综合法与分析法 课件
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1.5.2综合法和分析法课件人教新课标B版
D.取 x=-1,f(-1)=-1 +
1
1
-1
= −2.
∵f(1)=1 + 1 = 2,∴f(-1)=-f(1),则 f(x)是奇函数
答案:D
-4-
1.5.2 综合法和分析法
目标导航
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
2.分析法
从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,利用
已知的一些定理,逐步探索,最后到达命题所给出的条件(或者一个
已证明过的定理或一个明显的事实),这种证明方法称为分析法.
归纳总结
证明的起
方法
始步骤
综
基本不等式
合
或已经证明
法
过的不等式
分
要求证的不
析
等式
法
求证过程
证题方
求证目标
向
实施一系列的推出或等
∴(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)≥2ab+2bc+2ac,即
a2+b2+c2≥ab+bc+ac,这严重背离了原题的证明意图.
分析二:设f(a)=a2+b2+c2-2(ab+bc+ac),即f(a)=a2-2a(b+c)+b2+c22bc.
Δ=4(b+c)2-4(b2+c2-2bc)=16bc>0.
证明
4
sin x+
≥5,x∈
sin
π
1
1
-1
= −2.
∵f(1)=1 + 1 = 2,∴f(-1)=-f(1),则 f(x)是奇函数
答案:D
-4-
1.5.2 综合法和分析法
目标导航
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
2.分析法
从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,利用
已知的一些定理,逐步探索,最后到达命题所给出的条件(或者一个
已证明过的定理或一个明显的事实),这种证明方法称为分析法.
归纳总结
证明的起
方法
始步骤
综
基本不等式
合
或已经证明
法
过的不等式
分
要求证的不
析
等式
法
求证过程
证题方
求证目标
向
实施一系列的推出或等
∴(a2+b2)+(b2+c2)+(a2+c2)≥2ab+2bc+2ac,即
a2+b2+c2≥ab+bc+ac,这严重背离了原题的证明意图.
分析二:设f(a)=a2+b2+c2-2(ab+bc+ac),即f(a)=a2-2a(b+c)+b2+c22bc.
Δ=4(b+c)2-4(b2+c2-2bc)=16bc>0.
证明
4
sin x+
≥5,x∈
sin
π
1.2 综合法与分析法 课件1 (北师大选修2-2)
练习2:求证：
3- 2>
6- 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明： 1 + 1 > 4
a b
变题： 已知 a, b, c R ，且 a b c 1
1 求证：(1)a b c ; 3 (2) a b c 3.
2 2 2
例2.如图，四棱锥 P ABCD 中，
2.分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论的成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的 条件和已知条件吻合为止.
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
2 2
证: 求
直接证明
π 1 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
2 2
证: 求
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E, CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF C D E F A B
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形 ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.
CM // 面PAD; （1）求证：
面PAB 面PAD. （2）求证：
例3.已知数列 {an }的通项 an 为3,公差为1的等差数列.
2.2.1综合法与分析法课件人教新课标2
sinθ + cosθ = 2sinα （1） sinθgcosθ = sin2β （2）
1 - tan2α 1 - tan2β 求证 1 + tan2α = 2(1 + tan2β) .
证明：
因为（sin2θ + cos2θ）2 - 2sinθcosθ = 1,
所以将(1)(2)代入，可得
4sin2α - 2sin2β = 1. 另一方面要证
4.作业：89页1 2 3
练习.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为 F,求证 AF⊥SC.
S
判断
F E
应该用综合法还
是分析法？
A
C
B
1 - 2sin2α = 1 (1 - 2sin2β)， 2
4sin2α - 2sin2β = 1.
由于上式与③相同，于是问题得证.
课堂小结
1.综合法的概念：
一般地，利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立,这种证明 方法叫做综合法.
2.分析法的概念:
则综合法可用 框图表示如下：
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
例题1
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的 边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列， a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三 角形．
分析
•将A，B，C成等差数列，转化为符号 语言就是2B=A+C；
•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°；
这就是另一种证 明方法——分析法.
一般地，从要证明的结论出发，逐 步寻求推证过程中，使每一步结论成立 的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理等）为止， 这种证明的方法叫做分析法．
1 - tan2α 1 - tan2β 求证 1 + tan2α = 2(1 + tan2β) .
