大学物理教学课件：力5第五章 刚体的定轴转动
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i
定轴
J z mi ri2 rotational
i
inertia
Jz称为刚体对 z 轴的转动惯量
M 外z
dLz dt
Jz
d
dt
M 外z J z
转动定律
其中 M外z Firi sin i i
是对 z 轴的外力矩和。
定轴下，可不写角标 Z，记作： M J
与牛II比较：
M ~ F J ~ m
o′
·
o
o′
·
ΔΔ
o·
平动（translation） 时，刚体上所有点 运动都相同。
刚体质点间的相对运 动只能是绕某一轴转 动（rotation）的结果。
平动和转动，可以描 述所有质元（质点） 的运动。
ω
v
P
•
r
r 刚体
基点O ×
瞬时轴
刚体绕O的转动其转轴是
可以改变的，反映顺时轴
的角度方速矢向度量及矢转量动快和慢角，加引速入
由(1)、(2)得： 2 6g sin
7l
应用质心运动定理：
N
mg
mac
l$方向： mgsin Nl macl
(3)
t$方向： mgcos Nt mact
(4)
a cl
l
4
2
6 7
g
sin
(5)
a ct
l
4
l 4
l 4
mg
cos
Jo
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
3 g cos
第五章 刚体的定轴转动
§5.1 刚体的运动 §5.2 刚体定轴转动定律 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 刚体定轴转动定律的应用 §5.5 转动中的功和能 §5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律 §5.7 进动
§5.1 刚体的运动
刚体（rigid body）：特殊的质点系，形状和体积不变化， 理想化的模型。
d
dt
P点线速度
P点线加速度
a
dv
d
r
dr
v r
旋转加速度
r
v
r
向轴加速度
dt dt
dt
z ω,α
v
定轴转动（rotation
a退b,化ou为t a代ffi数xe量d a，xis）：
刚体上任意点都绕同
r •P θ
一轴作圆周运动，且
， 都相同。
刚体
r
O×
v r
参
考 方 向
an
~ a
\ J反映刚体转动的惯性
§5.3 转动惯量的计算
dm
m
r
J mi ri2
J r2 dm
m
(分立) (连续)
J由质量对轴的分布决定。
CR m
CR m
C A
l 2
m
l 2
一. 常用的几个J
均匀圆环： Jc=mR 2；
均匀圆盘：
Jc miri2 2ririri2 2 ri3ri
3. 对薄平板刚体的正交轴定理
J
z
m
i
r
i
2
m x2 m y2
ii
ii
即 J Jx Jy
例：已知圆盘
Jz
1 mR 2 2
求对圆盘的一条直径的Jx（或 J y）。
由
J
z
Jx
Jy Jy
Jx
\
Jx
Jy
1 mR 2 4
§5.4 转动定律应用举例
定轴O
·R 绳 v0=0
m
th
已知： R =0.2 m， m =1 kg ， vo=0 ， h =1.5 m，绳轮无相对滑动，绳 不可伸长，下落时间 t =3 s。
分析： 1. 单位对；
2. h、 m一定， J t ，合理；
3. 若 J 0 ，得 h 1 gt 2，正确。 2
§5.5 定轴转动中的功能关系
一. 力矩的功
F
r d ω z·轴 x
二. 定轴转动动能定理
W F sin ( r ) F r sin M
W Fs
W
i
Mii
—力矩的空间积累效应
求：轮对 O 轴 J=？
解：动力学关系：
对轮：TR J (1), R
N
α
·
T ′= - T am
对 m： mgT ma (2)
GT
mg
运动学关系： a
(3)
R
h 1 at 2
(4)
2
(1)~(4)联立解得：J ( gt 2 1)mR2 2h
(9.8 32 1) 1 0.22 1.14kg m2 2 1.5
r 2
at
dv dt
r
定轴
const.
