2018线性系统理论课件02-第1章(1)状态空间描述
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线性系统理论全课件
称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入 和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的. 称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性, 或者作用于系统的输入和扰动是随机变量
2/2,13/50
2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述
由输入输出描述导出状态空间描述
5/7,9/50
离散时间线性系统的状态空间描述 状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统 X (k 1) Gx(k) Hu (k) Y (k) Cx(k) Du (k)
n n阵G : 系统矩阵 n p阵H : 输入矩阵 q n阵C : 输出矩阵 q p阵D : 传输矩阵
离散时间线性时变系统 X (k 1) G(k)x(k) H (k)u(k ) Y (k) C(k)x(k) D(k)u(k)
cM
J
ce La f
J
ia
1
La 0
e
0
1ia
上式可表为形如 X AX Bu Y CX Du
Ra
i f const
J,F
La
2/7,6/50
连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构
u1 u2
up
x1 x2
动力学部件
xn
输出部件
y1 y2
yq
连续时间线性系统的状态空间描述
u1
yq
外部描述常被称作为输出—输入描述
u2
x1, x2 , , xn
y2
up
yq
例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u
复频率域描述即传递函数描述
2/2,13/50
2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述
由输入输出描述导出状态空间描述
5/7,9/50
离散时间线性系统的状态空间描述 状态空间描述形式 离散时间线性时不变系统 X (k 1) Gx(k) Hu (k) Y (k) Cx(k) Du (k)
n n阵G : 系统矩阵 n p阵H : 输入矩阵 q n阵C : 输出矩阵 q p阵D : 传输矩阵
离散时间线性时变系统 X (k 1) G(k)x(k) H (k)u(k ) Y (k) C(k)x(k) D(k)u(k)
cM
J
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J
ia
1
La 0
e
0
1ia
上式可表为形如 X AX Bu Y CX Du
Ra
i f const
J,F
La
2/7,6/50
连续时间线性系统的状态空间描述 动态系统的结构
u1 u2
up
x1 x2
动力学部件
xn
输出部件
y1 y2
yq
连续时间线性系统的状态空间描述
u1
yq
外部描述常被称作为输出—输入描述
u2
x1, x2 , , xn
y2
up
yq
例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
y(n) an1 y(n1) a1 y(1) a0 y bn1u(n1) b1u (1) b0u
复频率域描述即传递函数描述
2018线性系统理论课件03-第1章(2)由系统机理和框图建立状态空间模型
3. 一阶微分惯性环节 其传递函数为 G(s) Y (s) s b 1 b a
n1 r 0
s nr 1
f
(r)
(0)
（1.2.6）
式中 f (r) (0) 是 r 阶导数 dr f (t) 在 t 0 时的值。 dt r
特别地，如果 f (t) 及其各阶导数的所有初始值全都等于零，则有
L
dn f dt
(t)
n
sn
F
(s)
（1.2.7）
1.2.2.3 积分性质
试列写以电枢电压u(t)为输入，轴的角位移(t)为
输出的状态空间模型。
+
Ra
ia
La
u
M
J, f
f
-
图1-4 电枢控制的直流电动机原理图
解 ：设电动机励磁电流不变，铁心工作在非饱和区。
按照图1-4所描述的电动机系统，可以写出如下主 回路电压方程和轴转动动力学方程
u
Raia
La
dia dt
J
0
Ce La
1
La
0 1 x 0 u
0
f
0
J
y [0 1 0]x
1.2由系统框图建立状态空间描述
首先复习补充有关积分变换的知识。 拉氏变换的定义 拉氏变换的微分性质 拉氏变换的积分性质
1.2.1拉普拉斯变换的定义
本次课主要内容
1.2由系统框图建立状态空间描述 1.3由系统机理建立状态空间描述
为了讲解问题方便，我们先讲1.3 的内容，然后再介绍1.2的内容。 下面先复习上节课的主要内容。
线性系统理论第一章---控制系统的状态空间描述
设以 为状态向量时系统的状态空间表达式为
x
Ax Bu x y Cx Du
设以 为状态向量时系统的 状态空间表达式为
x
而以 为状态向量时系统的 状态空间表达式为
x*
Ax Bu x y Cx Du
下面我们来推导两者之间的对应关系。
* A* x * B *u x * * * y C x D u
四、状态空间模型与传递函数的比较
U(s)
G(s) Y(s)
传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映系统内部状态的 变化，我们称之为外部描述。
状 态 方 程
x1 x 2 xn
输 出 方 程
状态空间表达式将输入输出间的信息传递分为两段来描述。第一段是输入 引起系统内部状态发生变化，用状态方程描述；第二段是系统内部的状态 变化引起系统输出的变化，用输出方程描述。由此可见，状态空间表达式 在一定程度上描述了系统内部变量的变化，所以我们称之为内部描述。
x1 (t ) x (t ) 2 x (t ) xn (t )
三、状态空间
状态空间：所有n维状态向量的全体便构成了实数域上的n维状态空间。
