投资学第七章
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Chapter 7
套利定价理论
Arbitrage Pricing Theory ：APT
投资学
7-1
一价定律Law of one price 一价定律
如果两种资产在所有经济意义上的相关 方面都相等，则它们的市场价格应相同。 方面都相等，则它们的市场价格应相同。 （two identical items must sell at same price.） ）
投资学
7-14
套利证券组合如何影响投资者的头寸
O ld portfolio A rbitrage portfolio w eight 1 2 3 property Expected return sensitivity variance 16% 1.9 11% 0.975% 0 small 16.975% 1.9 A pprox. 11% 0.333 0.333 0.333 0.100 0.075 -0.175 0.433 0.408 0.158 N ew portfolio
投资学
7-2
套利Arbitrage
Arbitrage – 如果投资者可以构建一个零投资组 合来获得确定收益的时候，就出现了套利机会。 arises if an investor can construct a zero investment portfolio with a sure profit Since no investment is required, an investor can create large positions to secure large levels of profit In efficient markets, profitable arbitrage opportunities will quickly disappear
7-16
高度分散化的组合和套利定价理论 APT & Well-Diversified Portfolios
单个资产：Ri= E（Ri）+βiF+εi 充分多元化的资产组合：
RP = E(RP ) + βP F + ε P
F is some macroeconomic factor For a well-diversified portfolio εp approaches zero
The return on a diversified portfolio is the sum of the expected return plus the sensitivity of the portfolio to the factor. RP = E(RP ) + βP F
充分分散的投资组合
如果一个投资组合是充分分散的，那么,它的非系统风 险将可以被分散掉，剩下的就只有系统风险。 组合的方差由系统的与非系统的两方面构成,见下式, σP2 = βP2 σF2 + σ2(εP) σ2(eP)=∑Xi2σ2(εi) ε 如果组合是等权重的, 则Xi=1/n,当n→∞时, σ2(eP)=0. 也就是说,充分分散的投资组合应当满足: 按比例Xi分散于足够大数量的证券中,而每种成分又足 以小到使非系统方差σ2(εP)可以被忽略.于是,就有:
投资学
7-17
组合和分散化Portfolios and Diversification
组合收益率是该组合中各项资产的收益率的简单加权平 均（the portfolio return is the weighted average of the returns on the individual assets in the portfolio）:
投资学
7-12
例子
（单因素模型）假如市场上存在三种股票，每 个投资者都认为它们满足因素模型，且具有以 下的期望回报率和敏感度：
βi E (ri) 股票1 15% 0.9 股票2 21% 3.0 股票3 12% 1.8 假设某投资者投资在每种股票上的财富为4000元，投资 者现在总的投资财富为12000元。
投资学
7-15
在上面的例子，因为(0.1,0.075,−0.175)是一个套利证券 组合，所以，每个投资者都会利用它。从而，每个投 资者都会购买证券1和2，而卖空证券3。由于每个投资 者都采用这样的策略，必将影响证券的价格，相应地， 也将影响证券的回报率。特别地，由于购买压力的增 加，证券1和2的价格将上升，而这又导致证券1和2的 回报率下降。相反，由于销售压力的增加，证券3的价 格将下降，这又使得证券3的回报率上升。 这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利 机会消失为止。此时，证券市场处于一个均衡状态。 在这时的证券市场里，不需要成本、没有因素风险的 证券组合，其期望回报率必为零。 投资学
RP = X1E(R1 ) + X 2 E(R2 ) +L+ X N E(RN ) + ( X1 β1 + X 2 β2 +L+ X N βN )F
+ X1ε1 + X 2ε2 +L+ X N εN
在一个大的组合中，当这个等式的第三部分会消失，意味着 非系统性风险被消除掉。In a large portfolio, the third row of this equation disappears as the unsystematic risk is diversified 投资学 7-19 away.
