称A是永假的 永假的。 永假的 1.不含量词的谓词公式的永真式 : 不含量词的谓词公式的永真式 只要用原子谓词公式 原子谓词公式去代永真命题公式中的原子命题变元 原子命题变元， 原子谓词公式 原子命题变元 则在第一章中永真蕴含式和等价公式均可变成谓词演算中的 永真式。
§1 谓词的概念与表示法
1.谓词： 谓词： 谓词 定义》 谓词。 《定义》：用以刻划客体的性质或关系的词即是谓词 谓词 我们可把陈述句分解为二部分： 主语（名词，代词）和谓语（动词）。 例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李 明”，则可用下列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。 H作为“谓词”（或者谓词字母）用大写英文字母表示， j,m为主语，称为“客体”或称“个体”。
§4 变元的约束
（2）个体域不同，则表示同一命题的值也不同。Q(x): x<5 ）
∀xQ(x) ∃xQ(x)
{-1,0,3} T T
{-3,6,2} F T
第二章谓词逻辑
特性谓词在加入到命题函数中式遵循如下规 则：
(1).对应全称量词，刻划其对应个体域的特性 谓词作为蕴含式的前件加入；
(2).对应存在量词，刻划其对应个体域的特性 危险作为合取项加入。
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2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
•例2-5：符号化下列语句。
(1).天下乌鸦一般黑； (2).那位身体强健的，用功的，肯于思考问题的大学
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Hale Waihona Puke 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
•例2-2：符号化如下命题。
P：上海是一个现代化城市； Q：甲是乙的父亲； R：3介于2和5之间； T：布什和萨达姆是同班同学。
• 注意：
(1).谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如前面的F (b, c)与F (c, b)的真值就不同；
(2).一元谓词用以描述一个个体的某种特性，而n元 谓词则用以描述n个个体之间的关系；
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2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
2.1.3谓词的语言翻译
设G (x)是关于x的一元谓词，D是其个体域， 任取x0∈D，则G (x0)是一个命题。
(x)G(x)是这样的一个命题:“对任意x， x∈D，G(x)都成立”其真值规定如下：
1对所 x 有 D ，的 都 G( 有 x 1) ( x)G (x) 0否则。
任意的n个项，则f(t1, t2, …, tn)是项； (3).所有的项都是有限次使用(1)，(2)得到的。
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2.2 谓词的合式公式及解释
我们定义的项，包括了常量，变量及函数。 例如，x，a，f(x, a)，f(g(x, a),b)，h(x)均是项。
函数的使用，能给谓词表示带来很大的方便。
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(1).对应全称量词，刻划其对应个体域的特性 谓词作为蕴含式的前件加入；
(2).对应存在量词，刻划其对应个体域的特性 危险作为合取项加入。
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2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
•例2-5：符号化下列语句。
(1).天下乌鸦一般黑； (2).那位身体强健的，用功的，肯于思考问题的大学
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Hale Waihona Puke 2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
•例2-2：符号化如下命题。
P：上海是一个现代化城市； Q：甲是乙的父亲； R：3介于2和5之间； T：布什和萨达姆是同班同学。
