高中数学一轮复习课件《复数的概念》
合集下载
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义 复数的几何意义课件北师大版必修第二册
虚数不能比较大小，但它们的模表示非负实数，可以比较大小． (2)几何角度理解：表示复数的点 Z 到原点的距离．|z1－z2|表示复数
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？ 提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足 条 件 |z| ＝ r 的 点 Z 的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 , |z|<r 表 示 圆 的 内 部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故 其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于 第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？ 提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足 条 件 |z| ＝ r 的 点 Z 的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 , |z|<r 表 示 圆 的 内 部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故 其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于 第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.
2014版高考数学一轮总复习 第29讲 复数的概念与运算课件 文 新人教A版
1＋ai 5.(2011· 安徽卷)设 i 是虚数单位， 复数 为纯 2－i 虚数，则实数 a 为( A．2 1 C．－2 ) B．－2 1 D.2
1＋ai 1＋ai2＋i 2＋i＋2ai＋ai2 【解析】 因为 ＝ ＝ ＝ 5 2－i 2－i2＋i 2－a＋1＋2ai 2－a 1＋2a ＝ 5 ＋ 5 i 为纯虚数， 5 2－a 1＋2a 所以 5 ＝0 且 5 ≠0，所以 a＝2. 易错点：纯虚数中一定要注意 b≠0.
【解析】由复数运算的几何意义， → → → AB＝OB－OA＝(－4－i)－(3－2i)＝－7＋i， 故选 C. 易错点：向量的运算出错．
2－i 3.(2011· 山东卷)复数 z＝ (i 为虚数单位)在复 2＋i 平面内对应的点所在象限为( A．第一象限 C．第三象限 )
B．第二象限 D．第四象限
一
复数的概念及运算
【例 1】 已知复数 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i， 当实数 m 为何值时， (1)z 为纯虚数； (2)z 为实数； (3)z 对应的点在复平面的第二象限．
【分析】依据复数分类的条件和代数形式的几何意 义求解．
【解析】 (1)当 m＝3 时，z 为纯虚数． z
5i 【例 2】(1)(2011· 新课标卷)复数 ＝( 1－2i A．2－i C．－2＋i B．1－2i D．－1＋2i
)
(2)(2011· 上海卷)已知复数 z1 满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，z1·2 是实数，求 z2. z
5i1＋2i 5i＋10i2 5i－10 5i 【解析】 (1) ＝ ＝ 2 ＝ 5 ＝ 1－2i 1－2i1＋2i 1－4i －2＋i，故选 C.
2023年高考数学(理科)一轮复习课件——复数
索引
3.(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是
(D)
A.1z对应的点在第一象限
C.z 的虚部为 I
B.|z|<|z＋1| D.z＋－z<0
解析 ∵z＝－1＋i，∴1z＝－11＋i＝（－1＋－i）1（－－i 1－i）＝－12－2i .则1z对应的
点在第三象限，故 A 错误； |z|＝ 2，|z＋1|＝1，故 B 错误； z的虚部为1，故C错误； z＋－z＝－2<0，故 D 正确.
索引
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔___a_＝__c_且__b_＝__d____(a，b，c，d∈R). (4)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔__a_＝__c_，__b_＝__－__d___ (a，b，c，d∈R). (5)模：向量O→Z的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi| ＝____a_2＋__b_2__(a，b∈R).
索引
训练2 (1)(1＋2i)(2＋i)＝( B )
A.－5iB.5iFra bibliotekC.－5
D.5
解析 (1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i＋2i2＝2＋5i－2＝5i，故选B.
索引
(2)(2022·乌鲁木齐模拟)已知复数 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则zz2－＋12等于( B )
A.2＋2i
B.2－2i
C.2i
解析 z1＝22－ ＋ii＝（2＋（i2）－（i）2－2 i）＝53－54i，所以 A35，－45， 设复数 z2 对应的点 B(x0，y0)，则A→B＝x0－35，y0＋45. 又向量A→B与虚轴垂直，∴y0＋45＝0，故 z2 的虚部 y0＝－45.
2024届新高考一轮复习人教A版 第5章 第5讲 复数 课件(53张)
的点位于( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(4)(2022·浙 江 卷 ) 已 知 a ， b ∈ R ， a ＋ 3i ＝ (b ＋ i)i(i 为 虚 数 单 位 ) ， 则
( B) A．a＝1，b＝－3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
D．a＝1，b＝3
(5)(2022·全国甲卷)若 z＝1＋i，则|iz＋3 z |＝( D )
＝ －42＋－32＝5，故选 B.
解法二：依题意可得 i2·z＝(3－4i)i，所以 z＝－4－3i，则|z|＝
－42＋－32＝5，故选 B.
6．(2022·全国新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝( D )
A．－2＋4i
B．－2－4i
C．6＋2i
D．6－2i
[解析] (2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故选D.
－ 7．(2019·全国卷Ⅱ，2,5 分)设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点
位于( C )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 由题意，得－z ＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－
2)，位于第三象限，故选 C.