状态轨迹：在状态空间中，时间t是一个参变量，某一时间t的状态是状 态空间中的一个点，而一段时间下状态的集合称为系统在这一时间段的状 态轨迹，有时也称作相轨迹。 四、输入向量和输出向量 输入向量：将系统的各个输入量看成一个列向量
输出向量
m 1维的函数向量
3、线性定常系统的输出方程
y1 c11 x1 c12 x2 c1n xn d11u1 d12u 2 d1l ul y2 c21 x1 c22 x2 c2 n xn d 21u1 d 22u 2 d 2l ul ym cm1 x1 cm 2 x2 cmn xn d m1u1 d m 2u 2 d ml ul
线性系统理论全PPT课件
为线性系统；
3
• 线性系统满足叠加性； • 线性系统可以用数学变换（付里叶变换， 拉普拉斯变换）和线性代数; • 线性系统的分类
定常系统：参数不随时间变化
时变系统；参数是时间t 的函数
4
2、线性系统理论的主要任务
主要研究线性系统状态的运动规律和改变
这种运动规律的可能性和方法，建立和揭示
系统结构、参数、行为和性能间的确定的和 定量的关系。 分析问题：研究系统运动规律 综合问题：研究改变运动规律的可能性和方法
5
• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
6
• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
2.1 状态和状态空间
系统动态过程的数学描述
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
1/4,1/50
(1)系统的外部描述 外部描述常被称作为输出—输入描述 例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:
u1
yq
u2
up
x1, x2 ,, xn
y2
yq
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y bn1u ( n1) b1u (1) b0u
(3) 状态向量：以系统的 n 个独立状态变量
x1 t , L, xn t 作为分量的向量，即 x t x1 t , L, xn t .
线性系统理论全PPT课件
复频率域描述即传递函数描述
bn1 s n1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an1 s n1 a1 s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
u (k )
y (k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x, u, t )
5
• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
6
• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g ( x , u , t ) f ( x , u , t ) n q
bn1 s n1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an1 s n1 a1 s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
u (k )
y (k )
G (k )
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2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x, u, t )
5
• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
6
• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g ( x , u , t ) f ( x , u , t ) n q
线性系统课件 第一章
系统结构图：
理论上，零极点对消，系统稳定
实际中，系统往往会出现失效或达到饱和
从状态空间的角度分析上述实现中主要变量 的演变过程
系统状态方程为
x1 x1 2v x 2 x 2 u x 2 x1 v y x2
求解可得：
x1 (t ) e x10 2e v,
三．状态空间描述和输入输出描述的比较
通过一个简单的例子，对该系统进行稳 定性分析，从而来比较状态空间描述和 传递函数之间的优缺点。
例1．考虑传递函数
1 H (s) s 1
极点为1，系统是不稳定的
Case 1: 在H（s）前面串联一个补偿器
s 1 H c (s) s 1
得：
s 1 1 1 H c ( s) H ( s) s 1 s 1 s 1
结论：系统实现的内部特征要远比其外部特 性所表明的内容复杂的多。内部特性完全取 决于没有外加激励时的系统固有频率，而并 不是所有的振型在传递函数中都有所体现， 或者，换句话讲就是由于传递函数在初始条 件为零的情况下定义的，所以它不能完全显 示出系统在实际运行时的全部振型。所以单 纯采用传递函数方法进行系统分析，得出的 结论是片面的甚至是错误的。
(1)
1u
( n 1)
0u
1u
( n2)
n 1u
待定系数 0 , 1 ,, n1 可构造如下：
0 bn 1 bn1 a n1 0 2 bn2 a n1 1 a n2 0 n b0 a n1 n1 a n2 n2 a1 1 a0 0
转化为线性系统：
x A(t ) x B (t )u y C (t （x0，u0）的领域内的运动
线性系统理论第一章
17
很显然，对于单输入单输出线性时不变系统，若系统
初始状态为0，则系统在任意输入 u 作用下基于脉冲响应
的输出响应y(t) 的关系式为
t
y(t) h(t )u( )d , t0
t t0
证明：略。
对于时变系统，用 h(t, ) 表示系统的脉冲响应。
定义1.4 对 r 维输入 m 维输出的连续线性时变系统，脉冲 响应矩阵定义为零初始状态条件下以脉冲响应 hij (t, )
e At I At 1 A2t 2
2!
