几何证明之线段倍分关系(一) (2)
倍分法的几种呈现
倍分法的几种呈现证明线段的倍分关系是几何证明中的一个难点，由于给定的题设或图形中往往并不具有明显的条件，所以我们要根据已有的知识，认真观察、分析，依据图形的特征，巧妙构造全等三角形，从而达到迅速解题的目的.现就一例从不同角度构造全等三角形来解决问题，供同学们参考.如图1，已知CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线，且AB=AC，求证：CD=2CE.【解析】本题中的题设与图形较为简单，并不具有明显的证明全等的条件，然而可以抓住“CE、CB分别是△ABC、△ADC的中线”这一条件，从不同角度来添加辅助线巧妙构造全等三角形从而证CD=2CE.证法1：如图2，延长CE至M，使EM=CE，连接BM. 在△EBM、△EAC中，ME=CE，∠MEB=∠CEA，EB=EA，∴△EBM≌△EAC. ∴BM=AC=AB=BD.又∵∠CBM=∠CBA+∠ABM=∠BCA+∠A=∠CBD，BC=BC. ∴△BCM≌△CBD. ∴CM=CD，即2CE=CD.证法2：如图3，取CD的中点F，连接BF，则BF=AC=AB=EB，BF∥AC. ∴∠CBF=∠BCA=∠CBE，又CB=CB，∴△CBF≌△CBE. ∴CE=CF，即CD=2CE.证法3：如图4，延长BC至F，使CF=BC，连接AF. ∴EC为△BAF的中位线，EC=AF. 在△ACF和△DBC中，AC=AB=BD，∠DBC=∠BAC+∠ACB=∠BAC+∠ABC=∠ACF，BC=CF. ∴△ACF≌△DBC. ∴DC=AF=2EC.证法4：如图5，取AC的中点G，连接BG. ∴BG为△ADC的中位线，∴BG=DC，又AE=AB=AC=AG. ∴△ABG ≌△ACE.∴EC=BG=DC. ∴DC=2CE.【点评】证法1注意了题中三角形中线的条件，作倍长中线构造全等三角形证得结论，这是我们在解决有中线这一条件时，常常采用的倍长中线法；证法2是利用折半的方法，将CD分成两条相等的线段，去证两线段与CE相等；证法3～4均利用三角形中位线的方法证得，当题中有线段中点的条件时，经常设法作三角形中位线，这也是一条重要的辅助线.（作者单位：江苏省宝应县实验初级中学）。
线段相关知识点总结
线段相关知识点总结一、线段的定义线段是平面上的一段有限长的直线部分，两个端点确定一段唯一的线段。
线段可以用字母表示，如AB、BC等。
二、线段的性质1. 唯一性：由两个不同的点，在平面上只有一条线段与之对应。
2. 长度：线段的长度是线段两个端点之间的距离，可以通过坐标系计算得出。
3. 线段的延长：线段可以延长，延长后成为直线。
4. 线段的中点：线段中点是指线段的内部点，到线段两端点的距离相等。
5. 线段的平分：如果一条直线将一条线段分成相等的两部分，那么这条直线为线段的中位线。
6. 线段的垂直平分：如果一条垂直线将一条线段分成相等的两部分，那么这条直线为线段的垂直平分线。
7. 线段的夹角：两条线段相交时，它们所夹的角度称为线段的夹角。
8. 线段的夹角关系：两条线段夹角的大小可以通过角度公式来计算。
9. 线段的垂直关系：如果两条线段的夹角为90度，则它们是垂直关系。
10. 线段的平行关系：如果两条线段在同一平面上，且它们的方向相同，则它们是平行关系。
三、线段的应用1. 测量长度：线段用于测量长度，如建筑施工、地图绘制、道路规划等。
2. 切割等分：线段可以用于切割等分物体，如木板、绳子等。
3. 组合图形：线段可以用于组合图形，构成各种几何图形。
4. 结构支撑：线段可以用于构建各种支撑结构，如桥梁、塔楼等。
5. 几何证明：线段可以用于几何证明，如证明线段的夹角关系、垂直关系、平行关系等。
四、常见的线段定理1. 线段的加法定理：如果A、B、C三点共线，且B点在AC线段上，那么AB+BC=AC。
2. 线段的分等定理：如果D是AB的中点，则AD=BD=1/2AB。
3. 线段的减法定理：如果A、B、C三点共线，那么AC=AB+BC。
4. 线段的等分与倍分：线段可以按照一定比例等分或倍分。
五、线段相关定理的应用实例1. 实例一：AB是直角三角形ABC的斜边，D是AB上一点，且AD=AC，求证：∠AC=∠CAD。
证明：由线段的等分定理得知AC=AD，又根据三角形的对顶角相等，可得∠AC=∠CAD。
中考数学几何模型专题5倍长中线模型(学生版)知识点+例题
【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题5倍长中线模型如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．·一模）问题提出（1）如图，AD是△ABC的中线，则AB+AC__________2AD；（填“>”“<”或“=”）问题探究（2）如图，在矩形ABCD中，CD=3,BC=4，点E为BC的中点，点F为CD上任意一点，当△AEF的周长最小时，求CF的长；②图问题解决（3）如图，在矩形ABCD中，AC=4,BC=2，点O为对角线AC的中点，点P为AB上任意一点，点Q为AC上任意一点，连接PO、PQ、BQ，是否存在这样的点Q，使折线OPQB的长度最小？若存在，请确定点Q的位置，并求出折线OPQB的最小长度；若不存在，请说明理由．【例2】．（2021·湖北武汉·八年级期中）已知△ABC中，（1）如图1，点E为BC的中点，连AE并延长到点F，使FE=EA，则BF与AC的数量关系是________．（2）如图2，若AB=AC，点E为边AC一点，过点C作BC的垂线交BE的延长线于点D，连接AD，若∠DAC=∠ABD，求证：AE=EC．（3）如图3，点D在△ABC内部，且满足AD=BC，∠BAD=∠DCB，点M在DC的延长线上，连AM交BD的延长线于点N，若点N为AM的中点，求证：DM=AB．【例3】（2020·安徽合肥·二模）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F．