立体几何中折叠与展开问题(2)

立体几何中折叠与展开问题（2）

【知识与方法】

折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。 【认知训练】

1.△ABC 的BC 边上的高线为AD ，BD=a ，CD=b ，将△ABC 沿AD 折成大小为θ的二面角

B-AD-C ，若b

a

=

θcos ，则三棱锥A-BCD 的侧面三角形ABC 是（ ） A 、锐角三角形 B 、钝角三角形

C 、直角三角形

D 、形状与a 、b 的值有关的三角形

2.如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题： ①点M 到AB 的距离为

2

2 ②三棱锥C －DNE 的体积是6

1

③AB 与EF 所成角是

2

π 其中正确命题的序号是

3．将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线MN 与PQ 是异面直线的是 ……………………………………………（ ） ① ② ③ ④

A ．①②

B ．②④

C ．①④

D ．①③

4.正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为AB 中点，沿CM 、CN 分别将三角形CDM 和△CBN 折起，使CB 与CD 重合，设B 点与D 点重合于P ，设T 为PM 的中点，则异面直线CT 与PN 所

M

N

P Q

M

P

Q

N M

N P

Q

M

N

P Q

成的角为（ ）A,300 B,450 C,600 D,90

) A

N M

P

C

(B)

(D)T 第11题图

5.（06山东卷）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2, ∠DAB =60°,E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、 EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P －DCE 三棱锥的 外接球的体积为 (A)

2734π (B)26π (C)86π (D)24

6π

6.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，

∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1

P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1 的最小值是___________

7.用一张正方形的包装纸把一个棱长为a 的立方体完全包住，不能将正方形纸撕开，所需包装纸的最小面积为

A.2

9a B ．2

8a C. 2

7a D. 2

6a

【能力训练】

例1.点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ．

（Ⅰ）求EOF ∠的大小； （Ⅱ）求二面角E OF A --的大小．

例2.如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为

29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N 。求

1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

2) PC 和NC 的长；

3) 平面NMP 和平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用

反三角函数表示）

例3.已知△ABC 的边长为3，D 、E 分别是边BC 上的三等分点，沿AD 、AE 把△ABC 折成A －DEF ，使B 、C 两点重合于点F ，且G 是DE 的中点

（1）求证：DE ⊥平面AGF

（2）求二面角A ―DE ―F 的大小；

C 1

C

B

A 1 A 1

C 1

C

A M

B 1

C

（3）求点F 到平面ADE 的距离.

例4（江苏卷）在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 边上的点，满足AE:EB ＝CF:FA ＝CP:PB ＝1:2（如图1）。将△AEF 沿EF 折起到EF A 1∆的位置，使二面角A 1－EF －B 成直二面角，连结A 1B 、A 1P （如图2）

（Ⅰ）求证：A 1E ⊥平面BEP ；

（Ⅱ）求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小；

（Ⅲ）求二面角B －A 1P －F 的大小（用反三角函数表示）

例5.（辽宁卷）已知正方形ABCD .E 、F 分别是AB 、CD 的中点,将ADE 沿DE 折起,

如图所示,记二面角A DE C --的大小为(0)θθπ<<.

(I) 证明//BF 平面ADE ;

(II)若ACD 为正三角形,试判断点A 在平面BCDE 内的射影G 是否在直线EF 上,证明你的结论,并求角θ的余弦值.

【达成测试】

1.长方形中，AB=32BC,把它折成正三棱柱的侧面，使AD 与BC 重合，长方形的对角线AC 与折痕线EF 、GH 分别交于M 、N,则截面MNA 与棱柱的底面DFH 所成的角等于( )

A ．30o

B ．45o

C ．60o

D ．90o

2．如图9—99是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A 、B 、C 是展开图上的三点，

则在正方体盒子中，∠ABC 的值为（ ）

C

D

F

C

E

A

F E

C B A 1E

F C P

B