2018学年第二学期高二数学《直线与平面垂直》学案
高中数学 必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定与性质导学案 新人教A版必修2
2.3.1 直线与平面垂直的判定与性质【知识链接】当两条直线的夹角为090，这两条直线互相垂直；它们的位置关系是相交或异面.【基础知识】1.如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，记做l α⊥.l 叫做垂线，α叫垂面，它们的交点P 叫垂足.如图所示.2.直线与平面垂直的判定定理 一条线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简记：线线垂直，线面垂直）.判定方法还有：（1）定义法（2）两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么这条直线也垂直于另一个平面.3.直线与平面垂直的性质定理（1）一条直线垂直一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线.（简记：线面垂直，线线垂直）（2）垂直于同一个平面的两条直线平行.（3）过一点仅有一条直线垂直于已知平面（4）过一点仅有一个平面垂直于已知直线【例题讲解】例1 判断下列命题是否正确，并说明理由.⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；（√）⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；（√）⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；（√）⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；（√）⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（√）⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行. （×）例2 已知a ∥b ，a α⊥，求证：α⊥b .例3 已知直线a ⊥平面α，直线b ⊥平面α，求证：a ∥b .变式训练1：在三棱锥V-ABC 中，,VA VC AB BC ==，求证：VB AC ⊥.【达标检测】1. 直线l 和平面α内两条直线都垂直，则l 与平面α的位置关系是（ D ）.A.垂直B.平行C.相交但不垂直D.都有可能2. 下列四个命题中错误的是（ D ）.A.,a b a αα⊥⊥⇒∥bB.,a a α⊥∥b b α⇒⊥C.,a b α⊥∥,a b α⇒⊥D.,a a b b α⊥⊥⇒∥α3. 已知直线,a b 和平面α，下列错误的是（ D ）.A.a a b b αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭ B.//a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭C.a b b α⊥⎫⇒⎬⊥⎭a ∥α或a α⊂ D.//a b αα⎫⇒⎬⊂⎭a ∥b4. ,a b 是异面直线,那么经过b 的所有平面（ A ）.A.只有一个平面与a 平行B.有无数个平面与a 平行C.只有一个平面与a 垂直D.有无数个平面与a 垂直5. 平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，则正确的结论是（ D ）.A.平面ABC 必平行于αB.平面ABC 必垂直于αC.平面ABC 必与α相交D.存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内6. 已知平面α和平面β相交,a 是α内一条直线，则有（ B ）.A.在β内必存在与a 平行的直线B.在β内必存在与a 垂直的直线C.在β内不存在与a 平行的直线D.在β内不一定存在与a 垂直的直线7. 若平面α∥平面β,直线a ⊥α,则a 与β_垂直_.8. 直线a α⊥，直线b β⊥，且α∥β，则a _//_b .9. 如图，在正方体中，O 是底面的中心，B H D O ''⊥，H 为垂足，求证：B H '⊥面AD C '.10求证：三棱锥有两组对棱垂直，第三组对棱一定垂直，顶点在底面的摄影是底面三角形的垂心.【问题与收获】。
高中数学 (2.3.3 直线与平面垂直的性质)示范教案 新人教A版必修2
2.3.3 直线与平面垂直的性质整体设计教学分析空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用.本节重点是在巩固线线垂直和面面垂直的基础上，讨论直线与平面垂直的性质定理的应用. 三维目标1.探究直线与平面垂直的性质定理，培养学生的空间想象能力、实事求是等严肃的科学态度和品质.2.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用提高逻辑推理的能力. 重点难点直线与平面垂直的性质定理及其应用. 课时安排 1课时教学过程复习直线与平面垂直的定义：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线和平面垂直的画法及表示如下：图1如图1，表示方法为：a⊥α. 由直线与平面垂直的定义不难得出：⎭⎬⎫⊥⊂ααb a ⇒b⊥a. 导入新课思路1.(情境导入)大家都读过茅盾先生的《白杨礼赞》，在广阔的西北平原上，矗立着一排排白杨树，它们像哨兵一样守卫着祖国疆土.一排排的白杨树，它们都垂直地面，那么它们之间的位置关系如何呢？ 思路2.(事例导入)如图2，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图2推进新课 新知探究 提出问题①回忆空间两直线平行的定义.②判断同垂直于一条直线的两条直线的位置关系？③找出恰当空间模型探究同垂直于一个平面的两条直线的位置关系. ④用三种语言描述直线与平面垂直的性质定理.⑤如何理解直线与平面垂直的性质定理的地位与作用？讨论结果：①如果两条直线没有公共点，我们说这两条直线平行.它的定义是以否定形式给出的，其证明方法多用反证法.②如图3，同垂直于一条直线的两条直线的位置关系可能是：相交、平行、异面.图3③如图4，长方体ABCD —A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直于所在的平面ABCD ，它们之间具有什么位置关系？图4 图5棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线都垂直所在的平面ABCD ，它们之间互相平行. ④直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：⎭⎬⎫⊥⊥ααb a ⇒b∥a. 直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5. ⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系. 应用示例思路1例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行. 解:已知a⊥α,b⊥α. 求证：a∥b.图6证明：（反证法）如图6，假定a 与b 不平行，且b∩α=O,作直线b′，使O ∈b′,a∥b′. 直线b′与直线b 确定平面β，设α∩β=c,则O ∈c. ∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O ∈b′,b ⊂β,b′⊂β, a∥b′显然不可能，因此b∥a.例2 如图7，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,a ⊂α,a⊥AB. 求证:a∥l.图7证明：⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫=⋂⊥⊥EB l EA l l EB EA βαβα,⇒l⊥平面EAB.又∵a ⊂α,EA⊥α,∴a⊥EA.又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.∴a∥l.思路2例1 如图8,已知直线a⊥b，b⊥α，a ⊄α. 求证：a∥α.图8证明：在直线a 上取一点A ，过A 作b′∥b，则b′必与α相交，设交点为B ，过相交直线a 、b′作平面β，设α∩β=a′,∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b, ∴b′⊥α.又∵a′⊂α,∴b′⊥a′.由a ，b′，a′都在平面β内，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α. 例2 如图9，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.图9证明：(1)取PD 中点E,又N 为PC 中点,连接NE,则NE∥CD,NE=21CD. 又∵AM∥CD,AM=21CD, ∴AM NE.∴四边形AMNE 为平行四边形. ∴MN∥AE.∵⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA 平面平面平面平面⇒CD⊥AE.(2)当∠PDA=45°时,Rt△PAD 为等腰直角三角形, 则AE⊥PD.又MN∥AE, ∴MN⊥PD,PD∩CD=D. ∴MN⊥平面PCD. 变式训练已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和平面α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角.求证：l⊥α.证明：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO=BO=CO.设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA、△POB、△P OC 中，∵PO=PO=PO，AO=BO=CO ，∠POA=∠POB=∠POC， ∴△POA≌△POB≌△POC. ∴PA=PB=PC.取AB 的中点D,连接OD 、PD ，则OD⊥AB，PD⊥AB. ∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD. ∵PO ⊂平面POD,∴PO⊥AB.同理,可证PO⊥BC.∵AB ⊂α，BC ⊂α，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.若l 不经过点O 时，可经过点O 作l′∥l.用上述方法证明l′⊥α， ∴l⊥α. 知能训练如图10，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a, （1）求证：BD 1⊥平面B 1AC; （2）求B 到平面B 1AC 的距离.图10（1）证明：∵AB⊥B 1C ，BC 1⊥B 1C,∴B 1C⊥面ABC 1D 1. 又BD 1⊂面ABC 1D 1,∴B 1C⊥BD 1. ∵B 1B⊥AC，BD⊥AC,∴AC⊥面BB 1D 1D.又BD 1⊂面BB 1D 1D,∴AC⊥BD 1. ∴BD 1⊥平面B 1AC.（2）解:∵O∈BD,∴连接OB 1交BD 1于E. 又O ∈AC ，∴OB 1⊂面B 1AC.∴BE⊥OE，且BE 即为所求距离. ∵1BD BD OB BE =,∴BE=1BD BD ·OB=a a a a 332232=∙.拓展提升已知在梯形ABCD 中，A B∥CD，CD 在平面α内，AB∶CD=4∶6，AB 到α的距离为10 cm ，求梯形对角线的交点O 到α的距离.图11解：如图所示，过B 作BE⊥α交α于点E ，连接DE, 过O 作OF⊥DE 交DE 于点F,∵AB∥CD，AB ⊄α，CD ⊂α，∴AB∥α.又BE⊥α, ∴BE 即为AB 到α的距离，BE=10 cm 且∠BED=90°. ∵OF⊥DE,∴OF∥BE,得BDODBE OF =. ∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.∴46==AB CD OB OD ，得53106==BD OD . 又BD ODBE OF =，BE=10 cm, ∴OF=53×10=6（cm ）.∵OF∥BE，BE⊥α.∴OF⊥α，即OF 即为所求距离为6 cm. 课堂小结知识总结：利用线面垂直的性质定理将线面垂直问题转化为线线平行，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 B 组1、2.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用，因此它是高考考查的重点.本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.。
高中数学人教B版必修二学案：1.1.2 第1课时 直线与平面垂直
1.2.3空间中的垂直关系第1课时直线与平面垂直[学习目标] 1.了解直线与平面垂直的概念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理.3.掌握一些求点到平面距离的常用方法.[知识链接]生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、路灯与地面等等.在判断线面平行时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？[预习导引]1.直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直.2.直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足.垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.3.直线与平面垂直的性质如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.4.直线与平面垂直的判定定理及其推论定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.要点一直线和平面垂直的定义例1下列命题中，正确的序号是________.①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直.答案③④解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确.根据线面垂直的定义，若l⊥α则l与α的所有直线都垂直，所以④正确.规律方法 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.2.由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b.跟踪演练1设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A.若l⊥m，m⊂α，l⊥αB.若l⊥α，l∥m，则m⊥αC.若l∥α，m⊂α，则l∥mD.若l∥α，m∥α，则l∥m答案 B解析对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m 异面；对于D，l，m还可能相交或异面.要点二线面垂直的判定例2如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点.求证：AD⊥平面A1DC1.证明∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，显然A1C1⊂平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.规律方法证线面垂直的方法(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.