(1)如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE=BE+2CE；(2)在(1)的条件下，求CE的值；BC(3)如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG=DF时，求证：HG∠AG．【例4】．（2020·江西宜春·一模）将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，OA =OB,OC =OD,∠AOB =∠COD =90°，连接AC,BD ．（1）如图1,若A 、O 、D 三点在同一条直线上，则AC 与BD 的关系是 ；（2）如图2，若A 、O 、D 三点不在同一条直线上,AC 与BD 相交于点E ，连接OE ,猜想AE 、BE 、OE 之间的数量关系，并给予证明；（3）如图3，在(2)的条件下作BC 的中点F ,连接OF ，直接写出AD 与OF 之间的关系．一、解答题1．（2022·全国·八年级）如图1，在∠ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8，求AC 边上的中线BD 的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD 至E ，使DE ＝BD ，连接CE ，可证得∠CED ∠∠ABD ． ∠请证明∠CED ∠∠ABD ；∠中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在∠ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向∠ABC 外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC ＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．2．（2022·全国·八年级课时练习）【观察发现】如图∠，∠ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．在∠ABD与∠ECD中{BD=DC ∠ADB=∠EDC AD=DE∠∠ABD≅△ECD（SAS）∠AB＝．又∠在∠AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∠＜AE＜．又∠AE＝2AD．∠＜AD＜．【探索应用】如图∠，AB∥CD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为．（直接写答案）【应用拓展】如图∠，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE 的中点，求证：AP∠DP．3．（2022·江苏·八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你。
(几何证明Ⅱ：倍长中线法及截长补短法专题C)(教师版)
学科教师辅导讲义 年 级： 科 目：数学 课时数：3课 题 几何证明教学目的 能够灵活运用本节课复习的两种解题方法更好的解决证明题.教学内容【例题讲解】题型一：截长补短法【例1】已知：如图，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线.求证：AB BD AC +=.（根据图中添加的辅助线用两种方法证明）ABDC【提示】截长补短，2种方法‘方法一：方法二：【例2】已知：如图，在△ABC 中，2AB BC ，∠B =60°.求证：∠ACB =90°.【提示】截长补短（两种方法）方法一：方法二：【方法总结】当已知（或求证）“一条线段的长度是另一条线段长度的n 倍”或“一条线段的长度等于两条线段长度的和”时，通常用截长补短法.题型二：倍长中线法（一）求线段取值范围【例3】已知三角形的两边长分别为7和9，求第三边上中线长的取值范围.【提示】倍长中线（二）证明线段不等【例4】如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线．求证：AB +AC ＞2AD ．【提示】延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接CE ．易证△ABD ≌△ECD ．所以AB =EC ．在△ACE 中，因为AC +EC ＞AE =2AD ，所以AB +AC ＞2AD ．（三）证明线段相等.求证：AC=BF. 【例5】已知：如图，AD为△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：【方法总结】当已知“三角形一边中线”通常运用“倍长中线法“解决问题（注：有时倍长的并不一定是中线）.可以倍长过中点的任意一条线段.（如下题）【例6】如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．【分析】可以把FE看作△FBC的一条中线．延长FE至点H，使EH=FE，连接CH．则△CEH≌△BEF．所以CH=BF，∠H=∠1．因为EG//AD，所以∠1=∠2，∠3=∠G．又因为∠2=∠3，所以∠1=∠G．所以∠H=∠G．由此得CH=CG．所以BF=CG．方法二：延长GE到H使得EH=EG（四）证明线段倍分【例7】如图，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD．CAD B E【分析】延长CD至点F，使DF=CD，连接BF．则由△ADC≌△BDF可得AC=BF，∠1=∠A．由AC=AB得∠ACB=∠2．因为∠3=∠A+∠ACB，所以∠3=∠CBF．再由AC=AB=BF=BE及BC=BC，可得△CBE≌△CBF，所以CE=CF，即CE=2CD（五）证明两直线垂直【例8】如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M为FH的中点．求证：MA⊥BC．FEB CDAMHG【分析】设MA的延长线交BC于点D，延长AM至点N，使MN=AM，连接FN．