1 0
0 1
0 2t
t t 2
3t
3t
2
3 2 7t
t
2
2
2
1t2 2t 3t 2
1
t
3t
3 2
t2 7
t2
2
25
（2）特征值法
1 1,
p
1 1
1 2
2 2
p
1
2 1
1 1
e At
e1t p
e2t
)c
uc
iL
(
R1
1
R2 )c R2
u(t)
L(R1 R2 )
L(R1 R2 )
4
导出输出方程：
uR2
R2 R1 R2
R1R2 R1 R2
uc
iL
R1
R2 R2
u(t
)
把 uc , iL 称为系统状态变量。系统的状态定义为表现系
统时间域行为的一个最小内部变量组。
0
0
0
e2t
te2t
0 0
0
0 e2t
（3）求预解矩阵法
线性系统理论(第一章).ppt
x2
0
x3 640
1 0 194
0 x1 0
1
x2
0
u
16 x3 1
x1
y 720
160
0
x2
x3
第一章
⑵当 m n时，将有理分式进行严格真化，
y
[bn
(bn1 bnan1) pn1 pn an1 pn1
(b0 bna0 ) ]u a1 p a0
x1(t)
X
(t
)
,
t t0
xn (t)
状态空间：状态向量取值的一个向量空间。
第一章
动力学系统的状态空间描述 一个动力学系统的结构示意图。
u1 u2
• ••
x1 x2
动力学部件
•
• u p
•
xn
状态变量组：x1, x2 , , xn
输入变量组：u1,u2 , ,u p 输出变量组：y1, y2 , , yq
第一章
例：给定系统的输入—输出描述为
y(3) 16 y(2) 194 y(1) 640 y 4u(3) 160u(1) 720u
则 x1 0
x2
0
x3 640
1 0 194
0 x1 0
1
x2
0
u
16 x3 1
y 1840
616
x1
64
x2
4u
x3
R1
C
uc
e(t)
L iL
R2 uR2
u 解：确定状态变量，最多2个线性无关的变量，取 c 和 iL
作为状态变量。
第一章
列出原始电路方程：由电路定律。
右回路：
第二章线性系统的状态空间描述1
第二章 线性系统的状态空间描述§2-1 状态空间的基本概念1、状态：系统的状态，是指系统的过去、现在和将来的状况。
（如：一个质点作直线运动，它的状态就是它每个时刻的位置和速度）2、状态变量：能完全表征系统运行状态的最小数目的一组变量。
（如果用最少的n 个变量x 1(t)， x 2(t)，……， x n (t)就能完全描述系统的状态，那么这n 个变量就是一组状态变量。
）3、状态向量：设一个系统有n 个状态变量，即x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，用这n 个状态变量作为分量构成的向量x(t)称为该系统的状态向量。
记为Tn t x t x t x t x )](,),(),([)(21 =4、状态空间：由n 个状态变量作为坐标轴所构成的n 维空间，称为状态空间。
引入了状态和状态空间的概念之后，就可以建立动力学系统的状态空间描述了。
从结构的角度讲，一个动力学系统可用图2-1所示的方块图来表示。
其中x(t)表征系统的状态变量，u(t)为系统控制量（即输入量），y(t)为系统的输出变量。
与输入—输出描述不同，状态空间描述把系统动态过程的描述考虑为一个更为细致的过程：输入引起系统状态的变化，而状态和输入则决定了输出的变化。
5、状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系，称为系统的状态方程。
例：设单输入线性定常系统(LTI-Linear Time Invariant )的状态变量为x 1(t)，x 2(t)，……，x n (t)，输入为u(t),则一般形式的状态方程为：)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(2211222221212112121111t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x t u b t x t a t x t a t x a t x n n nn n n nn n n n ++++='++++='++++='图2-1 动力学系统结构示意图上式可写成向量—矩阵形式：其中：6、输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量、输入量之间的函数关系式，称为系统的输出方程。
现代控制理论 第二章 线性系统的状态空间描述PPT课件
为系统两状态变量，则原方程可化成:
xx121RL L01C xx12L10u
y 0
1 x1
C
x2
19
由上可见,状态变量的选取有许多方法。因此同一个系 统有许多不同的状态空间表达式来描述。状态变量的 不同选取，其实是状态向量的一种线性变换。
, 设: x1i x2C 1id;tx1i , x2idt
x2
状 态 轨迹
A
( x1 (t0 ), x2 (t0 ))
0
x1
( x1 (t1 ), x2 (t1 ))
B
t
x(t)
x1(t)
x
2
(
t
)
8
6.状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、 输入变量间的数学表达式称为状态方程。
x (t)f[x(t)u ,(t)t,], x (tk 1 )f[x (tk)u ,(tk)tk ,]