证明：
因为（sin2θ + cos2θ）2 - 2sinθcosθ = 1,
所以将(1)(2)代入，可得
4sin2α - 2sin2β = 1. 另一方面要证
4.作业：89页1 2 3
练习.如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作 SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为 F,求证 AF⊥SC.
S
判断
F E
应该用综合法还
是分析法？
A
C
B
1 - 2sin2α = 1 (1 - 2sin2β)， 2
4sin2α - 2sin2β = 1.
由于上式与③相同，于是问题得证.
课堂小结
1.综合法的概念：
一般地，利用已知条件和某些数学定 义、公理、定理等,经过一系列的推理论证, 最后推导出所要证明的结论成立,这种证明 方法叫做综合法.
2.分析法的概念:
则综合法可用 框图表示如下：
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
例题1
在△ABC中，三个内角A、B、C对应的 边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列， a、b、c成等比数列，求证△ABC为等边三 角形．
分析
•将A，B，C成等差数列，转化为符号 语言就是2B=A+C；
•A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含 条件，即A+B+C=180°；
这就是另一种证 明方法——分析法.
一般地，从要证明的结论出发，逐 步寻求推证过程中，使每一步结论成立 的充分条件，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件（已 知条件、定理、定义、公理等）为止， 这种证明的方法叫做分析法．
5.3.2综合法与分析法(1) 课件(人教A版选修4-5)
2 2 2 2 2
例 7 已 知 a , b , c都 是 正 数 , 求 证 : a b c 3 abc , 并 指 出 等 号 成 立 的 条 件 .
3 3 3
5.3.2不等式的证明—综合法和分析法
从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理 逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证 明方法叫做综合法。 综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时，有时可以从要证明的不等 式出发，逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件， 直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是 否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。 分析法的思路是“执果索 因”. … A B 综合法： 条件 结论
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
例1 已 知 a , b都 是 正 数 , 求 证 :
3 3
a b
2
b a
分析法： 结论
B
…
A
条件补Biblioteka 作业(1) 求 证: 1 x
2
1 y
2
2
1 z
2
1 xy
1 yz
1 zx
( 2 ) 求 证: a b ab a b 1
2
( 3 ) 已 知 a , b , c 为 不 全 相 等 的 正 数 , 且 abc 1 . 求证 : a b c 1 a 1 b 1 c
2.
2
例 2 设 a 0 , b 0 , 求 证 : a b a b ab
例 7 已 知 a , b , c都 是 正 数 , 求 证 : a b c 3 abc , 并 指 出 等 号 成 立 的 条 件 .
3 3 3
5.3.2不等式的证明—综合法和分析法
从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理 逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证 明方法叫做综合法。 综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时，有时可以从要证明的不等 式出发，逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件， 直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是 否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。 分析法的思路是“执果索 因”. … A B 综合法： 条件 结论
天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！ 书 小 不 学 勤 径，学 徒 伤 悲 作 功！ 天 才 在 于 为 奋，努 力 才 能 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 少 山 有 路 勤习，老 来 海 无 崖 苦成 舟
例1 已 知 a , b都 是 正 数 , 求 证 :
3 3
a b
2
b a
分析法： 结论
B
…
A
条件补Biblioteka 作业(1) 求 证: 1 x
2
1 y
2
2
1 z
2
1 xy
1 yz
1 zx
( 2 ) 求 证: a b ab a b 1
2
( 3 ) 已 知 a , b , c 为 不 全 相 等 的 正 数 , 且 abc 1 . 求证 : a b c 1 a 1 b 1 c
2.
2
例 2 设 a 0 , b 0 , 求 证 : a b a b ab
综合法分析法PPT课件
例 3. 已 知 α ,β≠
k π+ π( k 2
Z),且
sinθ+ cosθ = 2sinα
sinθ cosθ = sin 2β
求 证:
1 - tan 2α = 1 - tan 2β . 1 + tan 2α 2(1 + tan 2β )
.
.
用P表示已知条件,定义,定理,公理等,用Q表 示要证的结论,则上述过程可用框图表示为:
A
C
B
因为:SA⊥平面ABC成立 所以. AF⊥SC成立
.
例3:设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,
s = 1(a + b+c), 试证： s < 2a 2
解:欲证s<2a,只需证
s
s2 b
即证b<s,也即证 b 1 (a bc)
2
即证b<a+c
因为a,b,c为一个三角形的三边,所以 b<a+c成立.