(2)平行转化法(利用推论)：①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.跟踪演练2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.证明∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.要点三直线与平面垂直的性质及应用例3如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.规律方法证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.跟踪演练3如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a ⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.证明因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.不确定答案 B解析由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直.2.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直答案 C解析连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.3.下列表述正确的个数为()①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；②若直线a⊄平面α，b⊂α，且a⊥b，则a⊥α；③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α；④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.A.0B.1C.2D.3答案 A解析①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内；②中a与α还可能平行或斜交；③中a还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错.4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.A.①③B.②C.②④D.①②④答案 A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.5.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个.①a⊥α，b∥α⇒a⊥b; ②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.答案 2解析由线面垂直的性质定理知①④正确.1.直线与平面垂直的判定方法：(1)利用定义；(2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线.2.对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解：(1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法.(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据.。
高二数学教案：直线和平面垂直 (2)
直线和平面垂直（1）一、课题：直线和平面垂直（1）二、教学目标：1．理解线面垂直的定义，掌握线面垂直的判定与性质定理；2．会用定理解决有关问题．三、教学重、难点：直线和平面垂直的定义． 四、教学过程： （一）复习：1．平面与平面平行的判定定理和性质定理； 2．练习：（1）一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面是这两个平面平行的 条件； （2）若平面//α平面β，直线,a b αβ⊂⊂，则,a b 的位置关系是 ； （3）下列命题：①如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线平行与另一个平面，那么这两个平面平行； ③如果一个平面内的无数条直线平行与另一个平面，那么这两个平面平行； ④如果一个平面内的任意一条直线平行与另一个平面，那么这两个平面平行； 其中正确的命题是 ．（二）新课讲解： 1．引入：将书打开直立在平面α上，书脊AB 和各页面与桌面的交线的位置关系是垂直，那么AB 和α的关系怎样描述呢？ 2．线面垂直的定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任何直线都垂直，我们称这条直线和这个平面互相垂直．其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂线，交点叫做垂足，记作l α⊥．练习：判断：（1）如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面； （2）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面； （3）如果一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．线面垂直的判断定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
已知：,m n ''是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且,l m l n ''⊥⊥，求证：l α⊥证明：过点B 作//,//m m n n ''∵,l m l n ''⊥⊥ ∴,l m l n ⊥⊥，过B 任作直线a ，在l 上于α平面两侧 分别截取BA BA '=，∴,m n 都是AA '的垂直平分线， ∴,AD A D AC A C ''==，A'αl nmED C BADCBAEDCBA在a 上任取点E ，过E 在平面α内作不通过B 的直线分别与,m n 相交于点,C D ，∴ACD A CD '∆≅∆，∴ACD A CD '∠=∠，又AC A C '=， ∴ACE A CE '∆≅∆，∴AE A E '= ∴a l ⊥，∴l α⊥．（三）例题分析：例1．有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂一条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）,C D ，如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直，为什么？ 解：在ABC ∆和ABD ∆中，∵8,6,10AB m BC BD m AC AD m ===== ∴2222226810AB BC AC +=+==2222226810AB BD AD +=+==∴90ABC ABD ∠=∠= 即,AB BC AB BD ⊥⊥ 又∵,,B C D 不共线∴AB ⊥平面BCD ，即旗杆和地面垂直；例2．已知：空间四边形ABCD ，AB AC =，DB DC =， 求证：BC AD ⊥证明：取BC 中点E ，连结,AE DE ，∵,AB AC DB DC ==， ∴,AE BC DE BC ⊥⊥，∴BC ⊥平面AED ， 又∵AD ⊂平面AED ， ∴BC AD ⊥．五、课堂练习：课本第27页练习的第5题六、课堂小结：1．线面垂直的定义；2．线面垂直的判定定理。
高中数学(231直线与平面垂直的判定)学案 新人教A版必修2 学案
直线与平面垂直的判定学案一．学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解.二．重点、难点： 重点： 难点： 三．知识要点：1. 定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥. l －平面α的垂线，α－直线l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足.（线线垂直→线面垂直）2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α3. 斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）”. 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.四．自主探究： （一）例题精讲：【例1】四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且EF AC =，90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD .证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG 12//AC =，12//FG BD =. 又,AC BD =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +==， ∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C =，∴BD ⊥平面ACD .【例2】已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角的正弦值.解：取CD 的中点F ，连接EF 交平面11ABC D 于O ，连AO . 由已知正方体，易知EO ⊥平面11ABC D ，所以EAO ∠为所求. 在Rt EOA ∆中，1112222EO EF A D ===，2215()122AE =+=， 10sin 5EO EAO AE ∠==. 所以直线AE 与平面11ABC D 所成的角的正弦值为105. 【例3】三棱锥P ABC -中，PA BC PB AC ⊥⊥，，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，求证：O 为底面△ABC 的垂心.证明：连接OA 、OB 、OC ，∵PO ⊥平面ABC ， ∴,PO BC PO AC ⊥⊥. 又 ∵PA BC PB AC ⊥⊥，，∴BC PAO AC PBO ⊥⊥平面，平面，得AO BC BO AC ⊥⊥，, ∴O 为底面△ABC 的垂心.点评：此例可以变式为“已知PA BC PB AC ⊥⊥，，求证PC AB ⊥”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到OC AB ⊥后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.【例4】已知Rt ABC ∆，斜边BC //平面α，,A α∈AB ，AC 分别与平面α成30°和45°的角，已知BC =6，求BC 到平面α的距离.解：作1BB α⊥于1B ，1CC α⊥于1C ，则由//BC α，得 11BB CC =，且1CC 就是BC 到平面α的距离，设1CC x =，连结11,AB AC ，则1130,45BAB CAC ∠=∠=， ∴2,2AC x AB x ==，在Rt ABC ∆中，6,90BC BAC =∠=，∴223624x x =+，∴6x =，即BC 到平面α的距离为6．点评：由直线与平面的平行，直接作平面的垂线段即为线面距离. 此题通过两条垂线段把所已知的线面角同时作出，利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题.五．目标检测：C 1B 1CB Aα（一）基础达标1．若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于（ ）.A ．平面OABB ．平面OACC ．平面OBCD ．平面ABC2．若直线l ⊥平面α，直线m α⊂，则（ ）. A ．l m ⊥ B ．l 可能和m 平行C ．l 和m 相交D ． l 和m 不相交3．在正方形S G 1G 2G 3中，E 、F 分别是G 1G 2、G 2G 3的中点，现沿S E 、S F 、EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1、G 2、G 3重合为点G ，则有（ ）.A. SG ⊥面EFGB. EG ⊥面SEFC. GF ⊥面SEFD. SG ⊥面SEF4．直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是（ ）.A ．a ⊥βB. a ∥β．C ．a β⊂D ．a β⊂或a ∥β5．（04年某某卷.理4文5）把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）.A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°6．在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形）.7．设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下说法： ①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆垂心； ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ∆垂心；③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC ==； ④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心.其中正确说法的序号依次是. （二）能力提高8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是AC ,BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．GFE DCB AD 1C 1B 1A 1G 2FEG 3 G 1S9．如图，ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,PA AD a ==2AB a =，E 是线段PD 上的点，F 是线段AB 上的点，且12PE BF ED FA ==．求直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值.（三）探究创新10．如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°, （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD ？。
2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.3第2课时直线与平面垂直学案
