正定二次型
正定二次型
设可逆变换x Py使
g
y
n
bi
y2 i
.
i 1
充分性
设 bi 0 i 1,, n. 则 g( y) 正定 任给 x 0, 则 y P -1x 0,
故由可逆线性变换不改变正定性可得。
定理 n元实二次型 f xT Ax 为正定的充分必要 条件为：它的标准形的n个平方项系数全大于零。
f
x2 1
3x22
为不定二次型
定理1 可逆线性变换保持实二次型的正定性。
证明 设实二次型 f (x) xT Ax 经过实数域上 可逆线性变换 x Py 化为 g( y) yT By
1.假设 f (x)
y ，则有
x
xT Ax
Py
正0定。，于对是任意f (非x)零 0实向量
0 0 1
定理 实二次型 f (x) xT Ax 正定的充分必要
条件是 A的所有顺序主子式的值全大于零。
, a11 0, a11 a12 0,
a11 a1n
0;
a21 a22
an1 ann
例 判别实二次型
f (x1, x2 , x3 ) x12 3x22 3x32 2x1x2 是否正定。
证明 设二次型
f1 xT Ax f2 xT Bx
f xT (A B)x
xT Ax xT PT Px (Px)T (Px) 0
则由定义A正定。
A正定，则A合同于E, 由合同的定义，存在可逆矩阵P, 使得PT EP PT P A
正定的判别法
（1）用定义，∀x ≠ 0 ,总有xTAx > 0
正定二次型的判别方法
正定二次型的判别方法正定二次型是指一个实数域上的二次齐次多项式，并且其对任意非零向量都有正的二次型值。
判断一个二次型是否为正定二次型，可以使用以下方法。
二次型可以表示为矩阵形式，即二次型矩阵。
设二次型为\[ q(x) = x^T A x \]x为n维列向量，A为对称矩阵。
A称为二次型矩阵。
判断一个二次型是否为正定，可以使用以下方法：1. 判断A的特征值是否全为正数。
A的特征值全为正数时，二次型为正定二次型。
证明：设A的特征值分别为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。
则对于任意非零向量x，有\[ x^T A x = x^T Q \Lambda Q^T x = (Q^T x)^T \Lambda (Q^T x) \]Q为特征向量构成的正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为特征值λ1, λ2, ..., λn。
令y=Q^T x，则有\[ x^T A x = y^T \Lambda y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 \]由于A的特征值全为正数，因此对于任意非零向量y，都有\[ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i y_i^2 > 0 \]所以x^T A x > 0，即二次型为正定二次型。
定义：A的顺序主子式是指A的各个阶数（1到n）的主子式。
证明：设A的顺序主子式分别为detA1, detA2, ..., detAn，其中1<=i<=n。
若A的顺序主子式全为正数，则A为正定矩阵。
由于A为对称矩阵，所以A的特征值全为实数，且A可以分解为正交矩阵和对角矩阵的乘积，即\[ A = Q \Lambda Q^T \]Q为正交矩阵，Λ为对角矩阵，对角元素为A的特征值。
以上就是判断正定二次型的方法，通常直接使用特征值或顺序主子式来判断即可。
需要注意的是，当A为实对称矩阵时，其特征值都是实数，所以可以直接判断特征值是否为正数来判断正定性。
正定二次型
再证必要性。
nf xLeabharlann ki yi2 > 0 i1
用反证法：假设有 ks 0，则当 y es (单位坐标向量)
时，f Ces ks 0 。显然Ces 0 ，这与f 正定相矛盾。这就证明 了ki > 0i 1, 2, , n 。
推论
对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的特征值全为正。
例1 判定二次型 f 2x2 6 y2 4z2 2xy 2xz 的正定性。
解 f 的矩阵为
2 1 1
A
1 1
6 0
0 4
,
a11
2
<
0,
a11 a21
a12 2 a22 1
1 11> 0,
6
A 38 < 0
根据定理3知，f 负定。
线性代数
这个定理称为惯性定理。
二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，
负系数的个数称为负惯性指数，若二次型f 的正惯性指数为p，秩 为r，则f 的规范形便可确定为
f y12
y
2 p
y2 p1
yr2
定义1
设有二次型 f x xT Ax ，如果对任何x≠0，都有f(x)>0(显然
f(0)=0)，则称f 为正定二次型，并称对称阵A 是正定的;如果对任何 x≠0都有f(x)<0，则称f 为负定二次型，并称对称阵A 是负定的。
定理3 对称阵A 为正定的充分必要条件是A 的各阶主子式都为正，即
a11
>
0,
a11 a21
a12 > 0, a22
a11 ,
an1
a1n >0
ann
对称阵A 为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负，而偶数 阶主子式为正，即
正定二次型
它的各阶顺序主子式
D1 a11 1 0,
D2
a11 a21
a12 1 a22 1
1 0
2