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
证明:要证;a
+ 2
b
ab
还原成综合法： 证明:
只需证;a+b2 ab
因为;( a b)2 0
只需证;a+b2 ab0 所以 a+b2 ab0
只需证;( a b)2 0
所以 a+b2 ab
因为;( a b)2 0成立
所以 a
+ 2
b
a b成立
所以
a+b 2
a b 成立
.
小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
综合法和分析法 课件
用分析法证明不等式 设 x≥1，y≥1，证明 x＋y＋x1y≤1x＋1y＋xy. 证明：由于 x≥1，y≥1， 要证 x＋y＋x1y≤1x＋1y＋xy， 只需证 xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)] ＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1) ＝(xy－1)(xy－x－y＋1) ＝(xy－1)(x－1)(y－1)， 因为 x≥1，y≥1， 所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0， 从而所要证明的不等式成立．
综合法与分析法
1．综合法
一般地，从_已__知__条__件___出发，利用定义、公理、定理、性质等， 经过一系列的__推__理__、__论__证__而得出__命__题__成立，这种证明方 法叫做综合法．综合法又叫__顺__推__证__法__或__由__因__导__果__法__．
2．分析法 证明命题时 ， 从 _要__证__的__结__论___出 发 ， 逐步寻求使它成立的 _充__分___条件，直到所需条件为_已__知___条件或一个__明__显__成__立__的
事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出 __要__证__的__命__题__成 立 ，这种证明方法叫做分析法．这是一种 _执__果__索__因___的思考和证明方法．
用综合法证明不等式 设 a>b>c>0，证明：2a2＋a1b＋a（a1－b）－10ac＋25c2 ≥4.
【证明】 因为 a>b>c>0， 所以 2a2＋a1b＋a（a1－b）－10ac＋25c2 ＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋a1b＋a（a1－b） ＝(a－5c)2＋ab＋a1b＋a(a－b)＋a（a1－b） ≥0＋2＋2＝4， 当且仅当 2，c＝ 52时，等号成立．
第2讲不等式的基本方法-综合法与分析法课件人教新课标
∴3x2＋3y2＞2xy成立.
1
1
∴(x2＋y22) ＞(x3明不等式 例 3 设 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1，求证 a＋1＋ b＋1≤ 6. 证明 要证 a＋1＋ b＋1≤ 6，
只需证( a＋1＋ b＋1)2≤6，
即证(a＋b)＋2＋2 ab＋a＋b＋1≤6.
A.1a＜1b
B.a＋1b＞b＋1a
√C.b＋1a＞a＋1b
D.ba＜ba＋ ＋11
解析 ∵a＜b＜0，∴ab＞0，∴aab＜abb＜0，即1b＜1a＜0.
∴a＋1b＜b＋1a.
1234
解析 答案
2.已知函数 f(x)＝12x，a＞0，b＞0，a≠b，A＝f a＋2 b，B＝f( ab)，C＝ 2ab
第二讲 证明不等式的基本方法
二 综合法与分析法
学习目标 1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点. 2.掌握综合法、分析法证明不等式的方法和步骤. 3.会用综合法、分析法证明一些不等式.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 综合法与分析法
思考1 在“推理与证明”中，学习过分析法、综合法，请回顾分析法、 综合法的基本特征. 答案 分析法是逆推证法或执果索因法，综合法是顺推证法或由因导 果法.
Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 得到一个明显成立的条件
题型探究
类型一 综合法证明不等式 例 1 已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1， 求证：a＋1a2＋b＋1b2≥225.
证明
反思与感悟 综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系， 为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系. 合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.
综合法和分析法 课件
综合法与分析法
1．综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方 法，也是不等式证明中的基本方法．由于两者在证明思路 上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学 习，以便于对比研究两种思路方法的特点．
2．所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的 性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式．综合法 是“由因及果”．
分析：注意不等式左、右两端的差异，思考 如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母
a＝ b1c＜121b＋1c，而1a＝bc.
证明：法一：因为 a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
所以 a＋ b＋ c＝
b1c＋
a1c＋
1 ab
＜121b＋1c＋121a＋1c＋121a＋1b＝1a＋1b＋1c.
法二：a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
设 x，y∈(0，＋∞)．求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)． ∵x＋y≥2 xy＞0， ∴只需证 2(x＋y)＋1≥2 x＋2 y. 即证(x＋14)＋(y＋14)≥ x＋ y.
