人教版数学必修2直线与方程知识点专题讲义
人教版必修二：直线与方程复习讲义及巩固练习
直线与方程知识梳理：1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. 4．斜率与倾斜角的对应关系α＝0° 0°<α<90°α＝90° 90°<α<180°5.直线的斜率公式已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2).6.两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2.则对应关系如下：7.8.直线方程的五种形式(1)直线的点斜式方程: y －y 0＝k(x －x 0). 由直线上一定点P 0(x 0，y 0)及斜率k 确定. (2)直线的斜截式方程：y ＝kx ＋b. 由直线的斜率k 和它在y 轴上的截距b 确定. (3)直线的两点式方程:y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 由直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)确定. (4)直线的截距式方程：x a ＋yb＝1 . 由直线分别在x ，y 轴上的截距a ，b 确定.(5)直线的一般式方程: Ax ＋By ＋C ＝0. 当B≠0时，其斜率是－A B ，在y 轴上的截距是－CB 当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴. 9.两条直线的位置关系已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2.(1) l 1∥l 2⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2. (2) l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 10.线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，设P(x ，y)是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.11.两条直线的交点已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0；l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.若两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有惟一解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝y 0，则两直线相交，交点坐标为(x 0，y 0).12.两点间的距离公式(1)已知平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则它们的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)两点间距离的特殊情况①原点O(0,0)与任一点P(x ，y)的距离|OP|＝x 2＋y 2. ②当P 1P 2∥x 轴(y 1＝y 2)时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. ③当P 1P 2∥y 轴(x 1＝x 2)时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 13.点到直线的距离公式点P(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2. 14.两条平行直线间的距离公式两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2.巩固练习：1．如图，直线l 的倾斜角为( )A ．45°B ．135°C ．0°D ．不存在2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为__________.3．已知A(2,3)、B(－1,4)，则直线AB的斜率是________．4．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为_______．5．已知直线l1∥l2，直线l1的斜率k1＝2，则直线l2的斜率k2＝________.6.已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________．7．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3,5)，N(x,7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y ＝________.8．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则( )A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90° C．|α1－α2|＝90° D．α1＋α2＝180°9．直线l过点A(－1,2)，斜率为3，则直线l的方程为___________________.10．已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________，倾斜角为________，在y 轴上的截距为________．11.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5的直线方程为____________________；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2的直线方程为_____________________；12．(1)经过点(1,1)且与直线y＝2x＋7平行的直线方程为_____________________；(2)经过点(－1,1)且与直线y＝－2x＋7垂直的直线方程为_________________．13．过P1(2,0)，P2(0,3)两点的直线方程是_________________.14．直线2x＋3y＋1＝0的斜率为________；在x轴上的截距为________；在y轴上的截距为________．15．已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝516．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则( )A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<017．在下列各种情况下，直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的系数A，B，C之间各有什么关系：(1)直线与x轴平行时：_____________； (2)直线与y轴平行时：_________________；(3)直线过原点时：_________________； (4)直线过点(1，－1)时：_______________.18．直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是______________.19．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|=_____________. 20．直线x －2y ＋1＝0与2x ＋y －1＝0的位置关系是( )A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．重合 21．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为___________.22．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为________________. 23．若点(1，a)到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 为___________.24．已知直线3x ＋2y －3＝0和6x ＋my ＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是_________. 25.当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2 (1)平行; (2)垂直26．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．。
人教A版高中数学必修2第三章 直线与方程3.2 直线的方程课件(2)
2.直线方程的五种形式
名称 点斜式
方程 y y1 k(x x1)
适用范围 不含垂直于x轴的直线
斜截式
y kx b
不含垂直于x轴的直线
两点式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
不含直线x=x1 （x1≠x2） 和直线y=y1 （y1≠y2）
精品PPT
截距式
x y 1 ab
第九编 解析几何
§9.1 直线的方程
基础知识 自主学习
要点梳理 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基
准，x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角 叫
做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 0°.
②倾斜角的范围为 0°≤ ＜180°.
精品PPT
(2)直线的斜率
①定义：一条直线的倾斜角 的 正切值 叫做这条
直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k= tan ，
倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线
y2 y1 . 的斜率公式为k= x2 x1
又直线经过点A（-1，-3），
因此所求直线方程为y+3=- 3 (x+1), 4
即3x+4y+15=0.
精品PPT
探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直 线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用 斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两 点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能 表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题 时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距 是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在 的情况.
新人教版(必修2) 直线的方程精选教学PPT课件
例１ 已知直线 l 过两点 A（a,0), B（0,b), 其中a≠0,b≠0,求直线 l 的方程。
•
y
•B(0,b)
A(a,0) 0
x
练习3：求过点P(2,3),并且在两轴上的
截距相等的直线方程。
y
x+y-5=0
3 ·P（2
3x-2y=0
,3）xo Nhomakorabea2
请同学们自己看书:P106
例4
已知三角形的三个顶点A（－5,0）， B(3,-3),C(0,2).求BC边所在直线的方程, y 以及该边上中线所在直线的方程。
直 线 的 方 程 (2)
湛师附中 林倩梅
1). 直线的点斜式方程：
复 习
y- y0 =k(x- x0 ) 直线经过点P0(x0 ,y0) ,斜率为k
设 疑
注 当k不存在时,直线方程为:x= x 意：
2). 直线的斜截式方程： y=kx+b 斜率为k，直线在y轴上的截距为b
0
练
习
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程． 思路： 点 斜 式 另解：（斜截式）设直 线方程为：y=kx+b.
答案: 直线方程为:y=x+2
推广
已知两点P1(x1,y1),P2(x2 ,y2),（其中x1≠x2且 y1≠y2），又如何求出通过这两点的直线方程呢？
练习１：求经过点Ａ（－１，８），
Ｂ（４，－２）的直线方程。
2x+y-6=0 练习2：求经过点Ａ（－3，6）， Ｂ（10，6）的直线方程。 y=6
B(-3,5)
•
y
4
A(6,4)
•
-4
-2
高中数学 3223直线的方程课件 新人教版A必修2
∴M52，－3， 又 BC 边上的中线经过点 A(－3,2)． ∴由两点式得－y－3－22＝52x－－－－33， 即 10x＋11y＋8＝0. 故 BC 边上的中线所在直线的方程为 10x＋11y＋8＝0.
规律方法 ①首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式 的要求，对字母则需分类讨论；②注意问题叙述的异同，本题 中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是 直线．
2．线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，设 P(x，y)是线段
P1P2
的中点，则x＝ y＝
x1＋x2 2
，
y1＋2 y2.
试一试：若已知 A(x1，y1)及 AB 中点(x0，y0)，如何求 B 点的坐 标？
提示
设 B(x，y)，则由xy11＋ ＋22 xy＝ ＝xy00， ，
【变式 1】 (2012·绍兴一中高一检测)已知△ABC 三个顶点坐标 A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
解 ∵A(2，－1)，B(2,2)， A、B 两点横坐标相同， ∴直线 AB 与 x 轴垂直，故其方程为 x＝2. ∵A(2，－1)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 AC 的方程为 －y－1－11＝2x－－44， 即 x－y－3＝0. ∵B(2,2)，C(4,1)， ∴由直线方程的两点式可得直线 BC 的方程为2y－－11＝2x－－44， 即 x＋2y－6＝0.
