高三数学精准培优专题练习20：几何概型(含答案解析)
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培优点二十 几何概型
1.长度类几何概型
例 1：已知函数 f x x2 x 2 ， x 5,5 ，在定义域内任取一点 x0 ，使 f x0 0 的概率是（ ）
1 A．
10
2 B．
3
3 C．
10
4 D．
5
【答案】C
【解析】先解出 f x0 0 时 x0 的取值范围： x2 x 2 0 1 x 2 ， 从而在数轴上 1, 2 区间长度占 5,5 区间长度的比例即为事件发生的概率，∴ P 3 ，故选 C．
x
y
2 3
的部分为阴影部分的区域
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APQ
，其中
P
2 3
,0
，
Q
0,
2 3
，
结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为
p
1 2
2 3
2 3
2
，故选
D．
11 9
5．在区间 0,2 上随机取一个数， sin x 的值介于 0 到 1 之间的概率为（ ）
2
2
1 A．
3
2 B．
1 C．
2
2 D．
3
【答案】A
10
2．面积类几何概型 （1）图形类几何概型 例 2-1：如图所示，在矩形 ABCD 中， AB 2a ， AD a ，图中阴影部分是以 AB 为直径的半圆，现在向矩 形 ABCD 内随机撒 4000 粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最 有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ）
【解析】由 0 sin x 1 ，得 0 x ，或 5 x ，∴ 0 x 1 或 5 x 2 ，
22
26
62
33
记 A sin x 的值介于 0 到 1 之间，
2
2
则构成事件 A 的区域长度为 1 0 2 5 2 ；全部结果的区域 0,2 长度为 2；
3
33
0
4
，
0
由几何概率的计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点 A ，
2 D． 3
则点
A
落在区域
M
内的概率
P
4 3
，故选
B．
3．体积类几何概型 例 3：一个多面体的直观图和三视图所示， M 是 AB 的中点，一只蝴蝶在几何体 ADF BCE 内自由飞翔， 由它飞入几何体 F AMCD 内的概率为（ ）
2
∴ P A 3 1 ，故选 A．
23
6．点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动，则动点 P 到定点 A 的距离 PA 1 的概率为（ ）
3 A．
4 【答案】D
2 B．
3
1 C．
3
1 D．
2
【解析】所求概率为棱锥 F AMCD 的体积与棱柱 ADF BCE 体积的比值．
由三视图可得 AD DF CD a ，且 AD ， DF ， CD 两两垂直，
可得 VADF BCE
S ADF
DC
1 2
AD DF
DC
1 a3 ， 2
棱锥体积 VF AMCD
圆 O 内投一个点 A ，则点 A 落在区域 M 内的概率是（ ）
4 A． 2 【答案】B
4 B． 3
2 C． 2
【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 3 ， 正弦曲线 y sin x 与 x 轴围成的区域记为 M ，
根据图形的对称性得：面积为 S 2
sin xdx 2 cos x
A．1000
B．2000
C．3000
D．4000
【答案】C 【解析】在矩形 ABCD 中， AB 2a ， AD a ，面积为 2a2 ，半圆的面积为 1 a2 ，
2 故由几何概型可知，半圆所占比例为 ，随机撒 4000 粒豆子， 4 落在阴影部分内的豆子数目大约为 3000，故选 C．
（2）线性规划类几何概型
0 x 24
这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域
A
满足
0
y
24
，作出对应的平
x
y
6
面区域如图所示：
这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为 P A S阴 1 18 18 7 ，故选 D．
S
24 24 16
（3）利用积分求面积
例 2-3：如图，圆 O : x2 y2 2 内的正弦曲线 y sin x 与 x 轴围成的区域记为 M （图中阴影部分），随机往
例 2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘
船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ）
1 A．
4
1 B．
3
3 C．
4
【答案】D
【解析】设甲船到达的时间为 x ，乙船到达的时间为 y ，
7 D．
16
0 x 24 则所有基本事件构成的区域 满足 0 y 24 ，
1 A．
10
1 B．
6
1 C．
5
【答案】B
5 D．
6
【解析】由题意，此人在 50 分到整点之间的 10 分钟内到达，等待时间不多于 10 分钟， ∴概率 P 10 1 ．故选 B．
60 6 3．一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 2 的区域内的概率为
（） A．1 3
．则阴影区域的面积约为（ ） 3
2 A．
3
4 B．
3
8 C．
3
D．无法计算
【答案】C
【解析】设阴影区域的面积为 s ， s 2 ，∴ s 8 ．故选 C．
43
3
2．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐
观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为（ ）
P 1 2 1 3 ．故选 A．
43
6
4．在区间 0,1 上随机取两个数 x ， y ，记 P 为事件 " x y 2 " 的概率，则 P （ ）
3
2 A．
3
1 B．
2
4 C．
9
2 D．
9
【答案】D
【解析】如图所示， 0 x 1， 0 y 1表示的平面区域为 ABCD ，
平面区域内满足
1 3
DF
S ADMC
，而
S ADCM
1 2
AD AM
CD
3 a2 ， 4
∴ VF AMCD
1 a2 ．从而 P VF AMCD
4
VADF BCE
1 2 ．故选 D．
对点增分集训
一、单选题 1．如图，边长为 2 的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 2
6 【答案】A
3 B．
4
C． 3 6
1 D．
4
【解析】满足条件的正三角形如图所示：
其中正三角形 ABC 的面积 S三角形
3 16 4 4
3
满足到正三角形 ABC 的顶点 A ， B ， C 的距离都小于 2 的平面区域如图中阴影部分所示，
则 S阴 2 ，则使取到的点到三个顶点 A ， B ， C 的距离都大于 2 的概率为：
1.长度类几何概型
例 1：已知函数 f x x2 x 2 ， x 5,5 ，在定义域内任取一点 x0 ，使 f x0 0 的概率是（ ）
1 A．
10
2 B．
3
3 C．
10
4 D．
5
【答案】C
【解析】先解出 f x0 0 时 x0 的取值范围： x2 x 2 0 1 x 2 ， 从而在数轴上 1, 2 区间长度占 5,5 区间长度的比例即为事件发生的概率，∴ P 3 ，故选 C．
x
y
2 3
的部分为阴影部分的区域
Βιβλιοθήκη Baidu
APQ
，其中
P
2 3
,0
，
Q
0,
2 3
，
结合几何概型计算公式可得满足题意的概率值为
p
1 2
2 3
2 3
2
，故选
D．
11 9
5．在区间 0,2 上随机取一个数， sin x 的值介于 0 到 1 之间的概率为（ ）
2
2
1 A．
3
2 B．
1 C．
2
2 D．
3
【答案】A
10
2．面积类几何概型 （1）图形类几何概型 例 2-1：如图所示，在矩形 ABCD 中， AB 2a ， AD a ，图中阴影部分是以 AB 为直径的半圆，现在向矩 形 ABCD 内随机撒 4000 粒豆子（豆子的大小忽略不计），根据你所学的概率统计知识，下列四个选项中最 有可能落在阴影部分内的豆子数目是（ ）
【解析】由 0 sin x 1 ，得 0 x ，或 5 x ，∴ 0 x 1 或 5 x 2 ，
22
26
62
33
记 A sin x 的值介于 0 到 1 之间，
2
2
则构成事件 A 的区域长度为 1 0 2 5 2 ；全部结果的区域 0,2 长度为 2；
3
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0
4
，
0
由几何概率的计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点 A ，
2 D． 3
则点
A
落在区域
M
内的概率
P
4 3
，故选
B．
3．体积类几何概型 例 3：一个多面体的直观图和三视图所示， M 是 AB 的中点，一只蝴蝶在几何体 ADF BCE 内自由飞翔， 由它飞入几何体 F AMCD 内的概率为（ ）
2
∴ P A 3 1 ，故选 A．
23