1 1 0 1 1 0
D3 1 2 1 0 1 1 3 1 2 0 0 1 3 0 1 3
根据定理 5.5 可知所给二次型 f 是正定二次型。
1 1 0 解法 2 二次型 f 的矩阵为 A 1 2 1 ，矩阵 A 的特征多项式为
解法 3 将所给二次型配方，得
f x12 2x22 3x32 2x1x2 2x2 x3 (x12 2x1x2 x22 ) (x22 2x2 x3 x32 ) 2x32
(x1 - x2 ) 2 (x2 - x3 ) 2 2x32 0
而上式等号成立的充分必要条件是 x1 x2 x3 0
0 1 3
0 1 3
0 1 3
1 0 0
1 0 0
c3 c2 0
1
0
r3r2
0
1
0
0 1 2
0 0 2
于是已知的二次型经过合用变换后，所得标准形的正惯性指数分别为 1，1，2，
根据惯性定理可知，所给二次型 f 是正定二次型。
1 t 1 例 5.12 设矩阵 A t 1 2 是正定矩阵，求其中 t 的取值范围。
实用线性代数
正定二次型
正定二次型的概念 正定二次型的判定
1.1 正定二次型的概念
定定义义55..6 设 有 二 次 型 f (x1, x2 ,, xn ) xT Ax ， 若 对 任 何
0 x Rn , 都有 f xT Ax 0 ，则称 f 为正定二次型。
正定二次型所对应的矩阵称为正定矩阵。
f (x) f (Cy) k1 y12 k2 y22 kn yn2
正定二次型
正定二次型一、定义正定二次型是线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论中，正定二次型是正定矩阵基于向量内积的一种自然推广。
正定二次型在数学分析、优化问题以及统计学中有着广泛的应用。
设A是一个n阶方阵，A是一个n维列向量，则称二次型A(A)=AAAA为矩阵A的对应二次型。
如果对于任意的非零向量A，都有A(A)>0，则称二次型A(A)为正定二次型。
二、性质正定二次型具有以下性质：1. 正定二次型的矩阵A一定是对称矩阵。
这是因为对称矩阵的转置等于自身，所以对任意的A，都有AAAA=AA(AAA)=AAAA。
2. 正定二次型的特征值全为正数。
设A是正定二次型的矩阵，对于A 的任意一个特征向量A，我们有AA=AA。
由于正定二次型对于任意非零向量A的取值都大于零，所以对于特征向量A，有AAAA>0，这等价于AA(AA)>0，即A>0。
因此，正定二次型的特征值全为正数。
3. 正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
正定二次型可以通过配方法化简为标准型。
化简的过程就是通过正交变换将原二次型变为标准型。
正交变换保持向量的长度不变，所以正定二次型的标准型为A₁²+A₂²+⋯+AA²。
4. 正定二次型的零空间只包含零向量。
设二次型A(A)=AAAA是正定二次型，如果A(A)=0，那么由于A≠0，所以AAAA=0，根据正定二次型的定义，A=0。
三、应用正定二次型在数学的许多领域有着广泛的应用。
1. 凸优化凸优化是数学中的一个重要分支，而正定二次型在凸优化问题中扮演着重要的角色。
对于一个凸优化问题，如果目标函数是一个正定二次型，那么这个优化问题就是一个凸优化问题。
通过对正定二次型进行分析，我们可以得到其极小点，并进一步解决凸优化问题。
2. 统计学在统计学中，正定二次型常常出现在协方差矩阵、精确度矩阵等概念中。
协方差矩阵描述了多个变量之间的关系，而正定二次型可以通过协方差矩阵定义一个正态分布的概率密度函数。
线性代数 正定二次型
标准形 f x 1 , L , x n d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 L d n y n 2
因P可逆，X0,YP1X0
n
fx 1 ,L ,x n d iy i2 0 d i 0(i 1 ,L ,n )
1
O
1 1 O
1 0 O
, 即PT AP 0
二、正定二次型
定义：设n元实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X ，若对任意的
X0 XR n，均有 fx 1 ,L ,x n X T A X 0 ,则称
A1 1 0
A A3 2 t1tt 2t 2 2t t1 2 00
1 t 0
A共有n个顺序主子阵，且均为实对称矩阵.
定理（Sylvester定理）：实二次型 fx 1 ,L ,x n X T A X
正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于零.
三、应用举例
1 t
例：t
取何值？
A
t2Biblioteka 1 0提示：由Sylvester定理，
1
0
是正定的
1 t
一、惯性定理
任一二次型均可通过非退化的线性变换化为标准形，但 线性变换选择的不同会导致标准形的不同，即：二次型
的标准形不唯一。但由惯性定理可知，标准形中的正平 方项的个数与负平方项的个数却是唯一确定的。 定理（惯性定理） 实二次型 f(x 1 ,x 2 ,L ,x n ) X T A X 经过非退化的线性 变换化为标准形时，其标准形中正、负项的项数是唯一 确定的，二者的和等于矩阵A的秩. 定义：实二次型标准形中的正平方项的项数p称为二次型 的正惯性指数，负平方项的项数q称为二次型的负惯性指 数，二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r称为二次型的符号差.