考点突破 · 互动探究
考点一
复数的基本概念——ห้องสมุดไป่ตู้主练透
题组二 走进教材
2．(必修2P73T2改编)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a 的值为( B )
A．1
B．2
C．1或2
D．－1
[解析] 依题意，有aa2－－13≠a＋0，2＝0， 解得 a＝2.故选 B.
高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）
解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为
高考数学一轮总复习 第五章 5.5 复 数
∴ －x＋y＝3，
x＝1，
解得
故 x＋y＝5.
2x－y＝－2，
y＝4，
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则
z1 z2
等于
A.－8－6i
B.－8＋6i
√C.8＋6i
D.8－6i
解析 ∵z1＝6－8i，z2＝－i，
∴zz12＝6－－8i i＝6－－i82ii＝8＋6i.
②对角线C→A所表示的复数； 解 ∵C→A＝O→A－O→C，∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i ③B点对应的复数. 解 O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， ∴O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
思维升华
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求 的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相 论即可.
A.20
B.12
√C.2 5
D.2
解析 设z＝＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
a2－b2＝12，
a＝4， a＝－4，
则
解得
或
2ab＝16，
b＝2
b＝－2，
即|z|＝ a2＋b2＝ 16＋4＝2 5.故选 C.
8.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M 数m的值为_3_或__6___.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解.( × ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离
新教材 人教B版高中数学必修第四册 第十章 复数 精品教学课件(共259页)
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数 x，y 的值分别为________． 1，－1 [∵(x＋y)i＝x－1， ∴xx＋ －1y＝＝00，， ∴x＝1，y＝－1.]
4．已知 a 是实数，i 是虚数单位，若 z＝a2－1＋(a＋1)i 是纯虚 数，则 a＝________.
1 [∵z＝a2－1＋(a＋1)i 是纯虚数， ∴aa＋2－11≠＝00，， 解得 a＝1.]
【例 3】 (1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数 x，y 的值； (2)关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 a 的值．
[思路探究] 根据复数相等的充要条件求解．
[解] (1)由复数相等的充要条件，
x＋y＝0， 得y＝x＋1，
解得x＝－12， y＝21.
复数的概念
【例 1】 (1)给出下列三个命题：①若 z∈C，则 z2≥0；②2i－1 的虚部是 2i；③2i 的实部是 0.其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3 (2)(一题两空)已知复数 z＝a2－(2－b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3，则实数 a，b 的值分别是 a＝________，b＝________.
(2)对于复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它， 把复数 z 看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认 识它．
(3)形如 bi 的数不一定是纯虚数，只有限定条件 b∈R 且 b≠0 时， 形如 bi 的数才是纯虚数．
复数相等的充要条件 [探究问题] 1．a＝0 是复数 z＝a＋bi 为纯虚数的充分条件吗？ [提示] 因为当 a＝0 且 b≠0 时，z＝a＋bi 才是纯虚数，所以 a ＝0 是复数 z＝a＋bi 为纯虚数的必要不充分条件． 2．3＋2i＞3＋i 正确吗？ [提示] 不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比 较大小．
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第五章平面向量与复数5.5复数的概念课件理
第四页，共20页。
自查自纠
1．－1 运算律 2．实部 虚部 ①b＝0 ②b≠0 ③a＝0 3．a＝c 且 b＝d a＝b＝0 4．一一对应 5．实数 原点 纯虚数
6.|z| a2＋b2
7．共轭复数 z
8．整数集(Z) 有理数集(Q) 实数集(R)
b≠0
第五页，共20页。
(2015·福建)若集合 A＝{i，i2，i3，i4}(i 是虚数
2．熟练掌握复数部分的一系列概念，对于求解复 数题至关重要．以下三点请注意：
(1)对于复数 m＋ni，如果 m，n∈C(或没有明确界 定 m，n∈R)，则不可想当然地判定 m，n∈R.
第十九页，共20页。
(2)易误认为 y 轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点 除外)．
(3)对于 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意 了 a＝0 而漏掉了 b≠0.
2x0＋1＝0.
∴m＝－13(x02＋x0)＝－13×14－12＝112.故填112.
【点拨】依据两个复数相等的充要条件，构造关于实
数根 x0 与参数 m 的方程组是解决此类问题的有效手段．
第十七页，共20页。
已知 i 为虚数单位，复数 z1＝－1＋2i，
z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为 A，B， C，若O→C＝xO→A＋yO→B，x，y∈R，求 x＋y 的值．
解：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
则 z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得 y＝－2； 2－z i＝x2－－2ii＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i.
由题意得 x＝4.∴z＝4－2i.
∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.
由于(z＋ai)2 在复平面上对应的点在第一象限，
自查自纠
1．－1 运算律 2．实部 虚部 ①b＝0 ②b≠0 ③a＝0 3．a＝c 且 b＝d a＝b＝0 4．一一对应 5．实数 原点 纯虚数
6.|z| a2＋b2
7．共轭复数 z
8．整数集(Z) 有理数集(Q) 实数集(R)
b≠0
第五页，共20页。
(2015·福建)若集合 A＝{i，i2，i3，i4}(i 是虚数
2．熟练掌握复数部分的一系列概念，对于求解复 数题至关重要．以下三点请注意：
(1)对于复数 m＋ni，如果 m，n∈C(或没有明确界 定 m，n∈R)，则不可想当然地判定 m，n∈R.