σ We can break down the risk, U, of holding a stock into two components: systematic risk and unsystematic risk: Total risk; U
R = E(R) +U becom es R = E(R) + m + ε where m is the system atic risk ε is the unsystem ic risk at
n 投资学
7-22
ε
Nonsystematic Risk; ε Systematic Risk; m
Betas and Expected Returns
RP = X1E(R1) +L+ X N E(RN ) + ( X1 β1 +L+ X N βN )F
E(RP )
Recall that
βP
and E(RP ) = X1E(R1) +L+ X N E(RN ) βP = X1 β1 +L+ X N βN
RP = X1R1 + X 2 R2 +L+ Xi Ri +L+ X N RN
Ri = E(Ri ) + βi F + εi
RP = X1[E(R1) + β1F + ε1] + X 2[E(R2 ) + β2 F + ε2 ] + L+ X N [E(RN ) + βN F + εN ]
RP = X1E(R1) + X1 β1F + X1ε1 + X 2 E(R2 ) + X 2 β2 F + X 2ε2 + L+ X N E(RN ) + X N βN F + X N εN
证券i
投资学
7-13
一 个 套 利 证 券 组 合 （ X1 ， X2 ， X3 ） 是下面三个方程的解：
初始成本为零：X1+X2+X3=0 对因子的敏感度为零：0.9X1+3.0X2+1.8X3=0 期望回报率为正：15X1+21X2+12X3>0
满足这三个条件的解有无穷多个。例如， =(0.1,0.075,−0.175)就是一个套利证券组合。
投资学
7-11
套利证券组合
根据APT，投资者将竭力发现构造一个套 利组合的可能性，以便在不增加风险的 情况下，增加组合的预期回报率。 定义： 定义 ： 如果一个证券组合满足下列三个 条件：
1．初始成本为零； 2．对因素的敏感度为零： 3．期望回报率为正。
我们称这种证券组合为套利证券组合 套利证券组合。 套利证券组合
投资学
7-6
APT的基本假设
套利定价理论(APT) ： Stephen Ross在70年 代中期建立的
Stephen A Ross,“ The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing”,1976
投资学
7-7
APT的基本假设
假设1： 假设 ：市场是完全竞争的、无摩擦的。 假设2： 假设 ： 投资者是非满足的：当投资者具有 套利机会时，他们会构造套利证券组合来增 加自己的财富。
投资学
7-20
Portfolios and Diversification
So the return on a diversified portfolio is determined by two sets of parameters:
The weighed average of expected returns. 2. The weighted average of the betas times the factor F. RP = X1E(R1) + X 2 E(R2 ) +L+ X N E(RN )
7-9
APT的基本假设
假设4： 假设 ： E(εi) =0 ，εi与所有因素不相关且 Cov (εi，εj) ＝０ 假设5： 市场上的证券的种类远远大于因素 假设 ： 的数目 k 。
投资学
7-10
APT的最本质的逻辑
因素模型说明，所有具有等因素敏感度 的证券或者证券组合，除非因素风险 （即市场风险）外，其行为是一致的。 因此，所有具有等因素敏感度的证券或 者证券组合的期望回报率（或者说价格） 是一样的。否则，就存在套利机会，投 资者就会利用它们，直到消除这些套利 机会。这就是APT的实质。
Βιβλιοθήκη Baidu
投资学
7-4
套利组合Arbitrage Portfolio
Mean Portfolio A,B,C D S.D. Correlation
25.83 22.25
6.40 8.58
0.94
投资学
7-5
套利行为和回报Arbitrage Action and Returns
E. Ret. * P * D St.Dev. Short 3 shares of D and buy 1 of A, B & C to form P. You earn a higher rate on the investment than you pay on the short sale.
投资学
7-3
Arbitrage Example from Text pp. 291-292 Current Stock Price$ A 10 B 10 C 10 D 10 Expected Return% 25.0 20.0 32.5 22.5 Standard Dev.% 29.58 33.91 48.15 8.58
投资学
7-8
APT的基本假设
假设3： 假设 ： 所有投资者有相同的预期：任何证券 的回报率满足因素模型：
i
Ri=E(ri)+βi1F1+βi2F2+……βikFk+εi
这里， E(ri)=证券 i 的随机回报率， βij =证券 i 对第 j 个因素的敏感度， Fj =均值为零的第 j 个因素， εi=证券 i 的随机项。 投资学
1.
+ ( X1 β1 + X 2 β2 +L+ X N βN )F
In a large portfolio, the only source of uncertainty is the portfolio’s sensitivity to the factor.
投资学
7-21
Risk: Systematic and Unsystematic
投资学
7-18
组合和分散化Portfolios and Diversification
任意一个组合的收益率由三个部分决定：（The return on any portfolio is determined by three sets of parameters ） : 1. The weighed average of expected returns. 2. The weighted average of the betas times the factor. 3. The weighted average of the unsystematic risks.
