含有参数的函数单调性问题教学设计

含有参数的函数单调性问题教学设计

胡蓉

一、教材地位

导数在新课标卷中以压轴题的形式考察，近五年最后一道压轴题都是含有参数的函数题，熟悉含参函数单调性问题的求解是非常重要的，它是解决含参函数极值、最值、零点等问题的基础。

二、教学背景与教学目标

笔者所教学生为重点中学文科学生，己经学完导数在研究函数中的应用三个课时，但是相对而言还比较零散，缺少整体联系但又具有一定的知识迁移能力。 学生在学习一元二次不等式时，经常遇到含参问题，需要进行讨论，因此对含参问题并不陌生。但是对于含参的函数的单调性问题，何时需要分类讨论，以及如何分类讨论做到不重不漏并不清楚，也没有形成解题系统。

三、教学重点、难点

重点：掌握含有参数的函数单调性问题分析及解决能力

难点：培养利用分类讨论、化归、数形结合、类比等数学思想与方法进行解题的意识

四、教学过程设计

（一）复习引入

（1）求函数()x x x f ln 2

12-=的单调区间 设计意图：师生共同解决此题，同时回顾了不含参函数单调区间的求解过程，也为解决例1搭建桥梁

解：函数定义域为()0,+∞，()2'

11x f x x x x -=-= 令()'0f

x >得2101x x ->⇒>； 令()'

0f x <得21001x x -<⇒<< 综上， ()f x 的单调递增区间为()1,+∞，单调递减区间为()0,1

（二）探究新知

例1、求函数()()R a x a x x f ∈-=ln 2

12的极值 教师活动：教师提供如下解法，让学生思考、点评.

解：函数定义域为()0,+∞，()2'

a x a f x x x x -=-=

令()'0f

x >得20x a x ->⇒>

令()'0f x <得200x a x -<⇒<<

综上， ()f x 的单调递增区间为)+∞，单调递减区间为(

设计意图：训练学生考虑问题严谨的思维，同时引导学生发现单调区间的确定与a 的正负值有关，从而确定分类标准。

学生活动：学生根据上述错解的启发，独立对错解进行修改，补充，作答。得到正解

解：函数定义域为()0,+∞，()2'a x a f x x x x -=-= （1）当0a >时令()'0f x >得20x a x a ->⇒>

令()'0f x <得200x a x a -<⇒<<（2）当0a ≤时，()0,x ∀∈+∞()'0f x >

综上， 当0a >时()f x 的单调递增区间为),a +∞，单调递减区间为(a 当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞

教师活动：教师通过几何画板动态演示不同a 值时单调区间的情况，，并引导学生归纳求解含参函数单调性问题的一般步骤。

步骤小结：1、先求函数的定义域，

2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），

3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，

4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），

5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。

设计意图：通过几何画板演示，印证了例1所求结果，同时使学生大脑中对()f x 函数图像由抽象变得具体，更有画面感，为后面解决极值和最值做铺垫。后面总结求解步骤，提高学生归纳推理的能力。

练习1.（2015课标全国卷Ⅱ）已知()()x a x x f -+=1ln

（1）讨论()x f 的单调性

学生活动：学生先独立完成，再小组讨论，完善解题步骤。

教师活动：投影学生解答过程及点评。同样动态演示a 值改变时单调区间情况。

教学意图：趁热打铁，强化解题过程

（三）知识应用

例1.变式1：求函数()()R a x a x x f ∈-=ln 2

12在区间[]e ,1上的最小值 教师活动：教师利用几何画板在例1图的基础上作出1x =与x e =两条直线，改变a 值，让学生仔细观察两直线间函数最小值情况，有四种情况如下图。

观察时可引导学生分析：①当考察区间在自然定义域的子区间时，若自然定义域的单调性有增有减（即有极值点）时，应对考察区间与极值点的相对位置进行讨论。这类比于高一学习的含参二次函数在特定区间的最值问题，“定轴移区间”和“定区间移轴”。 学生活动：在教师的引导下，整理思路，完成解答。

设计意图：该题是例1求出函数单调区间的应用，使进一步体会数形结合思想在分类讨论中判断出分类标准的作用。在分析时，使用了类比的数学思想，以以往知识为出发点，学生更容易理解，触类旁通。

变式2：若函数()()0ln 2

12>-=a x a x x f 在区间()e ,1上恰有两个零点，求a 的取值范围。 教师/学生活动：教师利用几何画板在变式1图的基础上改变a 值，使图在1x =与x e =两条直线间出现两个零点，学生结合图观察分析在()e ,1有

两个零点的等价条件。

分析时可引导学生类比高一学过的二次函数根的分

布问题：例如二次函数2

1y x ax =++在()1,2上有两个零点()()10,20,0,1222a a f f f ⎛⎫⇔>>-<<-< ⎪⎝⎭

，学生容易类比推理求出此题的解。

设计意图：判断零点个数，一般先考察函数在该区间上的单调性，并结合零点存在定理。

（四）练习

1.讨论函数()32331f x ax x a

=-+-的单调区间 设计意图：()()'2=3632f x ax x x ax -=-。

通过此题，引导学生分类讨论时要注意a 扮演的两个角色：一个影响最高次项的符号，一个影响方程的根。

2.已知函数()()()R a x a x a x x f ∈++-=ln 12

12，求()x f 单调区间 设计意图：当导函数中的代数式能因式分解时，常见的分类讨论标准有几种可能：①方程()0='x f 是否有根；②若方程()0='x f 有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法。