第十九页，共20页。
(2)易误认为 y 轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点 除外)．
(3)对于 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，只注意 了 a＝0 而漏掉了 b≠0.
2x0＋1＝0.
∴m＝－13(x02＋x0)＝－13×14－12＝112.故填112.
【点拨】依据两个复数相等的充要条件，构造关于实
数根 x0 与参数 m 的方程组是解决此类问题的有效手段．
第十七页，共20页。
已知 i 为虚数单位，复数 z1＝－1＋2i，
z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为 A，B， C，若O→C＝xO→A＋yO→B，x，y∈R，求 x＋y 的值．
解：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
则 z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得 y＝－2； 2－z i＝x2－－2ii＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i.
由题意得 x＝4.∴z＝4－2i.
∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i.
由于(z＋ai)2 在复平面上对应的点在第一象限，
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第4节 复数 课件(50张)
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第四节 复 数
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
返回导航
【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用 点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表 示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几 何意义．
返回导航
内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b， 等 c，d∈R)
备注
返回导航
内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复 为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数 轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
返回导航
返回导航
2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii ＝i；11－ ＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
返回导航
5．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.
第五章 平面向量、复数 第四节 复 数
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
返回导航
【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用 点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表 示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几 何意义．
返回导航
内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b， 等 c，d∈R)
备注
返回导航
内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复 为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数 轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
返回导航
返回导航
2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii ＝i；11－ ＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
返回导航
5．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：复数
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 复数的概念
例1 (1)(多选)(2023·潍坊模拟)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z
对应的点在第一象限，则下列结论正确的是
√A.复数
z
的虚部为
3 2
√B.1z＝12－
3 2i
C.z2＝z＋1
D.复数
z
的共轭复数为－12＋
3 2i
设复数z＝a＋bi(a，b∈R). 因为|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，
∵z·i3＝1－2i， ∴－zi＝1－2i， ∴z＝1－－i2i＝(1－－i22i)i＝2＋i， ∴ z ＝2－i，
∴ z 的虚部为－1.
题型三 复数的几何意义
例3 (1)(2023·文昌模拟)棣莫弗公式(cos x＋isin x)n＝cos nx＋isin nx(其
中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754年)发现的，根据棣莫
(c＋di≠0).
知识梳理
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行. 如图给出的平行四边形 OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加、减法的几何意 义，即O→Z＝ —OZ→1 ＋—OZ→2 ，—Z1→Z2＝ —OZ→2 －—OZ→1 .
常用结论
1.(1±i)2＝±2i；11＋ －ii＝i；11－＋ii＝－i. 2.－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R). 3.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N). 4.i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N). 5.复数z的方程在复平面上表示的图形 (1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； (2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆.
高中数学一轮复习课件：数系的扩充与复数的引入
i1＋2 3i 2 21005 (2)原式＝ ＋ 1＋2 3i 1－i 2 1005 ＝i＋( ) ＝i＋i1005 －2i ＝i＋i4
×251＋1
＝i＋i＝2i.
(3)解法一：原式
1＋i2 6 ＝ ＋ 2
6
2＋ 3i 3＋ 2i 32＋ 22
－2＋2i z1 2i 解析：z＝ ＝ ＝ ＝－1＋i，共轭复数 z2 1－i 2 为 z ＝－1－i，则复数 z ＝－1－i 所对应的点是(－1， －1)，在第三象限，故选 C.
答案：C
1－i 3． 设复数 z＝ ＋(1＋i)2， 则(1＋z)7 展开式的第 1＋i 五项是 ( A．－21 C．－21i B．35 D．－35i )
(3)要使 z 是纯虚数，m 须满足： mm＋2 ＝0 且 m2＋2m－3≠0. m－1 解得 m＝0 或 m＝－2， ∴当 m＝0 或 m＝－2 时，z 为纯虚数．
• 此题是基础题，用到了复数的分类．在对 复数进行分类时要注意，使得虚部和实部 均有意义，如当z为实数时，应有虚部b＝ 0，还要保证实部a有意义；当z为虚数时， 应有虚部b≠0，还要保证实部a有意义； 当z为纯虚数时，应有实部a＝0，还要保 证虚部b≠0，否则容易发生错误，在做题 时要特别小心.
→ → 解析：如右图，OA与OB对应复数 z1、z2， → → ∴OC、BA分别对应复数 z1＋z2 和 z1－z2， ∵|z1＋z2|＝|z1－z2|， → → ∴|OC|＝|BA|， ∴平行四边形 OACB 为矩形， → → ∴OA⊥OB，即OA⊥OB.
