应用随机过程(第三章)
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N t 是强度为3的Poisson过程
PN
4
N
0
n
12n n!
e
12
PN
4
N
0
9
129 9!
e12
例3.2.2
• 假定某天文台观测到的流星流是一个 Poisson过程，以往资料统计，平均每小时 观察到3颗流星，试求上午8：00 ～12：00 期间，该天文台没有观测到流星的概率？
N t 是强度为3的Poisson过程
服从参数为λ的指数分布，且相互独立。
X1 t Nt 0 PX1 t PN t 0 et PX1 t 1 et
PX 2 t X1 s PNs t Ns 0 X1 s
PNs t Ns 0
et
定理3.2.1
Tn n 1,2, 服从参数为n和λ的Γ分布。
证明：
PN
12
N
0
n
e412
412 n
n!
EN12 N0 412 48
Poisson过程的等价定义
• 设 Nt,t 0 是一个计数过程，它满足：
(1)′ N(0)=0； (2)′ 过程有平稳独立增量； (3)′ 存在λ＞0，当h↓0时有：
PNt h Nt 1 h oh
(4)′ 当h↓0时有：
et t n1
n1!
n
n
t
n
1e
t
定义3.2.1
计数过程 Nt,t 0 是参数为λ的
Poisson过程，如果每次事件发生的时间间
隔X1，X2， …， 相互独立，且服从同一
参数为λ的指数分布。
例3.2.1
• 设从早上8：00开始有无穷人排队，只有一 名服务员，且每人接受服务的时间是独立 的并服从均值为20min的指数分布，则到中 午12:00为止平均有多少人已经离去？已有 9人接受服务的概率是多少？
与Poisson过程相联系 若干分布
N t
3
2
1
0 X1 X2 X3
t
T0
T1
T2
T3
X n 与 Tn 的分布
Tn 表示第n次事件发生的时间； n 1,2, , 规定 T0 0 ，
X n 表示第n次与第n-1次事件发生的时间 间隔， n 1,2, ,
定理3.2.1 X n n 1,2,
• 解：即要求计算
E
N t
t
i 1
Ti
• 其中Ti是第i个乘客的到达时间。
• 由于N(t)为一随机变量，取条件期望
ENi1tt Ti N t n Ein1t Ti N t n
nt
E in1Ti
N
t
n
nt
nt 2
nt 2
E in1Ti
Nt
n
n
EUi
i 1
nt 2
ENi1tt Ti
第三章 Poisson过程
§3.1 Poisson过程
• 定义3.1.1
随机过程 Nt,t 0 称为计数过程，如 果 Nt 表示从0到t时刻某一特定事件A发
生的次数，它具备以下两个特点：
（1） Nt 0 且取值为整数； （2） s t 时，Ns Nt 且 Nt Ns
表示 s,t 时间内事件A发生的次数。
n!
ept
pt
m!
n0
例3.1.4
设每条蚕产卵数服从poisson分布，强度 为λ，而每个卵变成成虫的概率为p，且每 个卵是否变成成虫彼此间没有关系，求在 时间[0，t]内每条蚕养活k条小蚕的概率。
e ptk pt k!
例3.1.5
• 天空中的星体数服从Poisson分布，其参数 为λV，V为被观测区域的体积。若每个星球 上有生命存在的概率为p，则在体积为V的 宇宙空间中有生命存在的星球数服从强度 为λpV的Poisson 分布。
N4 N0 ~ P3 4
PN4
N 0
0
120 0!
e12
e12
事件发生时刻的条件分布
考虑n=1的情形，对于s≤t有：
P T1 s N t 1
PT1 s;N t 1 PN t 1
PA发生在时刻 s之前，(s,t ]内A没有发生
PN t 1
PN S 1PN t N s0 PN t 1
n
Tn X i
i 1
Xi独立且服从相 同的指数分布
指数分布分n=1的Γ分布，且具有可 加性。定理得证。
证明2 Nt n Tn t
PTn t PNt n
et
t j
j!
jn
对上式两端对t求导，可得Tn 的密度函数为：
fn t
et
t j
j!
e
t t j1
j1!
jn
jn
PNt h Nt 2 oh
定理3.1.1 满足上述条件(1) ′ ～(4) ′的计数过程
Nt,t 0 是Poisson过程。
反过来Poisson过程一定满足这四个条件。
例3.1.3
事件A的发生形成强度为λ的poisson过
程Nt,t 0 ，如果每次事件发生时以概率
p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t
定义３.１.２
计数过程Nt,t 0 称为参数为λ的
Poisson过程，如果：
（1） N0 0 ；
（2）过程有独立增量；
（3）在任一长度为t的时间区间中事件发生 的次数服从均值为λt的Poisson分布，即对 一切 s 0,t 0 ，有：
PN
t
s
N
s
n
e
Fra Baidu bibliotekt n
n!
,
n 0,1,2,
Poisson的特性
被记录下来的事件总数，则 M t,t 0
是一个强度为λp的Poisson过程。
PM t m
PM t m Nt n m PNt n m
n0
Cmmn pm 1 p
e n t mn t
m n !
n0
et
pt m 1 p t n
m!n!
n0
et
pt m
m!
1 p t n
E
E
N t
t
i 1
ses ets tet
s t
定理3.2.3
在已知N(t)=n的条件下，事件发生的n 个时 刻T1，T2，…,Tn的联合密度函数为
f t1,
t2 ,
,
tn
tn n!
