非线性有限元的有关著作和简要历史
非线性有限元介绍1
非线性有限元介绍1.为什么使用FEA解决有限元问题（1）理解设计的意图。
有限元分析（FEA）是研究不同力学设计的有力工具。
（2）降低产品成本和开发周期。
1) FEA通过以下方式降低产品成本和开发周期；2) 在模具制造前识别成型问题；3) 使模具制造返工成本最低；4) 提前识别设计中缺陷减小样机的成本；5) 使用最少的材料；（3）获得结果的唯一办法。
1) FEA可以用来预测产品在极端工况下的性能，这些在实验中无法复现；2) 能在设计阶段提前考虑这些工况。
（4）很多工况在设计阶段无法预料。
2.收敛定义（1）在有限元中收敛有多重意义：1) 网格收敛；2) 时间积分精度；3) 非线性程序收敛；4) 求解精度；（2）网格收敛1) 增加模型单元数量会使仿真解趋于解析解。
网格收敛对线性和非线性问题都适用；在Abaqus中使用H网格自适应技术；2)进一步加密网格时，结果变化很小或不变时，认为网格达到收敛。
3)网格收敛规则的例外：网格奇异解；材料损伤累计在模型特定区域的局部问题；在Abaqus中使用H自适应网格技术；Abaqus提供特殊技术来减小网格依赖性，解决材料软化局部影响。
4)Abaqus提供评估网格收敛工具。
在打印输出文件（.dat）和结果文件（.fil）输出的节点（SJP）处应变跳变。
5)Abaqus后处理云图设置。
应力云图；不连续云图。
6)自适应网格误差设计。
见Abaqus/Standard 自适应网格课程介绍。
（3）瞬态问题时间积分精度。
对于具有物理时间尺度的瞬态问题，Abaqus提供用户定义参数，以控制对相关方程的积分精度：半增量容差。
1)评估当前增量中途点的最大不平衡力；2)一个增量中允许的最高温度变化；3)增量中根据开始和结束速率条件计算出的蠕变应变增量的最大容差。
（4）非线性求解收敛：见后续。
（5）求解精度。
获得精确解需要满足以下条件：准确解需要工程经验来建立合适有限元模型：材料、载荷、边界和求解程序。
非线性结构有限元分析概论
一、线性问题的基本方程
由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
v T dv vuT qvdv suT qsds u0T R0
vmu
T
••
u dv
v
Du
T
•
u
dv
（10-1）
上式左端为内力的虚功，右端为外力的功。
由于： u N u Bu C
式中 u 为单元体内的位移； u为节点位移； N 形函数阵；
t t t
T
S t t t
dvt
W t t
（10-18）
返回
其中：
W tt o
tv
u
T
q tt tv
中推荐采用BFGS法。
程序对几何非线性的考虑可采用完全的拉格朗
日公式或改进的拉格朗日公式。在非线性动态分析
中采用隐式时间积分（Newmarli法和Wilson- 法） 或显式时间积分（中心差分法）的方法。隐式时间
积分通常用来分析结构的振动问题，显式时间积分
主要用来分析波传布现象。
返回
第一节 有限元基本方程
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加
法求解。
返回
二、非线性问题的基本方程
对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成
若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求
解方案。
1.增量形式的平衡方程：
已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的）
要求出：t+△t步时的位移和应力。
ov oe T o
o e dv
ov
o
T
t o
SdvtW t o来自ovoe Tt o
S
dv
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
非线性有限元分析报告
非线性有限元分析1 概述在科学技术领域内，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。
但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。
对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。
这类问题的解决通常有两种途径。
一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。
但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。
因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。
特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
已经发展的数值分析方法可以分为两大类。
一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。
其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。
但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。
另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。
如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。
诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。
但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。
1960年，R.W.CLOUGH发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。
线性和非线性有限元分析
Strain-rate dependence of tensile response of cortical bone. (Adapted from J. H. McElhaney, J. Appl. Physiology, 21(1966) 1231.)