0
0
0
1
a0 a1 a2 an1
30
0
0
b
0
0
C 10 0
31
u 0
x n 1 x n 1 x n 1 x 2 1
s
s
s
x1 y
a n1
a
n
2
a1
a0
状态变量结构图
32
例1:
设 y 5y8y6y 3u
求（A，B，C，D）
解：选 x1 y x2 y
x3 y
微分方程、传递函数、结构图求 {A，B，C，D}
1. 由系统微分方程建立状态空间表达式
1）系统输入量中不含导数项
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a n 2 y ( n 2 ) a 1 y a 0 y 0 u
xx121RL L01C xx12L10u
y 0
1 x1
C
x2
19
由上可见,状态变量的选取有许多方法。因此同一个系 统有许多不同的状态空间表达式来描述。状态变量的 不同选取，其实是状态向量的一种线性变换。
, 设: x1i x2C 1id;tx1i , x2idt
x2
状 态 轨迹
A
( x1 (t0 ), x2 (t0 ))
0
x1
( x1 (t1 ), x2 (t1 ))
B
t
x(t)
x1(t)
x
2
(
t
)
8
6.状态方程：状态变量的一阶导数与状态变量、 输入变量间的数学表达式称为状态方程。
x (t)f[x(t)u ,(t)t,], x (tk 1 )f[x (tk)u ,(tk)tk ,]
0
0
0
1
a0 a1 a2 an1
30
0
0
b
0
0
C 10 0
31
u 0
x n 1 x n 1 x n 1 x 2 1
s
s
s
x1 y
a n1
a
n
2
a1
a0
状态变量结构图
32
例1:
设 y 5y8y6y 3u
求（A，B，C，D）
解：选 x1 y x2 y
x3 y
微分方程、传递函数、结构图求 {A，B，C，D}
1. 由系统微分方程建立状态空间表达式
1）系统输入量中不含导数项
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a n 2 y ( n 2 ) a 1 y a 0 y 0 u
线性系统理论(第1章)
用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系， 这种模拟图为系统提供了一种清晰的物理图像，有助于加深 对状态空间概念的理解。另外，模拟结构图也是系统实现电 路的基础。
在模拟结构图中常用积分器、放大器、反相器、加法 器等基本元件，它们的表示方式分别如图1.2.3所示。
第1章 控制系统的状态空间描述
A(t)，B(t)，C(t)和D(t)分别定义在（，）上t的 连续函数矩阵，被统称为该系统的状态空间描述的参数矩 阵，简称状态参数矩阵。
第1章 控制系统的状态空间描述
江苏大学电气学院
矩阵A(t)反映了系统的许多重要特性，如稳定性等，因此 常称矩阵A(t)为系统的特征矩阵，为系统矩阵（状态阵）； 矩阵B(t)称为输入矩阵；矩阵C(t)称为输出矩阵；矩阵D(t) 称为耦合阵（前馈矩阵）。
,xn (t)}
独立状态变量的个数即系统微分方程的阶次n。
第1章 控制系统的状态空间描述
江苏大学电气学院
对于如下系统：
y(n) (t) an1 y(n1) (t)
a1
y(t)
a0
y(t)
b u(n1) n1
(t)
b1u(t) b0u(t)
其中y是系统的输出，u是系统的输入。
第1章 控制系统的状态空间描述
江苏大学电气学院
现代控制理论的名称是在1960年以后开始出现的， 用以区别当时已经相当成熟并在后来被称为经典控制 理论的那些方法。
现代控制理论已在航空航天技术、军事技术、通信 系统、生产过程等方面得到广泛的应用。现代控制理 论的某些概念和方法，还被应用于人口控制、交通管 理、生态系统、经济系统等的研究中。
内部的状态信息并加以利用；一阶微分方程组比高阶微分
在模拟结构图中常用积分器、放大器、反相器、加法 器等基本元件，它们的表示方式分别如图1.2.3所示。
第1章 控制系统的状态空间描述
A(t)，B(t)，C(t)和D(t)分别定义在（，）上t的 连续函数矩阵，被统称为该系统的状态空间描述的参数矩 阵，简称状态参数矩阵。
第1章 控制系统的状态空间描述
江苏大学电气学院
矩阵A(t)反映了系统的许多重要特性，如稳定性等，因此 常称矩阵A(t)为系统的特征矩阵，为系统矩阵（状态阵）； 矩阵B(t)称为输入矩阵；矩阵C(t)称为输出矩阵；矩阵D(t) 称为耦合阵（前馈矩阵）。
,xn (t)}
独立状态变量的个数即系统微分方程的阶次n。
第1章 控制系统的状态空间描述
江苏大学电气学院
对于如下系统：
y(n) (t) an1 y(n1) (t)
a1
y(t)
a0
y(t)
b u(n1) n1
(t)
b1u(t) b0u(t)
其中y是系统的输出，u是系统的输入。
第1章 控制系统的状态空间描述
江苏大学电气学院
现代控制理论的名称是在1960年以后开始出现的， 用以区别当时已经相当成熟并在后来被称为经典控制 理论的那些方法。
现代控制理论已在航空航天技术、军事技术、通信 系统、生产过程等方面得到广泛的应用。现代控制理 论的某些概念和方法，还被应用于人口控制、交通管 理、生态系统、经济系统等的研究中。
内部的状态信息并加以利用；一阶微分方程组比高阶微分
第一章线性系统的状态空间描述
则有 x1 x2
x2 x3