1.2.3 第2课时直线与平面垂直1．能正确判断直线与平面垂直的位置关系．(重点)2．了解点到平面的距离和直线与平面间的距离．(难点)3．理解直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(重点、难点)4．了解直线与平面垂直的概念及直线与平面所成角的概念．(重点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面垂直的定义阅读教材P35～P36思考以上的部分，完成以下问题．如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线a与平面α互相垂直，符号表示：a⊥α.直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．图形表示：图1－2－54判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥α.(×)(2)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(×)(3)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b.(√)(4)若l⊥平面ABCD，则l⊥BC.(√)教材整理2 直线与平面垂直的判定阅读教材P 36～P 37第5行，完成下列问题． 直线与平面垂直的判定定理1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 能判定直线与此平面垂直的有________．【解析】 由线面垂直的判定定理可知①③能判定，而②中线面可能平行、相交、还可能线在平面内，④中由于正六边形的两边不一定相交，所以也无法判定线面垂直．【答案】 ①③2．下列条件中，能判定直线l ⊥平面α的有________． ①l 与平面α内的两条直线垂直； ②l 与平面α内的无数条直线垂直； ③l 与平面α内的某一条直线垂直； ④l 与平面α内的任意一条直线垂直．【解析】 由直线与平面垂直的定义及判定定理知④正确． 【答案】 ④教材整理3 直线与平面垂直的性质阅读教材P 37第8行～第13行，完成下列问题． 直线与平面垂直的性质定理已知α是平面，a ，b 是直线，且a ∥b ，a ⊥平面α，则b 与平面α的位置关系是________． 【解析】 由线面垂直的性质可知，若a ∥b ，a ⊥α，则b ⊥α. 【答案】 垂直教材整理4 距离及直线与平面所成的角阅读教材P 36第13,14行及P 38第4,5行和P 39例3以上部分内容，完成下列问题． 1．距离(1)点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离． (2)直线和平面的距离一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．2．直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．特别地：如果直线和平面垂直，那么就说这条直线与平面所成的角是直角；如果直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝1，则点C 到平面B 1BDD 1的距离为________，AB 到平面A 1B 1CD 的距离为________.【导学号：41292031】【解析】 连结AC ，则AC ⊥BD ，又BB 1⊥AC ，故AC ⊥平面B 1BDD 1，所以点C 到平面B 1BDD 1的距离为12AC ＝22，AB 到平面A 1B 1CD 距离等于A 到该平面的距离，等于22.【答案】22 222．如图1－2－55所示，三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，则直线PB 与平面ABC 所成的角等于________．图1－2－55【解析】 ∵PA ⊥平面ABC ，∴∠PBA 即为直线PB 与平面ABC 所成的角， 在Rt △PAB 中，PA ＝AB ，∴∠PBA ＝45°.【答案】45°[小组合作型]线面垂直判定定理的应用如图1－2－56所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.图1－2－56【精彩点拨】只要证AE垂直于平面PBC内两相交直线即可，已知AE⊥PC，再证AE ⊥BC，即转为证BC垂直于平面PAC即可．【自主解答】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2．线线垂直与线面垂直的转化关系线线垂直线面垂直[再练一题]1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.图1－2－57【证明】∵E，F分别是棱AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO，EF⊥BO，又∵BB1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，∴EF⊥BB1，又BO∩BB1＝B，∴EF⊥平面BB1O.线面垂直性质定理的应用如图1－2－58，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF ⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.图1－2－58【精彩点拨】利用线面垂直的性质定理证明EF，BD1垂直于平面AB1C可得结论．【自主解答】如图所示，连结AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD 1⊥B 1C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C . ∵EF ⊥AC ，EF ⊥A 1D ， 又A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C . ∴EF ⊥平面AB 1C ，∴EF ∥BD 1.空间中证明两条直线平行的方法： (1)利用线线平行定义证两线无公共点； (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c (公理4)；(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行； (4)若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b (线面垂直的性质定理)．[再练一题]2．如图1－2－59，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．图1－2－59(1)求证：MN ⊥CD ；(2)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .【证明】 (1)取PD 中点E ，又N 为PC 中点，连结NE ，AE ，则NE ∥CD ，NE ＝12CD .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴AM 綊NE ，∴四边形AMNE 为平行四边形． ∴MN ∥AE .∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥PA .又∵CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ADP . ∵AE ⊂平面ADP ， ∴CD ⊥AE ， ∴MN ⊥CD .(2)当∠PDA ＝45°时，Rt △PAD 为等腰直角三角形，则AE ⊥PD . 又MN ∥AE ， ∴MN ⊥PD ，由(1)知MN ⊥CD ，PD ∩CD ＝D . ∴MN ⊥平面PCD .[探究共研型]距离问题及直线与平面所成角的求法探究1 如图1－2－60，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1.点B 与D 1到平面A 1C 1CA 的距离分别是多少 ？BC 1到平面ADD 1A 1的距离是多少？图1－2－60【提示】 由题意知BD ＝B 1D 1＝22，B ，D 1到平面AC 1的距离分别为BD 2和B 1D 12，都为2；BC 1到平面AD 1的距离等于AB 的长，为2.探究2 如图1－2－61，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，图1－2－61(1)直线BD 1与平面AC 及平面A 1C 1所成的角相等吗？ (2)A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角是多少度？【提示】(1)因为平面AC 与平面A 1C 1平行，所以BD 1与两平面所成的角相等．(2)A 1B 与平面A 1C 所成的角为30°， 连结BC 1交B 1C 于点O ，连结A 1O .设正方体的棱长为a ，因为A 1B 1⊥B 1C 1，A 1B 1⊥B 1B ， 所以A 1B 1⊥平面BCC 1B 1. 所以A 1B 1⊥BC 1.又因为BC 1⊥B 1C ，A 1B 1∩B 1C ＝B 1， 所以BC 1⊥平面A 1B 1CD .所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，即∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角． 在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22a ， 所以BO ＝12A 1B ，∠BA 1O ＝30°.因此，直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.如图1－2－62所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1，M ，N分别是A 1B ，B 1C 1的中点．图1－2－62(1)求证：MN ⊥平面A 1BC ；(2)求直线BC 1和平面A 1BC 所成的角的大小．【精彩点拨】 (1)证明MN ∥AC 1，(2)C 1点在平面A 1BC 上的射影为A 1C 中点． 【自主解答】 (1)证明：如图所示，由已知BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，AC ∩CC 1＝C ，得BC ⊥平面ACC 1A 1.连结AC 1， 则BC ⊥AC 1.由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1.又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连结AB1，则点M是AB1的中点．又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1.故MN⊥平面A1BC.(2)因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连结BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝22a，BC1＝2a.在Rt△BDC1中，sin∠C1BD＝C1DBC1＝12，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连结垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．[再练一题]3．如图1－2－63，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F，G分别为CC1，DD1，AA1的中点．图1－2－63(1)求证：A1F⊥平面BEF；(2)求证：GC1∥平面BEF；(3)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值．【解】(1)证明：连结AF.∵E，F分别为CC1，DD1的中点，∴EF∥AB且EF＝AB，∴四边形ABEF为平行四边形．又在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，A1F⊂平面AA1D1D，∴AB⊥A1F，∴EF⊥A1F.由已知，得AF＝2，A1F＝2，AA1＝2，∴A1F2＋AF2＝AA21，∴AF⊥A1F.又AF∩EF＝F.∴A1F⊥平面ABEF，即A1F⊥平面BEF.(2)证明：∵G，F分别为AA1，DD1的中点，连结AE.∴AG∥EC1且AG＝EC1，∴四边形AEC1G为平行四边形，∴AE∥GC1.而AE⊂平面ABEF，GC1⊄平面ABEF，∴GC1∥平面ABEF，即GC1∥平面BEF.(3)∵A1F⊥平面BEF.∴A1B在平面BEF上的射影为BF，∴∠A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角．由已知，得A1F＝2，A1B＝5，∴sin∠A1BF＝105，即A1B与平面BEF所成角的正弦值为105.1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能______(填序号)．①平行；②相交；③异面；④垂直．【答案】①2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是________．【解析】∵l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，∴l⊥平面ABC，又∵AB⊂平面ABC，∴l⊥AB.11 【答案】 垂直3．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABC ，则图1－2－64中直角三角形的个数为________．图1－2－64【解析】 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥BC ，又BC ⊥AB ，AB ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥PB .综上可知，△PAB ，△PAC ，△ABC ，△PBC 均为直角三角形．【答案】 44．已知平面α外两点A ，B 到平面α的距离分别是2和4，则A ，B 的中点P 到平面α的距离是______.【解析】A ，B 在α同一侧时P 到α的距离为3，A ，B 在α异侧时P 到α的距离为1.【答案】 1或35．如图1－2－65，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝BC ，且∠BAC ＝90°，求PA 与底面ABC 所成角的大小．图1－2－65【解】 ∵PA ＝PB ＝PC ，∴P 在底面的射影O 是△ABC 的外心．又∠BAC ＝90°，∴O 在BC 上且为BC 的中点，∴AO 为PA 在底面的射影，∠PAO 即为所求的角．在Rt △PAO 中，PO ＝32PB ＝32PA . ∴sin ∠PAO ＝POPA ＝32，∴∠PAO ＝60°.。
2018版高中数学人教B版必修二学案：第一单元 1.2.3 第1课时 直线与平面垂直