【变式 4】 (2012·菏泽一中高一检测)已知直线 l 的方程为 3x＋ 4y－12＝0，求直线 l′的方程，l′满足 (1)过点(－1,3)，且与 l 平行； (2)过点(－1,3)，且与 l 垂直．
解 法一 由题设 l 的方程可化为：y＝－34x＋3， ∴l 的斜率为－34， (1)由 l′与 l 平行， ∴l′的斜率为－34. 又∵l′过(－1,3)， 由点斜式知方程为 y－3＝－34(x＋1)， 即 3x＋4y－9＝0.
《直线与方程》复习课件(17张ppt)
方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组 无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系 相交 重合
平行
5、3种距离
（1).两点距离公式 | AB | (x1 x2)2 ( y1 y2)2
(2)点线距离公式 设点(x0,y0),直线Ax+By+C=0,
a=1或-3
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； 2x-y+5=0
.
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0
直线的交点个数与直线位置的关系
6
D.
π
6
B
3、直线的5种方程
名 称 已知条件
标准方程 适用范围
点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y y1 k(x x1) 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k和y轴上的截距 y kx b 不垂直于x轴的直线
两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) 截距式 在x轴上的截距a
在y轴上的截距b
d | Ax0 By0 C | A2 B2
（3）两平行线距离:l1:Ax+By+C1=0，l2:Ax+By+C2=0 d | C1 C2 | A2 B2
点（1,3）到直线3x 4 y 4 0的距离为
中点坐标公式
x0
y0
人教版必修二3.2.2直线的两点式方程课件
不能表示与坐标轴(x,y轴)垂直的直线.
（2）当 x1 x2 时，直线方程为：x x1 当 y1 y2 时，直线方程为： y y1
练习
1.求过两点的直线的两点式方程
（1）P1(2,1), P2 (0,3)
(2)C(5,1), D(3,4) (3)A(0,5), B(5,0)
第三章 直线与方程
3.2.2 直线的两点式方 程
一、复习回顾 1). 直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点 2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
三、新课探究
已知两点 P1(x1, y1)，P2 (x2 , y2 )，求通过这两点的直
(2)由两点式方程得，过 A，B 两点的直线方程为4y－－－－11＝－x－3－22，即 x＋y －1＝0.又点 P(3，m)在直线 AB 上，所以 3＋m－1＝0，得 m＝－2.
【答案】 (1)x＝2 (2)－2
4．求过定点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程．
【解】 设直线的两截距都是 a，则有 ①当 a＝0 时，直线为 y＝kx，将 P(2,3)代入得 k＝32，∴l：3x－2y＝0； ②当 a≠0 时，直线设为ax＋ay＝1，即 x＋y＝a， 把 P(2,3)代入得 a＝5，∴l：x＋y＝5. ∴直线 l 的方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
(a 0, b 0)
y B（0，b）
x O A( a ,0)
? 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
注意： ①局限性：(更大)
不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线
高中数学人教版必修二自学课件第三章-直线与方程(全)讲课资料
b），求直线方程。
y.
代入点斜式方程，得l的直线方程： (0,b)
y - b =k （ x - 0）
即 y = k x (+2) b 。
O
x
直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴
上的截距。
方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b
确定，所以方程(2)叫做直线的斜截式方程，简
称斜截式。
答：不成立，因为分母为0.
直线的斜率公式
综上所述，我们得到经过两点P1(x1, y1), P2(x2,y2) (x1 x2)的直线的斜率公式：
和谐 ky2y1(或 ky1y2)
x2x1
x1x2
P2 P1
P1 P2
倾斜角 联姻 斜率
(形)
(数)
学以致用，举一反三
例1 、如图，已知A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求
例2.已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1）， Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系， 并证明你的结论。
Y
Q P
B
A X
例3 已知四边形ABCD的四个顶点 分别为A（0，0），B（2，－1）， C（4，2），D（2，3），试判断四 边形ABCD的形状，并给出证明.
例4、已知A（-6，0），B（3，6）， P（0，3）Q（6，6），判断直线AB 与PQ的位置关系。
两点之间最短的距离并不一定是直线!
我们可以选择有困难绕过去，有障碍 绕过去，也许这样做事情更加顺利!
思考题：若直线的斜率k满足：3k
3 3
,
则直线的倾斜角的范围是
．
[0,)[2,)
63
y
3
3
高中数学 第三章 直线与方程 3.2 直线的方程 3.2.3 直线的一般式方程课件 新人教A版必修2
() A．2，3
B．－2，－3
C．－2，3
D．2，－3
解析：－x2＋－y3＝1 为直线的截距式，在 x 轴，y 轴
上的截距分别为－2，－3.
答案：B
4．直线 l 过点(－1，2)和点(2，5)，则直线 l 的方程 为______________．
解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：
y－2 x－（－1）
[典例 1] 已知 A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)， 在△ABC 中，求：
(1)BC 边的方程； (2)BC 边上的中线所在直线的方程．
பைடு நூலகம்
[自主解答] (1)BC 边过两点 B(5，－4)，C(0，－2)，
y－（－4） x－5
由两点式得，
＝ ，即 2x＋5y＋10＝0，
－2－（－4） 0－5
2．直线方程的一般式
(1)直线与二元一次方程的关系． ①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可 以用一个关于 x、y 的二元一次方程表示． ②每个关于 x、y 的二元一次方程都表示一条直线． (2)直线的一般方程的定义． 我们把关于 x、y 的二元一次方程 Ax＋Bx＋C＝0(其 中 A、B 不同时为 0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(1)求边 BC 所在直线的方程； (2)求边 BC 上的中线 AM 所在的直线方程． 解：(1)直线 BC 过点 B(3，－3)，C(0，2)，由两点式， 得2y＋＋33＝x0－－33，整理得 5x＋3y－6＝0，所以边 BC 所在 的直线方程为 5x＋3y－6＝0.
(2)因为 B(3，－3)，C(0，2)，所以由中点坐标公式 可得边 BC 上的中点 M 的坐标为3＋2 0，－32＋2，即 32，－12，可得直线 AM 的方程为－y－12－00＝x32－－（（－－55））， 整理得直线 AM 的方程为 x＋13y＋5＝0.
人教版高中数学必修第二册直线的方程课件
注： a , b表示截距； （1） （2）截距式不能表示过原点以及与坐标轴平 行的直线。
练习2：写出下列直线的截距式方程 (1)x轴上的截距是2，y轴上的截距是3； (2)x轴上的截距是4，y轴上的截距是6；
1 1 (3)x轴上的截距是 ，y轴上的截距是 2 2
练习3： 三角形的顶点是 A(5,0), B(3,3), C (0,2)， 求这个三角形三边所在直线的方程。
练习1：求过下列两点的直线的两点式方程， 再化成斜截式方程：
(1) A(2,1), B(0,3); (2) A(0,5), B(5,0); (3) A(4,5), B(0,0); (4) A(a,0), B(0, b)(其中a 0, b 0).