为何线性有限元
• 线性元是对自然界非线性问题的小范围和小规 模逼近 • 线性材料是人为假设的 • 人类在构造建筑和机械结构时假设它们不会在 人造环境和人为的载荷条件下产生大的物理量 变 • 线性有限元可以解决大部分民用建筑结构和民 用机械结构问题 • 非线性问题可以用多个线性问题的解来逼近
ZIENKIEWICZ &CHANG popularize the method with the practicing engineering community (有限元在工程界广泛推广） IRONS &RAZZAQUE frontal solution technique successful implementation of finite elements (成功应用单元前沿刚度矩阵方程解法） isoparametric elements , modern finite element methods （参数元，从长现代有限元） theory of distributions, generalized functions, weak solutions of pde’s （广义函数，偏微分方程弱解） the decade of the mathematics of finite elements (数学家的十年）
几何非线性：
• • • Large deformation （线性和非线性材料大变形） Contact Non linearity（线性材料接触和非线性材料接触） Nonlinear Buckling （线性和非线性材料屈曲）
CAE软件的家谱和演变历史
CAE软件的家谱和演变历史01为了满足宇航工业对结构分析的迫切需求，NASA于1966年提出了发展世界上第一套泛用型的有限元分析软件Nastran(NASA STRuctural ANalysis Program)的计划，MSC.Software则参与了整个Nastran程序的开发过程。
021969年NASA推出了其第一个NASTRAN版本，称为COSMIC Nastran。
之后MSC继续的改良Nastran程序并在1971年推出MSC.Nastran。
031972年，UAI公司发布基于COSMIC NASTRAN的UAI Nastran软件。
041985年，CSAR公司发布了基于COSMIC NASTRAN的CSAR Nastran软件。
051999年，MSC收购了UAI和CSAR，成为市场上惟一一家提供Nastran商业代码的供应商。
而在此后的几年，独自享有源代码的MSC Nastran软件价格不断上涨，但是其功能和服务却没有得到相应的提升，从而引发大量客户的抱怨，为此NASA则向美国联邦贸易委员会(FTC)提出了申诉。
06美国FTC判“MSC Nastran垄断”，MSC Nastran源代码须公开，而这一决定也引来了UGS公司加入到Nastran的市场中来。
而后，UGS根据MSC所提供的源代码、测试案例、开发工具和其他技术资源开发出了NX Nastran。
至此，源于NASA的Nastran一分为二，齐头并进，为用户带来了更多的新技术与服务。
071967年在NASA的支持下SDRC公司成立，并于1968年发布了世界上第一个动力学测试及模态分析软件包，1971年推出商业用有限元分析软件Supertab(后并入I-DEAS软件中，这也就是为什么I-DEAS作为一款设计软件其有限元分析还如此强大的原因)。
082001年SDRC公司被EDS所收购，并将其与UGS合并重组。
09SDRC的有限元分析程序演变成了NX中的I-deas NX Simulation，与NX Nastran一起成为了NX产品生命周期中的仿真分析中的重要组成部分。
非线性有限元方法
非线性有限元方法非线性有限元方法是大量应用于工程领域的计算方法，它主要用于求解复杂结构的力学问题，例如材料的变形、破坏和变形控制等。
与线性有限元方法不同，非线性有限元方法考虑因为载荷和边界条件的非线性导致问题的非线性本质，以及材料的非线性行为。
在这篇文章中，我们将讨论非线性有限元方法，包括其应用、工作原理以及其在工程领域中的重要性等内容。
首先，我们来研究一下非线性有限元方法的应用。
非线性有限元方法在许多方面都有应用。
其中最重要的领域是结构力学，包括建筑、航空航天、汽车等领域。