答案：C
• 1．复数的代数运算 • (1)复数代数运算的实质是转化为实数运 算，在转化时常用的知识有复数相等，复 数的加、减、乘、除运算法则，模的性质， 共轭复数的性质．
2025届高考数学一轮复习——复数讲义
2025届高考数学一轮复习——复数讲义【高考考情分析】复数是高考的必考内容，多出现在选择题中，近几年多选题、填空题形式也有考查，试题较为简单，属于送分题，主要考查复数的概念和复数的四则运算.【基础知识复习】1.复数的有关概念（1）复数相等：i i a b c d a c +=+⇔=且b d =(,,,)a b c d ∈R .（2）共轭复数：i a b +与i c d +共轭a c ⇔=且b d =-(,,,)a b c d ∈R .（3）复数的模：复数i(,)z a b a b =+∈R 对应的向量OZ 的模叫做z 的模，记作||z 或|i |a b +，即|||i |z a b =+=2.复数的几何意义（1）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应复平面内的点(,)Z a b . （2）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应平面向量((0,0),(,))OZ O Z a b . 3.复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则（1）加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；（2）减法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-；（3）乘法：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++；（4）除法：122222i (i)(i)i(i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d c d++-+-===++≠++-++. 4.复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z ∈C ，有1221z z z z +=+，123123()()z z z z z z ++=++.5.复数加、减法的几何意义（1）复数加法的几何意义若复数12,z z 对应的向量12,OZ OZ 不共线，则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.（2）复数减法的几何意义复数12z z -是1221OZ OZ Z Z -=所对应的复数.6.复数乘法的运算律：对于任意123z z z ∈C ，，，有交换律：1221z z z z =；结合律：123123()()z z z z z z =；乘法对加法的分配律：1231213()z z z z z z z +=+.【重点难点复习】1.复数的模的运算性质（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）()112220z z z z z =≠； （3）()11n n z z n *=∈N .2.共轭复数的相关运算（1）z z z =⇔为实数，0z z +=且0z z ≠⇔为纯虚数；（2）2222||||zz z z a b ===+；（3）2z z a +=，2i z z b -=；（4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，()112220z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【基本方法与技能复习】求解复数相关问题的技巧（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为i()a b a b +∈，R 的形式，再根据题意列方程（组）求解.（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i 的项看作一类同类项，不含i 的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i 的幂化成最简形式.（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【典型例题复习】1i =+，则z =( ) A.1i -- B.1i -+C.1i -D.1i + 2.【2024年新课标Ⅰ卷】已知1i z =--，则||z =( )3.【2023年新课标Ⅰ卷】已知1i 22i z -=+，则z z -=( ) A.i - B.i C.0 D.14.【2023年新课标Ⅰ卷】在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.【2022年新高考Ⅰ卷】若()i 11z -=，则z z +=( )A.-2B.-1C.1D.26.【2022年新高考Ⅰ卷】(22i)(12i)+-=( )A.24i -+B.24i --C.62i +D.62i - 答案以及解析1.答案：C1i =+，所以(1)(1i)z z =-+，即1i i z z z =-+-，即i 1i z =+，所以1i (1i)(i)1i i i(i)z ++-===--，故选C.1=+=11i 11i (1i)(1i)22z --==-+-11i 22=+=所以z =21i 1i=-+，故选C. 2.答案：C解析：|||1i |z =--==3.答案：A解析：因为1i(1i)(1i)2i1i22i2(1i)(1i)42z----====-++-，所以1i2z=，即iz z-=-.故选A.4.答案：A解析：(13i)(3i)3i9i368i+-=-++=+，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.5.答案：D解析：因为i(1)1z-=，所以111iiz=-=+，所以1iz=-，所以(1i)(1i)2z z+=++-=.故选D.6.答案：D解析：(22i)(12i)24i2i462i+-=-++=-，故选D.。
高考数学一轮总复习第五章平面向量与复数 2平面向量基本定理及坐标表示课件
2
)
（2）已知向量 = 2, tan ， = 1, −1 ，且//，则tan
B.−3
√
A.2
C.3
解：由题意，可得tan = −2，
则tan
π
4
− =
π
4
tan −tan
π
4
1+tan tan
= −3.故选B.
π
4
− =(
1
D.−
3
)
（3）（教材习题）已知 2,3 ， 4, −3 ，点在线段的延长线上，且
则// ≠ 的充要条件是1 2 − 2 1 = 0.②// ≠ 的充要条件是存在唯一
一个实数 ，使 = .向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行
求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
变式3（1） 已知向量 = 1 , 1 ， = 2 , 2 ，则“
( −
1
2
，
1
3
)
2
= 3, 3 ，
− = 3,
= 2,
2
得൞ 3
所以ቊ
即 + = 6.故填6.
= 4,
= 3.
2
3
)，即
2
图2
【点拨】 应用平面向量基本定理应注意定理中的基底必须是两个不共线的向量.
选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一
变式1 设 0,0 ， 0,3 ， 6,0 ， = −2，则 =(
A. 5
B.2
√
2
C.2 5
)
D. 17
解：设 , ，则 = − 6, ， = , − 3 .因为 = −2，所以
)
（2）已知向量 = 2, tan ， = 1, −1 ，且//，则tan
B.−3
√
A.2
C.3
解：由题意，可得tan = −2，
则tan
π
4
− =
π
4
tan −tan
π
4
1+tan tan
= −3.故选B.
