§16.1平面点集与多元函数解读

§16.1 平面点集与多元函数

教学目标：正确理解平面点集的基本概念，二元函数的概念。

教学重点：二元函数的概念。

教学难点：n 元函数

教学方法：讲授法，启发式。

一、平面点集

1、坐标平面.

将有序实数对),(y x 的集合},|),{(R y R x y x ∈∈称为二维空间，表为2R R R 或⨯。

对),(),,(222111y x P y x P ∀，用非负实数22

1221)()(y y x x -+-表示),(),(222111y x P y x P 与的距离，记：21P P -。

由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.

二元的序实数组(x , y )的全体, 即R 2=R ⨯R ={(x , y )|x , y ∈R }就表示坐标平面.

2.平面点集

坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集, 记作

E ={(x , y )| (x , y )具有性质P }.

例如, 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是

C ={(x , y )| x 2+y 2

如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成

C ={P | |OP |

3、邻域:

点A 的δ圆形邻域：设A (x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点A (x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点A 的δ圆邻域, 记为U (A , δ, 即

(,){| ||}U A P PA δδ=<或2200(,){(, )| ()() }U A x y x x y y δδ=-+-<.

邻域的几何意义: U (A , δ)表示xOy 平面上以点A (x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.

点A 的δ方邻域：以A (x 0, y 0)为心，以2δ为边长的正方形内的点),(y x ，即：00{(,)|,}x y x x y y γδ-<-<，称为A (x 0, y 0)的δ（方形）邻域。

00(,){(, )| ||,|| }U A x y x x y y δδδ=-<-<

圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.

点A 的去心δ邻域, 记作(, )U A δ, 即 (, ){| 0||}U A P AP δδ=<<.

注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (A )表示点A 的某个邻域, 点A 的去心邻域记作()U A .

注意:空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集}||0 , ||0|),{(00δδ<-<<-

4、点与点集之间的关系:

任意一点A ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种:

(1)内点: 如果存在点A 的某一邻域U (A ), 使得U (A )⊂E , 则称A 为E 的内点;

(2)外点: 如果存在点A 的某个邻域U (A ), 使得U (A )⋂E =∅, 则称A 为E 的外点;

(3)边界点: 如果点A 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称A P 点为E 的边点.

E的边界点的全体,称为E的边界,记作∂E.

E的内点必属于E;E的外点必定不属于E;而E的边界点可能属于E,也可能不属于E.

聚点:如果对于任意给定的δ>0,点A的去心邻域U0（A）内总有E中的点,则称A是E 的聚点.

由聚点的定义可知,点集E的聚点A本身,可以属于E,也可能不属于E.

例如,设平面点集

D={(x,y)|1≤x2+y2<4}.

满足1

开集:如果点集E的点都是内点,则称E为开集.

闭集:如果点集的余集E c为开集,则称E为闭集.

开集的例子:E={(x,y)|1

闭集的例子:E={(x,y)|1≤x2+y2≤4}.

集合{(x,y)|1

连通性:如果点集E内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于E,则称E为连通集.

开域:连通的开集称为区域或开区域.

例如E={(x,y)|1x2+y22}.

闭域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.

例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.

开区域与闭区域是直线上开、闭区间的推广，一般说，区域是指开区域。

有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得

E ⊂U (O , r ),

其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.

无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.

例如, 集合{(x , y )|1≤x 2+y 22}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域;

集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.

直径：1212,()(,)sup P P E

d E P P ρ∈=

其中r(P 1,P 2)表示P1与P2两点之间的距离 d(E)有限的充要条件为E 为有界集 5. n 维空间

设n 为取定的一个自然数, 我们用R n 表示n 元有序实数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合, 即

R n =R ⨯R ⨯⋅⋅⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ⋅⋅⋅, n }.

R n 中的元素(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ⋅⋅⋅, n )都为零时, 称这样的元素为R n 中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量.

为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n 中定义线性运算如下:

设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )为R n 中任意两个元素, λ∈R , 规定

x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n + y n ), λx =(λx 1, λx 2, ⋅ ⋅ ⋅ , λx n ).