套利定价理论
Arbitrage Pricing Theory ：APT
投资学
7-1
一价定律Law of one price 一价定律
如果两种资产在所有经济意义上的相关 方面都相等，则它们的市场价格应相同。 方面都相等，则它们的市场价格应相同。 （two identical items must sell at same price.） ）
投资学
7-14
套利证券组合如何影响投资者的头寸
O ld portfolio A rbitrage portfolio w eight 1 2 3 property Expected return sensitivity variance 16% 1.9 11% 0.975% 0 small 16.975% 1.9 A pprox. 11% 0.333 0.333 0.333 0.100 0.075 -0.175 0.433 0.408 0.158 N ew portfolio
投资学
7-2
套利Arbitrage
Arbitrage – 如果投资者可以构建一个零投资组 合来获得确定收益的时候，就出现了套利机会。 arises if an investor can construct a zero investment portfolio with a sure profit Since no investment is required, an investor can create large positions to secure large levels of profit In efficient markets, profitable arbitrage opportunities will quickly disappear
7-16
高度分散化的组合和套利定价理论 APT & Well-Diversified Portfolios
单个资产：Ri= E（Ri）+βiF+εi 充分多元化的资产组合：
RP = E(RP ) + βP F + ε P
F is some macroeconomic factor For a well-diversified portfolio εp approaches zero
The return on a diversified portfolio is the sum of the expected return plus the sensitivity of the portfolio to the factor. RP = E(RP ) + βP F
充分分散的投资组合
如果一个投资组合是充分分散的，那么,它的非系统风 险将可以被分散掉，剩下的就只有系统风险。 组合的方差由系统的与非系统的两方面构成,见下式, σP2 = βP2 σF2 + σ2(εP) σ2(eP)=∑Xi2σ2(εi) ε 如果组合是等权重的, 则Xi=1/n,当n→∞时, σ2(eP)=0. 也就是说,充分分散的投资组合应当满足: 按比例Xi分散于足够大数量的证券中,而每种成分又足 以小到使非系统方差σ2(εP)可以被忽略.于是,就有:
投资学
7-17
组合和分散化Portfolios and Diversification
组合收益率是该组合中各项资产的收益率的简单加权平 均（the portfolio return is the weighted average of the returns on the individual assets in the portfolio）:
投资学
7-12
例子
（单因素模型）假如市场上存在三种股票，每 个投资者都认为它们满足因素模型，且具有以 下的期望回报率和敏感度：
βi E (ri) 股票1 15% 0.9 股票2 21% 3.0 股票3 12% 1.8 假设某投资者投资在每种股票上的财富为4000元，投资 者现在总的投资财富为12000元。
投资学
7-15
在上面的例子，因为(0.1,0.075,−0.175)是一个套利证券 组合，所以，每个投资者都会利用它。从而，每个投 资者都会购买证券1和2，而卖空证券3。由于每个投资 者都采用这样的策略，必将影响证券的价格，相应地， 也将影响证券的回报率。特别地，由于购买压力的增 加，证券1和2的价格将上升，而这又导致证券1和2的 回报率下降。相反，由于销售压力的增加，证券3的价 格将下降，这又使得证券3的回报率上升。 这种价格和回报率的调整过程一直持续到所有的套利 机会消失为止。此时，证券市场处于一个均衡状态。 在这时的证券市场里，不需要成本、没有因素风险的 证券组合，其期望回报率必为零。 投资学
RP = X1E(R1 ) + X 2 E(R2 ) +L+ X N E(RN ) + ( X1 β1 + X 2 β2 +L+ X N βN )F
+ X1ε1 + X 2ε2 +L+ X N εN
在一个大的组合中，当这个等式的第三部分会消失，意味着 非系统性风险被消除掉。In a large portfolio, the third row of this equation disappears as the unsystematic risk is diversified 投资学 7-19 away.
