正定二次型

f ( x1, x2 ,K , xn ) Y (CAC )Y g( y1, y2,K , yn )
任取一组不全为零的数 k1, k2 ,K , kn , 令
则，
k1
c1
Y0
k2 M
,
X0
CY
0
c2 M
kn
cn
f (c1,c2,K ,cn ) X0 AX0 Y0(CAC )Y0 g(k1,k2,K ,kn )
二、正定矩阵
1、定义：设A为实对称矩阵，若二次型 X AX
是正定的，则称A为正定矩阵.
2、正定矩阵的判定
1）实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同.
Q 正2)定实二对次称型矩的阵规A范正形定为z12 z22 L zn2 ZEZ
可见，正定矩
存在可逆矩阵C，使 A CC . 阵是可逆矩阵. Q A3与）E实合对同称，矩即阵存A在正可定逆矩A阵与C，任使一正A对 C角E矩C阵合C同C .
3、正定矩阵的必要条件
1）实对称矩阵 A (aij )nn 正定 aii 0,i 1, 2,L , n.
证：若A正定 ，则二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) XAX
正定. 取
Xi
(0,K
,0, 1 ,0,K 第i个
, 0)
则 f ( Xi ) XiAXi aii 0, i 1, 2,L , n
n1
i 1
f ( x1, x2,K , xn ) xi2
i 1
2、正定性的判定
1）实二次型 X AX 正定
X Rn ,若X 0,则X AX 0
2）设实二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) d1x12 d2 x22 L dn xn2
f 正定 di 0,i 1, 2,L , n
又由于C可逆，Y0 0 ，所以 X0 0, 即 c1,c2 ,K ,cn 不全为0. g(k1, k2 ,K , kn ) f (c1,c2 ,K ,cn ) 0 g( y1, y2 ,K , yn )正定. 反之，实二次型 g( y1, y2 ,K , yn )可经过非退化 线性替换 Y = C - 1X 变到实二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ), 同理，若 g 正定，则 f 正定. 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.
当 m＝2k＋1 时， Am A2k1 Ak AAk ( Ak ) AAk , 即，Am与正定矩阵A合同，而 A与单位矩阵E合同， 所以 Am与E合同，即 Am 正定.
（5）由于A、B正定，对 X Rn , X 0, 都有 X AX 0, X BX 0
因此有 X ( A B)X X AX X BX 0. 故，A＋B 正定.
4）(定理5) n元实二次型 f ( x1, x2 ,K , xn )正定 秩 f ＝n＝ p（ f 的正惯性指数）.
证：设 f ( x1, x2 ,K , xn )经非退化线性替换 X CY 变成标准形
f ( x1, x2 ,K , xn ) d1 y12 d2 y22 L dn yn2
一、正定二次型 二、正定矩阵 三、n元实二次型的分类 四、内容小结
一、正定二次型
1、定义：实二次型 f ( x1, x2,K , xn ) 若对任意
一组不全为零的实数 c1,c2 ,K ,cn 都有
f (c1,c2 ,K ,cn ) 0
则称 f为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2,K , xn ) xi2 是正定的；
3）实对称矩阵A正定 A与任一正对角矩阵合同.
d1
Q若
D
d2
O来自百度文库
,
dn
di 0,
i 1,2,L , n
为任一正对角矩阵，则
d1
D
d2 O
dn
1
1
O
1
d1
d2 O
dn
即，D与E合同.
例1、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明
（1） A1是正定矩阵； （2） kA(k 0)是正定矩阵； （3）A* 是正定矩阵； （4） Am 是正定矩阵（m为任意整数）； （5）若 B 亦是正定矩阵，则 A＋B 也是正定矩阵；
由2), f 正定 di 0,i 1, 2,L , n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
5）正定二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) 的标准形为 d1 y12 d2 y22 L dn yn2 , i 0, i 1, 2,L , n 规范形为 z12 z22 L zn2 .
证：（1）由于 A 正定，则存在可逆矩阵 P，使 PAP E, 于是有，
(PAP)1 P1A1(P1) ((P1)) A1(P1) E 令 Q (P1), 则Q可逆，且 QA1Q E, 即，A1与单位矩阵E合同. 故，A1正定. （2）由于A 正定，对 X Rn , X 0, 都有 X AX 0, 因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
注意
反之不然. 即， A (aij )nn 为对称矩阵，且
aii 0, i 1, 2,L , n, 但A未必正定. 如
A
1 1
1 1
,
f ( x1, x2 ) X AX ( x1 x2 )2,
当 x1 x2 1 时，有 f ( x1, x2 ) 0.
所以A不是正定的.
2) 实对称矩阵A正定 det A A 0 证：若A正定，则存在可逆矩阵C ，使 A CC, 从而 A CC C 2 0.
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取
X0
(0,K
,0, 1 ,0,K (i)
,0), i
1,2,L
,n
则 f ( X0 ) di xi2 0, di 0,i 1,2,L ,n
3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.
证明：设正定二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) X AX 经过非退化线性替换 X＝CY 化成