1．2.3 空间中的垂直关系第1课时 直线与平面垂直学习目标 1.理解直线与平面垂直的定义及性质.2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题．知识点一 直线与平面垂直的定义及性质思考 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？梳理 直线与平面垂直的定义及性质(1)直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或________________相交于一点，并且交角为________，则称这两条直线互相垂直．(2)直线与平面垂直的定义及性质定义及符号表示图形语言及画法有关名称重要结论如果一条直线(AB )和一个平面(α)相交于点O ，并且和这个平面内过交点(O )的________________．我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作__________把直线AB 画成和表示平面的平行四边形的一边垂直直线AB ：平面α的________；平面α：直线AB 的______；点O ：________；线段AO ：点A 到平面α的________；线段AO 的长：点A 到平面α的________如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的____________直线垂直知识点二 直线和平面垂直的判定定理及推论将一块三角形纸片ABC 沿折痕AD 折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD ，DC 与桌面接触)．观察折痕AD 与桌面的位置关系．思考1 折痕AD 与桌面一定垂直吗？思考2 当折痕AD 满足什么条件时，AD与桌面垂直？梳理 直线与平面垂直的判定定理及推论定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理条件：一条直线与平面内的两条________直线垂直，结论：这条直线与这个平面垂直Error!⇒a ⊥α推论1条件：两条________直线中的一条垂直于一个平面，结论：另一条直线也垂直于这个平面Error!⇒m ⊥α推论2条件：两条直线垂直于________平面，结论：这两条直线平行Error!⇒l ∥m类型一 直线与平面垂直的判定例1 如图，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，求证：BC ⊥平面PAC .引申探究 若本例中其他条件不变，作AE ⊥PC 交PC 于点E ，求证：AE ⊥平面PBC .反思与感悟 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直．(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线．(3)根据判定定理得出结论．跟踪训练1 如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.类型二 线面垂直的性质的应用例2 如图所示，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.反思与感悟 平行关系与垂直关系之间的相互转化跟踪训练2 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.类型三 线面垂直的综合应用例3 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN⊥CD.反思与感悟 若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．跟踪训练3 如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：(1)DF∥平面ABC；(2)AF⊥BD.1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③B．②C．②④D．①②④2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交D．不确定3．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α4．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D，BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是________．5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.1．直线与平面垂直的判定方法：(1)利用定义；(2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线．2．对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解：(1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法．(2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．答案精析问题导学知识点一思考 不变，90°.梳理 (1)经过平移后 直角(2)任何直线都垂直 AB⊥α 垂线 垂面 垂足 垂线段 距离 任意一条知识点二思考1 不一定．思考2 当AD⊥BD且AD⊥CD时，折痕AD与桌面垂直．梳理 相交 m⊂α n⊂α 平行 l∥m同一个 m⊥α题型探究例1 证明 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究 证明 由例1知BC⊥平面PAC，又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.跟踪训练1 证明 (1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又因为SB＝SA，SD＝SD，所以△ADS≌BDS.所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD ⊥平面SAC .例2 证明 如图，连接AB 1，B 1C ，BD ，B 1D 1.∵DD 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DD 1⊥AC .又AC ⊥BD ，DD 1∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1B 1，∴AC ⊥BD 1.同理，BD 1⊥B 1C ，∴BD 1⊥平面AB 1C .∵EF ⊥A 1D ，且A 1D ∥B 1C ，∴EF ⊥B 1C .又∵EF ⊥AC ，∴EF ⊥平面AB 1C ，∴EF ∥BD 1.跟踪训练2 证明 因为EA ⊥α，α∩β＝l ，即l ⊂α，所以l ⊥EA .同理l ⊥EB ，又EA ∩EB ＝E ，所以l ⊥平面EAB .因为EB ⊥β，a ⊂β，所以EB ⊥a ，又a ⊥AB ，EB ∩AB ＝B ，所以a ⊥平面EAB .因此，a ∥l .例3 证明 如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，因为N 为PC 的中点，则NE ∥CD ，NE ＝CD ，12又因为AM ∥CD ，AM ＝CD ，12所以AM ∥NE ，AM ＝NE ，即四边形AMNE 是平行四边形，所以MN ∥AE .因为PA ⊥矩形ABCD 所在平面，所以PA ⊥CD ，又四边形ABCD 为矩形，所以AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以CD ⊥AE ，所以MN ⊥CD .跟踪训练3 证明(1)取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，可得FG ∥AE ，FG ＝AE .12∵CD ⊥平面ABC ，AE ⊥平面ABC ，∴CD ∥AE .又∵CD ＝AE ，12∴FG ∥CD ，FG ＝CD .∴FG ⊥平面ABC ，∴四边形CDFG 是矩形，DF ∥CG .又∵CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC .(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝AB ，F 为BE 的中点，∴AF ⊥BE .∵△ABC 是正三角形，∴CG ⊥AB ，∴DF ⊥AB .∵AE ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，∴AE ⊥CG ，∴AE ⊥DF .且AE∩AB＝A，∴DF⊥平面ABE，∵AF⊂平面ABE，∴AF⊥DF.∵BE∩DF＝F，BE⊂平面BDE，DF⊂平面BDE，∴AF⊥平面BDE，∴AF⊥BD.当堂训练1．A 2.B 3.D4．垂直解析 ∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD，故直线AB与CD确定一个平面．∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，又BD⊥EF，AB∩BD＝B，∴EF⊥平面ABDC.∵AC⊂平面ABDC，∴AC⊥EF.5．证明 ∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.。
新人教A版 必修第二本 8.6.2《直线与平面垂直》第一节课 教案
8.6.2《直线与平面垂直》教案一、教学目标1.理解直线与平面垂直的定义。
2.理解直线与平面垂直的判定定理。
3.理解直线与平面垂直的性质定理,并能够证明。
4.能运用判定定理证明直线与平面垂直的简单命题。
5.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题。
二、教学重难点1.教学重点直观感知、操作确认,概括出直线与平面垂直的判定定理、性质定理。
2.教学难点直线与平面垂直的判定定理的应用、性质定理的证明。
黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！三、教学准备1.《直线与平面垂直》PPT2.每人发一张三角形纸片四、教学过程黑色是讲话内容，红色是回答内容，蓝色是课件内容，紫色是动作内容上课，同学们好!请坐！【提问】有同学认识它吗?（手指着日晷）（学生：认识）（学生：不认识）可能有同学不认识，它叫日晷。
【PPT演示】日晷日晷是中国古代用来测定时间的仪器，日晷通常由晷针指到和晷盘组成（手指着部位）。
如果我们把晷针看成一条直线，晷面看成一个平面,这里就体现了直线与平面的一种非常特殊的位置关系。
同学们知道是什么位置关吗?（学生：垂直）对，直线与平面重直,这就是我们今天所要学习的内容——《直线与平面垂直》【PPT演示图片】课题《8.6.2直线与平面垂直》【板书】8.6.2直线与平面垂直在我们的实际生活中,有许多场景都能给我们以直线与平面重直的直观形象。
同学们你能举出几个例子吗?(让学生多举几个）如：①把老师我看成一条直线,把讲台看成一个平面；②教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系【PPT演示图片】③旗杆所在直线与地面的位置关系④港珠澳大桥雄伟壮观，桥墩所在直线与海面所在平面的位置关系⑤美丽的上海东方明珠塔，如果把塔身看成一条直线，海面看成一个平面。
这些都能给我们以直线与平面重直的形象。
⑥意大利萨斜塔,它能体现直线与平面垂直的形象吗?（学生：不能）对，不能，塔身所在直线与地面所在平面是不重直的。
8.6.2 直线与平面垂直 教案 人教A高中数学必修第二册
8.6.2《直线与平面垂直》教学教案教材：人教A版《普通高中教科书必修第二册数学》【教学目标】（一）知识目标：1、直线与平面垂直的定义2、直线与平面垂直的判定定理（二）能力目标:1、转化思想：空间问题转化为平面问题是处理立体几何问题的重要思想空间中线线位置关系与线面位置关系的互相转化;2、类比思想：研究线面平行时研究了定义，判定定理和性质定理，类比研究线面垂直3、培养数学思维过程【教学重点】直线与平面垂直的定义、判定定理及其简单应用.【教学难点】1、判定定理的探索与归纳；2、判定定理和定义在解决垂直问题中的交互与转化.【教学方式】启发探究式【教学手段】自制课件、实物模型【教学过程】一、直观感知直线与平面垂直的位置关系问题1：请同学们观看视频和图片，说出运载火箭抽象成一条直线与地面、旗杆与地面的位置关系．问题2：你还能举出生活中直线与平面垂直的例子吗？设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的．二、抽象概括直线与平面垂直的定义思考：如何定义一条直线与一个平面垂直呢？问题3：观察旗杆与它的影子的关系，结合对下列问题的思考，试着给出直线与平面垂直的定义．(1)旗杆AB与它在平面内的影子的位置关系是什么？(2) 旗杆AB与其他地面上的直线的位置关系呢？依据是什么？（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）辨析：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.（对辨析可引导学生给出符号语言表述：若，则)三、探究直线与平面垂直的判定定理思考：如何验证学校广场上的旗杆是否与地面垂直？为解决上述问题,引导学生探究下面问题:(1)如果一条直线与平面内的一条直线垂直，这条直线与这个平面垂直吗?(2) 如果一条直线与平面内的两条直线垂直，这条直线与这个平面垂直吗?无数条呢?师生活动：（折纸试验:请同学们拿出一块三角形纸片，我们一起做一个试验.）1. 过三角形的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD （如图1）.问题5：怎么折、怎么展、怎么放才能使折痕AD 与桌面所在的平面垂直？ （组织学生动手操作、探究、确认）根据上述实验，请你给出直线与平面垂直的判定方法．（学生叙写判定定理，给出文字、图形、符号这三种语言的相互转化） 定理应用：两位工人师傅的做法：假设旗杆高8米，先从旗杆的顶点A 挂两条长10米长的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上B 、C 两点（和旗杆脚D 不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，则旗杆与地面垂直，你知道这是为什么吗？设计意图：引导学生根据直观感知以及已有经验，进行合情推理，应用定理．α AC B D8 1010 6 6问题6：与直线与平面垂直的定义相比,你觉得这个判定定理的优越性体现在哪里?设计意图：通过和直线与平面垂直定义的比较，让学生体会“无限转化为有限”的数学思想.思考：现在，你知道两位工人是根据什么原理判断旗杆是否与地面垂直的吗？为什么要求绳子在地面上两点和旗杆脚不在同一直线上？设计意图：初步应用判定定理解决实际问题及让学生体会利用判定定理判定直线与平面垂直的关键是与平面内的两条相交直线垂直.四、直线与平面垂直判定定理的初步应用例1 如图，在三棱锥V -ABC 中 ，VA ＝VC ,AB ＝BC ,K 是AC 的中点．求证：AC ⊥平面VKB .设计意图：例题重在对直线与平面垂直判定定理的应用，寻找定理的条件，强调书写的规范．B KC A V设计意图：合作探究在例题的基础上进一步巩固直线与平面垂直的判定定理,让学生领略线面垂直的判定定理和定义在解决垂直问题中的交互与转化，体会线线垂直和线面垂直互相转化的数学思想在解决实际问题中的应用.五、课后小结本节课你收获了什么知识,掌握了什么方法,体会了什么思想?六、作业布置必做题：课本P152 第2.3题选做题：查阅线面垂直判定定理的证明方法.探究题：在学校旗杆旁再竖一根旗杆挂联合国国旗，该怎么做？。
高中数学第八章直线与平面垂直(第1课时)直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定学案新人教A版
