机械优化设计讲义

《机械优化设计》讲义

刘长毅

第一讲

第一课时：机械优化设计概论

课程的研究对象：根据最优化原理和方法，利用计算机为计算工具，寻求最优设计参数的一种现代设计方法。

目标：本课程目标体系可以分为三大块：理论基础、算法的分析、理解和掌握，算法的设计、实现（编程）能力的培养。将主要是对算法的学习为主，并兼顾培养一定的解决实际问题能力、上机编程调试能力。

首先，几个概念：优化（或最优化原理、方法）、优化设计、机械（工程）优化设计。

现代的优化方法，研究某些数学上定义的问题的，利用计算机为计算工具的最优解。

优化理论本身是一种应用性很强的学科，而工程优化设计（特别是机械优化设计）由于采用计算机作为工具解决工程中的优化问题，可以归入计算机辅助设计(CAD)的研究范畴。

再，优化方法的发展：源头是数学的极值问题，但不是简单的极值问题，计算机算法和运算的引入是关键。

从理论与实践的关系方面，符合实践-理论-实践的过程。优化原理和方法的理论基础归根结底还是来源于实际生产生活当中，特别是工程、管理领域对最优方案的寻找，一旦发展为一种相对独立系统、成熟的理论基础，反过来可以指导工程、管理领域最优方案的寻找（理论本身也在实践应用中不断进步、完善）。

解决优化设计问题的一般步骤：

相关知识：数学方面：微积分、线性代数；计算机方面：编程语言、计算方法；专业领域方面：机械原理、力学等知识

内容：数学基础、一维到多维、无约束到有约束

1.1数学模型

三个基本概念：设计变量、目标函数、约束条件 设计变量：

相对于设计常量（如材料的机械性能）

在设计域中变量是否连续：连续变量、离散变量（齿轮的齿数，）。

设计问题的维数，表征了设计的自由度。每个设计问题的方案（设计点）为设计空间中的一个对应的点。

设计空间：二维（设计平面）、三维（设计空间）、更高维（超设计空间）。 目标函数：

设计变量的函数。 单目标、多目标函数。 等值面的概念：设计目标为常量时形成的曲面（等值线、等值面、超等值面）。几何意义：等值线（等值线的公共中心既是无约束极小点）、等值面。 约束条件：

等式约束（约数个数小于设计问题的维数） 不等式约束

满足约束条件的设计点的集合构成可行域D ：可行点、非可行点、边界设计点

几何意义（二维）：对于设计空间不满足不等式约束的部分，用阴影表示。 数学模型的一般形式：

寻找一个满足约束条件的设计点，使得目标函数值最小。

标准形式：n p v X h m u X g t s R X X f v u n

<===≥∈,,2,1,0)(,,2,1,0)(..),(min

1.2

优化问题的几何描述

第二章 数学基础和数值迭代法

2.1 函数的方向导数和梯度 一、 函数的方向导数

∑=∂∂=∂∂++∂∂+∂∂=∂∂N

i i

i N

n x X f x X f x X f x X f S

X f 10

02201100cos )(cos )

(cos )(cos )()(θθθθ 二、函数的梯度

⎪

⎪⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝

⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛∂∂∂∂∂∂=∂∂=∂∂∑=N n N i i

i x X f x X f x

X f x X f S X f θθθθcos cos cos )()()(cos )()(21211

令T

N N x X f x X f x X f x X f x X f x X f X f ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂∂∂∂∂=⎪

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇)()()

()()()()(21

21

为函数在X 点的梯度，包含函数的一阶导数信息。

[

]f S f S f S f S f S

f T

∇=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂∴∇••∇=•∇=∂∂max

),cos(

即梯度方向是函数变化率最大的方向。

2.2 函数的泰勒展开与黑塞矩阵 一、泰勒展开式

[]

)()()()()()()(*

**!21

***X X X H X X X X X f X f X f T T --+-∇+=

其中黑塞（hessian ）矩阵:[]

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=2

*22

*2

1

*22*2

22*2

1

2*21*

2

2

1*

2

2

1*2*

)()()()()

()()()()()(n n n n n x X f x x X f x x X f x x X f x X f x

x X f x x X f x x X f x X f X H

包含函数的二阶导数信息。

2.3 凸集、凸函数、凸规划 一、凸集 ),

10(,21≤≤∀⊂∈∀ααn

E X X D

有D ∈-+21)1(X X αα，则D 为凸集.

凸集的性质：1. 若D 为凸集，λ为实数，则λD 仍为凸集。（凸集的实数积为凸集）

2．若D 、φ均为凸集，则二者的并集（和）为凸集。（凸集的和为凸集）

3．若D 、φ均为凸集，则二者的交集（积）为凸集。（凸集的积为凸集）

二、凸函数

E n

的子集D 为凸集，f 为D 上的函数，),

10(,2

1≤≤∀⊂∈∀ααn E X X D 恒有

)()1()())1((2121X f X f X X f

ααα-+≤-+，则f 为D 上的凸函数。反之为凹函

数。

凸函数的性质：

1. 设f 为D 上的凸函数，λ为实数，则λf 为D 上的凸函数。

2. 设f 1，f 2为D 上的凸函数,则f= f 1+f 2为D 上的凸函数。

3. 若f 在E n 一阶可微，则对2

121,,X X E X X n

≠∈，f 为凸函数的充要条件：

)()()()(12112X X X f X f X f T

-∇+≥

4. 若f 在E n

二阶可微，则对n E X ⊂∈D

，f 为凸函数的充要条件：黑塞矩

阵半正定（若正定，严格凸函数）。

三、凸规划

m u X g t s R X X f u n

,,2,1,0)(..),(min

=≤∈其中目标函数、不等式约束均为凸函数，则称该问题为凸规划。 凸规划的性质：

1． 集合)}()(|{0

X f X f X ≤=ϕ为凸集。

2． 可行域为凸集。 3． 任何局部最优解即为全域最优解。

4． 若目标函数可微，则最优解的充要条件：0)()(**≥-∇X X X f T

2.4 无约束优化的极值条件

1．一阶导数（梯度）为零。

2．二阶导数（黑塞矩阵）正定（极小点），或负定（极大点）。

2.5 有约束优化的极值条件(Kuhn-Tucker 条件)