x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 b0u
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 b0
x1
y 1
0
0
x2
x3
状态图如下：
一般情况下，n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y b0u
选择 n 个状态变量为 系统方程为
x1 y 0u x2 x1 1u x3 x2 2u
xn xn1 n1u
x1
x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0 0 1 an1
x1 x2
xn
1
x3 x4
0 0 0
0 0 0
mg M
0
(M m)g Ml
0
x2
1 M
u
;
1 0
x3 x4
0
1 Ml
x1
y 1
0
0
0
x2
x3 x4
状态图为
1.2 由微分方程求状态空间表达式
一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选 择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。
设小球的重心坐标为： ( yG , zG )
则 yG y l sin
zG l cos
在水平方向，应用牛顿第二定律：
M
d2 y dt2
m
d2 dt2
(y
l
sin )
u
转动方向的力矩平衡方程式：
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对于一个实际系统是否可将其按线性系统处理，
不仅需要考虑系统本身的因素，而且也需要考虑研 究问题方面的因素，只有从这两个方面考虑，才能 确定是否把一个实际系统看成线性系统。
一、SISO与MIMO系统 设系统的输入--输出描述如下：
u1
y1
系统
up
yq
输入列向量 u [u1,u2,...up ]T p 1 维；
对前面引入的状态空间模型的意义，有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性,
‒ 其决定系统状态变量的动态变化。
输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关 系。
系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,
‒ 它主要决定系统的动态特性。
输入矩阵B又称为控制矩阵,
‒ 它表示输入对状态变量的影响。
x& A(t)x B(t)u
y
C(t
)
x
D(t)u
矩阵 A(t),的B(各t),C个(t元), D素(t如) 果都与时间无关，则称
这种系统是线性定常系统 。
x& Ax Bu 式中的各个系数矩
y
Cx
Du
阵为常数矩阵
为简便，线性定常系统的状态空间模型亦可简记为
(A,B,C,D)。
是变量 x1，…， xn和u1，…， up的线性函数，则相应 的系统为线性系统。
向量方程 X& f x,u,t Y gx,u,t 至少包括一
个元是变量 x1，…， xn和u1，…， up的非线性函数， 则相应的系统为非线性系统。
一、线性系统的状态空间描述
若向量方程中 x& f (x,u,t) y g(x的,u所,t)有组成元
输出向量=(方块所示矩阵)×(输入向量)
D(t)
+
u
+ B(t)
x' ∫
x C(t)
y
u1
y1
u2 M
x1, x2 ,L xn
y2 M
up
yq
系统输入：环境对系统的作用。u1 u2 L up
系统输出：系统对环境的作用。 y1 y2 L yq
统称为系统的外部变量
内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。
x1,x2,…,xn ，体现了系统的行为。
数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变 换关系。
不变系统。 若用 Qα 代表一个位移算子（ Q u(t) u(t ) ，α 为任何数），则定义等
价为
HQ u Q Hu
这个公式的物理含义是：对于时不变系统来说，将输入信号延迟一个α ， 等于将输出信号延迟同样的时间。
1.1 系统的状态空间描述
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和 控制器等组成。
k 0,1, 2,L
四、确定性系统和随机系统
确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变 化的，其各个输入变量（包括控制和扰动）也是按 确定的规律而变化的。
不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定 的规律来描述，或者作用于系统的输入（包括控制 和扰动）是随机变化，或者两者兼而有之。
x2
x k kx
(a) 积分器
(b) 加法器
(c) 比例器
图1-2 系统结构图中的三种基本元件
例 线性时变系统
x A(t) x B(t)u
y
C(t)
x
D(t)u
的结构图如图1-3所示。值得注意的是：图中的信号
传输线一般是表示列向量，方框中的字母代表矩阵，
每一方框的输入输出关系规定为：
惯性系统，所以，它们的动态方程为
x& Ax Bu