由于这些结构需要承受复杂的载荷，因此非线性有限元方法可以很好地模拟这些结构的行为，预测它们的性能和寿命。
此外，非线性有限元方法还可以应用于材料力学研究中，例如破碎、断裂和塑性变形等方面。
其次，我们来了解一下非线性有限元方法的工作原理。
与线性有限元方法类似，非线性有限元方法通过将结构分成小块进行离散，然后在每个小块中进行力学分析，最后将分析结果合并为整个结构的行为。
但是，与线性有限元方法不同的是，非线性有限元方法考虑到材料的非线性行为，采用迭代的方法计算结构的响应。
通常，在每一次迭代中，我们都将结构的当前状态作为一个初始猜测，然后求解出该状态下的切应力和位移场。
然后我们将这个位移场的结果代入底部，从而更新结构的状态。
如果解决方案收敛，则完成计算，否则就将新的状态再次代入求解。
这种方法的本质是将非线性问题转化为一系列线性问题的求解，通过迭代求解来逼近非线性问题的解。
最后，我们来讨论一下非线性有限元方法在工程领域中的重要性。
非线性有限元方法已成为现代工程设计和分析的不可或缺的工具。
它允许工程师们模拟和预测各种工程机构的行为，以及设计和优化各种结构。
例如，它可以帮助我们了解在不同载荷下建筑和桥梁行为的变化，预测材料的破坏和失效，以及优化汽车和飞机的结构以提高其性能。
总之，非线性有限元方法是一种复杂但十分有用的计算方法，它可以模拟各种结构的行为并预测其性能和寿命。
第一章 有限单元法的简要介绍和发展历史
第一章 有限单元法发展历史和简要介绍
发展历史之启蒙
18世纪末，欧拉在创立变分法的同时就曾用与现代有限元相似的方法求 解轴力杆的平衡问题 1943年Courant用最小势能原理和现代有限元法中的线性三角元求解st Venant弹性扭转问题 1952_1853 期间， R.W.Clough 和 M.J.Turner 在分析三角翼振动问题时， 提出了把平面平面应力三角形板组合起来表达机翼刚度方法，当时称为 直接刚度法。 1956 年 M.J.Turner ， R.W.Martin,L.J.Toop 在纽约举行的航空年会上 发表论文《复杂结构的刚度和变形分析》 1960 年 R. W. Clough 在论文《平面应力分析的有限单元法》中 , 首次 提出了有限单元, ，他因此被称为“有限单元之父” 。
(6)
简单实例
根据虎克定律：
E
e l
代入单元内力虚功表达式，得到
1 2 U EA dx 0 2
改写为
l T EA Ue dx 0 2
将
1 1 ui 代入上式，得到 l l u j 1 1 1 ui l EA l Ue u , u dx (7) i j 1 l l u j 2 0 l
e
简单实例
积分，得
1 EA 1 1 ui U ui , u j 2 l 1 1 u j
e
用矩阵写成
1 eT e e U δ Kδ 2
e
e
(8)
其中，
单元刚度矩阵
EA 1 1 K 1 1 l
这里
1.1 非线性科学介绍
几乎和线性世界相对应，非线性也有三个 重要的特性。
1. 非线性各个部分的不可叠加性是它最为明 显的特色。 线性系统满足叠加原理，整体等于部分 之和，而与之对应的非线性系统，由于部分 和部分之间的相互作用使得整体不再是等于 部分之和。
2. 非线性常常表现出复杂性
和线性系统的简单性（它可以表现为确定性， 一定约束下的唯一性…等等）相对应，非线性系 统则可以表现出各种复杂性，例如对初值敏感， 内在随机…等等。
分形
• 分形是不能用通常的长度、面积、体积表示的几何 形体，其内部存在着无穷层次，具有见微知著、由 点及面的自相似结构．自相似即局部与整体的相似 性．适当放大或缩小几何尺寸，分形的整个结构并 不改变，这就是标度不变性．花菜、海岸线、闪电、 松花蛋或树枝，就具有分形特征．换言之，分形是 局部以某种方式与整体相似的形态．分形可分多种 类型，如简单分形、自仿射分形、多分形、随机分 形、胖分形及复平面上的分形等．描述分形特征的 参数叫分维．分形理论开创了20世纪数学的新阶段， 是刻画混沌运动的直观的几何语言，是更接近于现 实世界的数学．
把非线性和复杂性联系起来，究其原因是复杂 性的根源正在于复杂系统内部各元素之间非线 性的相互作用。