π
4
− =(
1
D.−
3
)
（3）（教材习题）已知 2,3 ， 4, −3 ，点在线段的延长线上，且
则// ≠ 的充要条件是1 2 − 2 1 = 0.②// ≠ 的充要条件是存在唯一
一个实数 ，使 = .向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行
求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
变式3（1） 已知向量 = 1 , 1 ， = 2 , 2 ，则“
( −
1
2
，
1
3
)
2
= 3, 3 ，
− = 3,
= 2,
2
得൞ 3
所以ቊ
即 + = 6.故填6.
= 4,
= 3.
2
3
)，即
2
图2
【点拨】 应用平面向量基本定理应注意定理中的基底必须是两个不共线的向量.
选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一
变式1 设 0,0 ， 0,3 ， 6,0 ， = −2，则 =(
A. 5
B.2
√
2
C.2 5
)
D. 17
解：设 , ，则 = − 6, ， = , − 3 .因为 = −2，所以
人教B版高中数学必修第四册精品课件 第十章 复数 10.1.1 复数的概念
-2-15 ≠ 0,
故当 m≠5,且 m≠-3 时,z 是虚数.
2 --6
= 0,
+3
(3)
解得 m=3 或 m=-2.
2 -2-15 ≠ 0,
故当 m=3 或 m=-2 时,z 是纯虚数.
随堂练习
1.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是
解:根据复数相等的定义,
由(2x-1)+i=y-(3-y)i,
5
2-1 = ,
= 2,
得
解得
1 = -(3-),
= 4.
5
所以 x=2,y=4.
延伸探究
本例变为:已知复数z1=(2x-1)+mi,z2=y-(3-n)i,其中x,y,m,n∈R,若z1>z2,求
x,y,m,n满足的条件.
1.在实数范围内,是否存在平方后为负数的数?
提示:不存在.
2.方程2x2-x+3=0(x∈R)在实数范围内有解吗?
提示:无解.
3.(1)规定 i 的平方等于-1,即 i2 =-1,并称 i 为虚数单位.
(2)一般地,当a与b都是实数时,称 a+bi 为复数.复数一般用小写字母z表示,
即z= a+bi(a,b∈R) ,其中 a 称为z的实部, b 称为z的虚部,分别记作Re(z)=
反思感悟
在求解复数z的实部和虚部时,先将z化为a+bi(a,b∈R)的形式,再确定z的实
部和虚部.
【变式训练1】 (1)若复数z的实部为8,虚部为-3,则z=
(2)复数isin 17°的实部为
答案:(1)8-3i (2)0
sin 17°
,虚部为
故当 m≠5,且 m≠-3 时,z 是虚数.
2 --6
= 0,
+3
(3)
解得 m=3 或 m=-2.
2 -2-15 ≠ 0,
故当 m=3 或 m=-2 时,z 是纯虚数.
随堂练习
1.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是
解:根据复数相等的定义,
由(2x-1)+i=y-(3-y)i,
5
2-1 = ,
= 2,
得
解得
1 = -(3-),
= 4.
5
所以 x=2,y=4.
延伸探究
本例变为:已知复数z1=(2x-1)+mi,z2=y-(3-n)i,其中x,y,m,n∈R,若z1>z2,求
x,y,m,n满足的条件.
1.在实数范围内,是否存在平方后为负数的数?
提示:不存在.
2.方程2x2-x+3=0(x∈R)在实数范围内有解吗?
提示:无解.
3.(1)规定 i 的平方等于-1,即 i2 =-1,并称 i 为虚数单位.
(2)一般地,当a与b都是实数时,称 a+bi 为复数.复数一般用小写字母z表示,
即z= a+bi(a,b∈R) ,其中 a 称为z的实部, b 称为z的虚部,分别记作Re(z)=
反思感悟
在求解复数z的实部和虚部时,先将z化为a+bi(a,b∈R)的形式,再确定z的实
部和虚部.
【变式训练1】 (1)若复数z的实部为8,虚部为-3,则z=
(2)复数isin 17°的实部为
答案:(1)8-3i (2)0
sin 17°
,虚部为
高中数学(理)一轮复习课件：第5章 第36讲 复数的概念与运算
由条件(2)得(x－1)2＋y2－5＝0.②
由①②得x＝y＝2或x＝y＝－1，
故所求复数z＝2＋2i或z＝－1－i.
复数的四则运算
【例3】 设已知z，是复数， (1＋3i) z为纯虚数， z ＝ 且 ＝5 2，求. 2i
【解析】设z＝a＋bi(a，b R )， 则(1＋3i) z＝a－3b＋(3a＋b)i. z 由题意，a＝3b 0.又 ＝ | | ＝5 2， 2i 所以 z ＝ a 2 b 2＝5 10. 将a＝3b代入得a＝ 15，b＝ 5. 15 5i 所以＝ ＝ (7－i)． 2i
【解析】 1 0；
n 2 方法 1 ： ( 利用 i 的周期性)
原式＝(1＋2i－3－4i)＋(5＋6i－7－8i)＋ ＋(997＋998i－999－1000i)＝250(－2－2i) ＝－500－500i.