第1课时 直线与直线垂直、直线与平面垂直的定义及判定问题导学预习教材P146－P150的内容，思考以下问题： 1．异面直线所成的角的定义是什么？ 2．异面直线所成的角的范围是什么？ 3．异面直线垂直的定理是什么？ 4．直线与平面垂直的定义是什么？ 5．直线与平面垂直的判定定理是什么？1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a 与直线b 垂直，记作a ⊥b ．(3)范围：设θ为异面直线a 与b 所成的角，则0°<θ≤90°.■[名师点拨] 当两条直线a ，b 相互平行时，规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.注意与异面直线所成的角的范围的区别．2．直线与平面垂直画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．(2)注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．直线与平面垂直的判定定理判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)异面直线a，b所成角的范围为[0°，90°]．( )(2)如果一条直线与一个平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )(3)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )答案：(1)×(2)×(3)√直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是( )A．平行．垂直C．在平面α内．无法确定答案：D已知直线a∥直线b，b⊥平面α，则( )A．a∥α．a⊂αC．a⊥α．a是α的斜线答案：C在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD相交于点O，则直线OB1与A1C1所成角的度数为________．解析：连接AB1，B1C，因为AC∥A1C1，所以∠B1OC(或其补角)是异面直线OB1与A1C1所成的角．又因为AB1＝B1C，O为AC的中点，所以B1O⊥AC，故∠B1OC＝90°，所以OB1与A1C1所成的角的大小为90°.答案：90°异面直线所成的角如图，在正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心．求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．【解】(1)如图，因为CG∥BF.所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.1．[变条件]在本例正方体中，若P是平面EFGH的中心，其他条件不变，求OP和CD所成的角．解：连接EG，HF，则P为HF的中点，连接AF，AH，OP∥AF，又CD∥AB，所以∠BAF(或其补角)为异面直线OP与CD所成的角，由于△ABF是等腰直角三角形，所以∠BAF＝45°，故OP与CD所成的角为45°.2．[变条件]在本例正方体中，若M，N分别是BF，CG的中点，且AG和BN所成的角为39.2°，求AM和BN所成的角．∥CG，因为M，N分别是解：连接MG，因为BCGF是正方形，所以BFBF，CG的中点，所以BM═∥NG，所以四边形BNGM是平行四边形，所以BN∥MG，所以∠AGM(或其补角)是异面直线AG和BN所成的角，∠AMG(或其补角)是异面直线AM和BN所成的角，因为AM＝MG，所以∠AGM＝∠MAG＝39.2°，所以∠AMG＝101.6°，所以AM和BN所成的角为78.4°.求异面直线所成的角的步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ<180°，则180°－θ为所求．[提醒] 求异面直线所成的角，通常把异面直线平移到同一个三角形中去，通过解三角形求得，但要注意异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°.如图所示，在三棱锥ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．解：如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG.因为E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ， 所以EG ∥CD ，GF ∥AB ， 且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .所以∠GFE (或其补角)就是异面直线EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . 因为AB ⊥CD ，所以EG ⊥GF . 所以∠EGF ＝90°.所以△EFG 为等腰直角三角形． 所以∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.直线与平面垂直的定义(1)直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能( ) A ．平行 ．相交 C ．异面．垂直(2)设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( ) A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 【解析】 (1)因为直线l ⊥平面α，所以l 与α相交． 又因为m ⊂α，所以l 与m 相交或异面． 由直线与平面垂直的定义，可知l ⊥m . 故l 与m 不可能平行．(2)对于A ，直线l ⊥m ，m 并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B ，因为l ⊥α，则l 垂直于α内任意一条直线，又l ∥m ，由异面直线所成角的定义知，m 与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m ⊥α，故B 正确；对于C ，也有可能是l ，m 异面；对于D ，l ，m 还可能相交或异面．【答案】 (1)A (2)B对线面垂直定义的理解(1)直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直．(2)由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a ⊥α，b ⊂α，则a ⊥b .下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直．解析：当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l 与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α，则l与α内的所有直线都垂直，所以④正确．答案：③④直线与平面垂直的判定如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F.(1)求证：PC⊥平面AEF；(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD.【证明】(1)因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG⊂平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD⊂平面PCD，所以AG⊥PD.1．[变条件]在本例中，底面ABCD是菱形，H是线段AC上任意一点，其他条件不变，求证：BD⊥FH.证明：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥PA ， 因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC ，又FH ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥FH .2．[变条件]若本例中PA ＝AD ，G 是PD 的中点，其他条件不变，求证：PC ⊥平面AFG . 证明：因为PA ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，所以DC ⊥PA ， 又因为ABCD 是矩形，所以DC ⊥AD ，又PA ∩AD ＝A ， 所以DC ⊥平面PAD ，又AG ⊂平面PAD ， 所以AG ⊥DC ，因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，又DC ∩PD ＝D ， 所以AG ⊥平面PCD ，所以PC ⊥AG ， 又因为PC ⊥AF ，AG ∩AF ＝A ， 所以PC ⊥平面AFG .3．[变条件]本例中的条件“AE ⊥PB 于点E ，AF ⊥PC 于点F ”，改为“E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA ＝AD ”，其他条件不变，求证：EF ⊥平面PCD .证明：取PD 的中点G ，连接AG ，FG . 因为G ，F 分别是PD ，PC 的中点， 所以GF ═∥12CD ，又AE ═∥12CD ，所以GF ═∥AE ， 所以四边形AEFG 是平行四边形，所以AG ∥EF . 因为PA ＝AD ，G 是PD 的中点， 所以AG ⊥PD ，所以EF ⊥PD ， 易知CD ⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥AG ，所以EF ⊥CD .因为PD ∩CD ＝D ，所以EF ⊥平面PCD .(1)线线垂直和线面垂直的相互转化(2)证明线面垂直的方法①线面垂直的定义．②线面垂直的判定定理．③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．[提醒] 要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)因为AB为⊙O的直径，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因为PA∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，所以AN⊥PB.又因为AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，所以NQ⊥PB.1．若直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系是( )A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥bD．a与b不一定垂直解析：选C.过直线b作一个平面β，使得β∩α＝c，则b∥c.因为直线a⊥平面α，c⊂α，所以a⊥c.因为b∥c，所以a⊥b.当b与a相交时为相交垂直，当b与a不相交时为异面垂直．2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1C．平面A1DB1C．平面A1B1C1D1．平面A1DB解析：选B.因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，所以AD1⊥平面A1DB1.3．空间四边形的四边相等，那么它的对角线( )A．相交且垂直．不相交也不垂直C．相交不垂直．不相交但垂直解析：选D.如图，空间四边形ABCD，假设AC与BD相交，则它们共面α，从而四点A，B，C，D都在α内，这与ABCD为空间四边形矛盾，所以AC与BD不相交；取BD的中点O，连接OA与OC，因为AB＝AD＝DC＝BC，所以AO⊥BD，OC⊥BD，从而可知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD.4．已知a，b是一对异面直线，而且a平行于△ABC的边AB所在的直线，b平行于边AC 所在的直线，若∠BAC＝120°，则直线a，b所成的角为________．解析：由a∥AB，b∥AC，∠BAC＝120°，知异面直线a，b所成的角为∠BAC的补角，所以直线a，b所成的角为60°.答案：60°[A 基础达标]1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )A．α∥β，且m⊂α．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β．m⊥n，且n∥β解析：选B.A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D 中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.2．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是( )A．b⊥β．b∥βC．b⊂β．b⊂β或b∥β解析：选A.因为a⊥α，a∥b，所以b⊥α.又α∥β，所以b⊥β.3．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是( )解析：选D.对于A，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于B，易证AB⊥MN，AB⊥NQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于C，易证AB⊥NQ，AB⊥MQ，即可得直线AB⊥平面MNQ；对于D，由图可得MN与直线AB相交且不垂直，故直线AB与平面MNQ不垂直．故选D.4.如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.由PB⊥α，AC⊂α得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，AC⊥BC.故选B.5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：选A.如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于线段B1C上．6.如图，在正方形ABCDA1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是______．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.所以∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，所以∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有__________________；(2)与AP垂直的直线有__________________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC.所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC，因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC(2)BC8.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，PA∩PQ＝P，则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.答案：29.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．证明：AD⊥C1E.证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1.②由①②得AD⊥平面BB1C1C.由点E在棱BB1上运动，得C1E⊂平面BB1C1C，所以AD⊥C1E.10．如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝2，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA ＝1，且E 为DA 的中点，求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．解：取AC 的中点F ，连接EF ，BF ， 在△ACD 中，E ，F 分别是AD ，AC 的中点，所以EF ∥CD ，所以∠BEF (或其补角)即为所求的异面直线BE 与CD 所成的角． 在Rt △ABC 中，BC ＝2，AB ＝AC ， 所以AB ＝AC ＝1，在Rt △EAB 中，AB ＝1，AE ＝12AD ＝12，所以BE ＝52. 在Rt △AEF 中，AF ＝12AC ＝12，AE ＝12，所以EF ＝22. 在Rt △ABF 中，AB ＝1，AF ＝12，所以BF ＝52.在等腰三角形EBF 中，cos ∠FEB ＝12EF BE ＝2452＝1010，所以异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为1010. [B 能力提升]11．已知异面直线a 与b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a ，b 所成的角都是30°的直线有且仅有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B.过空间一点P ，作a ′∥a ，b ′∥b .由a ′、b ′两交线确定平面α，a ′与b ′的夹角为50°，则过角的平分线与直线a ′、b ′所在的平面α垂直的平面上，角平分线的两侧各有一条直线与a ′、b ′成30°的角，即与a 、b 成30°的角且过点P 的直线有两条．在a ′、b ′相交另一个130°的角部分内不存在与a ′、b ′成30°角的直线．故应选B. 12．