4.直线方程的截距式
x y 1 a b
直线方程 已知条件 的名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式
直线方程
使用范围
y y1
x x1
3.直线的两点式方程
y y1 y 2 y1
பைடு நூலகம்
x x1 x 2 x1
注： (1)两点式不能表示倾斜角是 0 或 90 的直线； ( y y1 )(x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 ) 能表 (2) 示平面内任何一条直线。
直线的方程
直线 方程 名称 已知 条件 直线方程 使用范围
点 点 P (x , y ) 能表示倾 0 0 0 y y0 k ( x x0 ) 斜角不是 斜 式 和斜率k 90 的直线 斜 截 式 斜率k和直 线在y轴上 的截距
y kx b
能表示倾 斜角不是 90 的直线
1.应用直线方程的点斜式，求经过下列两点的 直线方程
人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程习题课
人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直线与方程习题课知识点一两直线的交点坐标已知直线：l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，点A(a，b)．(1)若点A在直线l：Ax＋By＋C＝0上，则有：Aa＋Bb＋C＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有：知识点二两直线的位置关系知识点三(1)条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．(2)结论：|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22).(3)特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.类型一直线恒过定点问题例1 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标．证明方法一对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －11＝0，x ＋4y ＋10＝0，得两条直线的交点坐标为(2，－3)．将点(2，－3)代入方程组左边，得(2m －1)×2＋(m ＋3)×(－3)－(m －11)＝0. 这表明不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．方法二 将已知方程(2m －1)x ＋(m ＋3)y －(m －11)＝0整理为(2x ＋y －1)m ＋(－x ＋3y ＋11)＝0.由于m 取值的任意性，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，－x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3.所以不论m 取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)． 反思与感悟 解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x ＋B1y ＋C1＋λ(A2x ＋B2y ＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y －y0＝k(x －x0)的形式，则表示所有直线必过定点(x0，y0)．跟踪训练1 不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过的定点坐标是________________．答案 (9，－4)解析 方法一 取m ＝1，得直线y ＝－4.取m ＝，得直线x ＝9.故两直线的交点为(9，－4)，下面验证直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过点(9，－4)．将x ＝9，y ＝－4代入方程，左边＝(m －1)·9－4·(2m－1)＝m －5＝右边， 故直线恒过点(9，－4)．方法二 直线方程可变形为(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0，∵对任意m 该方程恒成立，∴解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4，故直线恒过定点(9，－4)． 类型二 对称问题例2 (1)求点P(x0，y0)关于点A(a ，b)的对称点P′的坐标； (2)求直线3x －y －4＝0关于点(2，－1)的对称直线l 的方程． 解 (1)根据题意可知点A(a ，b)为PP ′的中点， 设P′点的坐标为(x ，y)，则根据中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x ＋x02，b ＝y ＋y02，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x0，y ＝2b －y0.所以点P′的坐标为(2a －x0，2b －y0)．(2)方法一 设直线l 上任意一点M 的坐标为(x ，y)， 则此点关于点(2，－1)的对称点为M1(4－x ，－2－y)， 且M1在直线3x －y －4＝0上， 所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0， 即3x －y －10＝0.所以所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.方法二 在直线3x －y －4＝0上取两点A(0，－4)，B(1，－1)， 则点A(0，－4)关于点(2，－1)的对称点为A1(4,2)， 点B(1，－1)关于点(2，－1)的对称点为B1(3，－1)． 可得直线A1B1的方程为3x －y －10＝0， 即所求直线l 的方程为3x －y －10＝0.反思与感悟 (1)点关于点的对称问题：若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于点P(x0，y0)对称，则P 是线段AB 的中点，并且⎩⎪⎨⎪⎧x0＝x1＋x22，y0＝y1＋y22.(2)直线关于点的对称问题：若两条直线l1，l2关于点P 对称，则：①l1上任意一点关于点P 的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于点P 的对称点必在l1上；②若l1∥l2，则点P 到直线l1，l2的距离相等；③过点P 作一直线与l1，l2分别交于A ，B 两点，则点P 是线段AB 的中点．跟踪训练2 与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0 答案 D解析 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x ＋3y －6＝0平行，则可设所求直线方程为2x ＋3y ＋C ＝0.在直线2x ＋3y －6＝0上任取一点(3,0)， 关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)， 则点(－1，－2)必在所求直线上， ∴2×(－1)＋3×(－2)＋C ＝0，C ＝8. ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0.例3 点P(－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5) D ．(4，－3)答案 B解析 设对称点坐标为(a ，b)，由题意，得⎩⎨⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得即Q(－2,5)．反思与感悟 (1)点关于直线的对称问题求P(x0，y0)关于Ax ＋By ＋C ＝0的对称点P′(x，y)时，利用－\f(A,B)＝－1，,A·\f(x0＋x,2)＋B·\f(y0＋y,2)＋C ＝0))可以求P′点的坐标．(2)直线关于直线的对称问题：若两条直线l1，l2关于直线l 对称，①l1上任意一点关于直线l 的对称点必在l2上，反过来，l2上任意一点关于直线l 的对称点必在l1上；②过直线l 上的一点P 且垂直于直线l 作一直线与l1，l2分别交于点A ，B ，则点P 是线段AB 的中点．跟踪训练3 一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程．解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b)， 由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得 ∴点A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A(4,3)，又∵反射光线过P(－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程为y ＝3. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3(x≤)． 类型三 运用坐标法解决平面几何问题例4 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．证明设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所示，设A(b，c)，C(a,0)，则B(－a,0)．∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2，|AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2，|DC|2＝a2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2，∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．反思与感悟利用坐标法解平面几何问题常见的步骤(1)建立坐标系，尽可能将有关元素放在坐标轴上．(2)用坐标表示有关的量．(3)将几何关系转化为坐标运算．(4)把代数运算结果“翻译”成几何关系．跟踪训练4 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)，∴|AC|＝b－02＋c－02)＝，|BD|＝a－b－a2＋c－02)＝.故|AC|＝|BD|.1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )A．2 B．4C ．5 D.17答案 D解析 由题意知解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.∴P(4,1)，则|OP|＝＝.2．直线3x ＋my －1＝0与4x ＋3y －n ＝0的交点为(2，－1)，则m ＋n 的值为( )A ．12B ．10C ．－8D ．－6 答案 B解析 将点(2，－1)代入3x ＋my －1＝0可求得m ＝5，将点(2，－1)代入4x ＋3y －n ＝0，得n ＝5，所以m ＋n ＝10，故选B.3．当a 取不同实数时，直线(2＋a)x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．答案 (－1，－2)解析 直线方程可写成a(x ＋y ＋3)＋2x －y ＝0，则该直线系必过直线x ＋y ＋3＝0与直线2x －y ＝0的交点，即(－1，－2)．4．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为________． 答案 x －y ＋1＝0解析 线段PQ 的垂直平分线就是直线l ， 则kl·kPQ＝kl·＝－1，得kl ＝1，PQ 的中点坐标为(2,3)， ∴直线l 的方程为y －3＝x －2， 即x －y ＋1＝0.5．