高考积分,导数知识点精华总结

定积分

一、知识点与方法： 1、定积分的概念

设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式

1

()n

n i i I f x ξ==

∆∑

（其中x ∆为小区间长度）

，把n →∞即0x ∆→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：⎰b

a

dx x f )(，即⎰b

a

dx x f )(＝1

lim

()n

i n i f x ξ→∞

=∆∑

。

这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。

(1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b

a f x dx ⎰的几何意

义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。 (2)定积分的性质 ①

⎰⎰=b

a b

a

dx

x f k dx

x kf )()(（k

为常数）；②

⎰⎰⎰±

=

±b

a

b

a

b

a dx

x g dx x f dx x g x f )()()()(；

③⎰⎰⎰+

=

b

a c

a b

c dx

x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。

2、微积分基本定理

如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么:

()()|()()b b

a a

f x dx F x F b F a ==-⎰

3、定积分的简单应用

(1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线

,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的

曲边梯的面积⎰

=

b

a

dx x f S )(。

如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a

-

b

a b

a

dx x f dx x f )()(21。

(2) 定积分在物理中的应用： ①求变速直线运动的路程()b a

s v t dt =⎰

（()v t 为速度函数）②求变力所做的功 ()b a

W f x dx =

⎰

二、练习题

1、计算下列定积分： (1)2

111()e

x dx x

x

+

+

⎰ (2)20

(sin 2cos )x x dx π

-⎰ (3)0

(2sin 32)x

x e dx π

-+⎰

(4)2

dx ⎰ (5)3

1

|2|x dx --⎰

2、求下列曲线所围成图形的面积：

（1）曲线222,24y x x y x x =-=-； （2）曲线,,1x x y e y e x -===。

3、22

(sin cos )x x dx π

π-+⎰的值是：

A. 4

B. 2

C.

4

π

D. 0

4、曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是： A. 1 B.

23

C.

12

D.

13

5、已知自由下落物体的速度为v gt =，则物体从0t =到1t =所走过的路程是： A.

13

g B.g C.

12

g D.

14

g

6、已知2()321f x x x =++，且11

()2()f x dx f a -=⎰，则a =

7、已知1

22

()(2)f a ax a x dx =

-⎰

，求()f a 的最大值。

8、已知()f x 为二次函数，且1

(1)2,(0)0,()2f f f x dx '-===-⎰，求：

(1) ()f x 的解析式； (2) ()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值。

导 数

1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =

定义域的一点，如果自变

量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)

()(00x f x x f y -∆+=

∆；比值

x

x f x x f x

y ∆-∆+=

∆∆)

()(00称为函数)(x f y =

在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极