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.56C.55D.22解析：选C.如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM ，易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角．因为在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2，DM ＝AD 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB 2＝52，DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝5，所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×1×52＝55，即异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55，故选C.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点，沿AE 将△ADE 折起，在折起过程中，下列结论正确的有( )①ED ⊥平面ACD ；②CD ⊥平面BED ；③BD ⊥平面ACD ；④AD ⊥平面BED . A ．1个 B ．2个 C．3个D ．4个解析：选A.因为在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，E 为DC 边的中点， 所以在折起过程中，D 点在平面ABCE 上的投影如图．因为DE与AC所成角不能为直角，所以DE不会垂直于平面ACD，故①错误；只有D点投影位于Q2位置时，即平面AED与平面AEB重合时，才有BE⊥CD，此时CD不垂直于平面AECB，故CD与平面BED不垂直，故②错误；BD与AC所成角不能为直角，所以BD不能垂直于平面ACD，故③错误；因为AD⊥ED，并且在折起过程中，有AD⊥BD，所以存在一个位置使AD⊥BE，所以在折起过程中有AD⊥平面BED，故④正确．故选A.14．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCF为正三角形，G，H分别为BC，EF的中点，EF＝4且EF∥AB，EF⊥FB.(1)求证：GH∥平面EAD；(2)求证：FG⊥平面ABCD.证明：(1)如图，取AD的中点M，连接EM，GM.因为EF∥AB，M，G分别为AD，BC的中点，所以MG∥EF.因为H为EF的中点，EF＝4，AB＝2，所以EH＝AB＝MG，所以四边形EMGH为平行四边形，所以GH∥EM，又因为GH⊄平面EAD，EM⊂平面EAD，所以GH∥平面EAD.(2)因为EF⊥FB，EF∥AB，所以AB⊥FB.在正方形ABCD中，AB⊥BC，所以AB⊥平面FBC.又FG⊂平面FBC，所以AB⊥FG.在正三角形FBC中，FG⊥BC，所以FG⊥平面ABCD.[C 拓展探究]15．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEQP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEQP.即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。
《直线与平面垂直》第2课时示范课教学设计【高中数学教案】
《直线与平面垂直》教学设计第2课时掌握直线与平面垂直的性质及其性质定理，利用性质定理解决有关垂直与平行的相互转化问题；掌握直线和平面所成的角的定义，并会利用定义求解简单的线面角；了解点到面距离的定义，并会求解点到平面的距离；了解并会证明三垂线定理，并会利用定理判定异面直线的垂直关系．教学重点：直线与平面垂直的性质定理、线面角的定义．教学难点：灵活运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理处理空间垂直问题．PPT 课件．一、问题导入 问题1：温故知新 1．直线与平面垂直的定义文字语言图形语言符号语言如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直，直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面，它们唯一的公共点P 叫做垂足l ⊥α⇔m α．l ⊥m .3.直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言 ◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点 ◆◆ 教学目标如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直设计意图：通过对直线与平面垂直及其判定定理的回顾，引出直线与平面垂直的性质定理．发展学生数学抽象和直观想象的核心素养．引语：本节课进一步学习直线与平面垂直的性质定理.（板书：直线与平面垂直的性质定理）【新知探究】问题2：如果直线l 垂直于一个平面，直线m 与直线l 平行，那么直线m 与平面是否垂直？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由师生活动：学生分析解题思路，给出答案． 追问：直线与平面垂直的性质定理如何描述？预设的答案：设直线,a b 为平面α内的任意两条相交直线，则由l α⊥可知，,l a l b ⊥⊥．又因为//l m ，根据空间中两条直线互相垂直的定义知：,m a m b ⊥⊥，所以根据线面垂直的判定定理得m α⊥．直线与平面垂直的性质定理(1)文字叙述：如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．(2)图形语言：(3)符号表示：如果l ∥m ，l ⊥α，则m ⊥α.设计意图：通过定理思辨，提升学生对定理的准确理解和应用能力，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养．问题3：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系？利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．追问：如何描述上述结论？预设的答案：如图所示，,l m αα⊥⊥，设m O α= 假设直线m 不与直线l 平行，则过点O 可作直线'm 与l 平行．由线面垂直得性质定理可知'm α⊥． 因为'mm O =，所以m 与'm 能确定一个平面，记为β，设a αβ= ，由,'m m αα⊥⊥可知,'m a m a ⊥⊥这样一来，在平面β内，过点O 有两条不同得直线都与直线a 垂直，这是不可能得． 因此假设不成立，即//l m(1)文字叙述：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行. (2)图形语言：(3)符号表示：如果l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m .设计意图： 通过定理思辨，提升学生对定理的准确理解和应用能力，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养．问题4：斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小，降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料.斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成.(1)图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗?(2)能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗? 直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗?师生活动：学生分析解题思路，给出答案．追问：直线与平面所成角如何定义，范围如何？预设的答案：不同；能；能.(1)垂线段、斜线段：如果A是平面α外一点，B是平面α内一点，则AB⊥α时，AB 是平面α的垂线段．如果C是平面α内一点，且AC与α不垂直，则称AC是平面α的斜线段(相应地，直线AC称为平面α的斜线)，称C为斜足.如图所示．(2)直线与平面所成的角：如图，AB是平面α的垂线段，AC是平面α的斜线段，直线BC称为直线AC在平面α内的射影，∠ACB称为直线AC与平面α所成的角．如图所示．（3）一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于90°；一条直线和平面平行，或o o在平面内，我们说它们所成的角等于0°.因此，直线与平面所成的角的范围是[0,90]设计意图：由生活实例出发，让学生经历直观想象，分析概括，获得线面角的概念．发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养．问题5：点到平面的距离如何定义？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：利用线面垂直，可以找出点到平面的距离．另外，因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.【巩固练习】例1. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN ∥AD 1；(2)M 是AB 的中点． 师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：(1) ∵ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，∴AD 1⊥A 1D ． 又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1． ∴CD ⊥AD 1.∵A 1D ∩CD ＝D ． ∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ． ∴MN ∥AD 1.(2)设AD 1∩A 1D ＝O ，连接ON ，在△A 1DC 中． A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． ∴ON12CD 12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形． ∴ON ＝AM .∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．设计意图：通过典例分析，提高学生对线面垂直证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．例2. 如图所示，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，P A =AB ，则直线PB 与平面ABC 所成的角等于 .师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：因为P A ⊥平面ABC ，所以斜线PB 在平面ABC 上的射影为AB ，所以∠PBA 即为直线PB 与平面ABC 所成的角.在△P AB 中，∠BAP =90°，P A =AB ，所以∠PBA =45°，即直线PB 与平面ABC 所成的角等于45°.设计意图：通过典例分析，提高学生对线面垂直证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．例3. 如图所示，已知P 为△ABC 外一点，P A ，PB ，PC 两两垂直，P A =PB =PC =a ，求点P 到平面ABC 的距离.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：过点P 作PO ⊥平面ABC 于点O ，连接AO ，BO，CO，所以PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC.因为P A=PB=PC=a．所以△P AO≌△PBO≌△PCO.所以OA=OB=OC，所以O为△ABC的外心.因为P A，PB，PC两两垂直，所以AB=BC=CA=a．所以△ABC为正三角形，所以OA=AB=a．所以PO=a.所以点P到平面ABC的距离为a.设计意图：通过典例分析，提高学生对线面垂直证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．【课堂小结】问题：（1）线面垂直的性质定理的内涵是什么？（2）如何求线面角？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据；2．求线面角的关键是找直线在相应平面内的射影，并借助直角三角形的边角关系求线面角；设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确直线与平面垂直的性质的有关知识．布置作业：【目标检测】1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1B1C1D1(l与棱不重合)，则()A．B1B⊥l B．B1B∥lC．B1B与l异面D．B1B与l相交设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养．2. 如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的()A．∠P AD B．∠PDAC．∠PDB D．∠PDC设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养．3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中AB1与平面ADD1A1所成的角等于________，AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养．4. 在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P A⊥平面ABCD，且P A=1，取对角线BD上一点E，连接PE，PE⊥DE，则PE的长为.设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养．5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，ABC=60°，PA=AB=BC．E是PC的中点.(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)求证：AE⊥平面PCD.设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养．参考答案：1.B因为B1B⊥平面A1B1C1D1，又l⊥平面A1B1C1D1，则l∥B1B．2. B∵P A⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影，故∠PDA是PD与平面ABCD所成的角．3.45°0°∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0°.4.如图所示，连接AE.因为P A⊥平面ABCD．BD⊂平面ABCD，所以P A⊥BD.又因为BD⊥PE，P A∩PE=P．所以BD⊥平面P AE，所以BD⊥AE.所以AE=.所以在Rt△P AE中．由P A=1，AE=，得PE=.5. (1)解：在四棱锥P－ABCD中．因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD.所以PB在平面PAD内的射影为PA．即∠APB为PB和平面PAD所成的角.在△中，AB=PA，故∠APB=45°.(2)证明：在四棱锥P－ABCD中．因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA.因为CD⊥AC，PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD.由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.又PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD.。
