机械优化设计讲义

《机械优化设计》讲义刘长毅第一讲第一课时：机械优化设计概论课程的研究对象：根据最优化原理和方法，利用计算机为计算工具，寻求最优设计参数的一种现代设计方法。

目标：本课程目标体系可以分为三大块：理论基础、算法的分析、理解和掌握，算法的设计、实现（编程）能力的培养。

将主要是对算法的学习为主，并兼顾培养一定的解决实际问题能力、上机编程调试能力。

首先，几个概念：优化（或最优化原理、方法）、优化设计、机械（工程）优化设计。

现代的优化方法，研究某些数学上定义的问题的，利用计算机为计算工具的最优解。

优化理论本身是一种应用性很强的学科，而工程优化设计（特别是机械优化设计）由于采用计算机作为工具解决工程中的优化问题，可以归入计算机辅助设计(CAD)的研究范畴。

再，优化方法的发展：源头是数学的极值问题，但不是简单的极值问题，计算机算法和运算的引入是关键。

从理论与实践的关系方面，符合实践-理论-实践的过程。

优化原理和方法的理论基础归根结底还是来源于实际生产生活当中，特别是工程、管理领域对最优方案的寻找，一旦发展为一种相对独立系统、成熟的理论基础，反过来可以指导工程、管理领域最优方案的寻找（理论本身也在实践应用中不断进步、完善）。

解决优化设计问题的一般步骤：相关知识：数学方面：微积分、线性代数；计算机方面：编程语言、计算方法；专业领域方面：机械原理、力学等知识内容：数学基础、一维到多维、无约束到有约束1.1数学模型三个基本概念：设计变量、目标函数、约束条件 设计变量：相对于设计常量（如材料的机械性能）在设计域中变量是否连续：连续变量、离散变量（齿轮的齿数，）。

设计问题的维数，表征了设计的自由度。

每个设计问题的方案（设计点）为设计空间中的一个对应的点。

设计空间：二维（设计平面）、三维（设计空间）、更高维（超设计空间）。

目标函数：设计变量的函数。

单目标、多目标函数。

等值面的概念：设计目标为常量时形成的曲面（等值线、等值面、超等值面）。

几何意义：等值线（等值线的公共中心既是无约束极小点）、等值面。

约束条件：等式约束（约数个数小于设计问题的维数） 不等式约束满足约束条件的设计点的集合构成可行域D ：可行点、非可行点、边界设计点几何意义（二维）：对于设计空间不满足不等式约束的部分，用阴影表示。

数学模型的一般形式：寻找一个满足约束条件的设计点，使得目标函数值最小。

标准形式：n p v X h m u X g t s R X X f v u n<===≥∈,,2,1,0)(,,2,1,0)(..),(min1.2优化问题的几何描述第二章 数学基础和数值迭代法2.1 函数的方向导数和梯度 一、 函数的方向导数∑=∂∂=∂∂++∂∂+∂∂=∂∂Ni ii Nn x X f x X f x X f x X f SX f 1002201100cos )(cos )(cos )(cos )()(θθθθ 二、函数的梯度⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∂∂=∂∂∑=N n N i ii x X f x X f xX f x X f S X f θθθθcos cos cos )()()(cos )()(21211令TN N x X f x X f x X f x X f x X f x X f X f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇)()()()()()()(2121为函数在X 点的梯度，包含函数的一阶导数信息。

[]f S f S f S f S f Sf T∇=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∴∇••∇=•∇=∂∂max),cos(即梯度方向是函数变化率最大的方向。

2.2 函数的泰勒展开与黑塞矩阵 一、泰勒展开式[])()()()()()()(***!21***X X X H X X X X X f X f X f T T --+-∇+=其中黑塞（hessian ）矩阵:[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=2*22*21*22*222*212*21*221*221*2*)()()()()()()()()()(n n n n n x X f x x X f x x X f x x X f x X f xx X f x x X f x x X f x X f X H包含函数的二阶导数信息。

2.3 凸集、凸函数、凸规划 一、凸集 ),10(,21≤≤∀⊂∈∀ααnE X X D有D ∈-+21)1(X X αα，则D 为凸集.凸集的性质：1. 若D 为凸集，λ为实数，则λD 仍为凸集。