已知直线λ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)若使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围． (1)证明 直线l 的方程可化为y －＝a(x －)，所以不论a 取何值，直线l 恒过定点A(，)， 又点A 在第一象限，所以不论a 取何值，直线l 恒过第一象限． (2)解 令x ＝0，y ＝， 由题意，≤0，解得a≥3.所以a 的取值范围为[3，＋∞)．1．解含有参数的直线过定点问题将含有一个参数的二元一次方程常整理为A1x ＋B1y ＋C1＋λ(A2x ＋B2y ＋C2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过求解定点．2．有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称：①点P(x ，y)关于O(a ，b)的对称点P′(x′，y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称：①点A(a ，b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，则有－\f(A,B)＝－1，,A·\f(a ＋m,2)＋B·\f(b ＋n,2)＋C ＝0.))②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．课时作业一、选择题1．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2 答案 B解析 联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴交点坐标为(4，－2)，代入方程ax ＋2y ＋8＝0，解得a ＝－1.2．直线l1：x＋my－6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0只有一个公共点，则( )A．m≠－1且m≠3B．m≠－1且m≠－3C．m≠1且m≠3D．m≠1且m≠－1答案A解析两线相交，其系数关系为1×3－m(m－2)≠0，解得m≠3且m≠－1.3．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射后经过点B(2,10)，则光线从A到B的距离是( )A．5 B．25C．5 D．105答案C解析点A(－3,5)关于x轴的对称点的坐标为A′(－3，－5)．光线从A到B的距离是|A′B|＝－3]2＋[10－－5]2)＝5.4．已知M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，且直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直，则点N的坐标是( )A．(－2，－3) B．(2,1)C．(2,3) B．(－2，－1)答案C解析设点N的坐标为(x，x＋1)，∵直线MN与直线x＋2y－3＝0垂直，∴kMN·(－)＝－1，∴kMN＝2，即x＋1－－1,x－0)＝2，解得x＝2，故点N的坐标为(2,3)．5．两直线3ax －y －2＝0和(2a －1)x ＋5ay －1＝0分别过定点A ，B ，则|AB|的值为( )A. B.175 C. D.115答案 C解析 直线3ax －y －2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a －1)x ＋5ay －1＝0，过定点B ，由两点间的距离公式，得|AB|＝.6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x ＋y －7＝0答案 A解析 由已知得A(－1,0)，P(2,3)， 由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，由两点式得直线PB 的方程为x ＋y －5＝0.7．点P(a ，b)关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．0 答案 A解析 ∵点P(a ，b)关于l ：x ＋y ＋1＝0对称的点仍在l 上，∴点P(a ，b)在直线l 上，∴a＋b ＋1＝0，即a ＋b ＝－1.二、填空题8．点P(2,5)关于直线x ＋y ＝1的对称点的坐标是____________． 答案 (－4，－1)解析 设对称点坐标为(x0，y0)，则－1＝－1，,\f(x0＋2,2)＋\f(y0＋5,2)＝1，))解得⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－4，y0＝－1.9．直线ax ＋by －2＝0，若满足3a －4b ＝1，则必过定点________．答案 (6，－8)解析 ∵3a－4b ＝1，∴b＝a －，则直线ax ＋by －2＝0，可化为ax ＋(a －)y －2＝0，即为y ＋8＝a(4x ＋3y)，由得∴直线过定点(6，－8)．10．设a ＋b ＝k(k≠0，k 为常数)，则直线ax ＋by ＝1恒过定点________． 答案 (，)解析 由题知ax ＋by ＝1可变为ax ＋(k －a)y ＝1，即a(x －y)＋ky －1＝0，若其对于任何a∈R 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝0，ky －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1k ，y ＝1k .11．在直线x －y ＋4＝0上求一点P ，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，则点P 的坐标为________．答案 (－，)解析 设P 点的坐标是(a ，a ＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即a ＋22＋a ＋4＋42)＝a －42＋a ＋4－62)，解得a ＝－，故P 点的坐标是(－，)．三、解答题12．已知两条直线l1：mx ＋8y ＋n ＝0和l2：2x ＋my －1＝0，试分别确定m ，n 的值，满足下列条件：(1)l1与l2相交于一点P(m,1)；(2)l1∥l2且l1过点(3，－1)；(3)l1⊥l2且l1在y 轴上的截距为－1.解 (1)把P(m,1)的坐标分别代入l1，l2的方程得m2＋8＋n ＝0,2m ＋m －1＝0，解得m ＝，n ＝－.(2)显然m≠0.∵l1∥l2且l1过点(3，－1)，∴解得或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－4，n ＝20.(3)由l1⊥l2且l1在y 轴上的截距为－1.当m ＝0时，l1的方程为8y ＋n ＝0，l2的方程为2x －1＝0，∴－8＋n ＝0，解得n ＝8，∴m＝0，n ＝8.而m≠0时，直线l1与l2不垂直．综上可知，m ＝0，n ＝8.13．过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1：x －3y ＋10＝0和l2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程．解 方法一 过点M 与x 轴垂直的直线显然不符合要求，故设所求直线方程为y ＝kx ＋1，若与两已知直线分别交于A 、B 两点，则解方程组和⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，可得xA ＝，xB ＝.由题意得＋＝0，∴k＝－，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.方法二 设所求直线与两已知直线分别交于A 、B 两点，点B 在直线2x ＋y －8＝0上，故可设B(t,8－2t)，由中点坐标公式得A(－t,2t －6)．又因为点A 在直线x －3y ＋10＝0上，所以(－t)－3(2t －6)＋10＝0，得t ＝4，即A(－4,2)，B(4,0)．由两点式可得所求直线方程为x＋4y－4＝0.四、探究与拓展14．使三条直线4x＋y＝4，mx＋y＝0,2x－3my＝4不能围成三角形的m值的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案D解析当直线4x＋y＝4与直线mx＋y＝0平行时，m＝4；当直线4x＋y＝4与直线2x－3my＝4平行时，－4＝，即m＝－；当直线mx＋y＝0与直线2x－3my＝4平行时，－m＝，无解；当三条直线交于一点时，联立解得代入2x－3my＝4，解得m＝或m＝－1.综上所述，满足条件的m值有4个．15．已知平面内两点A(8，－6)，B(2,2)．(1)求AB的中垂线方程；(2)求过点P(2，－3)且与直线AB平行的直线l的方程；(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．解(1)因为＝5，＝－2，所以AB的中点坐标为(5，－2)，因为kAB＝＝－，所以AB的中垂线的斜率为，故AB的中垂线的方程为y＋2＝(x－5)即3x－4y－23＝0.(2)由(1)知kAB＝－，所以直线l的方程为y＋3＝－(x－2)，即4x＋3y＋1＝0.(3)设B(2,2)关于直线l的对称点B′(m，n)，由⎩⎨⎧ n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－145，n ＝－85，所以B′(－，－)，kB′A＝＝－，所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－(x －8)． 即11x ＋27y ＋74＝0.。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3直线的一般式方程课件
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
思考
(1)平面上任意一条直线都可以用一个关于 x , y 的二元一次方程表示吗？
⑴倾斜角α≠90°，直线的斜率k存在，其方程 y－y0 = k（x－x0）是关于x,y的二元一次方程。
⑵倾斜角α=90°，直线的斜率k不存在，其方程为 ｘ=ａ，可以看成是关于x,y的二元一次方程（y的 系数为0）。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一程，并把它化成一
般式： 1.过点A(6,-4),斜率为-
y43+;4=-43(x-6)4x+3y-12=0
2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);
-y4++22=x5--33x+y-1=0
3.在x轴,y轴上的截距分别是
直角坐标系是把方程和直线联系起来的桥梁，这 是笛卡尔的伟大贡献。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
课堂小结
1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B不同时为 零）的两方面含义：
(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程。 (2)关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
探 究 (1)在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线：平行于x轴？
y
l
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
O
x
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
(人教A版)必修2课件：第三章 直线与方程
BC：x－4y－1＝0，AC：x－y＋2＝0.