则由△FMN≌△HMA可得FN=AH=AC，FN//AH，所以∠AFN+∠F AH=180°．因为∠BAC+∠F AH=180°，所以∠AFN=∠BAC．又因为AF=AB，所以△AFN ≌△BAC，得∠1=∠2．因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°，所以∠ADB=90°．从而得出MA⊥BC．【借题发挥】1．已知：如图，DA⊥AC，FC⊥AC，ADB BDF∠=∠，CFB DFB∠=∠.求证：DF AD CF=+.【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：2．已知：如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，点P在DC边上，且AP AB CP=+.求证：2BAP BAM∠=∠.AD CBMP【提示】截长补短，2种方法方法一：方法二：3．已知：如图，C是AB的中点，点E在CD上，且AE BD=.求证：AEC BDC∠=∠.【提示】倍长中线法，2种方法方法一：方法二：+=. 4．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，作DH⊥BC于点H.求证：DC CH BH【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：【课堂总结】【课后作业】1．已知D为EC的中点，EF∥AB，且EF=AC，求证：AD平分∠BAC【提示】倍长中线法：延长FD至G，使FD=DG，联结CG2．已知如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB BD DC+=.求证:∠2B=∠C.【提示】截长补短法，两种方法方法一：方法二：二、综合提高训练1．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，AB=AC, ∠B的平分线与AC交于点D，过点C作CH⊥BD，H为垂足。
初中几何经典例题及解题技巧
初中几何证明技巧及经典试题证明两线段相等1. 两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。
*12.两圆的内(外)公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线(或高)平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。
*6.同圆(或圆)中，等弦(或弧)所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两条直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。
八年级数学上册《直角三角形的性质(1)》说课稿
八年级数学上册《直角三角形的性质（1）》说课稿一、教材分析直角三角形的性质是初二年级上半学期第19章第8节的内容，共分为3个课时，一为直角三角形两个锐角互余和斜边上的中线等于斜边的一半两个性质定理；二为直角三角形30度所对的边等于斜边的一半及其逆定理，三为综合训练。
本堂课为第一课时的内容。
在此之前学生已经学习过一般三角形的相关性质如内角和性质、外角性质、三边关系以及特殊三角形如等腰三角形和等边三角形的性质和判定，以及三角形全等等足够的知识基础。
本课为研究特殊三角形——直角三角形的入门，是以后综合图形证明的一个基础。
二、学生分析总体来说，绝大多数学生处于中等偏下水平，对几何证明的学习或多或少有些心里障碍，尤其是证题思路的形成，但是仍处于对于新事物好奇的阶段，所以可以通过老师课堂上得有效引导和阶梯是铺垫提示让学生学有所成。
三、教学目标1、掌握直角三角形两个锐角互余和斜边上的中线等于斜边的一半这两个性质定理，并能初步运用其解决简单的几何问题；2、经历定理推导过程，体会实验—猜想—论证的完整过程。
3、通过探究直角三角形的性质，培养学生的学习兴趣和严谨的学习态度。
四、教学难点、重点1、经历“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质定理的推导过程2、直角三角形两个性质定理的简单运用五、教学设计过程（一）性质1的引入和训练1、利用2分钟预备铃学生朗读自己整理的已经学过的有关三角形的知识点；2、开门见山，提问直角三角形两个锐角的关系，得出性质1：直角三角形两个锐角互余；重点强调几何书写，让学生了解在证明书写时如何规范应用这个性质3、性质1的应用，由易入难进行训练，准备习题如下：1、在直角三角形中，有一个锐角为480，那么另一个锐角度数为2、等腰直角三角形的一个锐角等于__________3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么图中有几个直角三角形？有几组角互余？有哪些角相等？第1小题是最简单的应用；第2小题为后面性质2的推导过程中特殊的直角三角形——等腰直角三角形中斜边上得中线等于斜边的一半打个小基础，而且这也是一个常识知识。
13 全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版)-2024年中考数学几何模型归纳讲练(全国通用)
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三 角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型 1.倍长中线模型 【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添 加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角 形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 【常见模型及证法】 1、基本型：如图 1，在三角形 ABC 中，AD 为 BC 边上的中线.