y
Cx
三、离散系统的状态空间描述
当系统的各个变量只在离散的时刻取值时，这种系 统称为离散时间系统简称离散系统。其状态空间描述 只反映离散时刻的变量组之间的因果关系和转换关系。 如用 k 0,1, 2,L 来表示离散的时刻，那么离散系统状 态空间描述的最一般形式为：
【例1-1】确定图1－1所示电路的状态变量。
图1－1 RLC电路
由电路理论知道，要唯一地确定t时刻电路的运 动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流 过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC (t0) ， 或者说uC (t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电 路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC (t)和i(t) 是该电路的状态变量。
x& A(t)x B(t)u
y
C(t)x
D(t)u
外部描述
外部描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响 应，显然这种描述把系统当成一个“黑匣”，认为 系统的内部结构和内部信息全然不知（或不去关 心），系统描述直接反映了输出变量与输入变量间 的动态因果关系。
内部描述
内部描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型， 能够完全反映系统的所有动力学特性。
都是变量
和
x1, x的2 ,L线, 性xn 函数，u1,则u2,L称,相up 应
的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表
示为如下形式：
x& A(t)x B(t)u
y
C(t)x
D(t)u
式中，各个系数矩阵的维数分别为
x为n维的状态向量; u为p维的输入向量; y为q维的输出向量; A为nn维的系统矩阵; B为np维的输入矩阵; C为qn维的输出矩阵; D为qp维的直联矩阵(前馈矩阵，直接转移矩 阵)。
1.1.2状态的基本概念
(1) 状态 状态是完整地描述动态系统运动状况的信息，
系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运 动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为 状态。 (2)状态变量
定义完全表征动态系统时间域运动行为的信 息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号 x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立（即变量 的数目最小）。
x(k 1) f (x(k),u(k), k),
y(k)
g
(
x(k
),
u(k),
k),
k 0,1, 2,L
对于线性离散时间系统，则上述状态空间描述还
可进一步化为如下形式 ：
x(k 1) G(k)x(k) H (k)u(k),
y(k
)
C(k)x(k)
D(k)u(k),
y Hu
（1-1）
其中 H 是某一算子，通过它由系统的输入 u 唯一地规定了系统的输出 y 。
上式也可等价写成：
y(t) Hu(, )
对于所有t (, )
定义 1-2 一个松弛系统称为线性系统，当且仅当对于任何
输入 u1 和 u2 以及任何实数1 和2 ，有
H (1u 12u2 ) 1Hu1 2Hu2 成立，否则称为非线性系统。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法：
输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、 传递函数矩阵等。
状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结 构，是对系统的一种完整的描述。
控制u
执行器
被控过程 x
被控对象
传感器
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
观测y 反馈控制
1.1.1动态过程数学描述的两种基本类型 一个系统可用下图来表征。
(5)状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量
间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶 差分方程组（离散系统），称为状态方程。
x& Ax Bu
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
(6)状态空间表达式
状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统 完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。
第1章线性系统的状态空间描述
本章主要讲述的内容： 线性系统的基本概念 状态空间描述 由系统框图建立状态空间描述 由系统机理建立状态空间描述 由输人输出建立状态空间描述及标准型实现 由状态空间描述求传递函数 状态空间的线性变换 组合系统的状态空间描述