正定二次型
解: 用特征值判别法. 用特征值判别法. 二次型的矩阵为
2−λ 令 A − λE = 0 −2 0 4−λ 0
2 0 − 2 A = 0 4 0 , − 2 0 5
即知 A 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型. 是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
−2 9 =0 5−λ ⇒ λ1 = 1, λ 2 = 4, λ 3 = 6.
可见A不是负定的，也不是正定的. 可见A不是负定的，也不是正定的.
正定矩阵的简单性质
定阵 为正定阵， 也为正定阵.
T −1 ∗
均为正定阵， 也为正定阵. 2. 若 A, B 均为正定阵，则 A + B 也为正定阵
思考题
设A, B分别为 m 阶, n阶正定矩阵 , 试判定分块 A 0 矩阵C = 是否为正定矩阵 . 0 B 解 C是正定的. T T T 因为, 设 z = ( x , y )为m + n维向量 , 其中x , y分 别是m 维和n维列向量 , 若z ≠ 0, 则x , y不同时为零向
例如
f ( x , y) = x 2 + 4 y2 f ( x , y, z ) = x + 4 y
2 2
正定二次型 为正定二次型 半正定二次型 为半正定二次型 负定二次型 为负定二次型
2 2
f ( x1 , x2 ) = − x − 3 x
2 1
2 1
2 2
f ( x1 , x2 , x3 ) = − x − 3 x
⇔
a12 M > 0. > 0 , L, A = M a22 an1 L ann
a11 L an1
判别二次型是否正定. 例1 判别二次型是否正定
正定二次型
x
T
Ax为 正 定 的 充 分 必 要 条 是 件:
n
它的标准形的 n个 系 数 全 为 正 .
证明
充分性 设 k i 0 i 1,, n . 任给 x 0,
则 y C x 0,
-1
2 f x f Cy k y 设可逆变换x Cy使 i i. i 1
x Cy 及 x Pz 使 及
2 2 f k1 y1 k 2 y2 k r y r2 2 2 f 1 z1 2 z2 r z r2
k i 0, i 0,
则 k1 , , k r 中 正 数 的 个 数 与 1 , , r中 正 数 的 个 数 相 等 .
1r
a11 a1r 0, arr
r 1,2,, n.
ar 1
这个定理称为霍尔维茨定理．
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵 , 则AT , A1 , A均为正定矩阵 ;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵 , 则A B也是正定矩阵 .
2 2 2 例1 二次型 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3
判定该二次型是否正定. 解
2 4 5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 1 2 , 4 2 5
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
定义1 在二次型 f 的标准型中，正系数的个数 p 称为 f 的正 惯性指数；负系数的个数 q 称为 f 的负惯性指数。 设二次型 f 的标准型为 2 2 2 2 f d1 y1 d2 y2 d p y 2 d y d y p p1 p1 p q p q ,
正定二次型
§4 正定二次型一、正定二次型定义 设有实二次型f （n x x x ,,,21 ），如果对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 都有f （n c c c ,,,21 ）>0.则称 f 为正定二次型。
如，二次型f （n x x x ,,,21 ）=22221n x x x +++ 是正定的，因为只有在c 1=c 2=…=c n =0时，22221nc c c +++ 才为零. 正定性的判定 1．实二次型f （n x x x ,,,21 ）= d 1x 12+d 2x 22+…+d n x n 2 是正定的当且仅当d i ＞0 ，i=1,2,…,n . .2．非退化线性替换不改变二次型的正定性 证明：设实二次型 f （n x x x ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni x x a11 ,a ij =a ji , (1)是正定的，经过非退化实线性替换X =CY (2)变成二次型g （n y y y ,,,21 ）=∑∑==nj j i ijni y y b11 , b ij =b ji (3)则n y y y ,,,21 的二次型g （n y y y ,,,21 ）也是正定的，事实上，令y 1=k 1,y 2=k 2,…,y n =k n代入⑵的右端，就得n x x x ,,,21 对应的一组值.