3. 非线性演化方程会出现奇异性和突变性 谷超豪明确指出：从线性到非线性不是一个量 的变化，而是一个质的飞跃。其中最突出的是 确定性的非线性演化方程会出现非周期性，奇 异性和突变性。所有这些现象都是在原有的线 性世界中闻所未闻，见所未见的。
1)、非线性演化规律存在固有的不稳定性
• 大多数人的头脑中所具有的常常是Newton 和Laplace的决定论思想。当初始条件和边 界条件确定之后，那么一切规律将可以精 确预测。 • MIT的Lorentz 既是一个气象学家，又是一个 应用数学家。这两点必然性的交叉产生了 一个革命的火花。因此，他对数值模拟气 象特别感兴趣。 • “蝴蝶效应”（Butterfly Effect）。
简析非线性有限元法
（ 同济大学土木工程学 院， 上海 ２ ０９ ） ００ ２ 摘 要 ： 用有 限元 法分析一般荷载作 用下的钢 筋混凝 土结构时 ， 采 要得到对 结构性 能的合理 准确 的模拟结果 ， 除 了需要 合理的本构模型 ， 还要有先进的数值分析方 法。文 中将对 非线性有 限元的特点做 出分析 ， 为进 一步研
ｔ ｅ ｒ ａｉｔｃ ｃ ｎ ｔ ｕｔ ｅ ｍｏ ｅ ｎ ｏ ｕｓ ｎａｙｉ ａ ｒ ｃ ｄ ｅ ａ ｅ ｔ ｅ ｒ ｃ ｎｄｔｏ ｓｔ ｏ ｕ ｅ ｈ ｅ ｌｓｉ ｏ ｓｉ ｉ ｄ ｌａ ｄ ｒ ｂ ｔａ ｌ ｔ ｌｐ ｏ ｅ ｕｒ ｒ ｗｏ ｋ ｙ ｐ ｅ ｏ ｉｉｎ ｏ ｐｒ ｄ ｃ ｔ ｖ ｃ ｒ ａ ｏ ａ ｌ ｃ ｕ ａｅ ｓｍｕｌｔｏ ｓｏ ｎ ｉ ｅ ｒ ｂ ｈａ ｉｒ ｆｓ ｃ ｔｕ ｔ ｒ ｓ ｅ ｓ ｎ ｂ ｙ ａ ｃ ｒ ｔ ｉ ａｉ ｎ ｆｎｏ ｌｎ ａ ｅ ｖｏ ｓ ｏ ｕ ｈ ｓｒ ｃ ｕ ｅ ．Ｂａ ｅ ｎ ｔ ＥＭ ｎ ｙ ｓ ｄ ｏ ｈｅ Ｆ ａａ — ｌ ｓｓ ｓ ｇ ｅ ｔ ｎ ｏ ｕｒｈ ｒｓｕ ｉｓ ａ ｅ ｇ ｖ ｎ． ｉ ． ｕ ｇ ｓｉ ｓ ｆｒ ｆ ｔ ｅ ｔ ｄ ｅ ｒ ｉｅ ｏ Ｋｅ ｒ ｓ： ｎ ｉ ｅ ｒ ＦＥＭ ｎ ｌｓｓ， ｂ ｓ ｎ ｌｔｃ ｌ Ｒｅ ｎ ｏ ｅ ｅ ｏ ｃ ｅ ｅ ｙ ｗｏ ｄ Ｎｏ ｌｎ ａ ａ ａ ｙ ｉ Ｒｏ ｕ ｔａ ａｙ ｉ ａ ， ｉ ｆｒ ｃ ｄ ｃ ｎ ｒ ｔ
一
般还 处 于弹性 阶段 尚未屈 服 。如果 还用 弹性 的
种 结构 形式 。这 类 结构 在 各类荷 载作 用下 的反
方 法来 分析 结构 或 构 件 的 内力 与变 形 ， 肯 定 不 就 能 正确 地反 映 结 构 、 件 真 实地 受 力 性 能 。正 如 构 存 在这 类 问题 ， 因此进 行 钢 筋 混凝 土非 线 性 分 析
非线性结构有限元分析课件
非线性结构有限元分析的步骤与流程
• 设定边界条件和载荷，如固定约束、压力 或力矩等。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01 步骤三：求解
02
选择合适的求解器，如Newton-Raphson迭代法或 直接积分法。
03 进行迭代计算，求解非线性结构的内力和变形。
非线性结构有限元分析的步骤与流程
01
步骤四：后处理
非线性有限元分析的基本概念
总结词
非线性有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的结构或系统离散化为有限个小的单元，并建立 每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。
详细描述
非线性有限元分析是一种基于离散化的数值分析方法，通过将复杂的结构或系统划分为有限个小的单 元（或称为有限元），并建立每个单元的数学模型，来模拟和分析结构的非线性行为。这种方法能够 考虑各种复杂的边界条件和材料特性，提供更精确的数值结果。
非线性有限元分析的常用方法
总结词
非线性有限元分析的常用方法包括迭代法、增量法、 降维法等。这些方法可以根据不同的非线性问题选择 使用，以达到更好的分析效果。
详细描述
在非线性有限元分析中，常用的方法包括迭代法、增量 法、降维法等。迭代法是通过不断迭代更新有限元的位 移和应力，逐步逼近真实解的方法；增量法是将总载荷 分成若干个小的增量，对每个增量进行迭代计算，最终 得到结构的总响应；降维法则是通过引入一些简化的假 设或模型，将高维的非线性问题降维处理，以简化计算 和提高计算效率。这些方法各有优缺点，应根据具体的 非线性问题选择使用。