0 t1 t2 tn
例3.2.3
• 乘客按强度为λ的Poisson过程来火车站， 火车在t 时刻启程，计算(0，t]内到达的乘 客等车时间总和的数学期望。
平稳增量性。
由 ENt t ，知λ是单位时间内发和事件
的平均次数。 称λ为Poisson近程的强度或速率。
例3.1.1 售票处乘客以10人／小时的平均速率 到达，则9：00 ～10：00最多有5名乘客的 概率？10：00 ～11：00没有人的概率？
例3.1.2 保险公司接到的索赔次数
• 设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接 到的索赔要求是4次，则一年中它要付出的 金额平均是多少？
PN
4
N
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例3.2.2
• 假定某天文台观测到的流星流是一个 Poisson过程，以往资料统计，平均每小时 观察到3颗流星，试求上午8：00 ～12：00 期间，该天文台没有观测到流星的概率？
N t 是强度为3的Poisson过程
服从参数为λ的指数分布，且相互独立。
X1 t Nt 0 PX1 t PN t 0 et PX1 t 1 et
PX 2 t X1 s PNs t Ns 0 X1 s
PNs t Ns 0
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定理3.2.1
Tn n 1,2, 服从参数为n和λ的Γ分布。
证明：
PN
12
N
0
n
e412
412 n
n!
EN12 N0 412 48
Poisson过程的等价定义
• 设 Nt,t 0 是一个计数过程，它满足：
(1)′ N(0)=0； (2)′ 过程有平稳独立增量； (3)′ 存在λ＞0，当h↓0时有：
PNt h Nt 1 h oh
(4)′ 当h↓0时有：
et t n1
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n
n
t
n
1e
t
定义3.2.1
计数过程 Nt,t 0 是参数为λ的
Poisson过程，如果每次事件发生的时间间
隔X1，X2， …， 相互独立，且服从同一
参数为λ的指数分布。
例3.2.1
• 设从早上8：00开始有无穷人排队，只有一 名服务员，且每人接受服务的时间是独立 的并服从均值为20min的指数分布，则到中 午12:00为止平均有多少人已经离去？已有 9人接受服务的概率是多少？
与Poisson过程相联系 若干分布
N t
3
2
1
0 X1 X2 X3
t
T0
T1
T2
T3
X n 与 Tn 的分布
Tn 表示第n次事件发生的时间； n 1,2, , 规定 T0 0 ，
X n 表示第n次与第n-1次事件发生的时间 间隔， n 1,2, ,
定理3.2.1 X n n 1,2,
• 解：即要求计算
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Ti
• 其中Ti是第i个乘客的到达时间。
• 由于N(t)为一随机变量，取条件期望
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ENi1tt Ti
第三章 Poisson过程
§3.1 Poisson过程
• 定义3.1.1
随机过程 Nt,t 0 称为计数过程，如 果 Nt 表示从0到t时刻某一特定事件A发
生的次数，它具备以下两个特点：
（1） Nt 0 且取值为整数； （2） s t 时，Ns Nt 且 Nt Ns
表示 s,t 时间内事件A发生的次数。
n!
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例3.1.4
设每条蚕产卵数服从poisson分布，强度 为λ，而每个卵变成成虫的概率为p，且每 个卵是否变成成虫彼此间没有关系，求在 时间[0，t]内每条蚕养活k条小蚕的概率。
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例3.1.5
• 天空中的星体数服从Poisson分布，其参数 为λV，V为被观测区域的体积。若每个星球 上有生命存在的概率为p，则在体积为V的 宇宙空间中有生命存在的星球数服从强度 为λpV的Poisson 分布。
N4 N0 ~ P3 4
PN4
N 0
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事件发生时刻的条件分布
考虑n=1的情形，对于s≤t有：
P T1 s N t 1
PT1 s;N t 1 PN t 1
PA发生在时刻 s之前，(s,t ]内A没有发生
PN t 1
PN S 1PN t N s0 PN t 1
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i 1
Xi独立且服从相 同的指数分布
指数分布分n=1的Γ分布，且具有可 加性。定理得证。
证明2 Nt n Tn t
PTn t PNt n
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t j
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对上式两端对t求导，可得Tn 的密度函数为：
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定理3.1.1 满足上述条件(1) ′ ～(4) ′的计数过程
Nt,t 0 是Poisson过程。
反过来Poisson过程一定满足这四个条件。
例3.1.3
事件A的发生形成强度为λ的poisson过
程Nt,t 0 ，如果每次事件发生时以概率
p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t
定义３.１.２
计数过程Nt,t 0 称为参数为λ的
Poisson过程，如果：
（1） N0 0 ；
（2）过程有独立增量；
（3）在任一长度为t的时间区间中事件发生 的次数服从均值为λt的Poisson分布，即对 一切 s 0,t 0 ，有：
PN
t
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N
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n!
,
n 0,1,2,
Poisson的特性
被记录下来的事件总数，则 M t,t 0
是一个强度为λp的Poisson过程。
PM t m
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定理3.2.3
在已知N(t)=n的条件下，事件发生的n 个时 刻T1，T2，…,Tn的联合密度函数为
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,
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例3.2.3
• 乘客按强度为λ的Poisson过程来火车站， 火车在t 时刻启程，计算(0，t]内到达的乘 客等车时间总和的数学期望。
平稳增量性。
由 ENt t ，知λ是单位时间内发和事件
的平均次数。 称λ为Poisson近程的强度或速率。
例3.1.1 售票处乘客以10人／小时的平均速率 到达，则9：00 ～10：00最多有5名乘客的 概率？10：00 ～11：00没有人的概率？
例3.1.2 保险公司接到的索赔次数
• 设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接 到的索赔要求是4次，则一年中它要付出的 金额平均是多少？