证明思路：延长 AD 至点 E，使得 AD=DE. 若连结 BE，则 BDE CDA ；若连结 EC，则 ABD ECD ；
2、中点型:如图 2， C 为 AB 的中点. 证明思路：若延长 EC 至点 F ，使得 CF EC ，连结 AF ，则 BCE ACF ; 若延长 DC 至点 G ，使得 CG DC ，连结 BG ，则 ACD BCG . 3、中点+平行线型：如图 3, AB // CD ，点 E 为线段 AD 的中点. 证明思路：延长 CE 交 AB 于点 F (或交 BA 延长线于点 F )，则 EDC EAF .
（2）问题解决：如图②，在 VABC 中， D 是 BC 边上的中点， DE DF 于点 D ， DE 交 AB 于点 E ， DF
交 AC 于点 F ，连接 EF ，求证： BE CF EF ； （3）问题拓展：如图③，在四边形 ABCD 中， B D 180 ， CB CD ， BCD 100 ，以 C 为顶点作 一个 50 的角，角的两边分别交 AB 、 AD 于 E 、 F 两点，连接 EF ，探索线段 BE ， DF ， EF 之间的数量关 系，并说明理由．
专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)
全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD = EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。
初二几何证明一(线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质)
线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质知识点梳理1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2、 角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.D21P CABEO1、 等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半4、 等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 ◆ 命题、公理、定理命题：判断性的语句 陈述句，一般由题设和结论组成，写成“如果……，那么……”的形式 几个重要的公理（不需证明）： （1） 两点之间线段最短；（2） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （3） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4） 同位角相等，两直线平行； （5）两直线平行，同位角相等。
1、已知：如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E 。
求证：BD ＋EC ＝DE 。
2、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.3、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。
求证：90o ACB ∠=CA4、如图，已知：在,90,30ooABC C A ∆∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。
第19章《几何证明(一)-证明》知识讲练(学生版)
2023-2024学年沪教版数学八年级上册章节知识讲练知识点01：几何证明1．命题和证明（1）命题定义：判断一件事情的句子.判断为正确的命题，叫做真命题；判断为错误的命题，叫做假命题.（2）演绎证明（简称证明）从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程.易错点拨：命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论.2.公理和定理（1）公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始依据.（2）定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.3.逆命题与逆定理（1）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题. 其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题.（2）如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理.4.证明真命题的一般步骤（1）理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证）（2）根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号（3）结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”（4）分析题意，探索证明思路（由“因”导“果”，执“果”索“因”）（5）依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程（6）检查表达过程是否正确、完善易错点拨：（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个；（2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系.知识点02：线段的垂直平分线和角的平分线1.线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的定义垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线.（2）线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.如图：∵MN垂直平分线段AB∴PA=PBMN BAP（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.易错点拨：线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明边、角相等的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用.2.角的平分线（1）角的平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.（2）角的平分线有下面的性质定理：①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.如图：∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE.3.垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.易错点拨：（1）当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质可直接得到垂线段相等，而不必用全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系；（2）已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题.知识点03：轨迹1.轨迹的定义把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹.易错点拨：轨迹定义包含以下两层含义：其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的AB O D E P纯粹性）；其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（也称图形的完备性）；所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义.2.三条基本轨迹轨迹1：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；轨迹2：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；轨迹3：到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆.3.