方法2： (错位相减法求和) 记S＝1＋2i＋3i 2＋＋1000i999，① 则iS＝i＋2i 2＋3i3＋＋999i999＋1000i1000 .② ①－②得 (1－i) S＝1＋i＋i 2＋＋i 999－1000i1000 1 i1000 ＝ －1000＝－1000， 1 i 1000 所以S＝ ＝－500－500i. 1 i
2i 2i1 i 解析：因为z i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i.
的虚部为 2
4.若复数z1 4 29i，z2 6 9i，则复数 z1 z2 i
解析： z1 z2 i 2 20i i 20 2i，所以复 数 z1 z2 i的虚部为 2
本题可以设出z的代数形式， 利用复数相等，列出方程组求出 z ，
也可直接解关于z的方程．
新人教版高中数学必修第二册复数全套PPT课件
【答案】 D
判断与复数有关的命题是否正确的方法 (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解 答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定” 的方法进行解答． (2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为 a ＋bi 的形式，更要注意这里 a，b 均为实数时，才能确定复数的实 部、虚部． [提醒] 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记 i 的性质．
■名师点拨 对复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成 a＋bi(a，b∈R)的 形式，其中 0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z＝a＋bi 只有在 a，b∈R 时才是复数的代数形式，否则不 是代数形式．
2．复数相等的充要条件 在复数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数 a＋bi，c＋di(a，b，c， d∈R)，我们规定：a＋bi 与 c＋di 相等当且仅当_a_＝__c__且_b_＝__d __． 3．复数的分类 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)_实__虚__数__数_____（（b＝ b≠0） 0），纯 非虚 纯数 虚数 _a_＝__a__0≠___0_，__.
1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做_虚__数_单__位____，满 足 i2＝_－__1___． (2)复数集 全体复数所构成的集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (3)复数的表示方法 复数通常用字母 z 表示，即__z_＝__a_＋__b_i(_a_，__b_∈__R_)_，其中 a 叫做 复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部．
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
■名师点拨 复数 bi(b∈R)不一定是纯虚数，只有当 b≠0 时，复数 bi(b∈R)才是 纯虚数．
判断与复数有关的命题是否正确的方法 (1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解 答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定” 的方法进行解答． (2)化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为 a ＋bi 的形式，更要注意这里 a，b 均为实数时，才能确定复数的实 部、虚部． [提醒] 解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记 i 的性质．
■名师点拨 对复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成 a＋bi(a，b∈R)的 形式，其中 0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数 b 而非 bi. (3)复数 z＝a＋bi 只有在 a，b∈R 时才是复数的代数形式，否则不 是代数形式．
2．复数相等的充要条件 在复数集 C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数 a＋bi，c＋di(a，b，c， d∈R)，我们规定：a＋bi 与 c＋di 相等当且仅当_a_＝__c__且_b_＝__d __． 3．复数的分类 (1)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)_实__虚__数__数_____（（b＝ b≠0） 0），纯 非虚 纯数 虚数 _a_＝__a__0≠___0_，__.
1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做_虚__数_单__位____，满 足 i2＝_－__1___． (2)复数集 全体复数所构成的集合 C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (3)复数的表示方法 复数通常用字母 z 表示，即__z_＝__a_＋__b_i(_a_，__b_∈__R_)_，其中 a 叫做 复数 z 的实部，b 叫做复数 z 的虚部．
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
■名师点拨 复数 bi(b∈R)不一定是纯虚数，只有当 b≠0 时，复数 bi(b∈R)才是 纯虚数．
人教A版高中数学必修第二册教学课件：第七章7.1复数的概念
【 解】
（1
）
要使
点位
于第
四象
限，
需
m 2
m
2
8m 3m
15 0, 28 0,
∴
m 3或m 5，
7
m
4，
解得 -7<m<3.
∴ 当m∈（-7，3）时，复数z在复平面内的对应点在第四象
限.
m2 8m 15 0,
（2 ）要 使点位 于x轴负 半轴上 ，需
m
2
3m
28
0,
∴ 3mm7或 5m，4，解得m＝4.
知识梳理
一、复数的相关概念
我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数（complex number），其中i叫做 虚数单位（英语单词：imaginary unit的首字母）.全体复数所构成的集合C＝ {a+bi|a，b∈R}叫做复数集. 复数通常用字母z表示，即z＝a+bi（a，b∈R）.以后不作特殊说明时，复数z ＝a+bi都有a，b∈R，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
3
则复数z＝（3m-2）+（m-1）i在复平面内对应的点位于第 象限.
答案：四 解析：∵ 2 <m<1，∴ 3m-2>0，m-1<0，∴ 复数z
3
在复平面内对应的点位于第四象限.
训练题6 ［2019·河南郑州高三质测］已知复数z＝（a2-2a） +（a2-a-2）i对应的点在虚轴上，则 （ ） A.a≠2或a≠1 B.a≠2且a≠1 C.a＝0 D.a＝2或a＝0
∴ 当m＝4时，复数z在复平面内的对应点在x轴负半轴上.