2
只需证 2ab＋ma＋b ＜ c ， 即证 1＋2abm＋2m－aab＋b＜1＋mc ， 只需证 m2c－abc＜2mab＋m2(a＋b)成立， 只需证 m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立， ∵a，b，c 分别是△ABC 的三边长，∴a＋b＞c. 即 c－(a＋b)＜0，而 m2＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜0. 而 ab(2m＋c)＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立． ∴原不等式成立．
(当且仅当 a＝b＝c＝13时，等式成立)
1．综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方 法，也是不等式证明中的基本方法．由于两者在证明思路 上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学 习，以便于对比研究两种思路方法的特点．
2．所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的 性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式．综合法 是“由因及果”．
分析：注意不等式左、右两端的差异，思考 如何脱去左端根号或如何去掉右端的分母
a＝ b1c＜121b＋1c，而1a＝bc.
证明：法一：因为 a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
所以 a＋ b＋ c＝
b1c＋
a1c＋
1 ab
＜121b＋1c＋121a＋1c＋121a＋1b＝1a＋1b＋1c.
法二：a，b，c 是不等正数，且 abc＝1，
设 x，y∈(0，＋∞)．求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.
证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)． ∵x＋y≥2 xy＞0， ∴只需证 2(x＋y)＋1≥2 x＋2 y. 即证(x＋14)＋(y＋14)≥ x＋ y.
2
只需证 2ab＋ma＋b ＜ c ， 即证 1＋2abm＋2m－aab＋b＜1＋mc ， 只需证 m2c－abc＜2mab＋m2(a＋b)成立， 只需证 m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立， ∵a，b，c 分别是△ABC 的三边长，∴a＋b＞c. 即 c－(a＋b)＜0，而 m2＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜0. 而 ab(2m＋c)＞0， ∴m2[c－(a＋b)]＜ab(2m＋c)成立． ∴原不等式成立．
(当且仅当 a＝b＝c＝13时，等式成立)
【高中数学优质课件】推理与证明03综合法与分析法 课件(31张)
第3课时 综合法与分析法
• 预学3:用框图表示综合法与分析法的证明过 程
• (1)综合法可用框图表示:(用P表示已知条件， 已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证 明的结论)
• P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q • (2)若用Q表示所要证明的结论，分析法可用
框图表示: • Q⇐P1→P1⇐P2➝P2⇐P3→…→得到一个明
• 即证b2c2＋a2d2≥2abcd， • 只需证(bc－ad)2≥0. • 因为(bc－ad)2≥0显然成立， • 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2成立.
No.1 middle school ，my love ！
第3课时 综合法与分析法
• (综合法)因为b2c2＋a2d2≥2abcd(当且仅当bc ＝ad时取等号)，
第3课时 综合法与分析法
No.1 middle school ，my love ！
第3课时 综合法与分析法
No.1 middle school ，my love ！
第3课时 综合法与分析法
• 变式训练3设a≥b>0，求证:3a3＋2b3≥3a2b＋ 2ab2.
• 【解析】(法一)综合法: • 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) • ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) • ＝(3a2－2b2)(a－b). • 因为a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0， • 所以(3a2－2b2)(a－b)≥0， • 所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立.
No.1 middle school ，my love ！
第3课时 综合法与分析法
• 分析法与综合法的关系 • (1)区别:综合法是“由因导果”，而分析法则
是“执果索因”，它们是截然相反的两种证 明方法.分析法便于我们去寻找思路，而综 合法便于过程的叙述，两种方法各有所长， 在解决具体问题时，结合起来运用效果会 更好.
• 预学3:用框图表示综合法与分析法的证明过 程
• (1)综合法可用框图表示:(用P表示已知条件， 已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证 明的结论)
• P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q • (2)若用Q表示所要证明的结论，分析法可用
框图表示: • Q⇐P1→P1⇐P2➝P2⇐P3→…→得到一个明
• 即证b2c2＋a2d2≥2abcd， • 只需证(bc－ad)2≥0. • 因为(bc－ad)2≥0显然成立， • 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2成立.