（凸集的实数积为凸集）2．若D 、φ均为凸集，则二者的并集（和）为凸集。

（凸集的和为凸集）3．若D 、φ均为凸集，则二者的交集（积）为凸集。

（凸集的积为凸集）二、凸函数E n的子集D 为凸集，f 为D 上的函数，),10(,21≤≤∀⊂∈∀ααn E X X D 恒有)()1()())1((2121X f X f X X fααα-+≤-+，则f 为D 上的凸函数。

反之为凹函数。

凸函数的性质：1. 设f 为D 上的凸函数，λ为实数，则λf 为D 上的凸函数。

2. 设f 1，f 2为D 上的凸函数,则f= f 1+f 2为D 上的凸函数。

3. 若f 在E n 一阶可微，则对2121,,X X E X X n≠∈，f 为凸函数的充要条件：)()()()(12112X X X f X f X f T-∇+≥4. 若f 在E n二阶可微，则对n E X ⊂∈D，f 为凸函数的充要条件：黑塞矩阵半正定（若正定，严格凸函数）。

三、凸规划m u X g t s R X X f u n,,2,1,0)(..),(min=≤∈其中目标函数、不等式约束均为凸函数，则称该问题为凸规划。

凸规划的性质：1． 集合)}()(|{0X f X f X ≤=ϕ为凸集。

2． 可行域为凸集。

3． 任何局部最优解即为全域最优解。

4． 若目标函数可微，则最优解的充要条件：0)()(**≥-∇X X X f T2.4 无约束优化的极值条件1．一阶导数（梯度）为零。

2．二阶导数（黑塞矩阵）正定（极小点），或负定（极大点）。

2.5 有约束优化的极值条件(Kuhn-Tucker 条件)对优化问题np v X h m u X g t s R X X f v u n<===≤∈,,2,1,0)(,,2,1,0)(..),(min库恩-塔克条件描述为0,),)()(()(11***≥∇+∇-=∇∑∑==v u q u j v v v u u X h X g X f λλλλ ，即约束极小点存在的必要条件是：目标函数在该点的梯度可表示为诸约束面梯度的线性组合的负值。

从几何意义上来说，即约束极小点目标函数梯度向量的反方向必须落在诸约束面所构成的锥角范围之内。

对于凸规划问题，K-T 条件是充要条件。

只能作为验证条件，但到底是局部最优点还是全域最优点尚不能确定。

2.6 优化问题的数值迭代法1．迭代过程 kk kk S X X α+=+1 (k=0,1,2,…) 迭代的基本思想：搜索、迭代、逼近。

2．迭代终止条件：点距准则：ε≤-+kk X X 1函数值下降准则：ε≤-+)()(1kk X f X f 梯度准则：ε≤∇)(kX f第三章 一维搜索的优化方法一维优化是多维优化的基础。

包含两个步骤 1．确定搜索区间（进退法）2．寻优（黄金分割法、二次差值法）3.1 进退法——一维搜索区间的确定基本思想：对单峰函数（凸函数）f(x)，只要找到可行域内三个点a<b<c ，满足函数值先减小再增大的趋势，即f(a)>f(b)且f(b)<f(c)，则可以确定区间[a,c]内必存在最优点。

算法流程：3.2 一维优化方法——黄金分割法 一维搜索的基本思想：在确定了搜索区间的前提下，不断缩小搜索区间，直到区间的宽度小于预定的精度。

黄金分割法的基本思想：黄金分割点的计算：λλλ:)(:-=L L 算法流程：3.3一维优化方法——二次插值法首先，10分钟回顾上次课的内容，并讲解作业：进退法、黄金分割法概要、103页作业（程序演示）30分钟：基本思路：类似于二次曲线拟合。

以搜索区间三个点构造一个二次曲线（抛物线），并以该二次曲线的极值点替代目标函数的最优点，若不满足迭代中止条件，缩短搜索区间，反复迭代，直到相近两次二次曲线极值满足精度要求（点距准则）。

3.3.1 基本原理搜索区间[a1，a3]及其中间某一点（a2）这三个点构造一个二次曲线。

这三个点构成一个三元线性方程组,可求得该二次曲线极值点a*p 作为a4。

其中a*p = 0.5(a1+a3-C1/C2)C 1 = (f3-f1)/(a3-a1)C 2 = [(f2-f1)/(a2-a1)-C1]/(a2-a1)若a2与a4之间趋于重合，则迭代结束；否则比较这四点的函数值，并在其中选择三点，满足函数值“先递增再递减”的趋势，构成新的a1、a2、a3。

开始新一轮迭代。

3.3.2 迭代过程和算法流程例题。