σ We can break down the risk, U, of holding a stock into two components: systematic risk and unsystematic risk: Total risk; U
R = E(R) +U becom es R = E(R) + m + ε where m is the system atic risk ε is the unsystem ic risk at
n 投资学
7-22
ε
Nonsystematic Risk; ε Systematic Risk; m
Betas and Expected Returns
RP = X1E(R1) +L+ X N E(RN ) + ( X1 β1 +L+ X N βN )F
E(RP )
Recall that
βP
and E(RP ) = X1E(R1) +L+ X N E(RN ) βP = X1 β1 +L+ X N βN
RP = X1R1 + X 2 R2 +L+ Xi Ri +L+ X N RN
Ri = E(Ri ) + βi F + εi
RP = X1[E(R1) + β1F + ε1] + X 2[E(R2 ) + β2 F + ε2 ] + L+ X N [E(RN ) + βN F + εN ]
RP = X1E(R1) + X1 β1F + X1ε1 + X 2 E(R2 ) + X 2 β2 F + X 2ε2 + L+ X N E(RN ) + X N βN F + X N εN
证券i
投资学
7-13
一 个 套 利 证 券 组 合 （ X1 ， X2 ， X3 ） 是下面三个方程的解：
初始成本为零：X1+X2+X3=0 对因子的敏感度为零：0.9X1+3.0X2+1.8X3=0 期望回报率为正：15X1+21X2+12X3>0
满足这三个条件的解有无穷多个。例如， =(0.1,0.075,−0.175)就是一个套利证券组合。
投资学
7-11
套利证券组合
根据APT，投资者将竭力发现构造一个套 利组合的可能性，以便在不增加风险的 情况下，增加组合的预期回报率。 定义： 定义 ： 如果一个证券组合满足下列三个 条件：
1．初始成本为零； 2．对因素的敏感度为零： 3．期望回报率为正。
我们称这种证券组合为套利证券组合 套利证券组合。 套利证券组合
投资学
7-6
APT的基本假设
套利定价理论(APT) ： Stephen Ross在70年 代中期建立的
Stephen A Ross,“ The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing”,1976
投资学
7-7
APT的基本假设
假设1： 假设 ：市场是完全竞争的、无摩擦的。 假设2： 假设 ： 投资者是非满足的：当投资者具有 套利机会时，他们会构造套利证券组合来增 加自己的财富。
投资学
7-20
Portfolios and Diversification
So the return on a diversified portfolio is determined by two sets of parameters:
The weighed average of expected returns. 2. The weighted average of the betas times the factor F. RP = X1E(R1) + X 2 E(R2 ) +L+ X N E(RN )
7-9
APT的基本假设
假设4： 假设 ： E(εi) =0 ，εi与所有因素不相关且 Cov (εi，εj) ＝０ 假设5： 市场上的证券的种类远远大于因素 假设 ： 的数目 k 。
投资学
7-10
APT的最本质的逻辑
因素模型说明，所有具有等因素敏感度 的证券或者证券组合，除非因素风险 （即市场风险）外，其行为是一致的。 因此，所有具有等因素敏感度的证券或 者证券组合的期望回报率（或者说价格） 是一样的。否则，就存在套利机会，投 资者就会利用它们，直到消除这些套利 机会。这就是APT的实质。
Βιβλιοθήκη Baidu
投资学
7-4
套利组合Arbitrage Portfolio
Mean Portfolio A,B,C D S.D. Correlation
25.83 22.25
6.40 8.58
0.94
投资学
7-5
套利行为和回报Arbitrage Action and Returns
E. Ret. * P * D St.Dev. Short 3 shares of D and buy 1 of A, B & C to form P. You earn a higher rate on the investment than you pay on the short sale.
投资学
7-3
Arbitrage Example from Text pp. 291-292 Current Stock Price$ A 10 B 10 C 10 D 10 Expected Return% 25.0 20.0 32.5 22.5 Standard Dev.% 29.58 33.91 48.15 8.58
投资学
7-8
APT的基本假设
假设3： 假设 ： 所有投资者有相同的预期：任何证券 的回报率满足因素模型：
i
Ri=E(ri)+βi1F1+βi2F2+……βikFk+εi
这里， E(ri)=证券 i 的随机回报率， βij =证券 i 对第 j 个因素的敏感度， Fj =均值为零的第 j 个因素， εi=证券 i 的随机项。 投资学
1.
+ ( X1 β1 + X 2 β2 +L+ X N βN )F
In a large portfolio, the only source of uncertainty is the portfolio’s sensitivity to the factor.
投资学
7-21
Risk: Systematic and Unsystematic
投资学
7-18
组合和分散化Portfolios and Diversification
任意一个组合的收益率由三个部分决定：（The return on any portfolio is determined by three sets of parameters ） : 1. The weighed average of expected returns. 2. The weighted average of the betas times the factor. 3. The weighted average of the unsystematic risks.