交轨法作图利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A的轨迹，然后再作出满足条件B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件A和条件B.交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用了交轨法.易错点拨：“尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）经过一点作已知直线的垂线；（5）作线段的垂直平分线.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•徐汇区期末）下列命题中，假命题是（ ）A．对顶角相等B．等角的补角相等C．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行D．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等2．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）在下列各原命题中，逆命题为假命题的是（ ）A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．关于某一条直线对称的两个三角形全等3．（2分）（2021秋•徐汇区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB的垂直平分线DE交AB 于点D，交BC于点E，且AE平分∠BAC，下列关系式不成立的是（ ）A．AC＝2EC B．∠B＝∠CAE C．∠DEA＝∠CEA D．BC＝3CE4．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图所示，点H是△ABC内一点，要使点H到AB、AC的距离相等，且S△ABH ＝S△BCH，点H是（ ）A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点5．（2分）（2022秋•杨浦区期中）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，CE是AB边上的高，AD与CE交于点F，过点D作DG∥CE交边AB于点G，联结CG交AD于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ）A．CD＝DG B．CF＝DG C．FH＝DH D．EF＝EG6．（2分）（2021秋•奉贤区校级期末）下列说法错误的是（ ）A．在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线B．到点P距离等于1 cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆C．到直线l距离等于2 cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线D．等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线7．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）下列命题的逆命题中，真命题有（ ）①全等三角形的对应角相等；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③关于某一条直线对称的两个三角形全等；④等腰三角形的两个底角相等．A．1个B．2个C．3个D．4个8．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A．直角三角形的两个锐角互余B．两直线平行，内错角相等C．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形D．若x＝y，则x2＝y29．（2分）（2022秋•黄浦区月考）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）A．等边三角形的三个内角都等于60°B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．相等的两个角是对顶角10．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（ ）A．4B．5C．6D．7二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•宝山区期末）在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，如果DE ＝1，△ABC的面积是6，则△ABC的周长是 ．12．（2分）（2022秋•徐汇区期末）到点P的距离等于4cm的点的轨迹是 ．13．（2分）（2022秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分角BAC，AB＝6，AC＝4，△ABD的面积为9，则△ADC的面积为 ．14．（2分）（2022秋•普陀区期中）把命题“全等三角形的对应角相等”改写成“如果…，那么…”的形式． ．15．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，点P是∠AOB的平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝8，则PD＝ ．16．（2分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图，等边△ABC中，点E为高AD上的一动点；以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF＝ ．17．（2分）（2022秋•青浦区校级期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，如果AD＝DE，且∠BDE＝2∠ABC，那么∠CDE的度数是 ．18．（2分）（2022秋•徐汇区校级期末）已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点，AD ＝12，BC＝17，则线段BH的长为 ．19．（2分）（2022秋•杨浦区期末）如图，已知在等腰△ABC中，如果AB＝AC，∠A＝40°，DE是AB的垂直平分线，那么∠DBC＝ 度．20．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）在△ABC中，∠BAC＝α，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC 的垂直平分线交边BC于点E，连接AD，AE，则∠DAE的度数为 ．（用含α的代数式表示）三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•黄浦区月考）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．22．（6分）（2022秋•黄浦区校级月考）如图，在△ABC中，PE垂直平分边BC，交BC于点E，AP平分∠BAC 的外角∠BAD，PG⊥AD，垂足为点G，PH⊥AB，垂足为点．（1）求证：∠PBH＝∠PCG；（2）如果∠BAC＝90°，求证：点E在AP的垂直平分线上．23．（8分）（2021秋•奉贤区校级期中）已知：如图，AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA．过点C作直线DE，分别交AM、BN于D、E．（1）求证：△ABC是直角三角形．（2）求证：CD＝CE．24．（8分）（2022秋•青浦区校级期末）已知，如图在△ABC中，AD、BE分别是BC，AC边上的高，AD、BE 交于H，DA＝DB，BH＝AC，点F为BH的中点，DC＝DF．（1）求证：△ADC≌△BDH；（2）求证：∠ABE＝15°．25．（8分）（2020秋•浦东新区月考）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE＝ED．26．（8分）（2022秋•徐汇区校级期末）如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD于F，BE＝CF．（1）求证：点D为BC的中点；（2）若BC＝2AC，求证：AF＝ED．27．（8分）（2021秋•普陀区期末）已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点M是边AC上一动点（与点A、C不重合），点N在边CB的延长线上，且AM＝BN，连接MN交边AB于点P．（1）求证：MP＝NP；（2）若设AM＝x，BP＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△BPN是等腰三角形时，求AM的长．28．（8分）（2019秋•浦东新区校级月考）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点．（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答．。