No.1 middle school ，my love ！
第3课时 综合法与分析法
• (综合法)因为b2c2＋a2d2≥2abcd(当且仅当bc ＝ad时取等号)，
第3课时 综合法与分析法
No.1 middle school ，my love ！
第3课时 综合法与分析法
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第3课时 综合法与分析法
• 变式训练3设a≥b>0，求证:3a3＋2b3≥3a2b＋ 2ab2.
• 【解析】(法一)综合法: • 3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) • ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a) • ＝(3a2－2b2)(a－b). • 因为a≥b>0，所以a－b≥0，3a2－2b2>0， • 所以(3a2－2b2)(a－b)≥0， • 所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立.
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第3课时 综合法与分析法
• 分析法与综合法的关系 • (1)区别:综合法是“由因导果”，而分析法则
是“执果索因”，它们是截然相反的两种证 明方法.分析法便于我们去寻找思路，而综 合法便于过程的叙述，两种方法各有所长， 在解决具体问题时，结合起来运用效果会 更好.
2.2.1综合法和分析法PPT课件
()
❖ A．既不充分也不必要条件
❖ B．充要条件
❖ C．充分条件
❖ D．必要条件
❖ [答案] D
❖ [解析] ∵②⇒①，但①不一定推出②.故•18 应选D.
2．若 a，b，c∈R，且 ab＋bc＋ac＝1，则下列不等
式成立的是
()
A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3 C.1a＋1b＋1c≥2 3 D．abc(a＋b＋c)≤13 ❖ [答案] B
步反推，寻找使当前命题成立的充分条件，
即用分析法证明．
[证明] ∵a>0，b>0，要证
a＋ b
b≥ a
a＋
b成立，
只需证
a＋ b
ba2≥(
a＋
b)2 成立，
即证ab2＋ba2＋2 ab≥a＋b＋2 ab成立．
•5
即证a3a＋bb3≥a＋b.
也就是证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b)成立．
要证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c，
即证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，
也就是a＋c b＋b＋a c＝1，
❖ 只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
❖ 需证c2＋a2＝ac＋b2，
❖ 又△ABC三内角A、B、C成等差数列，故B
＝60°，
•11
❖ 由余弦定理，有 ❖ b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac， ❖ 故c2＋a2＝ac＋b2得证． ❖ 综合法： ❖ 证明：∵△ABC三内角A、B、C成等差数列， ❖ ∴B＝60°. ❖ 由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°， ❖ 得c2＋a2＝ac＋b2， ❖ 等式两边同时加上ab＋bc得 ❖ c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
综合法和分析法 课件
分析法证明．
[规范解答] 要证明 f(x＋1)为偶函数，只需证明其对 称轴为直线 x＝0.(2 分)
因为 f(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c(a≠0)的对称 轴为 x＝－2ba－1，所以只需证－2ba－1＝0，
即证 b＝－2a.(4 分)
由已知，抛物线 f(x＋2)的对称轴 x＝－2ba－2 与 f(x) 的对称轴 x＝－2ba关于 y 轴对称，(8 分)
只需要证明 logxa＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＜logx (abc)．
a＋b b＋c a＋c 由已知 0＜x＜1，只需证明 2 · 2 · 2 ＞abc.
a＋b
b＋c
a＋c
由基本不等式得 2 ≥ ab＞0， 2 ≥ bc＞0， 2
≥ ac＞0.又因为 a，b，c 是不全相等的正数，
a＋b b＋c a＋c 所以 2 · 2 · 2 ＞ a2b2c2＝abc.
(3)适当调整，回顾反思：解题后回顾解题过程，可 对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反 思总结解题方法的选取．
类型 2 分析法的应用
[典例 2] 设 a，b 为实数，求证：
a2＋b2≥
2 2 (a
＋b)．
证明：当 a＋b≤0 时，因为 a2＋b2≥0，
所以 a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．
a＋b b＋c a＋c 即 2 · 2 · 2 ＞abc 成立．
a＋b b＋c a＋c 所以 logx 2 ＋logx 2 ＋logx 2 ＜logx a＋logx b＋logx c 成立．
温馨提示 运用综合法证明问题的关键是正确运用
相关的定义、定理、公理和已知条件．
2．分析法
(1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成 立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件．
[规范解答] 要证明 f(x＋1)为偶函数，只需证明其对 称轴为直线 x＝0.(2 分)
因为 f(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋c(a≠0)的对称 轴为 x＝－2ba－1，所以只需证－2ba－1＝0，
即证 b＝－2a.(4 分)
由已知，抛物线 f(x＋2)的对称轴 x＝－2ba－2 与 f(x) 的对称轴 x＝－2ba关于 y 轴对称，(8 分)
只需要证明 logxa＋2 b·b＋2 c·a＋2 c＜logx (abc)．
a＋b b＋c a＋c 由已知 0＜x＜1，只需证明 2 · 2 · 2 ＞abc.