线性系统的基本概念（补充）
线性系统是一类最简单且研究得最多的动态系统， 线性系统满足叠加原理，使得它在数学处理上非常简 便，可以采用比较成熟的数学工具，如用数学变换和 线性代数等来研究它的规律。
其中： ai和bj 为实常数。i,j=0,1,2, …,n-1；
假定初始条件为零，两边取拉氏变换。 即为复频率域描述，即传递函数。
G(s)
y) (s) u) (s)
sn
bn-1sn-1 L an-1sn-1 L
b1s b0 a1s
a0
系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。 两个数学方程组成： 状态方程：微分方程或差分方程。 内部变量组和输入变量组间的因果关系。 输出方程：代数方程。 内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换 关系。其矩阵形式如下：
输出列向量 y [y1, y2,...yq ]T q 1 维。
定义1-1 当且仅当
p q 1 时，系统称为单变量系统（SISO）。否则称为多变量系统（ MIMO）。
二、初始松弛的概念
一个系统称作 t0 时刻是松弛的，当且仅当输出 y[t0, ] 仅由输入u[t0 , ] 产生。
我们称t0 时刻松弛的系统为初始松弛系统或简称为松弛系统。 对于一个松弛系统，有
x& A(t)x B(t)u
y
C(t)x
D(t)u
1.1.3 系统的状态空间表达式的分类
系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。 各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它 们的状态空间描述在类型上的不同。
不仅需要考虑系统本身的因素，而且也需要考虑研 究问题方面的因素，只有从这两个方面考虑，才能 确定是否把一个实际系统看成线性系统。
一、SISO与MIMO系统 设系统的输入--输出描述如下：
u1
y1
系统
up
yq
输入列向量 u [u1,u2,...up ]T p 1 维；
对前面引入的状态空间模型的意义，有如下讨论: 状态方程描述的是系统动态特性,
‒ 其决定系统状态变量的动态变化。
输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关 系。
系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,
‒ 它主要决定系统的动态特性。
输入矩阵B又称为控制矩阵,
‒ 它表示输入对状态变量的影响。
x& A(t)x B(t)u
y
C(t
)
x
D(t)u
矩阵 A(t),的B(各t),C个(t元), D素(t如) 果都与时间无关，则称
这种系统是线性定常系统 。
x& Ax Bu 式中的各个系数矩
y
Cx
Du
阵为常数矩阵
为简便，线性定常系统的状态空间模型亦可简记为
(A,B,C,D)。
是变量 x1，…， xn和u1，…， up的线性函数，则相应 的系统为线性系统。
向量方程 X& f x,u,t Y gx,u,t 至少包括一
个元是变量 x1，…， xn和u1，…， up的非线性函数， 则相应的系统为非线性系统。
一、线性系统的状态空间描述
若向量方程中 x& f (x,u,t) y g(x的,u所,t)有组成元
输出向量=(方块所示矩阵)×(输入向量)
D(t)
+
u
+ B(t)
x' ∫
x C(t)
y
u1
y1
u2 M
x1, x2 ,L xn
y2 M
up
yq
系统输入：环境对系统的作用。u1 u2 L up
系统输出：系统对环境的作用。 y1 y2 L yq
统称为系统的外部变量
内部变量：刻画系统在每个时刻所处状况的变量。
x1,x2,…,xn ，体现了系统的行为。
数学描述、数学模型：反映系统变量间因果关系和变 换关系。
不变系统。 若用 Qα 代表一个位移算子（ Q u(t) u(t ) ，α 为任何数），则定义等
价为
HQ u Q Hu
这个公式的物理含义是：对于时不变系统来说，将输入信号延迟一个α ， 等于将输出信号延迟同样的时间。
1.1 系统的状态空间描述
典型控制系统由被控对象、传感器、执行器和 控制器等组成。
k 0,1, 2,L
四、确定性系统和随机系统
确定系统是指系统的特性和参数是按确定的规律变 化的，其各个输入变量（包括控制和扰动）也是按 确定的规律而变化的。
不确定系统，系统的特性和参数的变化不能用确定 的规律来描述，或者作用于系统的输入（包括控制 和扰动）是随机变化，或者两者兼而有之。
x2
x k kx
(a) 积分器
(b) 加法器
(c) 比例器
图1-2 系统结构图中的三种基本元件
例 线性时变系统
x A(t) x B(t)u
y
C(t)
x
D(t)u
的结构图如图1-3所示。值得注意的是：图中的信号
传输线一般是表示列向量，方框中的字母代表矩阵，
每一方框的输入输出关系规定为：
惯性系统，所以，它们的动态方程为
x& Ax Bu
y
Cx
三、离散系统的状态空间描述
当系统的各个变量只在离散的时刻取值时，这种系 统称为离散时间系统简称离散系统。其状态空间描述 只反映离散时刻的变量组之间的因果关系和转换关系。 如用 k 0,1, 2,L 来表示离散的时刻，那么离散系统状 态空间描述的最一般形式为：
【例1-1】确定图1－1所示电路的状态变量。
