24.1.3弧,弦,圆心角PPT课件

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24.1.3 弧、弦、圆心角-九人数上册教学课件

A
B
O·
C
D
O ·′
归纳
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，可得：
如果∠AOB=∠COD，那弦么A，⌒BA=B弦=CC⌒DD.，
探究新知
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等．
CB
D O
①∠AOB=∠COD
A
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
探究新知
【想一想】定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
B D OC A
探究新知
题设
结论
在同
如果圆心角相等那么圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等
圆
或等
如果弧相等
圆
那么
弧所对的圆心角相等弧所对的弦相等
O·
C
巩固练习
( ( ( (
( (
填一填.
A
E
B
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
O·
（1）如果AB=CD，那么___A__B_=_C__D__，
D
∠__A_O__B_=__∠__C_O__D__．
F C
（2）如果 AB=CD ，那么___A_B__=_C_D____，
∠__A__O_B_=__∠__C_O__D．
24.1.2 弧、弦、圆心角
导入新知
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？分成八块呢？
素养目标
3. 理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的 “在同圆或等圆”条件的意义.
2. 探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.

人教版九年级上册课件24.1.3弧、弦、圆心角(共22张PPT)

又 ∠ACB=60°
如图，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，CD =2AB成立.
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为 CD=2AB也成立吗？请说明理由；
∵ ∠AOB=∠COD
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
如图，AD=BC，请比较AB与CD的大小，
OE AB,OF CD,
A
E
B
AE 1 AB,CF 1CD.
2
2
O·
D
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
F
OE OF.
C
2.如图，AB是⊙O的直径，BC⌒=CD⌒=DE⌒， ∠COD=35°，求∠AOE的度数.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．
延伸：弧、弦与圆心角关系定理的推论
同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.
B
A O
C
D
整体理解：
同圆或等圆中
(1) 圆心角
24.1.3 弧、弦、圆心角
思考：
问题1：圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形，
·
它的对称中心是圆心.
问题2：圆绕圆心旋转任意一个角度后，能与原来的图形重合吗？
能.（这是圆的一个特有性质，我们称之为圆的旋转不变性）.
圆心角的定义
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）求证：AC=BD.

24.1.3弧、弦、圆心角教学课件(共28张PPT)初中数学人教版(2012)九年级上册

在Rt△CEO和Rt△DFO中，
∴Rt△CEO≌Rt△DFO(HL),
∴∠COA=∠DOB,∴AC=BD.
课堂总结
孤
概念
顶点在圆心的角叫做圆心角.
、
弦
、
圆
(1)圆心角相等
心
在同圆或等圆
角
中，弧、弦与
(2)弧相等
知一得
圆心角的关系
二
(3)弦相等
THANKS
感谢观看
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A.35°
B.55°
C.75°
D.95°
解析：∵BC=CD=DE,∠COD=35°, ∴∠BOC=∠EOD=∠COD=35°.
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=75°. 故选C.
4.如图，已知点A、B、C、D 都在00上，OB⊥AC,BC=CD, 下列说法错误的是(
A.AB=BC
B(B)
ABa
BK
A(A)
0
AB=A'B'
∠AOB=∠A'OB'
AB=A'B′
∠AOB=∠A'OB'
ABO
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
探索新知知识点2圆心角、弦、弧之间的关系
B. 如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等 C.圆的对称轴是任意一条直径所在的直线 D.拱形不一定是弓形
解析：A.半径、圆心角分别相等的两段弧一定是等弧，所以A 选项不符合题意；