• 注意：
(1).谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如前面的F (b, c)与F (c, b)的真值就不同；
(2).一元谓词用以描述一个个体的某种特性，而n元 谓词则用以描述n个个体之间的关系；
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2.1 谓词逻辑的基本概念与表示
2.1.3谓词的语言翻译
设G (x)是关于x的一元谓词，D是其个体域， 任取x0∈D，则G (x0)是一个命题。
(x)G(x)是这样的一个命题:“对任意x， x∈D，G(x)都成立”其真值规定如下：
1对所 x 有 D ，的 都 G( 有 x 1) ( x)G (x) 0否则。
任意的n个项，则f(t1, t2, …, tn)是项； (3).所有的项都是有限次使用(1)，(2)得到的。
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2.2 谓词的合式公式及解释
我们定义的项，包括了常量，变量及函数。 例如，x，a，f(x, a)，f(g(x, a),b)，h(x)均是项。
函数的使用，能给谓词表示带来很大的方便。
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第二章 谓词逻辑
离散数学
第二章 谓词逻辑
引言
命题逻辑好像功能强大，但还是有些问题难以解决。 如杨圣洪要喝水、刘翔要喝水、姚明要喝水、姚晨要喝 水、刘德华要喝水、……，可归纳为“某某要喝水”，无 法表示。 所有的人都要呼吸、喝水、吃饭……，“所有”如何表 示呢？ 有些人要升官、有些人要失恋……，“有些”又如何表 示？ 所有男人都会多看几眼漂亮女人 所有女人都会多喜欢漂亮的衣服 又如有名三段论：所有人都是要变老的，杨圣洪是人， 所以杨圣洪也会变老的，无法表示。 为此需要我们学习新的逻辑工具-谓词逻辑或一阶逻辑
量词
当论述域中的元素个数有限时，例如，论述域为n个元 素的集合{a1，a2，a3，an}时，有 x A(x) A(a1) A(a2) A(a3) A(an) x A(x) A(a1) A(a2) A(a3) A(an)
例题
若P(x)是语句“x2>10”，论述域为不超过4的正整数， xP(x)和x P(x)的真值是什么？ 解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
例题
设P(x，y)表示“x+y>10”，论述域为实数，xyP(x， y)和yxP(x，y)的真值是什么？ 解：
这些表示谓语部分的大写字母，称为“谓词”。
基本概念
2、个体常元 表示某种判断的语句一般都有主语。
主语是表示某个、某些客体，也称为个体。
如“刘翔”、“姚明”。 为了描述方便，常用小写字母表示这些个体。 如a表示“刘翔”， c表示“姚明”， 这些表示具体个体的小写字母，称为“个体常元”或个 体常量。 其他学科中，也是用字母表中靠前的字母表示常量。
第二章 谓词逻辑
引言
命题逻辑好像功能强大，但还是有些问题难以解决。 如杨圣洪要喝水、刘翔要喝水、姚明要喝水、姚晨要喝 水、刘德华要喝水、……，可归纳为“某某要喝水”，无 法表示。 所有的人都要呼吸、喝水、吃饭……，“所有”如何表 示呢？ 有些人要升官、有些人要失恋……，“有些”又如何表 示？ 所有男人都会多看几眼漂亮女人 所有女人都会多喜欢漂亮的衣服 又如有名三段论：所有人都是要变老的，杨圣洪是人， 所以杨圣洪也会变老的，无法表示。 为此需要我们学习新的逻辑工具-谓词逻辑或一阶逻辑
量词
当论述域中的元素个数有限时，例如，论述域为n个元 素的集合{a1，a2，a3，an}时，有 x A(x) A(a1) A(a2) A(a3) A(an) x A(x) A(a1) A(a2) A(a3) A(an)
例题
若P(x)是语句“x2>10”，论述域为不超过4的正整数， xP(x)和x P(x)的真值是什么？ 解 由于论述域为{1，2，3，4}，命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(1)即“12>10”为假，所以x P(x)为假。 命题xP(x)为
x P(x) P(1) P(2) P(3) P(4)
而P(4)即“42>10”为真，所以x P(x)为真。
例题
设P(x，y)表示“x+y>10”，论述域为实数，xyP(x， y)和yxP(x，y)的真值是什么？ 解：
这些表示谓语部分的大写字母，称为“谓词”。
基本概念
2、个体常元 表示某种判断的语句一般都有主语。