第三章 章末归纳总结
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
专题三 两条直线的位置关系 (1)已知直线的斜截式方程：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋ b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2； l1⊥l2⇔k1k2＝－1； l1与l2相交⇔k1≠k2.
第三章 章末归纳总结
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
有|2x0－y0＋3|＝ 5
52·|x0＋y20－1|，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， ∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于P在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．
联立方程2x0－y0＋123＝0和x0－2y0＋4＝0，
第三章 章末归纳总结
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
由题意，得|AB|＝5，
∴(
3k－2 k＋1
－
3k－7 k＋1
)2＋(－
4k－1 k＋1
＋
9k－1 k＋1
)2＝52，解得k＝0.
∴所求直线l的方程为y＝1.
第三章 章末归纳总结
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
第三章 章末归纳总结
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2
[解析] 设AB、AC边的中线分别为CD、BE，其中D、E 为中点，
∵点B在中线y－1＝0上， ∴设点B的坐标为(xB,1)． ∵点D为AB的中点，又点A的坐标为(1,3)， ∴点D的坐标为(xB＋2 1，2)． ∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， ∴xB＋2 1－2×2＋1＝0，∴xB＝5.
[剖析] 直线的点斜式方程是以直线斜率存在为前提的， 当直线斜率不存在时，不能建立和使用直线的点斜式方 程．在错解中，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，已经默认了 直线l的斜率存在，从而漏去了直线l斜率不存在的情况，而本 题中过P点且斜率不存在的直线恰好符合题意，所以错解丢掉 了一个解．
人教版高中数学必修2 第3章 直线与方程
§3.1直线的倾斜角与斜率学习目标1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.学习过程一、课前准备（预习教材P90~ P91，找出疑惑之处）复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学※学习探究新知1：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）.关键：①直线向上方向；②x轴的正方向；③小于平角的正角.注意:当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角()2παα≠的正切值叫做这条直线的斜率(slope).记为tankα=.试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当0oα=时，则k；⑵当090o oα<<时，则k；⑶当90oα=时，则k；⑷当090180oα<<时，则k.新知3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y12()x x≠的直线的斜率公式：2121y ykx x-=-.探究任务三：1.已知直线上两点1212(,),(,),A a aB b b运用上述公式计算直线的斜率时，与,A B两点坐标的顺序有关吗？2．当直线平行于y轴时，或与y轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？※典型例题例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴30οα=；⑵135οα=；⑶60οα=；⑷90οα=变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.⑴0k=；⑵1k=；⑶3k=-；⑷k不存在.例 2 求经过两点(2,3),(4,7)A B的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝角.※ 动手试试练 1. 求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角. ⑴(2,3),(1,4)A B -； ⑵(5,0),(4,2)A B -.练2．画出斜率为0,1,1-且经过点(1,0)的直线.练3．判断(2,12),(1,3),(4,6)A B C --三点的位置关系，并说明理由.三、总结提升※ 学习小结 1.任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是[0,180)︒. 2.直线斜率的求法：⑴利用倾斜角的正切来求；⑵利用直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 的坐标来求；⑶当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列叙述中不正确的是（ ）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0o 或90οD ．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α 2. 经过(2,0),(5,3)A B --两点的直线的倾斜角（ ）.A ．45οB ．135οC ．90οD ．60ο 3. 过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为().A.1B.4C.1或3D.1或4 4. 直线经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则α为 角；k 的取值范围 . 5． 已知直线l 1的倾斜角为α1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角2α为________. 1. 已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.2. 已知直线l 过2211(2,()),(2,())A t B t t t-+-两点，求此直线的斜率和倾斜角.§ 3.2两直线平行与垂直的判定1. 熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；2．通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力；3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣． 一、课前准备：（预习教材P 95~ P 98，找出疑惑之处） 复习1：1．已知直线的倾斜角(90)οαα≠，则直线的斜率为 ；已知直线上两点1122(,),(,)A x y B x y 且12x x ≠，则直线的斜率为 .2.若直线l 过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线l 的斜率为 ,倾斜角为 .3．斜率为2的直线经过(3，5)、(a ,7)、(－1,b )三点，则a 、b 的值分别为 . 4．已知12,l l 的斜率都不存在且12,l l 不重合，则两直线的位置关系 . 5．已知一直线经过两点(,2),(,21)A m B m m --，且直线的倾斜角为60ο，则m = .复习2：两直线平行(垂直)时它们的倾斜角之间有何关系?二、新课导学：※ 学习探究问题1：特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为 ，两直线位置关系是 . (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 ，两直线的位置关系是 .问题2：斜率存在时两直线的平行与垂直．设直线1l 和2l 的斜率为1k 和2k .⑴两条直线平行的情形．如果21//l l ，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知1：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ⇔1k =2k注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立． ⑵两条直线垂直的情形.如果12l l ⊥，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？新知2：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即12l l ⊥⇔121k k =-⇔121k k =-※ 典型例题例1 已知(2,3),(4,0),(3,1),(1,2)A B P Q ---，试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论.例2 已知(1,1),(2,2),(3,0)A B C -三点，求点D 的坐标，使直线CD AB ⊥，且//CB AD .变式：已知(5,1),(1,1),(2,3)A B C -，试判断三角形ABC 的形状.※ 动手试试练 1. 试确定m 的值，使过点(,1),(1,)A m B m -的直线与过点(1,2),(5,0)P Q -的直线 ⑴平行； ⑵垂直练 2. 已知点(3,4)A ，在坐标轴上有一点B ，若2AB k =，求B 点的坐标.三、总结提升： ※ 学习小结：1．1212//l l k k ⇔=或12,l l 的斜率都不存在且不重合. 2．12121l l k k ⊥⇔=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（ ）. A ．若12l l ⊥，则121k k =-B ．若直线12//l l ，则两直线的斜率相等C ．若直线1l 、2l 的斜率均不存在，则12l l ⊥D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行 2. 过点(1,2)A 和点(3,2)B -的直线与直线1y =的位置关系是（ ）.A ．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对3. 经过(,3)m 与(2,)m 的直线l 与斜率为4-的直线互助垂直，则m 值为（ ）.A ．75-B ．75C ．145-D ．1454. 已知三点(,2),(5,1),(4,2)A a B C a -在同一直线上，则a 的值为 . 5． 顺次连结(4,3),(2,5),(6,3),(3,0)A B C D --，所组成的图形是 .1. 若已知直线1l 上的点满足260ax y ++=，直线2l 上的点满足2(1)10(1)x a y a a +-+-=≠，试求a 为何值时，⑴12//l l ；⑵12l l ⊥.2． 已知定点(1,3),(4,2)A B -，以,A B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标.