03
02
弹性后效
材料在卸载后发生的变形延迟现象。
材料强化
材料在受力过程中发生的强度增加 现象。
04
有限元软件历史
FEA软件的发展历史有限元方法思想的萌芽可以追溯到18世纪末，欧拉在创立变分法的同时就曾用与现代有限元相似的方法求解轴力杆的平衡问题，但那个时代缺乏强大的运算工具解决其计算量大的困难。
Courant(1943)用最小势能原理和现代有限元法中的线性三角元求解st Venant弹性扭转问题，但未能引起足够重视。
波音飞机工程师Turner，Clough等人在1956年首次将有限元法用于飞机机翼的结构分析，吹响了有限元的号角，有限元这一名称在1960年正式提出。
有限元方法的理论和程序主要来自各个高校和实验室，早期有限元的主要贡献来自于Berkeley大学。
Berkeley的Ed Wilson发布了第一个程序，其他著名的研究成员有J.R.Hughes，Robert Tayor,Juan Simo等人，第一代的程序没有名字，第二代线性程序就是著名的SAP(structural analysis program)，非线性程序就是NONSAP。
位于洛杉矶的MSC公司自1963创立并开发了结构分析软件SADSAM，在1966年NASA招标项目中参与了Nastran的开发。
1969年NASA推出第一个Nastran 版本，MSC对原始的Nastran做了大量的改进并于1971年推出自己的专利版本MSC.Nastran，1983年股票上市并开始了一系列并购重组的活动。
第一批非线性有限元方法的主要贡献者有Argyris(1965)，Marcal和King(1967)，其中Pedro Marcal毕业于Berkeley大学，任教于Brown大学，于1969年创建了第一家非线性有限元软件公司MARC公司，在1999年被MSC公司收购。
K.J. Bathe是Ed Wilson在Berkeley的学生，后来在MIT任教，期间他在NONSAP 的基础上发表了著名的非线性求解器ADINA(Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis)，其源代码因为长时期广泛流传而容易获得。
有限元的发展历史和趋势
有限元的发展历史和趋势
一、有限元发展历史
有限元法是近半个世纪以来最有影响力的数学模型，深受工程和科学研究领域的青睐。
它是由Clough和Tocher等科学家发明的，1969年在《工程力学》上发表，被称为“经典的有限元分析”，它改变了传统的工程和科学分析方法。
1960年到1980年，有限元分析的重要发展诞生了有限元方法的几个核心概念，包括分割变形有限元，多层有限元，映射有限元和局部有限元法。
其中，分离变形有限元可以处理分布力学和热力学问题，而多层有限元可以处理更复杂的非线性力学问题。
1980年至1990年，有限元分析研究取得了突破性进展。
此时，各种新的有限元分析程序组成的计算力学工具包得到了广泛的应用，例如MAST，SHEEPS，NASTRAN，ABAQUS等。
这些工具包给工程和科学研究领域带来了很大的便利，可以模拟各种复杂的力学问题，以解决工程设计和科学模拟中的实际问题。
1990年至2000年发展迅速，有限元分析有了长足的发展。
当时，工程应用有限元分析的主要领域是飞机工程，结构工程，机械工程，材料力学，能源工程和结构振动分析等。
其中，飞机结构工程是有限元法应用的一个比较重要的领域，从复杂的应变分析到精细的振。
非线性有限元概论
2 yz
2 zx
)
平均等效应变
2
3
( x
y )2
( y
z )2
( z
x )2
3 (
2
2 xy
2 yz
2 zx
)
和 之间存在单值函数关系
( )
关系由试验确定，对于简单拉伸， 就是单轴的关系。
单元切线刚度矩阵
ks ( )δe R e
T
ks ( )
B
v
Ds BdV
可得整体平衡方程
K(δ)δ R 0 设其初始的近似解为 δ δ0
，由此确定近似的 K 矩阵
K 0 K (δ0 )
可得出改进的近似解
δ1 (K 0 )1 R
重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1 次近似解的迭代公式为直接迭代法
对非线性方程组
K i K (δi )