24.1.3 弧、弦、圆心角(公开课)PPT教学课件

.
28
∵∠AOB＝∠AO'B'
∴AB＝A'B'
⌒ ⌒ AB ＝ A'B'
11Biblioteka .定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ B' A'
B
·
.
A
12
等对等定理
同样，还可以得到：
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两
条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 _____，所对的弦________；量也相等．
24.1 24.1.3
圆的有关性质弧、弦、圆心角
R· 九年级上册
.
1
重点：弧、弦、圆心角关系定理. 难点：探究并证明弧、弦、圆心角关系定理.
.
4
推进新课
知识点 1 圆的旋转不变性
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形
·
.
它的对称中心是圆心
5
知识点 2 圆心角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 A
• 则∠COD=
60°
.
. 17
• 3.如图，在⊙O中，点C是AB的中点，∠A=50°，则∠BOC= 40° ．
⌒
.
18
• • • • • •
4.如图，在⊙O中，AB=AC，∠C=75°，求∠A的度数. 解： ∵AB=AC， ⌒ ⌒ ∴AB=AC. ∴∠B=∠C=75°， ∴∠A=180°-∠B -∠C=30°.
A
显然∠AOB＝∠A'OB' AB＝A'B'

人教版九年级上册数学课件：24.1.3弧、弦、圆心角(共20张PPT)

B＇ AB = A＇ AB=A＇ B＇ B＇ O A＇ B A
这样，我们就得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相同圆或等圆相等，等，那么它们所对的圆心角______ 中，两个圆心角、相等；所对的弦______ 两条弧、两条弦在同圆或等圆中，如果两条弦相中有一组量相等，相等，等，那么它们所对的圆心角______ 它们所对应的其相等．所对的弧______ 余各组量也相等．
24.1.3
弧、弦、圆心角
课件说明
• 本节课是在学习了垂径定理后，进而学习圆的又一个重要性质，主要研究弧，弦，圆心角的关系．
课件说明
• 学习目标： 1．了解圆心角的概念； 2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等． • 学习重点：同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系．
1.引入新知
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心，它具有旋转不变性.
·
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
A O · B
2．探究新知
如图，将圆心角∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠A＇ OB＇的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ ∠AOB=∠A＇ OB＇
如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦： AOB=∠COD ；（1）如果 AB=CD，那么________ ______________ AB= CD ，∠ （2）如果 AB = CD，那么________ ______________ AB=CD ，∠ AOB=∠COD ； AB=CD ；（3）如果∠AOB=∠COD，那么________ AB= CD ，_______ （4）如果 AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 相等．与 OF 相等吗？为什么？因为 AB=CD，所以∠AOB=∠COD． B E 又因为 AO=CO，BO=DO， A D 所以 △AOB ≌ △COD． O 又因为 OE 、OF 是 AB 与 CD F 对应边上的高，所以 OE=OF． C

初中数学人教版九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角课件(27张PPT)

解：∵ = ,∴ 一
即 =,
∴∠2=∠1=45°.
2.如图，D,E 分别是⊙O 的半径OA,OB 上的点，CD⊥OA于点D,
CE⊥OB于点E,CD=CE, 则与的大小关系是相等
3 . 已知⊙0中， = , 且与
∠AOC=144°.
的度数之比为3:4,则
性质：弧的度数和它所对圆心角的度数相等.
.
=
AB=BC=CD=DA (圆心角定理) .
小结
圆的旋转不变性；圆心角的定义；
圆心角定理；圆心角定理的应用；弧的度数.
谢心的角叫做圆心角.
∠AOB为圆心角.
练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
①
②
③
答：根据圆心角定义，①是圆心角，②③④不是圆心角.
二、探究如图，将圆心角∠AOB绕圆心O 旋转到∠A'OB'的位置，你能发现哪些等量关系?为什么?
∠AOB=∠A'OB'
4.在⊙0中，的长是的两倍，则(C )
A.AB>2CD C.AB<2CD
B.AB=2CD
D.AB 与 2CD 大小不能确定
知识延伸如图，AC 与 BD 为⊙O 的两条互相垂直的直径.
求证：
二
AB=BC=CD=DA.
证明：∵AC 与 BD 为⊙0的两条互相垂直的直径，Bk
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°,
三、例题如图在 ⊙ 0 中， =,∠ 证明：连接AB 、AC 、BC,
ACB=60°, 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
=
∴AB=AC, △ABC 等腰三角形，又∠ACB=60°,
∴△ABC 是等边三角形，AB=BC=CA,