a＋b
b＋c
a＋c
由基本不等式得 2 ≥ ab＞0， 2 ≥ bc＞0， 2
≥ ac＞0.又因为 a，b，c 是不全相等的正数，
a＋b b＋c a＋c 所以 2 · 2 · 2 ＞ a2b2c2＝abc.
(3)适当调整，回顾反思：解题后回顾解题过程，可 对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反 思总结解题方法的选取．
类型 2 分析法的应用
[典例 2] 设 a，b 为实数，求证：
a2＋b2≥
2 2 (a
＋b)．
证明：当 a＋b≤0 时，因为 a2＋b2≥0，
所以 a2＋b2≥ 22(a＋b)成立．
a＋b b＋c a＋c 即 2 · 2 · 2 ＞abc 成立．
a＋b b＋c a＋c 所以 logx 2 ＋logx 2 ＋logx 2 ＜logx a＋logx b＋logx c 成立．
温馨提示 运用综合法证明问题的关键是正确运用
相关的定义、定理、公理和已知条件．
2．分析法
(1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成 立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件．
综合法和分析法 课件
所以 3(ab＋bc＋ca)≤a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝ (a＋b＋c)2＝1.
所以 ab＋bc＋ca≤13.当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成 立．
归纳升华 1．综合法是指从已证的不等式或问题的已知条件出 发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理， 最后达到待证的结论或需求的问题，其特点和思路是“由 因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步 寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或 一个明显成立事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)， 从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．这 是一种执果索因的思考和证明方法．
3．综合法与分析法的比较
方法
证明的起 始步骤
求证过程
求证目标
证题方向
2．在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能 分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手，常用分析 法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过 程．有时问题证明难度较大，常综合应用分析法和综合法， 从两头往中间靠以达到证题目的．
归纳升华 1．分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式 成立的充分条件，进而转化为判定那些条件是否具备．其 特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“已知”． 2．当所要证的不等式与重要不等式、基本不等式没 有直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用 分析法来证明．
类型 3 分析法与综合法的灵活运用 [典例 3] 设 x，y∈(0，＋∞)，求证： 12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x. 证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x⇔(x ＋y)[2(x＋y)＋1]≥2 xy(2 x＋2 y)．
《综合法与分析法》课件
案例三：项目管理
总结词
综合法在项目管理中的应用
VS
详细描述
项目管理中，综合法可以将项目目标、资 源、风险和进度等因素进行综合考虑，制 定全面而有效的项目管理计划，确保项目 的顺利实施和成功完成。
案例四：产品开发
总结词
分析法在产品开发中的应用
详细描述
产品开发过程中，分析法可以对产品功能、性能和市场定位进行深入分析，帮助企业了 解市场需求和竞争态势，从而开发出具有竞争力的产品。
《综合法与分析法》ppt课 件
目 录
• 综合法概述 • 分析法概述 • 综合法与分析法的比较 • 综合法与分析法的实践案例
01
综合法概述
定义与特点
定义
全面性
综合法是一种将多个相关因素综合起来进 行考虑的方法，通过对这些因素的整合和 分析，得出一个全面的结论或解决方案。
综合法注重全面考虑问题，不遗漏任何相 关因素。
优缺点的比较
01
02
03
04
综合法的优点
能够全面地理解整体和各部分 之间的关系，能够整合各方面 的信息，得到更全面的结论。
综合法的缺点
对于复杂的问题，整合各部分 可能会产生信息过载，难以理
解和处理。
分析法的优点
能够深入了解各个部分的特点 和关系，能够得到更精确和深
入的结论。
分析法的缺点
可能会过于关注细节而忽略整 体，导致只见树木不见森林。
综合法的优缺点
考虑因素众多，可能导致分析复杂度增加
综合法需要考虑众多因素，这可能导致分析过程变得复杂和繁琐。
需要具备较高的综合素质和能力
综合法的应用需要具备较高的综合素质和能力，包括广泛的知识面、较强的分析 能力和判断力等。
综合法与分析法PPT
例题2
求证 3 + 7 < 2 5.