δi1 (K i )1 R
直到
δi δi1 δi
变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足
K(δ)δ R 0
ψ(δi ) K (δi )δi R 0
作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。
直接迭代法的计算过程
Newton—Raphson方法
设 (δ)为具有一阶导数的连续函数， δ δi 是方程的第i 次近似解。若
非线性有限元
非线性问题 大多数实际问题属于非线性问题，根据
产生非线性的原因，非线性问题主要有三种 类型： ●材料非线性(物理非线性) ●几何非线性 ●接触非线性
材料非线性 应力与应变之间为非线性关系，通常与
加载历史有关，加载和卸载不是同一途径， 因而其物理方程中的弹性矩阵是应变的函数。 但材料非线性问题仍 属于小变形问题，位移和 应变是微量，其几何方程 是线性的。土、岩石、混 凝土等具有典型的材料非 线性性质，应当按材料非 线性问题处理。
物理学中的非线性方程
物理学中的非线性方程非线性方程是指未能表达为未知量的一次方的方程，或者说含有未知量的幂或乘法运算的方程。
在物理学中，非线性方程广泛应用于描述许多复杂的自然现象。
下面将介绍物理学中的一些重要的非线性方程。
1. 克努森堆积方程（Knudsen堆积方程）克努森堆积方程描述了气体流过孔洞或狭缝时的气体流动行为。
它是由物理学家克努森（Martin Knudsen）于1909年提出的。
该方程是一个非线性的积分方程，可以用来计算气体分子在孔洞或狭缝内的流动速度与压强之间的关系。
2.庞加莱－洛伦兹方程庞加莱－洛伦兹方程是描述相对论性粒子运动的非线性微分方程。
这个方程由法国物理学家亨利·庞加莱（Henri Poincaré）和荷兰物理学家亨德里克·洛伦兹（Hendrik Lorentz）在19世纪末提出的。
该方程描述了质子、电子等带电粒子在电磁场中的受力和运动。
光学非线性方程是用于描述光在非线性介质中传播时的行为的方程。
光在非线性介质中传播时会产生光的自相互作用，如自聚焦、自调制等现象。
这些现象可以通过非线性方程来描述。
常见的光学非线性方程包括光波方程、改正的光波方程、Kerr方程等。
4.斯托克斯方程斯托克斯方程是描述流体力学中粘性流体运动的基本方程。
它是由爱尔兰物理学家乔治·斯托克斯（George Stokes）在19世纪提出的。
斯托克斯方程是一组非线性的偏微分方程，描述了流体的速度场和压力场之间的关系。
斯托克斯方程在描述微观尺度上的流体运动中尤为重要。
5.薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子的运动和状态演化的基本方程。
它是由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔（Erwin Schrödinger）于1926年提出的。
薛定谔方程是一个非线性偏微分方程，描述了微观粒子的波函数与能量之间的关系。
它是量子力学的基础，被广泛应用于描述原子、分子和凝聚态物理等领域。
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非线性有限元的有关著作和简要历史已经发表的一些成功的实验和专题文章，完全或者部分地对非线性有限元分析做出了贡献。
仅论述非线性有限元的作者包括Oden（1972），Crisfield（1991），Kleiber（1998）和Zhong（1993）。
特别值得注意的时Oden的书，因为它是固体和结构非线性有限元的先驱作者。
最近的作者有Simo和Hughes（1998）、Bonet 和Wood（1997）。
某些作者还部分的为非线性分析做出了贡献，他们是Belytschko 和Hunhes（1983），Zienkiewicz和Taylor（1991），Bathe（1996），以及Cook，Malkushe和Plesha（1989）。
对于非线性有限元分析，他们的书提供了有益的入门指南。
作为姐妹篇，线性有限元分析的论述也是有用的，内容最全面的是Hughes（1987）、Zienkiewicz和Taylor（1991）的著作。
非线性有限元方法有多种溯源。