譬如说，是n c c c ,,,21 这就是说⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21=C ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21因为C 可逆，就有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n k k k 21=C -1⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n c c c 21所以当n k k k ,,,21 是一组不全为零的实数时，n c c c ,,,21 也是一组不全为零的实数.显然g （n k k k ,,,21 ）= f （n c c c ,,,21 ）>0因为二次型⑶也可以经非退化实线性替换X C Y 1-=变到二次型⑴，所以按同样理由，当⑶正定时⑴也正定.这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变。
正定二 次型
0 1 3 矩阵．
二次型的正定（负定）、半正定（半负定）统称为二次型及其矩阵的有定性，不具备有定性的二次型及其矩 阵称为不定的．
1.2 正定矩阵的判别法
对于半正定（半负定）矩阵，可以证明下列结论等价： ① 对称矩阵 A 是半正定（半负定）的； ② A 的所有主子式大于（小于）或等于零； ③ A 的全部特征值大于（小于）或等于零．
1.2 正定矩阵的判别法
例 4 已知二次型 f (x1 ，x2 ，x3 ) x12 4x22 4x32 2tx1x2 2x1x3 4x2 x3 是正定的，试求 t 的取值范围．
1.2 正定矩阵的判别法
定理 4 设 n 元实二次型 f ( x) xT Ax 的规范形为 f z12 z22
z
2 p
z2 p 1
zr2 ，则
（1）f 负定的充分必要条件是 p 0 且 r n （即负定二次型的规范形为 f z12 z22 zn2 ）．
（2）f 半正定的充分必要条件是 p r n （即半正定二次型的规范形为 f z12 z22 zr2 ，r n ）．
则
T i
D
i
di
0 (i
1，2，
，n) ．
充分性．对任一非零向量 x，至少有 x 的某个分量 xk 0 ，又 dk 0 故 dk xk2 0 ；而当 i k 时 di xi2
n
此， xT Dx di xi2 0 ，即 D 为正定矩阵． i 1
0 ．因
1.2 正定矩阵的判别法
推论 1 对称矩阵 A 正定的充分必要条件是它的特征值全大于零． 定理 3 矩阵 A 为正定矩阵的充分必要条件是 A 的正惯性指数 p n ，即 A 与 E 合同． 推论 2 若矩阵 A 为正定矩阵，则 A 0 ． 证明 由定理 3 知存在可逆矩阵 C 使 A CTC ，于是 A CTC C 2 0．
正定二次型
A 负定与 ( - A )正定是等价的. 所以实对称矩 阵 A 负定的充要条件是 A 的奇数阶顺序主子式都
小于零，A 的偶数阶顺序主子式都大于零.
例 5 判别二次型
f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 5 x 6 x 4 x
2 1 2 2
2 3
4 x1 x2 4 x1 x3
的正定性.
解
二次型的矩阵为
1 1 1 2 0 3 1 3 , 2 0 9 6 1 3 6 19
它的顺序主子式分别为
P 1 | 1 | 1 0,
1 1 P2 2 0, 1 3
1 P3 1 2 1 2 3 0 0 9
的正定性.
四、正定矩阵的应用举例
在本节的最后，我们来看一个正定矩阵的简单 应用.
例 6 设 A 为 n 阶正定矩阵，X=(x1, …, xn)T ,
X Rn , b 是一固定的实 n 维列向量. 证明：
X T AX p( X ) X Tb 2
在 X0 = A-1b 处取得最小值，且 pmin
f ( x1, x2 , x3 ) x x x x1x2 x2 x3
2 1 2 2 2 3
是否是正定二次型.
2. 顺序主子式法
有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个
二次型是不是正定的，而不希望通过它的标准形或
规范形. 下面来解决这个问题. 为此，引入
定义 10.4.2(1) 子式
T
O ann
G O
1
En 1 G . T G a nn
再令
En1 G , C2 O 1
正定二次型
由于X AX是正定的, 对X i 0 ,有X iAX i 0
设λi是A的特征值， X i是属于i的特征向量
则有 AX i i X i ,且X i 0
于是 X iAX i X ii X i i X iX i 0
因为A为实对称矩阵，其特征向量为实向量，
且X i 0
X iX i 0
λi>0
定义5·10 对实二次型 f (x1, x2 , , xn ) ，若对于 任意一组不全为零的数c1, c2 , , cn ， 都有 f (c1, c2 , , cn ) 0 则称 f (x1, x2 , , xn )为负定二次型 若都有 f (c1, c2 , , cn ) 0 则称 f (x1, x2 , , xn ) 为半正定二次型 若都有 f (c1, c2 , , cn ) 0 则称 f (x1, x2 , , xn ) 为半负定二次型 若 f (x1, x2 , , xn ) 既不是半正定的 又不是半负定的，
因为当 c1 0, c2 0, c3 0 时，
有 f (c1,c2 ,c3 ) 2c2 2 0