（3 ）要 使点位 于上半 平面（ 含实轴 ），需m2 +3m-28 ≥0，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变式：证明对一切m，此复数所对应的点不 可能位于第四象限。 证明：若复数所对应的点位于第四象限，
则mm22
m60 m20
即m
3或m 1 m
1
2
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
复数的绝对值
实数绝对值的几何意义: (复数的模) 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复
建立了平面直角
z=a+bi
坐标系来表示复数的
Z(a,b)
b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
特别注意：虚轴不包括原点。
例5 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平
面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许
的取值范围。
解：由mm22
m6 m2
0 0
得m
3 m 2 2或 m
1
m(3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
例5 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平 面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许 的取值范围。
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
例1 下列复数,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是 纯虚数?若非实数,分别说出它们的实部与虚部.
(1)3i2
(2) 1 i (3) 3 4i 2
(4) 0.5i (5)1 i2 (6) 2i
问9：两个复数之间可以比较大小吗？
两个不全是实数的复数之间是不能比较 大小的，但若它们的实部与虚部分别相等，我 们就说这两个复数相等。
（2）m≠1时，z是虚数；
（3）当 mm-+11≠= 00时，即m=－1时，z是纯虚数；
例3.已知 (2x-1) + i = y -(3-y)i ,其中 x , y ∈R,
求x与y.
x 5,y4
2
例4.已知 x2+y2-6 + (x-y-2)i =0,求实数 x 与 y的值.ຫໍສະໝຸດ x 1 2或x 1
2
y 1 2 y 1 2
实数可以用数轴上的点来表示。
实数 (数)
一一对应
数轴上的点 (形)
直线 规定了正方向，原点，单位长度 数轴
o1
(几何模型)
x
问10：如何建立复数集与平面直角坐标系中的点 集之间的联系？
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）复数的一个y几何意义 （形）
即 : 若a, b, c, d R,则
a bi c di a c, b d
a bi 0 a b 0
例2.实数 m 取什么数值时，复数z=m +1+(m－i）
是：（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解：复数z=m+1+(m－1)i 中，因为m∈R，所以 m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部， ∴ （1）m=1时，z是实数；
对应的点 A 到原点 O 平面上对应的点Z(a,b)到
的距离。 a
原点的距离。
y
O
A
X
z=a+bi
Z (a,b)
|
a
|
=
|
OA
|
a (a 0) a(a 0)
O
x
| z | = |OZ| a2 b2
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？
例6.设 z ∈C , 满足下列条件的点 z 的集合 是什么图形?
问1 : 方程x2 1 0的实根是多少?
x 1
问2 : 方程x2 1 0的实根是多少?
无实根
问3 : 实系数一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 有实根的充要条件是什么?
b2 4ac 0
问4 :回顾数①分系数 的分数扩充过程.
自然数
②
负数
整数
有理数 无理数 ③
(1)|z|=4; y
(2)2<|z|<4. y
o
x
o
x
例7.若复数z对应点集为圆:
(x, y) (x 1)2 (y 3)2 1, x, y R
试求│z│的最大值与最小值.
3
1
y
2o x 1o11
一. 数学知识：(1)复数相等 (2)复平面 (3)复数的模
二. 数学思想：(1)转化思想 (2)数形结合思想 (3)类比思想
有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).
i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i ;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、
- a (a>0)的平方根为 ai
小数
有理数
实数 (b=0)
正分数
分数 零 负分数
复数z=a+bi
无理数
不循环小数
(a、bR)
虚数 (b0)
特别的当 a=0 时 纯虚数
问8 : 对复数a bi(a, b R),当且仅当_b___0__时,它是
实数;当且仅当_a____b____0___ 时,它是实数0.
复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b 分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别 是实数单位和虚数单位，
当b=0时，a+bi就是实数， 当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时 称为纯虚数。
实数
①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。
②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。
③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。
④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数， 才能解决这个矛盾呢？
问5：引入一个新数c？ 实际上，早在16世纪时期，数学家们就已经
解决了这个矛盾，而且形成了一整套完整的理论。 因为这个新数不是实的数，就称为虚数单位，英 文译名为imaginary number unit.所以，用“i” 来表示这个新数。 问6：引入的新数必须满足一定的条件，才能进行 相关的运算，虚数单位i应满足什么条件呢？
同学们
来学校和回家的路上要注意安全
同学们
规定 :
①它的平方等于 1,即i 2 1;
②实数可以与它进行四则运算, 进行四则运算时,
原有的加 \ 乘运算律仍然成立.
问7：根据这种规定，数的范围又扩充了，会出现 什么形式的数呢？
答 :出现了形如z a bi,(a,b R)的数.
相关概念：
复 数 : 形 如a bi(a, b R)的 数; 复 数集:由 全体 复 数所 成 的 集合; 表 示方 法: 复 数通 常 用字 母z表 示,如z 1 i等; 复 数的 代 数形 式: 把 复数 表 示成a bi的 形式.