通过波音研究的工作和Turner，Clough，Martin和Yopp（1956）的著名文章，使线性有限元分析得以闻名，不久之后，在许多大学和研究所里，工程师们开始将方法扩展至非线性、小位移的静态问题。
但是，它难以燃起早期有限元社会的激情和改变传统研究者们对于这些方法的鄙视。
例如，因为考虑到没有科学的是实质，《Journal of Applied Mechanics》许多年都拒绝刊登关于有限元方法的文章。
然而。
对于许多必须涉及工程问题的工程师们，他们非常清楚有限元方法的前途，因为它提供了一种处理复杂形状真实问题的可能性。
在20世纪60年代，由于Ed Wilson发布了他的第一个程序，这种激情终于被点燃了。
这些程序的第一代没有名字。
在遍布世界的许多实验室里，通过改进和扩展这些早期在Berkeley开发的软件，工程师们扩展了新的用途，这些带来了对工程分析的巨大冲击和有限元软件的随之发展。
在Berkeley开发的第二代线性程序称之为SAP（structural analysis program）。
由Berkeley的工作发展起来的第一个非线性程序使NONSAP，它具有隐式积分进行平衡求解和瞬时问题求解的功能。
第一批非线性有限元方法文章的主要贡献者由Argyris（1965），Marcal 和King（1967）。
不久，大批文章激增，而且软件随之诞生。
当时在Brown大学任教的Pedro Marcal，作为第一个非线性商业有限元程序进入市场，与1969年建立了一个公司，程序命名为MARC，目前它仍然是主要软件。
大约在同期，John Swanson 为了核能应用在Westinghouse发展了一个非线性有限元程序。
为了使ANSYS程序进入市场，他于1969年离开Westinghouse。
尽管ANSYS主要是关注非线性材料而非求解完全的非线性问题，但他多年来仍垄断了商业非线性有限元的舞台在早期的商用软件舞台上，另外两个主要人物使David Hibbitt 和Klaus －Jurgen Bathe。
Hibbitt与Pedro Marcal 合作到了1972年，后来与其它人合作建立了HKS公司，使ABAQUS商业软件进入市场。
因为该程序是能够引导研究人员增加用户单元和材料模型的早期有限元程序之一，所以它对软件行业带来了实质性的冲击。
Jurgen Bathe 是在Ed Wilson的指导下在Berkeley获得博士学位的，不久之后开始在MIT任教，这期间他发表了他的程序。
这是NONSAP软件的派生品，称之ADINA。
直到大约1990年，商用有限元程序集中在静态解答和隐式方法的动态解答。
在20世纪70年代，这些方法取得了非常大的进步，主要贡献来自于Berkeley，起源于Berkeley的研究人员：Thomas J.R. Hughes，Robert Tayor,Juan Simo,Jurgen Bathe,Carlos Felippa,Pal Bergan,Kaspar Willam,Ekerhard Ramm 和Michael Ortiz。
他们是Berkeley的杰出研究者中的一部分。
不容置疑，他们是早期有限元的主要孵化人员。
当代非线性软件的另一个血脉是显式有限元程序。
Wilkins（1964）在DOE 实验室的工作强烈的影响了早期的显式有限元方法，特别式命名为hydro－codes的软件。
1964年，Costantino在芝加哥的IIT研究院发展了可能是第一个的显式有限元程序（Costantino，1967）。
它局限于线性材料和小变形由带状刚度矩阵乘以节点位移计算内部的节点力。
它首先在一台IBM7040系列计算机上运行，花费了数百万美元，其数度远远低于一个megaflop（每秒一百万浮点运算）和3200字节RAM。
刚度矩阵存储在磁带上，通过观察磁带驱动能够检测计算的过程。
当每一步骤完成时，磁带驱动将逆转以便允许阅读刚度矩阵。
这些和以后的Control Data机器有类似的性能，如CDC6400和6600，他们是20世纪60年代运行有限元程序的机器。
一台CDC6400价值近1000万美元，有32kB内存（存储全部的操作系统和编译器）和大约一个megaflop的真实速度。
1969年，为了实现对空军销售的计划，高级研究人员开发了著名的单元乘单元的技术，节点力的计算不必运用刚度矩阵。