（3）二次型 f (y1, y2, y3, y4) 2y12 2y32 6y42 是否正定 否 因为当c1 0, c2 0, c3 0, c4 0时， f (c1, c2 , c3 , c4 ) 0
即A的所有特征值都大于零
充分性 已知A的所有特征值都大于零
设1，2， ，n是A的n个特征值，
由定理5.4知，
正定判定方法
二次型X AX的标准型为：
1y12 2 y22 n yn2
又由已知条件,有i 0, (i 1,2, , n)
由定理5.6的推论知，
X AX是正定的,
【例1 】判断二次型
正定二次型
正定二次型正定二次型是线性代数中一种重要的二次型形式，它在数学和工程领域都有广泛的应用。
本文将介绍正定二次型的定义、性质以及一些应用。
1. 定义对于一个n维向量x=(x1,x2,...,x n)T，其中x i表示向量x的第i个分量。
正定二次型是指具有如下形式的二次型：Q(x)=x T Ax其中A是一个$n \\times n$的对称矩阵，x T表示向量x的转置。
如果对于任意的非零向量x，都有Q(x)>0，则称二次型Q(x)为正定二次型。
2. 性质正定二次型具有一些重要的性质，下面将介绍其中几个性质。
2.1 对称性正定二次型的矩阵A是一个对称矩阵，即A=A T。
这是因为对于任意的向量x，都有x T Ax=x T(A T x)=(x T Ax)T=x T A T x。
因此，正定二次型的矩阵A是对称的。
2.2 正定性与正定矩阵的关系正定二次型与正定矩阵之间有着紧密的联系。
一个$n \\times n$的对称矩阵A 是正定矩阵，当且仅当对于任意的非零向量x，都有x T Ax>0。
而正定二次型Q(x)是由矩阵A定义的，因此正定矩阵与正定二次型是等价的概念。
2.3 正定矩阵的特征值对于一个正定矩阵A，它的特征值都大于零。
这是因为如果A的一个特征值为$\\lambda$，对应的特征向量为x，那么有$Ax = \\lambda x$。
进而，我们可以得到$x^T A x = x^T (\\lambda x) = \\lambda (x^T x) > 0$。
由于x是非零向量，x T x> 0，因此必有$\\lambda > 0$。
2.4 正定矩阵的行列式对于一个正定矩阵A，它的行列式大于零。
这是因为正定矩阵的特征值都大于零，而行列式是特征值的乘积，因此正定矩阵的行列式也大于零。
3. 应用正定二次型在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍两个典型的应用。
3.1 正定二次型在优化问题中的应用正定二次型经常出现在优化问题的目标函数中。
正定二次型
正定二次型一、惯性定理 一个实二次型,其标准形不是唯一的,但标准形中所含项数是确定的,等于二次型的秩.二次型f的标准形中正平方项的个数(称为f 的正惯性指数)和负平方项的个数(称为负惯性指数)也是不变的,而且二次型f 的正惯性指数与负惯性指数之和等于f 的秩.惯性定理设实二次型f=X 'AX的秩为r,有两个实可逆变换X=PY及X=CZ,使f=λ1y12+λ2y22+⋅⋅⋅+λr y r2 (λi≠0)f=k1z12+k2z22+⋅⋅⋅+k r z r2 (k i≠0),则λ1,λ2,⋅⋅⋅,λr中正数的个数与k1,k2,⋅⋅⋅,k r中正数的个数相等.二、正（负）定二次型的概念定义设有实二次型f=X 'AX,如果∀X≠0, 都有f >0, 则称f是正定二次型, A是正定矩阵; 如果∀X≠0,都有f<0,则称f是负定二次型, A是负定矩阵.正定二次型负定二次型f =x 2+2y 2+8z 2f = -3x 12-2x 22例1.判别法1: 用定义设A ,B 均为n 阶正定阵,证明A +B 也为n 阶正定阵.[证]因为A ,B 为n 阶正定阵所以∀X ≠0,有X 'AX >0, X 'BX >0即 X '(A+B )X 也即A +B 为n 阶正定阵.>0=X 'AX +X 'BX 例2.三、正(负)定二次型的判别判别法2:用标准形定理n元实二次型f=X 'AX为正定的⇔f 的正惯性指数为n判别法3: 用特征值推论实二次型f=X 'AX正定⇔A的特征值全为正例3.设A为正定阵,证明A-1, A*都是正定阵.[证]因为A为正定阵，所以A的特征值全大于零，从而A-1, A*的特征值也全大于零，所以A-1, A*都是正定阵.判别法4: 用霍尔维茨定理霍尔维茨定理实二次型f=X 'AX正定⇔A的各阶顺序主子式都为正,即实二次型f=X 'AX负定⇔A的奇数阶顺序主子式为负,偶数阶主子式为正,即t为何值时,二次型例4.f=5x12+4x1x2-2x1x3+x22-2x2x3+tx32正定?解:5>0,=t-2⇒t>2时,|A|>0所以当t>2 时, 二次型正定.A 为正定阵⇔A 的特征值均大于0⇔A 的各阶顺序主子式大于f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )为正定⇔如果∀X ≠0,都有f >0⇔f 的标准形的系数k i >0 (i =1,2,⋅⋅⋅,n )⇔f 的正惯性指数为n ⇔-f 为负定二次型小 结.正定二次型的判别方法：(1)定义法；(2)特征值判别法；(3)顺序主子式判别法.。
正定二次型
5..4 正定二次型一、定义：假设12(,)(),T n f x x x f X X AX == 为实二次型，TA A =，12(,)T n X x x x O =≠ ，则1、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==> ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为正定二次型，矩阵A 称为正定矩阵。