主语是表示某个、某些客体，也称为个体。
如“刘翔”、“姚明”。 为了描述方便，常用小写字母表示这些个体。 如a表示“刘翔”， c表示“姚明”， 这些表示具体个体的小写字母，称为“个体常元”或个 体常量。 其他学科中，也是用字母表中靠前的字母表示常量。
第二章 谓词逻辑
练习：将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）凡正数都大于零。 （2）存在小于2的素数。 （3）没有不能表示成分数的有理数。 （4）并不是所有参加考试的人都能取得好 成绩。 解： （1） 令F (x): x是正数。M (x): x大于零。 则符号化为： (x) (F (x) M (x)) 真值为1。
（2） 令E (x): x小于2。S (x): x是素数。 则符号化为： (x) (E (x) ∧S (x)) 真值为0。 （3）令D (x): x是有理数。 F (x): x能表示成分数。 则符号化为： (x) (D (x) F (x)) 或¬(x) (D (x) ∧¬F (x)) 真值为１。 （4）令M (x)：x是人. Q (x): x参加考试。 H (x): x取得好成绩。则符号化为： ¬(x) (M (x)∧ Q (x) H (x)) 或 (x) (M (x)∧ Q (x) ∧¬H (x)) 真值不定。
例3：设x, y, z是整数，将下列命题符号化 （1）对一切x成立x+0=x。 （2）对于任意x, y有z满足x + y =z。 （3）对于任意x和任意y均有x y=y。 （4）有一个x使得x y=y对一切y成立。 解: (1)(x)(x+0=x) (2) (x) (y) (z) (x + y =z) (3) (x) (y) (x y =y) (4) (x) (y) (x y =y)
但这两个命题有共同点，即它们的谓语部 分是相同的，因此我们用符号表示这两个 命题时既要考虑它们的不同又要考虑它们 的相同之处，所以我们可以用P表示它们相 同的谓语部分“是工人”而用a, b 表示张 三；李四，则这两个命题可表示为P(a), P(b)。 谓词逻辑就是对原子命题的成份、结 构和原子命题间的共同特性等作了进一步 分析。引入了个体词、谓词、量词、谓词 公式等概念，在此基础上研究谓词公式间 的等值关系和蕴含关系，并且对命题逻辑 中的推理规则进行扩充和进行谓词演绎。
第二章 谓词逻辑
例 在一阶逻辑中将下面命题符号化 （1） 人都爱美 （2） 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D=“人类集合”={x | x 是人} (b) D 为全总个体域 解：(a) （1）xG(x), G(x)：x 爱美 （2）xG(x), G(x)：x 用左手写字 (b) F(x)：x 为人，G(x)：同(a)中
例 判断下列公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ （1）x(F(x)G(x)) （2）x(F(x)G(x)) （3）xF(x)(xyG(x,y)xF(x)) （4）(xF(x)yG(y))yG(y) 解 （1）（2）为可满足式. （3）为 p(qp)（重言式） ， 的代换实例，故为永真式. （4）为(pq)q（矛盾式） 的代换实例，故为永假式.
习题课
一、主要内容与要求 1．主要内容 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 F 的合式公式、闭式 F 的解释 公式的类型：永真式、矛盾式、可满足式
2.
要求 （1）准确地将给定命题在 F 中符号化 当指定个体域时，就使用它 当没指定个体域时，就使用全总个体域 在符号化时注意两个基本公式中量词与联结词的搭配 （2）深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概念及相互之间的 关系 （3）记住闭式的性质并能应用它 （4） 对于给定的解释会判断公式的真值， 或判定真值不确定 （即 仍不是命题）
F 为第 i 个 n 元谓词，例如，i=2, n=3 时， F23 表示第 2 个 3
元谓词，它可能以 F 2 ( x, y, z ) 的形式出现在解释中，公式 A 中若出现 F2(x,y,z)就解释成 F 2 ( x, y , z ) . 被解释的公式不一定全部包含解释中的 4 部分. 关于解释的例题见书上 中不含自由出现的个体变项，则称 A 为闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 则不是闭式 关于闭式的性质，后面讨论.