因此，发展了名为SAMSON的二维有限元程序，它被美国的武器实验室用了10年，1972年，该程序的功能扩展至结构的完全非线性三维瞬态分析，称之WERCKER。
这一工作得到美国运输部敢于幻想的计划经理Lee Ovenshire的基金资助，它在20世纪70年代初期就预言汽车的碰撞实验可能被仿真所代替。
然而，比他预言的时间稍微提前了一点。
在当时运行一个300个单元模型的仿真，对于2000万次模拟需要大约30小时的计算机机时，花费大约3万美元，这个相当于助理教授3年的工资。
Lee Ovenshire 的计划资助了若干个开拓性的工作：Hughes的接触－冲击工作，Ivor Mclvor 的碰撞工作，以及由Ted Shugar 和Carly Ward在Port Hueneme所从事的关于人头颅的模拟研究。
但是，大约在1975年，运输部认为仿真太昂贵，决定所有的基金转向实验方面，使这些研究努力令人心痛地停止下来。
在Ford公司WRECKER勉强生存了下一个10年。
而在Argonne，由Belytschko发展地显式程序被移植应用在核安全工业上，其程序命名为SADCAT核WHAMS。
在DOE国家实验室，开始了平行地研究工作。
1975年，工作在Sandia的Sam Key完成了HONDO，它也是具有单元乘单元功能的显式方法。
程序可以处理材料非线性和几何非线性问题，并且有精心编辑的文件。
然而，这个程序遭到Sandia 限制传播的政策，基于保密的原因，不允许发布程序。
得益于Northwestern大学的研究生Dennis Flanagan的工作，这些程序得以进一步的发展，他将程序命名为PRONTO。
显式有限元程序发展的里程碑来自于Lawrence Livermore实验室的John Hallquist的工作。
1975年，John开始他的工作。
1976年，他首先发表DYNA 程序。
他慧眼吸取了前面许多人的成果，并且与Berkeley的研究人员紧密交流合作，包括Jerry Goundreau，Bob Taybor，Tom Hughes和Juan Simo。
他之所以成功的部分关键因素是与Dave Benson合作发展了接触－冲击相互作用，和他的令人敬畏的编程效率，以及计算程序DYNA－2D和DYNA-3D的广泛传播。
与Sanlia相比，对于程序的传播，在Livermore几乎没有遇到任何障碍，因此，像Wilson的程序和John的程序，不久后在全世界的大学、政府和工业实验室里到处可见。
他们不容易被修改，但是，的确发展了许多新的以DYNA程序作为实验台的想法。
Hallquist关于有效接触－冲击算法的发展（与今天的有效算法相比，是原始的第一批算法，但是仍然常常采用它们），采用一点积分单元和高阶矢量使工程仿真得以有显著性突破的可能。
矢量几乎已经与新一代计算机无关，但是，20世纪80年代在以Cray机为主的计算机上运行大型问题，矢量是至关重要的。
一点积分单元与沙漏控制的一致性，通过几乎是一阶量值的完全积的三维单元，可以提高三维分析的速度。
在20世纪80年代，DYNA程序首先被法国ESI公司商业化，命名为PAMCRASH，它与WHAMS也有许多相关的子程序。
1989年，John Hallquist 离开了Livermore，开始经营他自己的公司，扩展LSDYDA——商业版的DYNA程序。
在过去的10年，计算机成本的迅速下降和显式程序功能的强健带来了设计的革命。
第一个主要的应用领域是有价值的汽车碰撞。
然后，应用的领域迅速扩展。
在越来越多的工业领域，非线性有限元仿真在代替样品原型的试验。
产品设计依赖于仿真正常工作、跌落试验和其他极端加载情况的帮助，例如蜂窝电话、手提电脑、洗衣机、链锯和许多其他产品。
制造过程也应用有限元进行仿真，例如锻压、薄金属板成型和挤压。
对于某些仿真问题，隐式方法的功能也变得越来越强，很明显，两种方法的功能都是必要的。
例如，显式方法可能最适合仿真薄金属板成型的加工过程，在回弹过程模拟中，隐式方法是更合适的。
今天，隐式方法比显式方法的功能增加得更加迅速，可能是因为它们都还有如此漫漫路程。
对于处理非线性约束，例如接触和摩擦，隐式方法已经有了明显的改进。
稀疏迭代求解器也已经成为更加有效的工具。
今天，强健的功能需要两种方法的有效性。