分析
从待证不等式不易发现证明的出发 点，因此我们直接从待证不等式出发， 分析其成立的充分条件.
证明：
因为 3 + 7和 2 5 都是正数，所以要证
3 + 7 < 2 5，
只需证
（ 3 + 7）2 <（2 5）2 .
展开得
10 + 2 21 < 20，
只Hale Waihona Puke 证21 < 5，不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
动动脑
大家想一想， 除了综合法，还有 别的证明方法吗？
证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证:a + b 2 ab
只需证:a + b 2 ab 0
只需证:( a b)2 0
因为:( a b)2 0 成立
所以
a
+ 2
b
ab成立
a2 + c2 - ac = ac,
即 （a - c）2 = 0.
因此
a=c.
从而
A=C.
⑤
由 ② ③ ⑤ ,得
A=B=C= π. 3
所以△ＡＢC为等边三角形.
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转 换，如把文字语言转换成符号语言，或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分 析，把其中的隐含条件明确表示出来.
a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左 端为两项之和，其中每一项都是一个数 与另两个数的平方和之积.据此，只要把 两个数的平方和转化为这两个数的积的 形式，就能使不等式左、右两端具有相 同的形式.
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练习2:求证：
3- 2>
6- 5
练习3:设a,b为互不相等的正数，且a+b=1, 证明： 1 + 1 > 4
a b
变题： 已知 a, b, c R ，且 a b c 1
1 求证：(1)a b c ; 3 (2) a b c 3.
2 2 2
例2.如图，四棱锥 P ABCD 中，
2.分析法
从问题的结论出发，追溯导致结论的成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的 条件和已知条件吻合为止.
其推证过程为：
结论 已知条件
特点：
从“未知”看“需知”，逐步靠拢 “已知”
3.直接证明
直接从原命题的条件逐步推得命题成立.
（综合法和分析法是直接证明的两种基本方法）
注：直接证明的一般形式为：
数学：１．２《综合法与分析法》
综合法和分析法
复习
1.推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
三段论 （一般到特殊）
归纳
(特殊到一般）
类比 （特殊到特殊）
两种推理的作用?
合情推理为演绎推理确定了目标和方向 演绎推理为合情推理提供了前提且对猜想作出判决和证明
猜想需要推理
否定猜想?
肯定猜想?
本题条件 已知定义 ⇒ A⇒ B⇒ C ⇒ 本题结论 已知公理 已知定理
例1:如图，已知AB,CD相交于点O, △ACO≌△BDO,AE=BF, 求证：CE=DF C F E O D
A
B
4.分析法和综合法的优缺点：
分析法的优点： 解题方向明确，容易找到解题的思路和方法； 缺点：思路逆行，叙述较繁.
2 2
证: 求
直接证明
π 1 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)
2 2
证: 求
练习1:平行四边形ABCD中，AE⊥BD,垂足为E, CF⊥BD,垂足为F, 求证：AE=CF C D E F A B
an 与 Sn 的解析式; (2)试比较Sn与 3nan (n∈N*),的大小.
(1)求
PC 平面ABCD, PC 2,
在四边形 ABCD 中，点M 在PB上，
PB与平面ABC成 30 角.
CM // 面PAD; （1）求证：
面PAB 面PAD. （2）求证：
例3.已知数列 {an }的通项 an 为3,公差为1的等差数列.
0(n∈N*),
2 n
它的前n项的和记为 Sn ,数列{S } 是首项
举反例
证明
回顾证明基本不等式：
a+b 2 ab a>0,b>0
直 接 证 明
1.综合法 从已知条件出发，以已知的定义、公理、 定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的 结论为止.
其推证过程为：
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Байду номын сангаасQ
特点： 从“已知”看“可知”，逐步推向“未知” （由因导果）
综合法的优点： 从条件推出结论，较简捷地解决问题； 缺点：不便于思考. 注：解题时，一般用分析法寻找解题 思路，再用综合法写解题过程
例2.已知 a 0, b 0 ，
a b a b 求证： b a
π 3 例. 已知α, β≠ kπ+ (k Z),且 2 sinθ+ cosθ= 2sinα sinθcosθ= sin 2 β 1 - tan α 1 - tan β = . 2 2 1 + tan α 2(1 + tan β)