2、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==< ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为负定二次型，矩阵A 称为负定矩阵。
3、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==≥ ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为半正定二次型，矩阵A 称为半正定矩阵。
4、如果12(,)()0T n f x x x f X X AX ==≤ ，则称二次型12(,)()n f x x x f X = 为半负定二次型，矩阵A 称为半负定矩阵。
二、判定定理：1、二次型12(,)n f x x x 正定A ⇔为正定矩阵12(,)()0T n f x x x f X X AX ⇔==> 12(,)n f x x x ⇔ 的标准型2221122n n d y d y d y +++ 中的系数0,1,2i d i n >= 12(,)n f x x x ⇔ 的正惯性指数等于n 12(,)n f x x x ⇔ 的规范性为22212n y y y +++ A ⇔合同于单位矩阵E ⇔存在可逆矩阵C 使得TA C C =A ⇔的顺序主子式全大于零12(,)n f x x x ⇔- 负定。
证明：（1）二次型2221122n nd x d x d x +++ 正定0,1,2i d i n ⇔>= 事实上，如果0,1,2i d i n >= ，则对任意的12(,)n x x x O ≠ ， 22211220n n d x d x d x +++> ，即2221122n nd x d x d x +++ 正定。
正定二次型判断方法
正定二次型判断方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，在实际应用中具有广泛的应用。
判断一个二次型是否正定的方法是线性代数中最基本的问题之一，也是非常重要的。
本文将介绍正定二次型的概念、性质和判定方法。
一、正定二次型的概念和性质1.1 正定二次型的定义设f(x1,x2,...,xn)是一个n元二次齐次函数，则称f(x1,x2,...,xn)是正定二次型，如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,...,xn)，都有f(x)>0。
（1）正定二次型的值域是正实数。
（3）正定二次型的解析式一定是一个关于字母的二次有理函数。
（4）正定二次型的非零二次型矩阵一定是可逆矩阵。
对于二元二次型f(x1,x2)=2x1^2+2x2^2-x1x2，我们可以验证该二次型是否正定。
根据定义，我们需要对于任意的非零向量(x1,x2)，都有f(x)>0。
即需要满足如下条件：2x1^2+2x2^2-x1x2>0化简得：由于x1^2和x2^2始终是非负数，并且当x1=x2=0时，x1^2+x2^2+\frac{1}{2}x1x2=0，因此只要证明\frac{1}{2}x1x2的系数大于等于0，就能证明f(x)是正定的。
根据矩阵乘法的定义可得到f(x)=x^T\begin{bmatrix}2 & -\frac{1}{2} \\-\frac{1}{2} & 2\end{bmatrix} x由于该矩阵是正定矩阵（两个特征值均为正数），因此该二次型是正定的。
2.1 特征值法设二次型为f(x)=x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵，λ1,λ2,...,λn为矩阵A的n 个特征值，则有如下结论：当A是正定矩阵时，有λ1>0,λ2>0,...,λn>0。
2.2 主元法当二次型f(x)对应的矩阵A是可逆矩阵时，有如下结论：当二次型的系数矩阵A的顺序主子式（行列式）都大于0时，二次型成为正定的。
正定二次型
T
T
故
f xT Ax 是正定的。
T
f ( x1, x2 ,, xn ) x Ax
x Cy
g ( y1, y2 ,, yn ) yT By 其中 B CT AC
二 正定的判断方法
1：惯性指数判别法 定理 n 元实二次型 f xT Ax 为正定的当且仅当f 的正惯性指数 p n 推论 矩阵A是正定的当且仅当A的全部特征值均为正 例 设n 阶矩阵A是正定矩阵， 证明 A1 , A , Am
为t满足什么条件时，二次型是正定的； t满足什么条件时，
二次型是负定的；
t 1 1 则 A 1 t 1 解：二次型矩阵为 1 1 t t 1 1 2 t 1 2 A3 1 t 1 t 1 (t 2) A2 t 1 A1 t 1 t 1 1 t
（m为正整数）也正定矩阵
注 n 元实二次型 f xT Ax 为负定的当且仅当
的负惯性指数为 n
2 主子式判别法 （1）定义 设n 阶方阵
a11 a21 A an1 a11 Ak a21 ak 1 a12 a1n a22 a2 n an 2 ann a12 a1n
注 设 f xT Ax为实二次型，若对任何
x0
都有 f 0 f 0 , 则称二次型是半正定的 （半负定的），
