2018学年第二学期高二数学《直线与平面垂直》学案

直线与平面垂直

班级 学号 姓名 复习目标：

掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；并会规范地写出解题过程。 课前预习：

1、知识要点：直线与平面垂直

2、基础自测

1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ ） ()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥

2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若

m α⊥，则//m l ；③若m α⊂，则m l ⊥；④//m l ，则m α⊥。上述判断正确的是

()A ①②③ ()B ②③④ ()C ①③④ ()D ②④ 3．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，

有1

11AC B D ⊥（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 4.设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题： ①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆的垂心 ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ∆的垂心

③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC == ④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心 其中正确命题的命题是 例题分析：

例1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、F 分别为11C D 、11D A 的中点．（Ⅰ）求证：⊥DE 平面BCE ；（Ⅱ）求证：//AF 平面BDE ．

1C 1D E F

例2、如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，侧面P AD 是正三角形，

且侧面P AD ⊥底面ABCD ，E 是侧棱PD 上一点，且PB ∥平面EAC . (I)求证：E 是PD 的中点；(II) 求证：AE ⊥平面PCD .

例3、如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥.

（Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//； （Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.

E

A B C

D

P

B

C

N

M

P

D

C

B A C

B

A

S

课后作业：

1．下列关于直线,l m 与平面,αβ的命题中，真命题是 （ ）

()A 若l β⊂且αβ⊥，则l α⊥ ()B 若l β⊥且//αβ，则l α⊥

()C 若l β⊥且αβ⊥，则//l α ()D m αβ=且//l m ，则//l α

2、在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且保持

1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为 （ A ） ()A 线段1B C ()B 线段1BC

()C 1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段 ()D BC 的中点与11B C 的中点连成的线段

3．三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面 ①若αγββα则,,⊥⊥∥β ②若a c b b a 则,,⊥⊥∥c a

c ⊥或.

③若b a

,α⊂、βαβ⊥⊥⊥⊂则,,,c a b a c

④若a b a ,,βα⊂⊥∥βα⊥则,b

上面四个命题中真命题的个数是

4．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点， （1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：MN CD ⊥ （3）若4

PDA π

∠=

，求证：MN ⊥平面PCD

5．ABCD 是矩形，,()AB a BC b a b ==>，沿对角线AC 把ADC ∆折起，使AD BC ⊥， （1）求证：BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线；（2）求BD 的长。

6、如图，已知,,SA SB SC 是由一点S 引出的不共面的三条射线，

045,60,ASC ASB BSC ∠=∠=∠=90SAB ∠=，求证：AB SC ⊥

1

7．

（2013湖南高考）如图，在直三棱柱

111

ABC A B C

-，=90

BAC

∠，AB AC

== 1

AA=D是BC的中点，点E在棱

1

BB上运动．（1）证明:

1

AD C E

⊥；

（2）异面直线AC，1C E所成的角为60时，求三棱锥111

C A B E

-的体积．

8.在正方体

1111

ABCD A B C D

-中，M为

1

DD的中点，O为AC的中点，AB=2．

（I）求证：

1

//

BD平面ACM；（II）求证：

1

B O⊥平面ACM

（Ⅲ）求三棱锥

1

O AB M

-的体积．

9. 如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，,,,2,

BA AD CD AD CD AB PA

⊥⊥=⊥底面ABCD，E为PC的中点。PA＝AD＝AB＝1。

（1）证明：PAD

EB平面；

（2）证明：BE PDC

⊥平面；

（3

）求三棱锥B-PDC的体积V。

A1

B1

C1

A

B

C

D

E