《24.1.3弧、弦、圆心角》课件

A B′
分析
B O
A′
∴
AB与A'B'
重合，AB与A′B′重合，
AB A ' B '．
即
AB=A'B'
9
弧、弦、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对 A B′ 的弦也相等． B
O
①∠AOB=∠A′OB′
A′
②
AB=A'B'
③AB=A′B′．
10
弧、弦、圆心角关系定理的推论在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所 A B′ 对的圆心角相等，所对的弧相等． B
AB=CD （1）如果AB=CD，那么_________ ，______________ ∠AOB=∠COD ．
AB=CD ，______________ ∠AOB=∠COD．（2）如果 AB=CD ，那么________
AB=CD ，_______ （3）如果∠AOB=∠COD，那么_________ AB=CD．
均分别相等． B
知一得二．
A B′
A′
O
13
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同
A B′
圆或等圆中”去掉？为什么？
不能去掉． B
反例：如图，虽然∠AOB=∠A′OB′，
但是AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．
O
A′
14
1．如图，AB，CD是⊙O的两条弦．
对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．
（3）将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．
6

24.1.3弧、弦、圆心角原创课件

今天这节课我们将运用圆的旋转不变性去探究弧、弦、圆心角的关系定理。
一、概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A
O· B
O
A
D
B
练一练：找出右上图
中的圆心角。
圆心角有：
∠AOD,∠BOD,∠AOB
二、探究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，
你能发现哪些等量关系？为什么？
又 OA＝OC RtAOE RtCOF
OE OF.
O·
D
F C
五、例题
例1 如图, 在⊙O中，弧AB=弧AC ，∠ACB=60°，
A
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明： ∵弧AB=弧A′B
∴ AB=AC．⊿ABC是等腰
三角形
B
O·
C
又∴∠ACB=60°，
∴ ⊿ABC是等边三角形，AB=BC=CA.
A′
A′
B
B′
B′
在等圆中，
B 是否也能得到类似的结论呢？
O·
A
·
O
ALeabharlann 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，显然 ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，从而点 A与 A′重合，B与B′重合．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
解：OE OF,理由如下： OE AB,OF CD
A
E
B
AE 1 AB,CF 1 CD

弧、弦、圆心角课件(共22张PPT)人教版数学九年级上册

(2)证明:∵OA=OC,∠AOC=30°,∴∠ACE=75°,
∴∠ACE=∠AEC, ∴AC=AE,同理,BF=BD.易知AC=
CD=BD,∴AE=BF=CD.
【题型三】利用弧、弦、圆心角证明
෢ = ,
෢ ⊥ 于点D,CE⊥
例5:如题图,在⊙O中,
OB于点E,求证:AD=BE.
D.3 个
෢
例4:如题图,已知∠ AOB=90°, C, D 是的三等分点，
连接AB分别交OC, OD 于点 E, F.(1)求∠AEC的度数;
෢
(1)解:连接AC, BD,如答图.∵C,D是的三等分点，
෢ =
෢ = ,∴∠AOC=∠COD=∠BOD.
෢
∴
∵∠ = 90°, ∴ ∠ =
相等，所对的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角
相等，所对的优弧和劣弧分别相等.
教师讲评
注：理解弦、弧、圆心角的关系思维图：
典型精讲
【题型一】弧、弦、圆心角概念的理解与认识
例1: 下列语句中，正确的有（ A ）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度
证明：如答图，连接OC.
෢ = ,
෢ ∴ ∠ = ∠.
∵
∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴∠ODC=∠OEC=90° .
又∵CO=CO,∴△COD≌△COE,∴OD=OE.
又∵OA=OB, ∴OA-OD=OB-OE,∴AD=BE.
例6:如题图,AB为⊙O的直径,AE为⊙O的弦,C为⊙O上一点,
心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等）
5.如果没有“在同圆或等圆中”这个条件，还能得出对应的结论吗?
（不能）