并称其对应的矩阵A为半正定矩阵（半负定）矩阵。 2 二次型的正定性与可逆线性变换 定理 设有实二次型 f ( x1 , x2 ,, xn ) xT Ax 经可逆线性变换 x Cy
k 1, 2,, n
方阵A的前k行和前k列所成的子式
a22 a2 n ak 2 akn
6.2 正定二次型
1 t −1 1 t =1− t2 ＞0, t 1 2 = −(5t 2 + 4t )＞0, 1＞0 , t 1 ＞ −1 2 5
1 − t 2 ＞0 4 因此 2 解之得 − ＜t＜0 ＜ 5 5t + 4t ＜0
4 故当 − ＜t＜0 时,该二次型为正定二次型 ＜ 该二次型为正定二次型. 该二次型为正定二次型 5
3 1 1 a11=3＞0 , 3 1 = 5＞0, 1 2 0 = 8＞0, ＞ 1 2 1 0 2 的各阶顺序主子式都大于0, 即A的各阶顺序主子式都大于 由定理 知 的各阶顺序主子式都大于 由定理4知 该二次型为正定二次型. 该二次型为正定二次型
另外,此题也可将二次型化为标准型 各项 另外 此题也可将二次型化为标准型,各项 此题也可将二次型化为标准型 系数均为正,该二次型是正定的 该二次型是正定的. 系数均为正 该二次型是正定的 例8 取何值时, 问t取何值时 二次型 取何值时
则 k1 , k2 ,⋯, kr 中正项的个数与 h1 , h2 ,⋯, hr中正项的 个数相等. 个数相等 二次型的标准型中,正项项数 称为正惯性指 二次型的标准型中 正项项数 p 称为正惯性指 称为负惯性指数 负惯性指数,而正负惯性指数 负项项数 数,负项项数 r-p 称为负惯性指数 而正负惯性指数 的差称为符号差, 所以这个定理也称为惯性定理 惯性定理. 的差称为符号差 所以这个定理也称为惯性定理 定义3 设有二次型f(x 定义 设有二次型 1 ,x2 , … ,xn) = xTAx ， 如果对任意的x≠0 (x∈Rn),都有 如果对任意的 ∈ 都有 （1） xTAx ＞0 ，则称 f 为正定二次型，相应 ） 为正定二次型， 地矩阵A称为正定矩阵 称为正定矩阵； 地矩阵 称为正定矩阵； 为负定二次型， （2） xTAx ＜0 ，则称 f 为负定二次型，相应 ） 地矩阵A称为负定矩阵 称为负定矩阵； 地矩阵 称为负定矩阵；
正定二次型的判定方法
正定二次型的判定方法首先，介绍一下什么是正定二次型。
正定二次型是指对于任意非零向量x，都有x^TAx>0，其中A为n阶对称矩阵。
这意味着二次型的值对于所有非零向量都是正的，反之，若存在一些非零向量使得二次型的值为负或0，则称为负定二次型或半定二次型。
接下来，我们来介绍正定二次型的判定方法，包括特征值法、配方法、主元法等。
1.特征值法：特征值法是判定二次型正定性的重要方法。
首先求矩阵A的特征值λi及其对应的特征向量xi，然后判断特征值是否全部大于0。
如果全部大于0，则二次型是正定的；如果有一个特征值小于等于0，则二次型不是正定的。
2.配方法：配方法是判定二次型正定性的常用方法。
对于n阶矩阵A，通过对A进行合同变换，将A化为对角矩阵D，即D=P^TAP，其中P为可逆矩阵，D为对角矩阵。
若D的对角元素d1, d2, ..., dn全大于0，则二次型是正定的。
否则，若存在一些对角元素di小于等于0，则二次型不是正定的。
3.主元法：主元法也是一种常用的判定正定二次型的方法。
将n阶对称矩阵A化为标准型，即E=T^TAT，其中E为对角矩阵，T为可逆矩阵。
对于标准型E，若E的主对角线元素全大于0，则二次型是正定的。
若存在一些主对角线元素小于等于0，则二次型不是正定的。
4.结构法：结构法是一种基于矩阵A的结构特点进行判定的方法。
对于n阶对称矩阵A，若存在n个线性无关的向量，将其拼接为矩阵B，即B=[b1,b2, ..., bn]，且满足B^TAB是对角矩阵，则二次型是正定的。
否则，二次型不是正定的。
以上是常见的几种判定正定二次型的方法，下面我们通过一个具体的例子来演示这些方法。
设二次型Q(x)=x^TAx=x1^2+4x1x2+3x2^2，其中A是2阶对称矩阵。
我们通过以上方法来判定二次型的正定性。
1.特征值法：求矩阵A的特征值λi及其对应的特征向量xi，有：1-lambda, 22, 3-lambda解特征方程det(A-lambdaI)=0，得到特征值为λ1=4和λ2=0。
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一、正定二次型
1、定义：实二次型 f ( x1, x2,K , xn ) 若对任意
一组不全为零的实数 c1,c2 ,K ,cn 都有
f (c1,c2 ,K ,cn ) 0
则称 f为正定二次型.n源自如，二次型 f ( x1, x2,K , xn ) xi2 是正定的；
又由于C可逆，Y0 0 ，所以 X0 0, 即 c1,c2 ,K ,cn 不全为0. g(k1, k2 ,K , kn ) f (c1,c2 ,K ,cn ) 0 g( y1, y2 ,K , yn )正定. 反之，实二次型 g( y1, y2 ,K , yn )可经过非退化 线性替换 Y = C - 1X 变到实二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ), 同理，若 g 正定，则 f 正定. 所以，非退化线性替换不改变二次型的正定性.