(
0 t 0) t
1 2
t2
2
2 0
2 (
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0)
§5.2 刚体的定轴转动定律
z ω,α
vi Fi
θi
ri •Δmi
刚体
ri
O×
类似于多质点系
则
M外
dL dt
(对o点)
M 外z
dLz dt
(对z轴)
Lz Liz mi vi ri
i
i
( mi ri2 )
W外 + W内非 =（ Ek2 +Ep2 ）—（E k1+ E p1 ）
刚体重力势能： Δmi
C×
hc hi
Ep mi ghi
mg mihi
m mghc
Ep=0
若dW外+ dW内非=0， 则Ek +Ep =常量。
[例]已知：均匀直杆 m，长为 l，初始水平静止，轴光滑，
AO l 。 求 : 杆下摆 角后，角速度 ?
i
i
i mi xi2 i mi ( xi ' xc )2 =0
=m
x2 y2 d 2
c
c
mi ( x'i2 y'i2 ) Jc
i
mi x'i2 2xc mi xi ' xc2 mi
i
i
i
J Jc md 2 \ Jc Jmin
z
yi
xi
ri
y
x
Δmi
z
m 圆盘 C
y R x
M外z
dLz dt
Jz
d
dt
W 12
1 2
J
2 2
1 J 2
2
1
类比一维情形： F mdv dt
J --> m d --> v ds
dt
dt
令
Ek
1 2
J
2 —转动动能
（可证：
1 2
J 2
1 2
mivi2 ）
则
W
Ek
2
Ek1
应用：▲飞轮储能， ▲惯性电车。
Ek 2 Ek
……
三. 定轴转动的功原理 质点系功能原理对刚体仍成立：
i
i
i
i
ri3ri
R
r 3dr
0
1R4 4
Jc
2
R4 4
1 mR2 2
均匀杆：
Jc
1 12
ml
2
，J
A
1 ml2 3
二. 计算 J 的几条规律
JC
J
1. 对同一轴 J 具有可叠加性
m Cd
J = Ji
Jz miri2
i
2. 平行轴定理
平行
Jz miri2 mi ( xi2 yi2 )
(6)
7
Nl
13 7
mg
sin
,
Nt
4 mg 7
cos
N
13
mgsin
l$ 4 mgcos
t$
7
7
N mg 153 sin 2 16
7
tg 1| Nt | tg 1( 4 ctg )
4
轴对杆作用力 N ?
解：杆 地球系统， ∵只有重力作功，∴E 守恒。
则：
初始： E k1 0， 令 E P1 0
末态：
E k2
1 2
Jo
2,
1 2
Jo
2
l mg4sin
EP2
mg
l 4
sin
0
(1)
由平行轴定理
Jo Jc md
2
1 ml 12
2 m(l )2 4
7 ml 2 48
(2)
定轴
J z mi ri2 rotational
i
inertia
Jz称为刚体对 z 轴的转动惯量
M 外z
dLz dt
Jz
d
dt
M 外z J z
转动定律
其中 M外z Firi sin i i
是对 z 轴的外力矩和。
定轴下，可不写角标 Z，记作： M J
与牛II比较：
M ~ F J ~ m
o′
·
o
o′
·
ΔΔ
o·
平动（translation） 时，刚体上所有点 运动都相同。
刚体质点间的相对运 动只能是绕某一轴转 动（rotation）的结果。
平动和转动，可以描 述所有质元（质点） 的运动。
ω
v
P
•
r
r 刚体
基点O ×
瞬时轴
刚体绕O的转动其转轴是
可以改变的，反映顺时轴
的角度方速矢向度量及矢转量动快和慢角，加引速入
由(1)、(2)得： 2 6g sin
7l
应用质心运动定理：
N
mg
mac
l$方向： mgsin Nl macl
(3)
t$方向： mgcos Nt mact
(4)
a cl
l
4
2
6 7
g
sin
(5)
a ct
l
4
l 4
l 4
mg
cos
Jo
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
3 g cos
第五章 刚体的定轴转动
§5.1 刚体的运动 §5.2 刚体定轴转动定律 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 刚体定轴转动定律的应用 §5.5 转动中的功和能 §5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律 §5.7 进动
§5.1 刚体的运动
刚体（rigid body）：特殊的质点系，形状和体积不变化， 理想化的模型。
d
dt
P点线速度
P点线加速度
a
dv
d
r
dr
v r
旋转加速度
r
v
r
向轴加速度
dt dt
dt
z ω,α
