几何第08讲 几何不等式(2)

第八讲 几何不等式（2）

例1（1996年第37届IMO 备选题）

设△ABC 是等边三角形，P 是其内部一点，线段AP 、BP 、CP 依次交三边BC 、CA 、AB 于A 1、B 1、C 1三点．证明： A 1B 1 ·B 1C 1 ·C 1A 1≥A 1B·B 1C·C 1A.

例2（1997年IMO 预选题）

设ABCDEF 是凸六边形，且AB=BC,CD=DE,EF= FA.证明：⋅≥++

2

3

FC FA DA DE BE BC 并指出等式在什么条件下成立？

例3. （1999年保加利亚数学奥林匹克）

面积为S的凸四边形ABCD内接于一圆，圆心在四边形内部，证明：以该

四边形对角线交点在四边上的射影为顶点的四边形面积不超过1

2

S．

例4．(1996年IMO)

设ABCDEF 为凸六边形，且AB 平行于ED ，BC 平行于FE ，CD 平行于AF.设R A ，Rc ，R E 分别表示△FAB ，△BCD 及△DEF 的外接圆半径，P 表示六边形的周长．

证明：⋅≥++2

P

R R R E C A

例5．设P 是ABC ∆内的一个点，S R Q ,,分别是C B A ,,与P 的连线与对边的交点

（如图），求证：ABC QRS S S ∆∆≤

4

1

.（QRS ∆是塞瓦三角形） 分析：利用补集思想，证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++4

3

证明1：令

γβα===RA

CR

QC BQ SB AS ,,，则由塞瓦定理1=αβγ 则

)

1)(1(++=

⋅⋅=∆∆γαα

AC AB AR AS S S ABC ASR 同理

)1)(1(++=⋅⋅=∆∆αββAB BC BS BQ S S ABC BSQ )

1)(1(++=

⋅⋅=∆∆βγγ

AB BC CR CQ S S ABC CQR 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++4

3

即4

3)

1)(1()

1)(1()

1)(1(≥

+++

+++

++βγγ

αββ

γαα

只

要证0)()(6≤++-++-γβαγαβγαβ只要证

0)]()1

11[(6≤+++++-γβαγ

βα

显然6)()1

1

1

(

≥+++++

γβαγ

βα

，当12αβγ===时取等号，

此时P 是ABC ∆的重心

证明2：设z S y S x S PAB PBC PAC ===∆∆∆,,，则

z

x QB QC y z RC RA x y SA SB ===,, ))((y z y x xz AC AB AR AS S S ABC ASR ++=⋅⋅=∆∆同理))((x z x y yz AB BC BS BQ S S ABC BSQ ++=

⋅⋅=∆∆ )

)((z y z x xy

AB BC CR CQ S S ABC

CQR ++=

⋅⋅=

∆∆ 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++4

3

B

即

4

3

))(())(())((≥++++++++z y z x xy x z x y yz y z y x xz

通分整理3

()()()()()()4xz x z yz y z xy x y x y y z z x +++++≥+++

即22223

()()()()()()4

x y z y z x z x y

x y y z z x

+++++

≥+++

3

64

xyz ≥⋅= 只要证xyz y x z z y x z x y 6)()()(222≥+++++

事实上)()()(222y x z z y x z x y +++++ )()(222222zx yz xy x z z y y x +++++=

xyz xyz xyz zx yz xy x z z y y x 6333332223222=+=⋅⋅+⋅⋅≥

当且仅当z y x ==时取等号，此时P 是ABC ∆的重心

证明3：令

,,AS BQ CR

AB BC CA

αβγ===，且)1,0(,,∈γβα 则1,1,1BS CQ AR

AB BC CA

αβγ=-=-=- 由塞瓦定理得)1)(1)(1(γβααβγ---= 整理得()12αβγαββγγααβγ++-++=-

)1(γα-=⋅⋅=∆∆AC AB AR AS S S ABC ASR 同理)1(αβ-=⋅⋅=∆∆AB BC BS BQ S S ABC BSQ )1(βγ-=⋅⋅=

∆∆AB

BC CR

CQ S S ABC

CQR

只要证4

3)1()1()1(≥

-+-+-βγαβγα 事实上(1)(1)(1)()12αγβαγβαβγαββγγααβγ-+-+-=++-++=-

))1(2)1(2)1(2(4

1

1)1)(1)(1(21γγββααγβααβγ-⋅-⋅-⋅-=----= 4

3411=-

≥ 当且仅当2

1

===γβα时取等号，此时S R Q ,,是中点，P 是ABC ∆的重心