则mm22
m60 m20
即m
3或m 1 m
1
2
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
复数的绝对值
实数绝对值的几何意义: (复数的模) 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复
建立了平面直角
z=a+bi
坐标系来表示复数的
Z(a,b)
b 平面 ------复数平面
(简称复平面)
a
ox
x轴------实轴
y轴------虚轴
特别注意：虚轴不包括原点。
例5 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平
面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许
的取值范围。
解：由mm22
m6 m2
0 0
得m
3 m 2 2或 m
1
m(3,2) (1,2)
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
例5 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平 面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许 的取值范围。
a=0是z=a+bi(a、bR)为纯虚数的 必要但不充分 条件.
例1 下列复数,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是 纯虚数?若非实数,分别说出它们的实部与虚部.
(1)3i2
(2) 1 i (3) 3 4i 2
(4) 0.5i (5)1 i2 (6) 2i
问9：两个复数之间可以比较大小吗？
两个不全是实数的复数之间是不能比较 大小的，但若它们的实部与虚部分别相等，我 们就说这两个复数相等。
（2）m≠1时，z是虚数；
（3）当 mm-+11≠= 00时，即m=－1时，z是纯虚数；
例3.已知 (2x-1) + i = y -(3-y)i ,其中 x , y ∈R,
求x与y.
x 5,y4
2
例4.已知 x2+y2-6 + (x-y-2)i =0,求实数 x 与 y的值.ຫໍສະໝຸດ x 1 2或x 1
2
y 1 2 y 1 2
实数可以用数轴上的点来表示。
实数 (数)
一一对应
数轴上的点 (形)
直线 规定了正方向，原点，单位长度 数轴
o1
(几何模型)
x
问10：如何建立复数集与平面直角坐标系中的点 集之间的联系？
有序实数对(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）复数的一个y几何意义 （形）
即 : 若a, b, c, d R,则
a bi c di a c, b d
a bi 0 a b 0
例2.实数 m 取什么数值时，复数z=m +1+(m－i）
是：（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解：复数z=m+1+(m－1)i 中，因为m∈R，所以 m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部， ∴ （1）m=1时，z是实数；
对应的点 A 到原点 O 平面上对应的点Z(a,b)到
的距离。 a
原点的距离。
y
O
A
X
z=a+bi
Z (a,b)
|
a
|
=
|
OA
|
a (a 0) a(a 0)
O
x
| z | = |OZ| a2 b2
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？
例6.设 z ∈C , 满足下列条件的点 z 的集合 是什么图形?
问1 : 方程x2 1 0的实根是多少?
x 1
问2 : 方程x2 1 0的实根是多少?
无实根
问3 : 实系数一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 有实根的充要条件是什么?
b2 4ac 0
问4 :回顾数①分系数 的分数扩充过程.
自然数
②
负数
整数
有理数 无理数 ③
(1)|z|=4; y
(2)2<|z|<4. y
o
x
o
x
例7.若复数z对应点集为圆:
(x, y) (x 1)2 (y 3)2 1, x, y R
试求│z│的最大值与最小值.
3
1
y
2o x 1o11
一. 数学知识：(1)复数相等 (2)复平面 (3)复数的模
二. 数学思想：(1)转化思想 (2)数形结合思想 (3)类比思想
有时把实部记成为Re(z);虚部记成为Im(z).
i为-1的一个 平方根 、-1的另一个 平方根为-i ;
一般地，a(a>0)的平方根为 a 、
- a (a>0)的平方根为 ai
小数
有理数
实数 (b=0)
正分数
分数 零 负分数
复数z=a+bi
无理数
不循环小数
(a、bR)
虚数 (b0)
特别的当 a=0 时 纯虚数
问8 : 对复数a bi(a, b R),当且仅当_b___0__时,它是
实数;当且仅当_a____b____0___ 时,它是实数0.
复数a+bi(a, b∈R)由两部分组成，实数a与b 分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别 是实数单位和虚数单位，
当b=0时，a+bi就是实数， 当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时 称为纯虚数。
实数
①分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。
②负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。
③无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。
④在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数， 才能解决这个矛盾呢？
问5：引入一个新数c？ 实际上，早在16世纪时期，数学家们就已经
解决了这个矛盾，而且形成了一整套完整的理论。 因为这个新数不是实的数，就称为虚数单位，英 文译名为imaginary number unit.所以，用“i” 来表示这个新数。 问6：引入的新数必须满足一定的条件，才能进行 相关的运算，虚数单位i应满足什么条件呢？
同学们
来学校和回家的路上要注意安全
同学们
规定 :
①它的平方等于 1,即i 2 1;
②实数可以与它进行四则运算, 进行四则运算时,
原有的加 \ 乘运算律仍然成立.
问7：根据这种规定，数的范围又扩充了，会出现 什么形式的数呢？
答 :出现了形如z a bi,(a,b R)的数.
相关概念：
复 数 : 形 如a bi(a, b R)的 数; 复 数集:由 全体 复 数所 成 的 集合; 表 示方 法: 复 数通 常 用字 母z表 示,如z 1 i等; 复 数的 代 数形 式: 把 复数 表 示成a bi的 形式.