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（x ）为相应量词的辖域或作用域。在x和x的辖域中，x的所有
出现都称为约束出现，F（x）中不是约束出现的其他变元均称为自 由出现。
19
2.2
2.2.2
例2.2.3
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
指出下列各式量词的辖域及变元的约束情况：
（1）x（F（x，y）→ G（x，z））
（2）x（P（x）→y R（x，y））
符号化： （1）对任意的x，都有x2-5x+6 =（x-2）（x-3）
（2）存在x，使得x+1=0。
其中：（a）个体域D1为自然数集合。 （b）个体域D2为实数集合。
10
2.1
谓词逻辑命题的符号化
2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化 解 （a）令F（x）：x2-5x+6 =（x-2）（x-3）；G（x）：x+1=0。 （1）可符号化为：
2.1 谓词逻辑命题的符号化
2.1.2 量词 全称量词 对于日常生活和数学中出现的“一切的”、 “任意的”、“所有的”、“每一个”、“都”、 “凡”等词统称为全称量词，用符号“”表示。并 用x，y表示个体域中的所有个体，用（x ）F （x），（y）F（y）等表示个体域中的所有个体具 有性质F。 存在量词 对日常生活和数学中常用的“存在”、“存 在一个”、“有一个”、“至少有一个”、“有些”、 “有的”等词统称为存在量词，用符号“”表示。并 用x，y表示个体域中有的个体，用（x）F（x）， （y）F（y）等表示个体域中有的个体具有性质F。
另外，量词作用域中的约束变元，当论域的元素是有限时，个体
变元的所有可能的取代是可以枚举的。 设论域元素为a1，a2，…，an， 则 x A（x） A（a1）∧A（a2）∧…∧A（an） x A（x） A（a1）∨A（a2）∨…∨A（an）。
24
2.2
2.2.2
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
（5）只有有限次地应用（1）~（4）构成的符号串才是合式公式。
16
2.2
2.2.1
谓词逻辑公式与解释
谓词逻辑的合式公式
例2.2.1 在谓词逻辑中将下列命题符号化。 （1）不存在最大的数。 （2）计算机系的学生都要学离散数学。 解 取个体域为全总个体域。 （1）令F（x）：x是数，L（x，y）：x大于y；则命题（1）符号
第二章 谓词逻辑
1
本章学习目标
命题逻辑中原子命题是最小的单位， 不能够再进行分解，这给推理带来了很 大局限性，本章引入谓词逻辑。学习关 于谓词逻辑的相关概念和定理，解决实 际问题。
2
主要内容
2.1 谓词逻辑命题的符号化 2.2 谓词逻辑公式与解释
2.3 谓词逻辑约束公式的等价与蕴涵 2.4 前束范式 2.5 谓词演算的推理理论
（1）对每一个常项符号指定D中一个元素。
（2）对每一个n元函数符号，指定一个函数。 （3）对每一个n元谓词符号，指定一个谓词。 显然，对任意公式G，如果给定G的一个解释I，则G在I的解释下 有一个真值，记作TI（G）。
26
2.2
2.2.3
谓词逻辑公式与解释
谓词逻辑公式的解释
x F(x)
（2）可符号化为： x G（x） 在个体域D1中命题（1）为真命题，命题（2）为假命题。 （b）在个体域D2中（1）、（2）符号化分别为 （1） （2） x F（x） x G（x）
11
在个体域D2中命题（1）、（2）都是真命题。
2.1
谓词逻辑命题的符号化
2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化 例2.1.4 将下列命题符号化，并指出真值情况。 （1）没有人登上过月球。 （2）所有人的头发未必都是黑色的。 解 个体域为全总个体域，令M（x）：x是人。 （1）令F（x）：x登上过月球。命题（1）符号化为： x（M（x）∧F（x）） 设a是1969年登上月球完成阿波罗计划的一名美国人，则M（a） ∧F（a）为真，故命题（1）为假。 （2）令H（x）：x的头发是黑色的。命题（2）可符号化为： x（M（x）H（x）） 我们知道有的人头发是褐色的，所以x（M（x）H（x））为 12 假，故命题（2）为真。
（3）x（F（x）→ G（y））→ y（H（x）∧M（x，y，z））
20
2.2
2.2.2
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
解 （1）对于x的辖域是A=（F（x，y）→ G（x，z）），在A 中，x是约束出现的，而且约束出现两次，y，z均为自由出现， 而且各自由出现一次。 （2）对于x的辖域是（P（x）→y R（x，y）），y的辖域是 R（x，y），x，y均是约束出现的。 （3）对于x的辖域是（F（x）→ G（y）），其中x是约束出现 的，而y是自由出现的。对y的辖域是（H（x）∧M（x，y， z）），其中y是约束出现的，而x，z是自由出现的。在整个公式
22
2.2
2.2.2
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