高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案
高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案高中数学必修2《直线与平面垂直的判定》教案一、教学内容分析《直线与平面垂直的判定》共2课时，本课是第1课时，本节课的内容包括直线与平面垂直的定义和判定定理两部分，均为概念性知识.本节内容以“垂直”的判定为主线展开，“垂直”在定义和描述直线和平面位置关系中起着重要的作用，集中体现在：空间中垂直关系的相互转化。
其中核心内容为——直线与平面垂直的定义和判定定理。
本节具有承上启下的作用，在已有“直线与平面位置关系，直线与直线垂直定义与判定”的基础上，引出直线与平面垂直，为学习“平面与平面的位置关系，平面与平面的垂直” 做准备，其中直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直，这三类垂直问题的研究主线是类似的，都是以定义——判定——性质为主线.判定定理的教学，尽管新课标在必修课程中不要求证明，但通过定理的探索过程，培养和发展学生的几何直觉以及运用图形语言进行交流的能力，并体会“平面化”以及“降维”的转化思想，是本节课的重要任务.二、教学目标的确定1.课程目标(1)对空间几何体整体观察，认识空间图形;(2)以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;(3)能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定;(4)了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
2.单元教学目标本单元将在前一单元整体观察、认识几何体的基础上，以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，能进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述集合对象的位置关系，初步体验公理化思想，养成逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.具体目标是：(1)点、线、面之间的位置关系①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，了解公理1、公理2、公理3、公理4以及等角定理作为推理的依据。
高二数学下9.4 直线和平面垂直3教案
课 题：9．4直线和平面垂直 (三)教学目的：1．掌握三垂线定理及其逆定理的证明2．正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明教学难点： 用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：三垂线定理和逆定理是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理和性质定理借助于直线的射影，平面上垂直于斜线射影的直线，则与斜线垂直；相反，平面上的直线若垂直于斜线，则亦垂直干斜线的射影，这就是三垂线定理和逆定理的内容可见，三垂线定理和逆定理有两方面作用一方面，把判定空间两直线垂直的问题转化为判定平面内两直线的垂直问题；另一方面，又把平面上判定两直线垂直问题转化为判定空间两直线垂直问题正是由于三垂线定理及逆定理是使空间两直线垂直与平面内两直线垂直相互转化的工具，它们在空间图形的计算和证明中有着广泛的应用因此它几乎成为高考立体几何中每年必考的内容，关于这部分内容的考查，主要是：（l ）在复杂的空间图形中，抽取出三垂线定理或逆定理所涉及的斜线、斜线在平面内的射影、平面内与射影（或斜线）垂直的直线；（2）正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直；（3）能利用三垂线定理或逆定理把空间两直线垂直问题与平面上西直线垂直问题相互转化；（4）利用三垂线定理或逆定理寻求直线与平面所成的角，二面角的平面角，点到平面的距离等教学过程：一、复习引入：1直线和平面的位置关系（1）直线在平面内a α⊂（无数个公共点）；（2）直线和平面相交a A α= （有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行//a α（没有公共点）2线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒3线面平行的性质 βαm l定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行推理模式：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒4线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α5直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面6直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行二、讲解新课：1三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在平面α内的射影，a α⊂，且a OA ⊥求证：a PA ⊥；证明：∵PO α⊥∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OA O ⊥=∴a ⊥平面POA ，∴a PA ⊥． 说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭．注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用三、讲解范例：例1 已知：点O 是ABC ∆的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ，求证：PA BC ⊥． 证明：∵点O 是ABC ∆的垂心，∴AD BC ⊥又∵PO ABC ⊥平面，垂足为O ，ODA CB PPA ABC A = 平面所以，由三垂线定理知，PA BC ⊥．例2 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上已知：∠BAC 在α内，P ∉α，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F 且PE=PF ，PO ⊥α 求证：O 在∠BAC 的平分线上（即∠BAO=∠CAO ） 证明：连接OE ，OF∵PO ⊥α∴EO ，FO 分别为PE ，PF 在α上的射影∵PE=PF ∴OE=OF ∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC∴OE ⊥AB ，OF ⊥AC(三垂线定理的逆定理 )∴O 到∠BAC 两边距离相等∴O 在∠BAC 的平分线上变式：已知：BAC ∠在平面α内，点,,,P PE AB PF AC PO αα∉⊥⊥⊥，垂足分别为,,,E F O PE PF =，求证：BAO CAO ∠=∠．证明：∵,,PE AB PF AC PO α⊥⊥⊥，∴,AB OE AC OF ⊥⊥（三垂线定理逆定理）∵,PE PF PA PA ==，∴Rt PAE Rt AOF ∆≅∆，∴AE AF =，又∵AO AO =，∴Rt AOE Rt AOF ∆≅∆∴BAO CAO ∠=∠． 推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那麽斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线例3．在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心 求证：⑴PH ⊥底面ABC ⑵△ABC 是锐角三角形. 证明：⑴∵PA ⊥PB PA ⊥PC 且PB ∩PC=P∴PA ⊥侧面PBC又∵BC ⊂平面PBD ∴PA ⊥BC ∵H 是△ABC 的垂心 ∴AH ⊥BC ∵PA ∩AH=A ∴BC ⊥截面PAH又PH ⊂平面PAH ∴BC ⊥PH 同理可证：AB ⊥PH 又AB ⋂BC=B ∴PH ⊥面ABC⑵设AH 与直线BC 的交点为E ，连接PE由⑴知PH ⊥底面ABC ∴AE 为PE 在平面ABC 的射影由三垂线定理：PE ⊥BC∵PB ⊥PC 即△BPC 是直角三角形，BC 为斜边αP O E F C BA∴E 在BC 边上 由于AE ⊥BC ，故B ∠C 都是锐角同理可证：∠A 也是锐角 ∴△ABC 为锐角三角形四、课堂练习：1．选择题（1）如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是 （ ） （A ）4个 （B ）6个（C ）7个 （D ）8个（2）直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（ ）（A ）没有 （B ）有一条（C ）有无数条 （D ）α内所有直线答案：（1）D (2) C2．填空题（1）边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，P A ⊥α，P A =a ，则P 到CD 的距离为 ，P 到BC 的距离为 .（2）AC 是平面α的斜线，且AO =a ，AO 与α成60º角，OC ⊂α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A ＇OC =45º，则A 到直线OC 的距离是 ，∠AOC 的余弦值是 .答案：（1）a a 27,2; （2）42,414a 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D . 分析：A 1C 在上底面ABCD 的射影AC ⊥BD,A 1C 在右侧面的射影D 1C ⊥C 1D,所以A 1C ⊥BD, A 1C ⊥C 1D,从而有A 1C ⊥平面BC 1D .五、小结 ：三垂线定理及其逆定理的证明用三垂线定理及其逆定理的应用六、课后作业：1.（1）下列命题中正确的是 ()①两条异面直线在同一平面内的射影必相交．②与一条直线成等角的两条直线必平行．③与一条直线都垂直的两直线必平行．④同时平行于一个平面的两直线必平行．（A ）①、②；（B ）①、③；（C ）②、④；（D ）以上都不对．（2）平面α过△ABC 的重心，B 、C 在α的同侧，A 在α的另一侧，若A 、B 、C 到平面α的距离分别为a 、b 、c ，则a 、b 、c 间的关系为() A A ′ CαO C12a =b +c ；（B ）a =b +c ；（C ）2a =3(b +c )；（D ）3a =2(b +c )．（3）若斜线和平面所成的角为α，此斜线与此平面内任一直线所成的角为β，则（A ）α≤β；（B ）α=β；（C ）α≥β；（D ）α与β的大小关系不确定．（4）已知正△ABC 的边长为334，则到三个顶点的距离都为1的平面有 () 1个；（B ）3个；（C ）5个；（D ）7个．（5）若空间∠α的两边分别与∠β的两边互相垂直，则∠α与∠β的关系为 ( ) 相等；（B ）互补；（C ）相等或互补；（D ）不确定．答案：⑴D ⑵B ⑶A ⑷C ⑸D2.（1）P 是△ABC 所在平面外一点，O 是P 点在平面α上的射影．若P 到△ABC 三边的距离相等，则O 是△ABC 的 心；若P 到△ABC 三个顶点的距离相等，则O 是△ABC 的 心；若PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则O 是△ABC 的 心．（2）已知PA 、PB 、PC 是从点P 发出的三条射线，每两条射线的夹角都是60︒，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为 ．（3）已知直线a ∥b ，a 平面α，则直线b 与平面α的位置关系是 ．（4）AB ∥CD ，它们都在平面α内，且相距28．EF ∥α，且相距15．EF ∥AB ，且相距17．则EF 和CD 间的距离为 ．（5）已知△ABC 中，A ∈α，BC ∥α，BC =6，∠BAC =90︒，AB 、AC 与平面α分别成30︒、45︒的角．则BC 到平面α的距离为 ．答案：⑴内 ，外 ，垂 ⑵33 ⑶b ∥α 或 b α ⑷25或39 ⑸6 3．如图，已知CD 是异面直线CA 、DB 的公垂线，CA ⊥α于A ，DB ⊥β于B ，α∩β=EF ．求证：CD ∥EF ． 证明：设CD 、CA 确定平面γ，γ∩α=AA 1．∵CA ⊥α于A ， ∴CA ⊥AA 1．又∵CA ⊥CD ，CA 、CD 、AA 1都在平面γ内， ∴CD ∥AA 1．设CD 、DB 确定平面δ，δ∩β=BB 1．同理有 CD ∥BB 1，∴BB 1∥CD ∥AA 1．∵AA 1 α，∴BB 1∥α． ∵BB 1 β，α∩β=EF ，∴EF ∥CD ．4．如图，已知AO 是四面体ABCD 的高，M 是AO 的中点，连结BM 、CM 、DM ．求证：BM 、CN 、DM 两两垂直．证明：设正四面体的棱长为a ．∵AO 是高,∴O 是正三角形BCD 的中心． 连结OD ,则OD =a a 332332=⨯．在Rt △AOD 中,AO =a 36,OM =a 66； 在Rt △MOD 中，DM =a 22．同理CM =a 22，∴CM 2+DM 2=CD 2． ∴CM ⊥DM ．同理BM ⊥CM ，DM ⊥BM ．∴BM 、CM 、DM 两两垂直． δ γ β α F E D C B A B 1 A 1 OM D C B A5．如图，PA 、PB 、PC 两两垂直，PA=PB=PC ，G 是△PAB 的重心，E 是BC 上的一点，且BE =31BC ，F 是PB 上的一点，且PF =31PB ．求证：（1）GF ⊥平面PBC ；（2）FE ⊥BC ；（3）GE 是异面直线PG 与BC 的公垂线． 证明：（1）连结BG 和PG ，并延长分别交PA 、AB 于M 和D ， 在△PBM 中，∵PF =31PB ，G 是△PAB 的重心，∴MG =31BM ， ∴GF ∥PM ．又PA ⊥PB ,PA ⊥PC ，∴PA ⊥平面PBC ，则GF ⊥平面PBC ．（2）在EC 上取一点Q 使CQ =31BC ，连结FQ ，又PF =31PB ， ∴FQ ∥PC ．∵PB =PC ，∴FB =FQ ．∵BE =31BC ，∴E 是BQ 的中点，∴FE ⊥BQ ，即FE ⊥BC ． （3）连结GE ．∵GF ⊥平面PBC ，∴由三垂线定理得GE ⊥BC 于E ．取BF 中点N ，连结EN ，则EN ∥FQ ∥P C ．∵PC ⊥平面PAB ，∴EN ⊥平面PAB ．连结NG ，那么NG 是EG 在平面PAB 上的射影．在Rt △PDB 中，∵NG ∥DB ，∴NG ⊥PD ，由三垂线定理得EG ⊥PD 于G ，∴GE 是异面直线PG 与BC 的公垂线．6．如图，已知ABCD 是矩形，AB =a ，AD = b ，PA ⊥平面ABCD ，PA =2c ，Q 是PA 的中点．求（1）Q 到BD 的距离；（2）P 到平面BQD 的距离．解：（1）在矩形ABCD 中，作AE ⊥BD 于E ，连结QE ．∵QA ⊥平面ABCD ，由三垂线定理得QE ⊥BE ，∴QE 的 长是Q 到BD 的距离．在矩形ABCD 中，AB =a ，AD =b ， ∴AE =22ba ab +．在Rt △QAE 中，QA =21PA =c ， ∴QE =2222222b a b a c AE QA ++=+． ∴Q 到BD 的距离为22222b a b ac ++． （2）∵平面BQD 经过线段PA 的中点，∴P 到平面BQD 的距离等于A 到平面BQD 的距离．在△AQE 中，作AH ⊥QE 于E ．∵BD ⊥AE ，BD ⊥QE ，∴BD ⊥平面AQE ．∴BD ⊥AH ，AH ⊥平面BQE ，即AH 为A 到平面BQD 的距离．在Rt △AQE 中，∵AQ =c ，AE =22b a ab+，∴AH =222222a c c b b a abc ++．∴P 到平面BQD 的距离为222222a c c b b a abc++N MG F E D C B PA Q H E Q P D CB A七、板书设计（略）八、课后记：。