v
定轴转动（rotation
a退b,化ou为t a代ffi数xe量d a，xis）：
刚体上任意点都绕同
r •P θ
一轴作圆周运动，且
， 都相同。
刚体
r
O×
v r
参
考 方 向
an
~ a
\ J反映刚体转动的惯性
§5.3 转动惯量的计算
dm
m
r
J mi ri2
J r2 dm
m
(分立) (连续)
J由质量对轴的分布决定。
CR m
CR m
C A
l 2
m
l 2
一. 常用的几个J
均匀圆环： Jc=mR 2；
均匀圆盘：
Jc miri2 2ririri2 2 ri3ri
3. 对薄平板刚体的正交轴定理
J
z
m
i
r
i
2
m x2 m y2
ii
ii
即 J Jx Jy
例：已知圆盘
Jz
1 mR 2 2
求对圆盘的一条直径的Jx（或 J y）。
由
J
z
Jx
Jy Jy
Jx
\
Jx
Jy
1 mR 2 4
§5.4 转动定律应用举例
定轴O
·R 绳 v0=0
m
th
已知： R =0.2 m， m =1 kg ， vo=0 ， h =1.5 m，绳轮无相对滑动，绳 不可伸长，下落时间 t =3 s。
分析： 1. 单位对；
2. h、 m一定， J t ，合理；
3. 若 J 0 ，得 h 1 gt 2，正确。 2
§5.5 定轴转动中的功能关系
一. 力矩的功
F
r d ω z·轴 x
二. 定轴转动动能定理
W F sin ( r ) F r sin M
W Fs
W
i
Mii
—力矩的空间积累效应
求：轮对 O 轴 J=？
解：动力学关系：
对轮：TR J (1), R
N
α
·
T ′= - T am
对 m： mgT ma (2)
GT
mg
运动学关系： a
(3)
R
h 1 at 2
(4)
2
(1)~(4)联立解得：J ( gt 2 1)mR2 2h
(9.8 32 1) 1 0.22 1.14kg m2 2 1.5
r 2
at
dv dt
r
定轴
const.
(
0 t 0) t
1 2
t2
2
2 0
2 (
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0)
§5.2 刚体的定轴转动定律
z ω,α
vi Fi
θi
ri •Δmi
刚体
ri
O×
类似于多质点系
则
M外
dL dt
(对o点)
M 外z
dLz dt
(对z轴)
Lz Liz mi vi ri
i
i
( mi ri2 )
W外 + W内非 =（ Ek2 +Ep2 ）—（E k1+ E p1 ）
刚体重力势能： Δmi
C×
hc hi
Ep mi ghi
mg mihi
m mghc
Ep=0
若dW外+ dW内非=0， 则Ek +Ep =常量。
[例]已知：均匀直杆 m，长为 l，初始水平静止，轴光滑，
AO l 。 求 : 杆下摆 角后，角速度 ?
i
i
i mi xi2 i mi ( xi ' xc )2 =0
=m
x2 y2 d 2
c
c
mi ( x'i2 y'i2 ) Jc
i
mi x'i2 2xc mi xi ' xc2 mi
i
i
i
J Jc md 2 \ Jc Jmin
z
yi
xi
ri
y
x
Δmi
z
m 圆盘 C
y R x
M外z
dLz dt
Jz
d
dt
W 12
1 2
J
2 2
1 J 2
2
1
类比一维情形： F mdv dt
J --> m d --> v ds
dt
dt
令
Ek
1 2
J
2 —转动动能
（可证：
1 2
J 2
1 2
mivi2 ）
则
W
Ek
2
Ek1
应用：▲飞轮储能， ▲惯性电车。
Ek 2 Ek
……
三. 定轴转动的功原理 质点系功能原理对刚体仍成立：
i
i
i
i
ri3ri
R
r 3dr
0
1R4 4
Jc
2
R4 4
1 mR2 2
均匀杆：
Jc
1 12
ml
2
，J
A
1 ml2 3
二. 计算 J 的几条规律
JC
J
1. 对同一轴 J 具有可叠加性
m Cd
J = Ji
Jz miri2
i
2. 平行轴定理
平行
Jz miri2 mi ( xi2 yi2 )
(6)
7
Nl
13 7
mg
sin
,
Nt
4 mg 7
cos
N
13
mgsin
l$ 4 mgcos
t$
7
7
N mg 153 sin 2 16
7
tg 1| Nt | tg 1( 4 ctg )
4
轴对杆作用力 N ?
解：杆 地球系统， ∵只有重力作功，∴E 守恒。
则：
初始： E k1 0， 令 E P1 0
末态：
E k2
1 2
Jo
2,
1 2
Jo
2
l mg4sin
EP2
mg
l 4
sin
0
(1)
由平行轴定理
Jo Jc md
2
1 ml 12
2 m(l )2 4
7 ml 2 48
(2)