例2.2.4 对公式x（P（x）→ R（x，y））∧Q（x，y）进行换名。 解 对约束变元x换名为t后为 t（P（t）→ R（t，y））∧Q（x，y） 同理，对公式中的自由变元也可以更改，这种更改称作代入。 自由变元的代入规则是：
（1）对于谓词公式中的自由变元，可以代入，此时需要对公式
2．谓词：用来刻画个体词的性质或个体词之间关系的词 一般来说，“x是A”类型的命题可以用A（x）表达。对于 “x大于y”这种两个个体之间关系的命题，可表达为B（x，y） ，这里B表示“…大于…”谓词。我们把A（x）称为一元谓词， B（x，y）称为二元谓词，M（a，b，c）称为三元谓词，依次 5 类推，通常把二元以上谓词称作多元谓词。
7
2.1
谓词逻辑命题的符号化
2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化 例 2.1.2 在个体域分别限制为（a）和（b）条件时，将下 面的命题符号化： （1）所有人都是要死的。 （2）有的人天生就近视。 其中：（a）个体域D1为人类集合。 （b）个体域D2为全总个体域。 解（a）令F（x）：x要死的；G（x）：x天生就近视。 （1）在个体域D1中除人外，没有其他的事物，因而（1）可符号 化为： x F（x） （2）在个体域D1中有些人是天生就近视，因而（2）可符号化为: x G（x）
中，x约束出现一次，自由出现两次，y约束出现一次，自由出现
21
一次，z仅自由出现一次。
2.2
2.2.2
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
2．约束变元的换名与自由变元的代入 约束变元换名的规则： （1）将量词的作用变元及其辖域中所有相同符号的变元用一个新 的变元符号代替，公式的其余部分不变。 （2）新的变元符号是原公式中没有出现的。 （3）用（1）、（2）得到的新公式与原公式等值。
（2）令F（x，y）：x摆满了y；R（x）：x是大红书柜；Q（x）:
x是古书；a：这只；b：那些。则命题（2）可符号化为 R（a）∧Q（b）∧F（a，b）
18
2.2
2.2.2
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
1．约束变元与自由变元的概念 定义 2.2.4 在公式x F（x）和x F（x）中，称x为指导变元，F
2.1 谓词逻辑命题的符号化
2.1.1个体词与谓词
例2.1 将下列命题在谓词逻辑中符号化，并讨论它们的真值： （1）只有4是素数，8才是素数。 （2）如果1小于2，则5小于4。 解（1）设谓词G（x）：x是素数，a：4，b：8；（1）中的 题符号化为谓词的蕴涵式： G（a）→G（b） 由于此蕴涵式的前件为假，所以（1）中的命题为真。 （2）设谓词H（x，y）：x小于y，a：1，b：2，c：5，d：4（2） 中的命题符号化为谓词的蕴涵式： H（a，b）→H（c，d） 6 由于此蕴涵式的前件为真，后件为假，所以（2）中的命题为假。
2.2
谓词逻辑公式与解释
2.2.1 谓词逻辑的合式公式 2.2.2 谓词的约束和替换 2.2.3 谓.1
定义2.2.1
谓词逻辑公式与解释
谓词逻辑的合式公式
谓词逻辑中项的定义：
（1）任何一个个体变元或个体常元是项； （2）若f（x1，x2，…，xn）是任意的n元函数，t1，t2，…，tn是 任意的n个项，则f（t1，t2，…，tn）是项； （3）由有限次使用（1），（2）得到的表达式是项； 定义2.2.2 设P（x1，x2，…，xn）是n元谓词公式，其中， x1x2，…，xn是个体变项，则称P（x1，x2，…，xn）为谓词演算的 原子公式。
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2.1 谓词逻辑命题的符号化
2.1.1 个体词与谓词 2.1.2 量词 2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化
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2.1 谓词逻辑命题的符号化
2.1.1个体词与谓词
1．个体词 ：个体词是指研究对象中不依赖于人的主观而独立存 在的具体的或抽象的客观实体 个体常项或个体常元 ： 个体变项或个体变元 ： 个体域或论域 ：
中出现该自由变元的每一处进行代入。 （2）用以代入的变元与原公式中所有变元的名称都不能相同。
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2.2
2.2.2
解
谓词逻辑公式与解释
谓词的约束和替换
例2.2.5 对公式x（F（x）→ G（x，y））∧y H（y）代入。
对y实施代入，经过代入后原公式为 x（F（x）→ G（x，t））∧ y H（y）
命题（1）、（2）在个体域D1、D2中符号化的形式不同，主要区别 在于，使用个体域D2时，要将人从其它事物中区别出来，为此引 进谓词M(x)，象这样的谓词称为特性谓词，在命题符号化时一定 要正确使用特性谓词。
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2.1
谓词逻辑命题的符号化
2.1.3 谓词逻辑中命题的符号化
例2.1.3 在个体域分别限制为（a）和（b）条件时，将下面的命题
化为：
﹁x（F（x）∧ y（F（y）→ L（x，y）））