几何第08讲 几何不等式(2)

第八讲 几何不等式（2）
例1（1996年第37届IMO 备选题）
设△ABC 是等边三角形，P 是其内部一点，线段AP 、BP 、CP 依次交三边BC 、CA 、AB 于A 1、B 1、C 1三点．证明： A 1B 1 ·B 1C 1 ·C 1A 1≥A 1B·B 1C·C 1A.
例2（1997年IMO 预选题）
设ABCDEF 是凸六边形，且AB=BC,CD=DE,EF= FA.证明：⋅≥++
2
3
FC FA DA DE BE BC 并指出等式在什么条件下成立？
例3. （1999年保加利亚数学奥林匹克）
面积为S的凸四边形ABCD内接于一圆，圆心在四边形内部，证明：以该
四边形对角线交点在四边上的射影为顶点的四边形面积不超过1
2
S．
例4．(1996年IMO)
设ABCDEF 为凸六边形，且AB 平行于ED ，BC 平行于FE ，CD 平行于AF.设R A ，Rc ，R E 分别表示△FAB ，△BCD 及△DEF 的外接圆半径，P 表示六边形的周长．
证明：⋅≥++2
P
R R R E C A
例5．设P 是ABC ∆内的一个点，S R Q ,,分别是C B A ,,与P 的连线与对边的交点
（如图），求证：ABC QRS S S ∆∆≤
4
1
.（QRS ∆是塞瓦三角形） 分析：利用补集思想，证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++4
3
证明1：令
γβα===RA
CR
QC BQ SB AS ,,，则由塞瓦定理1=αβγ 则
)
1)(1(++=
⋅⋅=∆∆γαα
AC AB AR AS S S ABC ASR 同理
)1)(1(++=⋅⋅=∆∆αββAB BC BS BQ S S ABC BSQ )
1)(1(++=
⋅⋅=∆∆βγγ
AB BC CR CQ S S ABC CQR 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++4
3
即4
3)
1)(1()
1)(1()
1)(1(≥
+++
+++
++βγγ
αββ
γαα
只
要证0)()(6≤++-++-γβαγαβγαβ只要证
0)]()1
11[(6≤+++++-γβαγ
βα
显然6)()1
1
1
(
≥+++++
γβαγ
βα
，当12αβγ===时取等号，
此时P 是ABC ∆的重心
证明2：设z S y S x S PAB PBC PAC ===∆∆∆,,，则
z
x QB QC y z RC RA x y SA SB ===,, ))((y z y x xz AC AB AR AS S S ABC ASR ++=⋅⋅=∆∆同理))((x z x y yz AB BC BS BQ S S ABC BSQ ++=
⋅⋅=∆∆ )
)((z y z x xy
AB BC CR CQ S S ABC
CQR ++=
⋅⋅=
∆∆ 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++4
3
B
即
4
3
))(())(())((≥++++++++z y z x xy x z x y yz y z y x xz
通分整理3
()()()()()()4xz x z yz y z xy x y x y y z z x +++++≥+++
即22223
()()()()()()4
x y z y z x z x y
x y y z z x
+++++
≥+++
3
64
xyz ≥⋅= 只要证xyz y x z z y x z x y 6)()()(222≥+++++
事实上)()()(222y x z z y x z x y +++++ )()(222222zx yz xy x z z y y x +++++=
xyz xyz xyz zx yz xy x z z y y x 6333332223222=+=⋅⋅+⋅⋅≥
当且仅当z y x ==时取等号，此时P 是ABC ∆的重心
证明3：令
,,AS BQ CR
AB BC CA
αβγ===，且)1,0(,,∈γβα 则1,1,1BS CQ AR
AB BC CA
αβγ=-=-=- 由塞瓦定理得)1)(1)(1(γβααβγ---= 整理得()12αβγαββγγααβγ++-++=-
)1(γα-=⋅⋅=∆∆AC AB AR AS S S ABC ASR 同理)1(αβ-=⋅⋅=∆∆AB BC BS BQ S S ABC BSQ )1(βγ-=⋅⋅=
∆∆AB
BC CR
CQ S S ABC
CQR
只要证4
3)1()1()1(≥
-+-+-βγαβγα 事实上(1)(1)(1)()12αγβαγβαβγαββγγααβγ-+-+-=++-++=-
))1(2)1(2)1(2(4
1
1)1)(1)(1(21γγββααγβααβγ-⋅-⋅-⋅-=----= 4
3411=-
≥ 当且仅当2
1
===γβα时取等号，此时S R Q ,,是中点，P 是ABC ∆的重心
例6 P 为△ABC 内一点，D 、E 、F 分别为P 到BC 、CA 、AB 各边所引垂线的垂足，求使PF
AB PE
CA PD
BC ++为最小值的点P 。