§ 3.2.1直线的点斜式方程1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； 2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程； 3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.一、课前准备： （预习教材P 101~ P 104，找出疑惑之处） 复习1．已知直线12,l l 都有斜率，如果12//l l ，则 ；如果12l l ⊥，则 . 2．若三点(3,1),(2,),(8,11)A B k C -在同一直线上，则k 的值为 .3．已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，则第四个顶点D 的坐标 .4．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?二、新课导学： ※ 学习探究问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新知1：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程.问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题3：⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 .⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 .问题4：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0,)b ，求直线l 的方程.新知2：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距（intercept ）.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标. 问题5：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.※ 典型例题 例1 直线过点(1,2)-，且倾斜角为135ο，求直线l 的点斜式和斜截式方程，并画出直线l .变式：⑴直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程 ；⑵直线过点(1,2)-，且平行于x 轴的直线方程 ；⑶直线过点(1,2)-，且过原点的直线方程 . 例2 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形： ⑴，在y 轴上的距截是－2； ⑵ 斜角是0135，在y 轴上的距截是0变式：已知直线的方程3260x y +-=，求直线的斜率及纵截距.※ 动手试试练1. 求经过点(1,2)，且与直线23y x =-平行的直线方程.练2. 求直线48y x =+与坐标轴所围成的三角形的面积.三、总结提升：※ 学习小结1.直线的方程：⑴点斜式00()y y k x x -=-；⑵斜截式y kx b =+；这两个公式都只能在斜率存在的前提※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 过点(4,2)-，倾斜角为135ο的直线方程是（）. A20y ++-=B360y +++C．40x -=D ．40x += 2. 已知直线的方程是21y x +=--，则（ ）. A ．直线经过点(2,1)-，斜率为1- B ．直线经过点(2,1)--，斜率为1 C ．直线经过点(1,2)--，斜率为1- D ．直线经过点(1,2)-，斜率为1-3. 直线130kx y k -+-=，当k 变化时，所有直线恒过定点（ ）. A ．(0,0)B ．（3，1）C ．(1,3)D ．(1,3)-- 4. 直线l 的倾斜角比直线12y 的倾斜角大45ο，且直线l 的纵截距为3，则直线的方程 . 5. 已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程. 1. 已知三角形的三个顶点(2,2),(3,2),(3,0)A B C -，求这个三角形的三边所在的直线方程.2. 直线l 过点(2,3)P -且与x 轴、y 轴分别交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程.§ 3.2.2直线的两点式方程1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.105106，找出疑惑之处）复习1：直线过点(2,3)-，斜率是1，则直线方程为 ；直线的倾斜角为60ο，纵截距为3-，则直线方程为 . 2．与直线21y x =+垂直且过点(1,2)的直线方程为 .3．方程()331--=+x y 表示过点______，斜率是______，倾斜角是______，在y 轴上的截距是______的直线.4．已知直线l 经过两点12(1,2),(3,5)P P ,求直线l 的方程.二、新课导学：※ 学习探究新知1：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程为1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form ）.问题1：哪些直线不能用两点式表示？例 已知直线过(1,0),(0,2)A B -，求直线的方程并画出图象.新知2：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠，则直线l 的方程1=+bya x 叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0,b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距.问题3：a ,b 表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？问题4：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？※ 典型例题例1 求过下列两点的直线的两点式方程，再化为截距式方程.⑴(2,1),(0,3)A B -； ⑵(4,5),(0,0)A B --.例2 已知三角形的三个顶点(5,0),(3,3)A B --， (0,2)C ，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.※动手试试练1.求出下列直线的方程，并画出图形.⑴倾斜角为045，在y轴上的截距为0；⑵在x轴上的截距为－5，在y轴上的截距为6；⑶在x轴上截距是－3，与y轴平行；⑷在y轴上的截距是4，与x轴平行.三、总结提升：※学习小结1．直线方程的各种形式总结为如下表格：1122中点(,)M x y,则2121,22x x y yx y++==.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 直线l过点(1,1),(2,5)--两点，点(1002,)b在l 上，则b的值为（）.A．2003 B．2004 C．2005 D．20062. 若直线0Ax By C++=通过第二、三、四象限，则系数,,A B C需满足条件( )A. ,,A B C同号 B. 0,0AC BC<<C. 0,0C AB=< D. 0,0A BC=<3. 直线y ax b=+（0a b+=）的图象是( )4. 在x轴上的截距为2，在y轴上的截距为3-的直线方程.5. 直线21y x=-关于x轴对称的直线方程，关于y轴对称的直线方程关于原点对称的方程.1. 过点P(2，1）作直线l交,x y正半轴于AB两点，当||||PA PB⋅取到最小值时，求直线l的方程.2. 已知一直线被两直线1:460l x y++=，2l：3x 560y--=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.§ 3.2.3直线的一般式方程1.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.107109，找出疑惑之处）复习1：⑴已知直线经过原点和点(0,4)，则直线的方程.⑵在x轴上截距为1-，在y轴上的截距为3的直线方程.⑶已知点(1,2),(3,1)A B，则线段AB的垂直平分线方程是.复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于,x y的二元一次方程表示吗？二、新课导学：※学习探究新知：关于,x y的二元一次方程0Ax By C++=（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）．注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4：在方程0Ax By C++=中，,,A B C为何值时，方程表示的直线⑴平行于x轴；⑵平行于y轴；⑶与x轴重合；⑷与y重合. ※典型例题例1 已知直线经过点(6,4)A-，斜率为12，求直线的点斜式和一般式方程.例2 把直线l的一般式方程260x y-+=化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.变式：求下列直线的斜率和在y轴上的截距，并画出图形⑴350x y+-=；⑵145x y-=；⑶20x y+=；⑷7640x y-+=；⑸270y-=.※ 动手试试练 1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴ 斜率是12-，经过点(8,2)A -；⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴；⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-；⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --.练2.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜P A ｜＝｜PB ｜，若直线P A 的方程为10x y -+=，求直线PB 的方程三、总结提升：※ 学习小结1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：0Ax By C ++=（A 、B 不全为0）； 2．点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上⇔00Ax By + 0C +=学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1 斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）.A ．360x y ++=B ．320x y -+=C ．360x y +-=D ．320x y --= 2. 若方程0Ax By C ++=表示一条直线，则（ ）. A ．1A ≠ B ．0B ≠C ．0AB ≠D ．220A B +≠ 3. 已知直线1l 和2l 的夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程为（ ）.A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+= 4. 直线270x y ++=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a b += . 5. 直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:3l mx y + 20-=平行，则m = .