图1－1 RLC电路
由电路理论知道，要唯一地确定t时刻电路的运 动行为，除了要知道输入电压u(t)外，还必须给出流 过电感上的初始电流i(t0)和电容上的初始电压uC (t0) ， 或者说uC (t)和i(t)这两个变量可用来完全地描述该电 路的运动行为，且它们之间是独立的，故uC (t)和i(t) 是该电路的状态变量。
x& A(t)x B(t)u
y
C(t)x
D(t)u
外部描述
外部描述把系统的输出取为系统外部输入的直接响 应，显然这种描述把系统当成一个“黑匣”，认为 系统的内部结构和内部信息全然不知（或不去关 心），系统描述直接反映了输出变量与输入变量间 的动态因果关系。
内部描述
内部描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型， 能够完全反映系统的所有动力学特性。
都是变量
和
x1, x的2 ,L线, 性xn 函数，u1,则u2,L称,相up 应
的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表
示为如下形式：
x& A(t)x B(t)u
y
C(t)x
D(t)u
式中，各个系数矩阵的维数分别为
x为n维的状态向量; u为p维的输入向量; y为q维的输出向量; A为nn维的系统矩阵; B为np维的输入矩阵; C为qn维的输出矩阵; D为qp维的直联矩阵(前馈矩阵，直接转移矩 阵)。
1.1.2状态的基本概念
(1) 状态 状态是完整地描述动态系统运动状况的信息，
系统在某一时刻的运动状况可以用该时刻系统运 动的一组信息表征，定义系统运动信息的集合为 状态。 (2)状态变量
定义完全表征动态系统时间域运动行为的信 息组中的元素为状态变量。状态变量组常用符号 x1(t),x2(t),…,xn(t)表示，且它们相互独立（即变量 的数目最小）。
x(k 1) f (x(k),u(k), k),
y(k)
g
(
x(k
),
u(k),
k),
k 0,1, 2,L
对于线性离散时间系统，则上述状态空间描述还
可进一步化为如下形式 ：
x(k 1) G(k)x(k) H (k)u(k),
y(k
)
C(k)x(k)
D(k)u(k),
y Hu
（1-1）
其中 H 是某一算子，通过它由系统的输入 u 唯一地规定了系统的输出 y 。
上式也可等价写成：
y(t) Hu(, )
对于所有t (, )
定义 1-2 一个松弛系统称为线性系统，当且仅当对于任何
输入 u1 和 u2 以及任何实数1 和2 ，有
H (1u 12u2 ) 1Hu1 2Hu2 成立，否则称为非线性系统。
被控过程具有若干输入端和输出端。
数学描述方法：
输入－输出描述（外部描述）:高阶微分方程、 传递函数矩阵等。
状态空间描述（内部描述）：基于系统内部结 构，是对系统的一种完整的描述。
控制u
执行器
被控过程 x
被控对象
传感器
控制器
控制输入
典型控制系统方框图
观测y 反馈控制
1.1.1动态过程数学描述的两种基本类型 一个系统可用下图来表征。
(5)状态方程 描述系统状态变量间或状态变量与系统输入变量
间关系的一个一阶微分方程组(连续系统)或一阶 差分方程组（离散系统），称为状态方程。
x& Ax Bu
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
(6)状态空间表达式
状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统 完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。
第1章线性系统的状态空间描述
本章主要讲述的内容： 线性系统的基本概念 状态空间描述 由系统框图建立状态空间描述 由系统机理建立状态空间描述 由输人输出建立状态空间描述及标准型实现 由状态空间描述求传递函数 状态空间的线性变换 组合系统的状态空间描述
线性系统的基本概念（补充）
线性系统是一类最简单且研究得最多的动态系统， 线性系统满足叠加原理，使得它在数学处理上非常简 便，可以采用比较成熟的数学工具，如用数学变换和 线性代数等来研究它的规律。
其中： ai和bj 为实常数。i,j=0,1,2, …,n-1；
假定初始条件为零，两边取拉氏变换。 即为复频率域描述，即传递函数。
G(s)
y) (s) u) (s)
sn
bn-1sn-1 L an-1sn-1 L
b1s b0 a1s
a0
系统的内部描述，状态空间描述，完全的描述。 两个数学方程组成： 状态方程：微分方程或差分方程。 内部变量组和输入变量组间的因果关系。 输出方程：代数方程。 内部变量组、输入变量组和输出变量组间的转换 关系。其矩阵形式如下：
输出列向量 y [y1, y2,...yq ]T q 1 维。
定义1-1 当且仅当
p q 1 时，系统称为单变量系统（SISO）。否则称为多变量系统（ MIMO）。
二、初始松弛的概念
一个系统称作 t0 时刻是松弛的，当且仅当输出 y[t0, ] 仅由输入u[t0 , ] 产生。
我们称t0 时刻松弛的系统为初始松弛系统或简称为松弛系统。 对于一个松弛系统，有
x& A(t)x B(t)u
y
C(t)x
D(t)u
1.1.3 系统的状态空间表达式的分类
系统的状态空间描述是其动力学特征的完整的表征。 各类系统在结构上和特性上的质的差别，将表现为它 们的状态空间描述在类型上的不同。