略证 如图，设△ABC 的面积为S ，则B C ·PD+C A ·PE+A B ·PF=2S。

运用柯西不等式有
)
(2
PF AB PE CA PD BC PF AB PE CA PD BC PF AB PF AB
PE CA PE CA PD BC PD BC ⋅+⋅+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
⇒
PF
AB
PE CA PD BC ++≥
S
AB CA BC 2)(2++。

且易知当“=”成立时PD=PE=PF ，即P 为内心。

例7 过△ABC 内一点O 引三边的平行线，DE ∥BC,FG ∥CA,HI ∥AB,点D 、E 、F 、G 、I 都在△ABC 的边上，表示六边形DGHEFI 的面积，表示△ABC 的面积。

求证：122
3
S S ≥。

证明：如图8。

设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，IF=x ，EH=y ，DG=z ，则依题意有△OHE ∽△BAC, y OE CF b a a ==（易知OE=CF ）同理z BI c a
=，所以，
1x y z IF CF BI a b c a
++++== 由柯西不等式
222
2222(111)3()x y z x y z a b c a b c
⋅+⋅+⋅≤++，从而
A
B C
P
E
F
例8 △ABC 中，点A 、B 、C 在边BC 、CA 、AB 上的投影分别为D 、E 、F ，点A 、B 、C 在边EF 、FD 、DE 上的投影分别为P 、Q 、R ．记DEF
PQR ABC ∆∆∆、、的周长分别为321p p p 、、证明：⋅≥2321p p p
例9 （Erdos-mordell 不等式）
求证：三角形中任一点到三顶点距离之和不小于此点到三边距离之和的二倍，
F
例10. 如图，设I 是△ABC 的内心，延长AI 、BI 、CI 分别与△ABC 外接圆交于点A 1、B l 、C 1.
求证：A l
I+ B 1
I+ C
1I≥AI+ BI+ CI.
①
例11 圆内接六边形ABCDEF 中，AB=BC ，CD=DE ，EF=FA 求证：AB+BC+CD+DE+EF+FA ≥AD+BE+CF
略证 设BE 交DF 于L ，
则∠FLB=︒=++90)(21
CB DC FE ，
即BL 是△BFD 的高。

又设AD ，CF 分别交BF 、BD 于N 、M ， 则DN 、FM 分别为BF 、BD 上的高，
因此，BL 、DN 、FM 交于一点，此点就是△BFD 的垂心H ， 由于∠HDL=∠EDL ，∠HLD=∠ELD=90°，HL=EL ，
△HDL ≌△EDL ，则
HE=HL+LE+2HL ，HD=DE ，同理，HC=2HM ，HA=2HN ，HB=BC ，HF=AF ， 由埃德斯——莫德尔不等式有HB+HD+HF≥2(HL+HN+HM)=HE+HA+HC 因此，2(HB+HD+HF)≥AD+BE+CF ，故结论成立
例12 求证：△ABC 的内心I 到各顶点的距离之和不小于重心G 到各边距离之和的2倍。

5．设G 到各边距离为123,,,333
a b c h h h
r r r ===由,,,a b c h AI r h BI r h CI r ≤+≤+≤+（r
为内切圆半径），得12311
()()33
a b c r r r h h h AI BI CI r ++=++≤+++
又111
(3)()332
r r AI BI CI =≤⋅++（艾尔多斯——莫德尔不等式）。

故
即AI+BI+CI≥2(r 1+r 2+r 3)
例13 设P 是△ABC 内一点．求证：、
PAB ∠PCA PBC ∠∠、中至少有一个小于或等于300．。