课后作业1. 菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.2．光线由点(1,4)A -射出，在直线:2360l x y +-=上进行反射，已知反射光线过点62(3,)13B ，求反射光线所在直线的方程.§ 3.1两条直线的交点坐标学习目标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标；2.体会判断两直线相交中的数形结合思想.学习过程一、课前准备：（预习教材P 112~ P 114，找出疑惑之处）1．经过点(1,2)A -，且与直线210x y +-+垂直的直线 .2．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、新课导学：※ 学习探究问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？※ 典型例题例1 求下列两直线1:3420l x y +-=，2:22l x y ++ 0=的交点坐标.变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=； ⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=；⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=.例2 求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.变式：求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程.例3 已知两点(2,1),(4,3)A B -，求经过两直线2310x y -+=和3210x y +-=的交点和线段AB 中点的直线l 的方程.※ 动手试试练 1. 求直线20x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程.练2. 已知直线1l 的方程为30Ax y C ++=，直线2l 的方程为2340x y -+=，若12,l l 的交点在y 轴上，求C 的值.三、总结提升：※ 学习小结1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组11122200A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行. 2．直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为（ ）.A ．13(,)24B ．13(,)24-C ．13(,)24--D ．13(,)24-2. 两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（ ）.A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．与n 的值有关 3. 与直线2360x y +-=关于点(1,1)-对称的直线方程是（ ）.A ．3220x y -+=B ．2370x y ++=C ．32120x y --=D ．2380x y ++= 4. 光线从(2,3)M -射到x 轴上的一点(1,0)P 后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程 . 5. 已知点(5,8),(4,1)A B ，则点A 关于点B 的对称点C 的坐标 .1. 直线54210x y m +--=与直线230x y m +-=的交点在第四象限，求m 的取值范围.2. 已知a 为实数，两直线1l ：10ax y ++=，2l ：0x y a +-=相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x 轴上.§ 3.3.2两点间的距离1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.一、课前准备：（预习教材P 115~ P 116，找出疑惑之处）1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 . 2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= .3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y - 10+=与5y x =+的交点?二、新课导学：※ 学习探究 问题1：已知数轴上两点,A B ，怎么求,A B 的距离？问题2：怎么求坐标平面上,A B 两点的距离？及,A B 的中点坐标？新知：已知平面上两点111222(,),(,)P x y P x y，则12PP 特殊地：(,)Px y 与原点的距离为OP =※ 典型例题例 1 已知点(8,10),(4,4)A B -求线段AB 的长及中点坐标.变式：已知点(1,2),A B -，在x 轴上求一点，使PA PB =,并求PA 的值.例 2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.※动手试试练1.已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C，求证：ABC∆是等腰三角形.练2.已知点(4,12)A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.三、总结提升：※学习小结1.坐标法的步骤：①建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；②进行有关的代数运算；③把代数运算结果“翻译”成几何关系.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 两点(1,3),(2,5)A B-之间的距离为（）.A．BC D．32. 以点(3,0),(3,2),(1,2)A B C---为顶点的三角形是（）三角形.A．等腰B．等边C．直角D．以上都不是3. 直线a x＋2y＋８＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值（）.A．2-B．2C．1D．1-4.已知点(1,2),A B-，在x轴上存在一点P，使PA PB=，则PA=. 5. 光线从点M(－2，3）射到x轴上一点P(1，0)后被x轴反射，则反射光线所在的直线的方程.1. 经过直线23y x=+和320x y-+=3的交点，且垂直于第一条直线.2. 已知a为实数，两直线1l：01=++yax，2l：0=-+ayx相交于一点，求证交点不可能在第一象限及x轴上.§ 3.3点到直线的距离及两平行线距离学习目标1．理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2．会用点到直线距离公式求解两平行线距离 3．认识事物之间在一定条件下的转化.用联系的观点看问题学习过程一、课前准备：（预习教材P 117~ P 119，找出疑惑之处）复习1．已知平面上两点(0,3),(2,1)A B -，则AB 的中点坐标为 ，AB 间的长度为 .复习2．在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线l 的方程是:0l Ax By C ++=，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?二、新课导学：※ 学习探究新知1：已知点00(,)P x y 和直线:0l Ax By C ++=，则点P 到直线l 的距离为：0022Ax By Cd A B++=+.注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.问题2：在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ，直线方程0:=++C By Ax l 中，如果0A =，或0B =，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢并画出图形来.例 分别求出点(0,2),(1,0)A B -到直线341x y -- 0=的距离.问题3：求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：23x y + 10-=的距离.新知2：已知两条平行线直线1l 10Ax By C ++=，2:l 20Ax By C ++=，则1l 与2l 的距离为1222C C d A B -=+注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使,x y 的系数相等.※ 典型例题例1 已知点(1,3),(3,1),(1,0)A B C -，求三角形ABC 的面积.例2 求两平行线1l ：2380x y +-=，2l ：46x y + 10-=的距离.※ 动手试试练1. 求过点(1,2)A -的直线方程.练2．求与直线:51260l x y -+=平行且到l 的距离为2的直线方程.三、总结提升：※ 学习小结1.点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1． 求点(5,7)P -到直线12530x y +-=的距离（ ）A ．1B ．0C ．1413D ．28132. 过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（ ）. A.250x y +-= B.240x y +-= C.370x y +-= D.350x y +-=3. 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）. A ．0x y -= B ．0x y += C ．0x y -= D ．0x y -=4. 两条平行线3x －2y －1＝0和3x －2y ＋1＝0的距离5. 在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有条. 1．已知正方形的中心为(1,0)G -，一边所在直线的方程为350x y +-=，求其他三边所在的直线方程.2．,A B 两个厂距一条河分别为400m 和100m ，,A B 两厂之间距离500m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座提水站，供,A B 两厂用水，要使提水站到,A B 两厂铺设的水管长度之和最短，问提水站应建在什么地方？§ 3.3.3章未复习提高1． 掌握直线的倾斜角的概念、斜率公式； 2． 掌握直线的方程的几种形式及其相互转化，以及直线方程知识的灵活运用； 3． 掌握两直线位置关系的判定，点到直线的距离公式及其公式的运用.一、课前准备：复习知识点：一．直线的倾斜角与斜率1．倾斜角的定义 ， 倾斜角α的范围 ， 斜率公式k = ，或 . 二．直线的方程1． 点斜式：00()y y k x x -=-2． 斜截式：y kx b =+3． 两点式：112121y y x x y y x x --=-- 4． 截距式：1x y a b+=5． 一般式：0Ax By C ++=三．两直线的位置关系1． 两直线平行 2． 两直线相交.⑴两直线垂直，⑵两直线相交 3． 两直线重合 四．距离 1． 两点之间的距离公式 ， 2． 点线之间的距离公式 ， 3． 两平行直线之间的距离公式 .二、新课导学： ※ 典例分析例1 如图菱形ABCD 的60O BAD ∠=，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.例2 已知在第一象限的ABC ∆中，(1,1),(5,1)A B ，60,45O O A B ∠=∠=.