6．点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动，则动点 P 到定点 A 的距离 PA 1 的概率为（ ）
3 A．
4 【答案】D
2 B．
3
1 C．
3
1 D．
2
【解析】所求概率为棱锥 F AMCD 的体积与棱柱 ADF BCE 体积的比值．
由三视图可得 AD DF CD a ，且 AD ， DF ， CD 两两垂直，
可得 VADF BCE
S ADF
DC
1 2
AD DF
DC
1 a3 ， 2
棱锥体积 VF AMCD
圆 O 内投一个点 A ，则点 A 落在区域 M 内的概率是（ ）
4 A． 2 【答案】B
4 B． 3
2 C． 2
【解析】构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 3 ， 正弦曲线 y sin x 与 x 轴围成的区域记为 M ，
根据图形的对称性得：面积为 S 2
sin xdx 2 cos x
A．1000
B．2000
C．3000
D．4000
【答案】C 【解析】在矩形 ABCD 中， AB 2a ， AD a ，面积为 2a2 ，半圆的面积为 1 a2 ，
2 故由几何概型可知，半圆所占比例为 ，随机撒 4000 粒豆子， 4 落在阴影部分内的豆子数目大约为 3000，故选 C．
（2）线性规划类几何概型
0 x 24
这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域
A
满足
0
y
24
，作出对应的平
x
y
6
面区域如图所示：
这两艘船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率为 P A S阴 1 18 18 7 ，故选 D．
S
24 24 16
（3）利用积分求面积
例 2-3：如图，圆 O : x2 y2 2 内的正弦曲线 y sin x 与 x 轴围成的区域记为 M （图中阴影部分），随机往
例 2-2：甲乙两艘轮船都要在某个泊位停靠 6 小时，假定他们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘
船中至少有一艘在停泊位时必须等待的概率（ ）
1 A．
4
1 B．
3
3 C．
4
【答案】D
【解析】设甲船到达的时间为 x ，乙船到达的时间为 y ，
7 D．
16
0 x 24 则所有基本事件构成的区域 满足 0 y 24 ，
1 A．
10
1 B．
6
1 C．
5
【答案】B
5 D．
6
【解析】由题意，此人在 50 分到整点之间的 10 分钟内到达，等待时间不多于 10 分钟， ∴概率 P 10 1 ．故选 B．
60 6 3．一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于 2 的区域内的概率为
（） A．1 3
．则阴影区域的面积约为（ ） 3
2 A．
3
4 B．
3
8 C．
3
D．无法计算
【答案】C
【解析】设阴影区域的面积为 s ， s 2 ，∴ s 8 ．故选 C．
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3
2．某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐
观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为（ ）
P 1 2 1 3 ．故选 A．
43
6
4．在区间 0,1 上随机取两个数 x ， y ，记 P 为事件 " x y 2 " 的概率，则 P （ ）
3
2 A．
3
1 B．
2
4 C．
9
2 D．
9
【答案】D
【解析】如图所示， 0 x 1， 0 y 1表示的平面区域为 ABCD ，
平面区域内满足
1 3
DF
S ADMC
，而
S ADCM
1 2
AD AM
CD
3 a2 ， 4
∴ VF AMCD
1 a2 ．从而 P VF AMCD
4
VADF BCE
1 2 ．故选 D．
对点增分集训
一、单选题 1．如图，边长为 2 的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 2
6 【答案】A
3 B．
4
C． 3 6
1 D．
4
【解析】满足条件的正三角形如图所示：
其中正三角形 ABC 的面积 S三角形
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满足到正三角形 ABC 的顶点 A ， B ， C 的距离都小于 2 的平面区域如图中阴影部分所示，
则 S阴 2 ，则使取到的点到三个顶点 A ， B ， C 的距离都大于 2 的概率为：