人教版高二数学下学期直线和平面垂直 教案
高二数学下学期直线和平面垂直课题：§9·4直线和平面垂直（第一课时）教材：人教版全日制普通高级中学（必修）第二册（下B）P20—22教学目标：一、知识能力目标1、掌握直线和平面垂直的概念。
2、掌握直线和平面垂直的判定定理并能简单进行应用。
3、提高学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二、过程性目标：1、引导学生在观察、实验、猜想、证明等过程中体验到数学活动充满探索与创新，感受数学的严谨性与科学性。
2、培养学生利用等价转化的数学思想证明立体几何问题的能力及独立思考、合作交流、主动参与的情感态度。
3、训练学生将图形、文字语言、符号语言互相转化，从而提高分析问题和解决问题的能力。
教学重点：直线和平面垂直的判定定理。
教学难点：直线和平面垂直的判定定理的证明。
教学方法：诱导启迪法、师生讨论法。
教具准备：多媒体课件。
教学过程教师活动学生活动设计意图设置情境生活感知复习“两条直线互相垂直的定义”，并让学生观察、思考：教室内直立的墙角线和地面的位置关系是什么？直立于地面的旗杆和地面的位置关系又是什么？在一些文学作品中，也常常会有描写我们数学中的一些几何量之间的关系的优美句子，如：古诗“大漠孤烟直，长河落日圆”中的“大漠孤烟直”描写的正是直线和平面垂直的形象。
从而使学生在头脑中产生直线和平面垂直的初步形象，并以此引出课题。
观察思考联想从学生已有认识出发，自然地引出课题。
理解数学与生活的关系；体验数学的人文价值。
概念探求与剖析直线和平面垂直的定义用多媒体课件演示旗杆在地面上的影子随着时间的变化而移动的过程。
同时，展开以下问题：（1）阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？（2）随着时间的变化，影子的位置会移动，而旗杆与影子所成的角度是否会发生改变呢？（3）旗杆与地面上任意一条不过点的直线的位置关系又是什么？所成的角为多少？观察思考讨设计实验，以引出线面垂直的数学化定义使学生从感性认识逐再让学生看一个演示实例：将书打开直立在桌面上，观察书脊和桌面上任何直线的位置关系。
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直线与平面垂直班级 学号 姓名 复习目标：掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；并会规范地写出解题过程。
课前预习：1、知识要点：直线与平面垂直2、基础自测1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ ） ()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若m α⊥，则//m l ；③若m α⊂，则m l ⊥；④//m l ，则m α⊥。
上述判断正确的是()A ①②③ ()B ②③④ ()C ①③④ ()D ②④ 3．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，当底面四边形ABCD 满足条件 时，有111AC B D ⊥（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） 4.设三棱锥P ABC -的顶点P 在平面ABC 上的射影是H ，给出以下命题： ①若PA BC ⊥，PB AC ⊥，则H 是ABC ∆的垂心 ②若,,PA PB PC 两两互相垂直，则H 是ABC ∆的垂心③若90ABC ∠=，H 是AC 的中点，则PA PB PC == ④若PA PB PC ==，则H 是ABC ∆的外心 其中正确命题的命题是 例题分析：例1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、F 分别为11C D 、11D A 的中点．（Ⅰ）求证：⊥DE 平面BCE ；（Ⅱ）求证：//AF 平面BDE ．1C 1D E F例2、如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，侧面P AD 是正三角形，且侧面P AD ⊥底面ABCD ，E 是侧棱PD 上一点，且PB ∥平面EAC . (I)求证：E 是PD 的中点；(II) 求证：AE ⊥平面PCD .例3、如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥.（Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//； （Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.EA B CDPBCNMPDCB A CBAS课后作业：1．下列关于直线,l m 与平面,αβ的命题中，真命题是 （ ）()A 若l β⊂且αβ⊥，则l α⊥ ()B 若l β⊥且//αβ，则l α⊥()C 若l β⊥且αβ⊥，则//l α ()D m αβ=且//l m ，则//l α2、在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且保持1AP BD ⊥，则动点P 的轨迹为 （ A ） ()A 线段1B C ()B 线段1BC()C 1BB 的中点与1CC 的中点连成的线段 ()D BC 的中点与11B C 的中点连成的线段3．三条不同的直线，α、β、γ为三个不同的平面 ①若αγββα则,,⊥⊥∥β ②若a c b b a 则,,⊥⊥∥c ac ⊥或.③若b a,α⊂、βαβ⊥⊥⊥⊂则,,,c a b a c④若a b a ,,βα⊂⊥∥βα⊥则,b上面四个命题中真命题的个数是4．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点， （1）求证：//MN 平面PAD ； （2）求证：MN CD ⊥ （3）若4PDA π∠=，求证：MN ⊥平面PCD5．ABCD 是矩形，,()AB a BC b a b ==>，沿对角线AC 把ADC ∆折起，使AD BC ⊥， （1）求证：BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线；（2）求BD 的长。
6、如图，已知,,SA SB SC 是由一点S 引出的不共面的三条射线，045,60,ASC ASB BSC ∠=∠=∠=90SAB ∠=，求证：AB SC ⊥17．（2013湖南高考）如图，在直三棱柱111ABC A B C-，=90BAC∠，AB AC== 1AA=D是BC的中点，点E在棱1BB上运动．（1）证明:1AD C E⊥；（2）异面直线AC，1C E所成的角为60时，求三棱锥111C A B E-的体积．8.在正方体1111ABCD A B C D-中，M为1DD的中点，O为AC的中点，AB=2．（I）求证：1//BD平面ACM；（II）求证：1B O⊥平面ACM（Ⅲ）求三棱锥1O AB M-的体积．9. 如图所示，四棱锥P-ABCD底面是直角梯形，,,,2,BA AD CD AD CD AB PA⊥⊥=⊥底面ABCD，E为PC的中点。
PA＝AD＝AB＝1。
（1）证明：PADEB平面；（2）证明：BE PDC⊥平面；（3）求三棱锥B-PDC的体积V。
A1B1C1ABCDEN M P C B A例1．四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC的中点，且2EF AC =， 90BDC ∠=，求证：BD ⊥平面ACD证明：取CD 的中点G ，连结,EG FG ，∵,E F 分别为,AD BC 的中点，∴EG12//AC = 12//FG BD =，又,A C B D =∴12FG AC =，∴在EFG ∆中，222212EG FG AC EF +==∴EG FG ⊥，∴BD AC ⊥，又90BDC ∠=，即BD CD ⊥，AC CD C = ∴BD ⊥平面ACD例2．如图P 是ABC ∆所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=，24AB BC ==时，求MN 的长。
（1）证明：取PA 的中点Q ，连结,MQ NQ ，∵M 是PC 的中点，∴//MQ BC ，∵ CB ⊥平面PAB ，∴ MQ ⊥平面PAB∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ，取 AB 的中点D ，连结PD ，∵,PA PB =∴PD AB ⊥，又3AN NB =，∴BN ND =∴//QN PD ，∴QN AB ⊥，由三垂线定理得MN AB ⊥M DA 1C 1B 1CBA（2）∵90APB ∠=，,PA PB =∴122PD AB ==，∴1QN =，∵MQ ⊥平面PAB ∴MQ NQ ⊥，且112MQ BC ==，∴MN =例3. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90,1,ACB AC CB ∠===侧棱11AA =，侧面11AA B B 的两条对角线交于点D ，11B C 的中点为M ，求证：CD ⊥平面BDM 证明：连结1A C ，∵90,ACB ∠=∴BC AC ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中1CC AC ⊥，∴AC ⊥平面1CB ，∵11AA =，1AC =∴1AC =1A C BC =，∵D 是侧面11AAB B 的两条对角 线的交点，∴D 是1A B 与1AB 的中点，∴CD BD ⊥，连结1B C ，取1B C 的中点O ，连结DO ，则//DO AC ，∵AC ⊥平面1CB ，∴DO ⊥平面1CB ，∴CO 是CD 在 平面1B C 内的射影。
在1BB C ∆中，1tan BB C ∠=在1BB M ∆中，1tan BMB ∠=11BB C BMB ∠=∠∴1B C BM ⊥，∴,CD BM BM BD B ⊥=，∴CD ⊥平面BDM9. 如图所示，四棱锥P-ABCD 底面是直角梯形，,,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点。
PA ＝AD ＝AB ＝1。
（1）证明：PAD EB 平面； （2）证明：BE PDC ⊥平面；（3）求三棱锥B-PDC 的体积V 。
9. 证明：（1）取PD 中点Q ，连EQ ，AQ ，则12QE CD AB== QE CD CD AB QE AB QE AB ⎫⎪⇒⎬⎪=⎭ABEQ DE AQ ⇒⇒四边形是平行四边形DE AQBE PAD AQ PAD ⎫⇒⎬⊂⎭平面平面（2）PA ABCD CD ABCD ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面AQ PCD BE PCD BE AQ ⇒⊥⎫⇒⊥⎬⎭平面平面 （3）BDC 11SAD DC 12122⨯⨯＝＝＝, B PDC P BDCBDC11V V PA S 33--＝＝＝16. 如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥.（Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//； （Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.16. （Ⅰ）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD //又 ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥, ∴ （Ⅱ）证明：依题意可知：G 是AC 中点ACE BF 平面⊥ 则BF CE ⊥，而BE BC =, ∴F 是EC 中点在AEC ∆中，AE FG //, ∴BFD AE 平面//（Ⅲ）解： BFD AE 平面// ∴FG AE //，而BCE AE 平面⊥ ∴BCE FG 平面⊥ ∴BCF FG 平面⊥G 是AC 中点 ∴F 是CE 中点 ∴FG AE //且121==AE FG CD PACD AD AD PA A ⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⎭＝CD PAD AQ CD AQ PAD PA AD AQ PD Q PD CD PD D ⎫⊥⎫⇒⊥⎬⎪⊂⎭⎪⎪⎫⎪⇒⊥⎬⎬⎭⎪⎪⎪⎪⎭平面平面＝为的中点 ＝ BCACE BF 平面⊥ ∴CE BF ⊥ ∴BCE Rt ∆中，221===CE CF BF ∴12221=⋅⋅=∆CFB S ∴3131=⋅⋅==∆--FG S V V CFB BCF G BFG C8. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，侧面P AD 是正三角形， 且侧面P AD ⊥底面ABCD ，E 是侧棱PD 上一点，且PB ∥平面EAC . (I) 求证：E 是PD 的中点； (II) 求证：AE ⊥平面PCD .8. 解：(Ⅰ)证：设AC 与BD 交于点O ，连结EO . ∴EO 是平面PBD 与平面EAC 的交线.∵PB ∥平面EAC ， ∴PB ∥EO . 又O 为AC 中点，∴E 为PD 中点. (Ⅱ)证：由(Ⅰ)知E 为PD 中点，且△P AD 为正三角形，∴AE ⊥PD ①.又平面P AD ⊥平面 ABCD 且CD ⊂ 平面ABCD ，CD ⊥AD .∴CD ⊥平面P AD . 又AE ⊂ 平面P AD ，∴CD ⊥AE ②.由①、②知AE ⊥平面PCD .14.如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，a AD AA ==1，a AB 2=，E 、F 分别为11C D 、11D A 的中点．（Ⅰ）求证：⊥DE 平面BCE ；（Ⅱ）求证：//AF 平面BDE ．E ABCDPABDC1A 1B1C1DEF114. （Ⅰ）证明：⊥BC 侧面11C CDD ，⊂DE 侧面11C CDD ，BC DE ⊥∴， 在CDE ∆中，a DE CE a CD 2,2===，则有222DE CE CD +=，︒=∠∴90DEC ，EC DE ⊥∴， 又C EC BC = ⊥∴DE 平面BDE ．（Ⅱ）证明：连EF 、11C A ，连AC 交BD 于O ， 1121//C A EF ，1121//C A AO ， ∴四边形AOEF 是平行四边形， OE AF //∴又⊂OE 平面BDE ，⊄AF 平面BDE ， //AF ∴平面BDE ．12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，O 为AC 的中点，AB=2．（I ）求证：1//BD 平面ACM ； （II ）求证：1B O ⊥平面ACM ；（Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积．2、基础自测1．若,,a b c 表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a α⊥的是 （ D ）()A ,,,a b a c b c αα⊥⊥⊂⊂ ()B ,//a b b α⊥ ()C ,,a b A b a b α=⊂⊥ ()D //,a b b α⊥2．已知l 与m 是两条不同的直线，若直线l ⊥平面α，①若直线m l ⊥，则//m α；②若m α⊥，则//m l ；③若m α⊂，则m l ⊥；④//m l ，则m α⊥。