人教版数学必修2直线与方程知识点专题讲义

必修二直线与方程专题讲义

1、直线的倾斜角与斜率 (１）直线的倾斜角

① 关于倾斜角的概念要抓住三点：

ⅰ.与x 轴相交; ⅱ．ｘ轴正向; ⅲ.直线向上方向． ② 直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0

0. ③ 倾斜角α的范围00

0180α≤<.

④ 090,tan 0k αα︒≤<︒=≥; 90180,tan 0k αα︒<<︒=< (2)直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为090的直线斜率不存在． ②经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式是21

1221

()y y k x x x x -=≠-.

③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. 2、直线方程的几种形式

注:过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示?（不一定） （1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴,方程为1x x =; （2）若2121y y x x =≠且,直线垂直于ｙ轴,方程为1y y =; （3）若2121y y x x ≠≠且,直线方程可用两点式表示） 3、两条直线平行与垂直的判定 （1） 两条直线平行

斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+,则有

121212//,l l k k b b ⇔=≠

注:当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行.

一般式:已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=,则

1212211221//,l l A B A B AC A C ⇔=≠

注:1212211221=,l l A B A B AC A C ⇔=与重合

1l 与2l 相交01221≠-⇔B A B A

（2）两条直线垂直

斜截式:如果两条直线12,l l 斜率存在,设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-

注:两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.

一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=,则

0212121=+⇔⊥B B A A l l

4、线段的中点坐标公式

若两点),(),,(2

22111y x P y x P ,且线段21,P P 的中点M 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x

５、 直线系方程 (1)过定点的直线系

①斜率为k 且过定点),(00y x 的直线系方程为)(00x x k y y -=-

②过两条直线0:1111=++C y B x A l ， 0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为

0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数)，其中直线l 2不在直线系中

(２)平行垂直直线系

①平行于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Ax By C ++= ②垂直于已知直线0Ax By C ++=的直线系10Bx Ay C -+= 6、两条直线的交点

设两条直线的方程是0:1111=++C y B x A l , 0:2222=++C y B x A l 两条直线的交点坐标就是方程组⎩⎨

⎧=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的解，

若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点,此时两条直线平行;反之,亦成立. 7、几种距离 （1)两点间的距离

平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离公式2

122

1221)()(y y x x P P -+-= 特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离22y x OP +=

(2)点到直线的距离

点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离2

2

00B

A C By Ax d +++=

(3）两条平行线间的距离

两条平行线0:11=++C By Ax l , 0:22=++C By Ax l 间的距离2

2

12B

A C C d +-=

注：①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式;

②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能

套用公式计算.

8、有关对称问题 （1)中心对称

①若点),(11y x M 及),(22y x N 关于),(b a P 对称，则由中点坐标公式得⎩⎨

⎧-=-=1

1

22y b y x a x

②直线关于点的对称,其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用

21//l l ,由点斜式得到所求直线方程．

(2）轴对称 ①点关于直线的对称

若两点),(111y x P 与),(222y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称，则线段21P P 的中点在对称轴l 上，而且连接21P P 的直线垂直于对称轴l 上,由方程组

⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧-=-•--=++++1

)(0)2()2(1

212212

1B A x x y y C y y B x x A ⎩⎨⎧==⇒22y x ? 可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标),(22y x (其中21,0x x A ≠≠） ②直线关于直线的对称

此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况：一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.

注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ,x 换y ． 例:曲线