f ( x1, x2 ,K , xn ) Y (CAC )Y g( y1, y2,K , yn )
任取一组不全为零的数 k1, k2 ,K , kn , 令
则，
k1
c1
Y0
k2 M
,
X0
CY
0
c2 M
kn
cn
f (c1,c2,K ,cn ) X0 AX0 Y0(CAC )Y0 g(k1,k2,K ,kn )
n1
i 1
f ( x1, x2,K , xn ) xi2
i 1
2、正定性的判定
1）实二次型 X AX 正定
X Rn ,若X 0,则X AX 0
2）设实二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) d1x12 d2 x22 L dn xn2
f 正定 di 0,i 1, 2,L , n
3）实对称矩阵A正定 A与任一正对角矩阵合同.
d1
Q若
D
d2
O
,
dn
di 0,
i 1,2,L , n
为任一正对角矩阵，则
d1
D
d2 O
dn
1
1
O
1
d1
d2 O
dn
即，D与E合同.
例1、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明
（1） A1是正定矩阵； （2） kA(k 0)是正定矩阵； （3）A* 是正定矩阵； （4） Am 是正定矩阵（m为任意整数）； （5）若 B 亦是正定矩阵，则 A＋B 也是正定矩阵；
证：（1）由于 A 正定，则存在可逆矩阵 P，使 PAP E, 于是有，
(PAP)1 P1A1(P1) ((P1)) A1(P1) E 令 Q (P1), 则Q可逆，且 QA1Q E, 即，A1与单位矩阵E合同. 故，A1正定. （2）由于A 正定，对 X Rn , X 0, 都有 X AX 0, 因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
证：充分性显然. 下证必要性，若 f 正定，取
X0
(0,K
,0, 1 ,0,K (i)
,0), i
1,2,L
,n
则 f ( X0 ) di xi2 0, di 0,i 1,2,L ,n
3）非退化线性替换不改变二次型的正定性.
证明：设正定二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) X AX 经过非退化线性替换 X＝CY 化成
3、正定矩阵的必要条件
1）实对称矩阵 A (aij )nn 正定 aii 0,i 1, 2,L , n.
证：若A正定 ，则二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) XAX
正定. 取
Xi
(0,K
,0, 1 ,0,K 第i个
, 0)
则 f ( Xi ) XiAXi aii 0, i 1, 2,L , n
4）(定理5) n元实二次型 f ( x1, x2 ,K , xn )正定 秩 f ＝n＝ p（ f 的正惯性指数）.
证：设 f ( x1, x2 ,K , xn )经非退化线性替换 X CY 变成标准形
f ( x1, x2 ,K , xn ) d1 y12 d2 y22 L dn yn2
二、正定矩阵
1、定义：设A为实对称矩阵，若二次型 X AX
是正定的，则称A为正定矩阵.
2、正定矩阵的判定
1）实对称矩阵A正定 A与单位矩阵E合同.
Q 正2)定实二对次称型矩的阵规A范正形定为z12 z22 L zn2 ZEZ
可见，正定矩
存在可逆矩阵C，使 A CC . 阵是可逆矩阵. Q A3与）E实合对同称，矩即阵存A在正可定逆矩A阵与C，任使一正A对 C角E矩C阵合C同C .
当 m＝2k＋1 时， Am A2k1 Ak AAk ( Ak ) AAk , 即，Am与正定矩阵A合同，而 A与单位矩阵E合同， 所以 Am与E合同，即 Am 正定.
（5）由于A、B正定，对 X Rn , X 0, 都有 X AX 0, X BX 0
因此有 X ( A B)X X AX X BX 0. 故，A＋B 正定.
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵 ， 当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
注意
反之不然. 即， A (aij )nn 为对称矩阵，且
aii 0, i 1, 2,L , n, 但A未必正定. 如
A
1 1
1 1
,
f ( x1, x2 ) X AX ( x1 x2 )2,
当 x1 x2 1 时，有 f ( x1, x2 ) 0.
所以A不是正定的.
2) 实对称矩阵A正定 det A A 0 证：若A正定，则存在可逆矩阵C ，使 A CC, 从而 A CC C 2 0.
由2), f 正定 di 0,i 1, 2,L , n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
5）正定二次型 f ( x1, x2 ,K , xn ) 的标准形为 d1 y12 d2 y22 L dn yn2 , i 0, i 1, 2,L , n 规范形为 z12 z22 L zn2 .