求⑴AB 边的方程；⑵AC 和BC 所在直线的方程.例3 求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.例4 已知两直线1:40l ax by -+=，2:(1)l a x y -+0b +=，求分别满足下列条件的,a b 的值.⑴直线1l 过点(3,1)--，并且直线1l 与直线2l 垂直；⑵直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等.例5 过点(4,2)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于,A B 两点，当AOB ∆面积最小时，求直线l 的方程.※ 动手试试练1. 设直线l 的方程为(2)3m x y m ++=,根据下列条件分别求m 的值.⑴l 在x 轴上的截距为2-； ⑵斜率为1-.练2．已知直线l 经过点(2,2)-且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．三、总结提升： ※ 学习小结1．理解直线的倾斜角和斜率的要领，掌握过两点的斜率公式；掌握由一点和斜率写出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般 式，并能根据条件熟练地求出直线方程.2．掌握两条直线平行和垂直的条件，点到直线的距离公式；能够根据直线方程判断两直线的位置关※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ）.A ．(1,3)-- B.(17,9)- C ．(1,3)- D ．(17,9)-2．方程(1)210()a x y a a R --++=∈所表示的直线（ ）.A ．恒过定点(2,3)-B ．恒过定点(2,3)C ．恒过点(2,3)-和(2,3)D ．都是平行直线 3．已知点(3,)m到直线40x-=的距离等于1，则m =（）.AB ．C ． D4．已知(3,)P a 在过(2,1)M -和(3,4)N -的直线上，则a = .5． 将直线2)y x =-绕点(2,0)按顺时针方向旋转30o ，所得的直线方程是. 1．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a - 0=.⑴若12//l l ，试求a 的值；⑵若12l l ⊥，试求a 的值2．两平行直线12,l l 分别过点1(1,0)P 和(0,5)P ， ⑴若1l 与2l 的距离为5，求两直线的方程； ⑵设1l 与2l 之间的距离是d ，求d 的取值范围.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修二直线与方程专题讲义
1、直线的倾斜角与斜率 (１）直线的倾斜角
① 关于倾斜角的概念要抓住三点：
ⅰ.与x 轴相交; ⅱ．ｘ轴正向; ⅲ.直线向上方向． ② 直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0
0. ③ 倾斜角α的范围00
0180α≤<.
④ 090,tan 0k αα︒≤<︒=≥; 90180,tan 0k αα︒<<︒=< (2)直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为090的直线斜率不存在． ②经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式是21
1221
()y y k x x x x -=≠-.
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 2、直线方程的几种形式
注:过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示?（不一定） （1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =; （2）若2121y y x x =≠且,直线垂直于ｙ轴,方程为1y y =; （3）若2121y y x x ≠≠且,直线方程可用两点式表示） 3、两条直线平行与垂直的判定 （1） 两条直线平行
斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+,则有
121212//,l l k k b b ⇔=≠
注:当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行.
一般式:已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=,则
1212211221//,l l A B A B AC A C ⇔=≠
注:1212211221=,l l A B A B AC A C ⇔=与重合
1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A
（2）两条直线垂直
斜截式:如果两条直线12,l l 斜率存在,设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-
注:两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.
一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=,则
0212121=+⇔⊥B B A A l l
4、线段的中点坐标公式
若两点),(),,(2
22111y x P y x P ,且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x
５、 直线系方程 (1)过定点的直线系
①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-
②过两条直线0:1111=++C y B x A l ， 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为
0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数)，其中直线l 2不在直线系中
(２)平行垂直直线系
①平行于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Ax By C ++= ②垂直于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Bx Ay C -+= 6、两条直线的交点
设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨
⎧=++=++0
222111C y B x A C y B x A 的解，
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之,亦成立. 7、几种距离 （1)两点间的距离
平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式2
122
1221)()(y y x x P P -+-= 特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP +=
(2)点到直线的距离
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2
2
00B
A C By Ax d +++=
(3）两条平行线间的距离
两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2
2
12B
A C C d +-=
注：①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式;
②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能
套用公式计算.
8、有关对称问题 （1)中心对称
①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称，则由中点坐标公式得⎩⎨
⎧-=-=1
1
22y b y x a x
②直线关于点的对称,其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用
21//l l ,由点斜式得到所求直线方程．
(2）轴对称 ①点关于直线的对称
若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称，则线段21P P 的中点在对称轴l 上，而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上,由方程组
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧-=-•--=++++1
)(0)2()2(1
212212
1B A x x y y C y y B x x A ⎩⎨⎧==⇒22y x ? 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x (其中21,0x x A ≠≠） ②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况：一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.
注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ,x 换y ． 例:曲线
0),(=y x f 关于直线2-=x y 对称曲线方程是0)2,2(=-+x y f
②曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a 的对称曲线方程是0)2,2(=--y b x a f
9、直线l 上一动点P 到两个定点A 、B 的距离“最值问题”： （1）在直线l 上求一点P ，使PB PA +取得最小值,
① 若点B A 、位于直线l 的同侧时,作点A （或点B ）关于l 的对称点/A 或/B ,
.)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A
② 若点B A 、位于直线的异侧时,连接AB 交于l 点P ,则P 为所求点．
可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可．
（2)在直线l 上求一点P 使PB PA -取得最大值, 方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”
① 若点B A 、位于直线l 的同侧时，连接AB 交于l 点P ,则P 为所求点.
② 若点B A 、位于直线的异侧时,作点A （或点B ）关于l 的对称点/
A 或/
B ,
.)(//即为所求点，则点于交或连接P P l AB B A
（3） 2
2
PB PA +的最值:函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”. 1０、直线过定点问题 (1)含有一个未知参数，
12)1(-+-=a x a y 1)2(+-+=⇒x x a y （１）
令202-=⇒=+x x ，将3)1(2=-=y x 式，得代入，从而该直线过定点)3,2(- （2)含有两个未知参数
0)2()3(=-++-n y n m x n m 0)12()3(=-+-++⇒y x n y x m
令⎩⎨⎧-+-=+1203y x y x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=⇒73
7
1y x ,从而该直线必过定点)73,71(-.。