中学考试专题中线倍长法及截长补短
文档几何证明中常用辅助线:)中线倍长法(一、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
1 例1 (AB+AC)﹤已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD 21也就是证明两条线段之和分析：要证明AD ﹤(AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD，2，但题中的三条大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”因此应该进行转线段共点，不能用三角形三边关系定理，没有构成一个三角形，应该加倍。
，即中线AD化。
待证结论AB+AC>2AD中，出现了2AD AE=2AD。
DE=AD，使，连CE，则证明：延长AD至E 中，在△ ADB和△EDC AD=DE AEDCADB=∠∠DCBD=EDC(SAS) ≌△∴△ADB CDB AB=CE∴中，在△ACE又E AE＞AC+CE1 (AB+AC)AD ﹤AC+AB＞2AD，即∴2即中线倍长法。
涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，小结：(1)集中于同一个三CAD和两个角∠BAD和∠它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC 角形中，以利于问题的获解。
BAC?ABC?AB=AC 是BD=CD，求证课题练习:的平分线，且中，AD AC BD文档中线一倍辅助线作法 2:例A A方式1：延长AD△ABC中到E，AD是BC边中线使DE=AD，连接BE BC BC D D方式2：间接倍长EA A延长MD到NAD于F，，作CF⊥F作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD，M连接BE 连接CD CB D D CBE N例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，A求证：BD=CEDBCF E课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交A?ABCAB?AC，D：已知：如图，在AC于例5、E中，DF//BA A交AE于点F，DF=AC. 作DE=EC在BC上，且，过D FE?BAC求证：AE平分FED第1 题文档BAE ∠ABD的中线，求证：∠C=∠BAD，AE是△课堂练习：已知CD=AB，∠BDA= ABC DE作业：的延长线相交于DC，∠EAFAF与AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=1、在四边形ABCD 中，之间的数量关系，并证明你的结论与AF、CF点F。
初中几何添加辅助线的99条规律
初中几何添加辅助线的99条规律规律1如果平面上有n(n≥2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n－1)条。
规律2平面上的n条直线最多可把平面分成〔n(n+1)/2+1〕个部分。
规律3如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为n(n－1)条。
规律4线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半。
规律5有公共端点的n条射线所构成的角的个数一共有n(n－1)个。
规律6如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2n（n －1）个。
规律7如果平面内有n条直线都经过同一点，则可构成n（n－1）对对顶角。
规律8平面上若有n（n≥3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出n(n－1)(n－2）个。
规律9互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90°。
规律10平面上有n条直线相交，最多交点的个数为n(n－1)个。
规律11互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半。
规律12当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直。
规律13在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：（1）当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可。
（2）如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可。
规律14成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半。
规律15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题。
注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题。
2023年中考数学常见几何模型全归纳之模型 全等模型-倍长中线与截长补短(原卷版)
专题01 全等模型--倍长中线与截长补短全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE . 若连结BE ，则BDE CDA ∆≅∆；若连结EC ，则ABD ECD ∆≅∆；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC =，连结AF ，则BCE ACF ∆≅∆;若延长DC 至点G ，使得CG DC =，连结BG ，则ACD BCG ∆≅∆.3、中点+平行线型：如图3, //AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF ∆≅∆.1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：如图①：在ABC 中，若6AB =，4AC =，点D 为BC 边的中点，求BC 边上的中线AD 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E 使DE AD =，再连接BE ，可证ACD EBD △≌△，从而把AB 、AC ，2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在ABC 中，点D 是BC 的中点，DE DF ⊥于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC于点F ，连接EF ，判断BE CF +与EF 的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AF 与DC 的延长线交于点F 、点E 是BC 的中点，若AE 是BAF ∠的角平分线．试探究线段AB ，AF ，CF 之间的数量关系，并加以证明．2．（2022·河南南阳·中考模拟）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第69页的部分内容：如图，在ABC 中，D 是边BC 的中点，过点C 画直线CE ，使//CE AB ，交AD 的延长线于点E ，求证：AD ED =证明∵//CE AB （已知）∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（两直线平行，内错角相等）．在ABD △与ECD 中，∵ABD ECD ∠=∠，BAD CED ∠=∠（已证），BD CD =（已知），∵()A.A.S ABD ECD △△≌，∵AD ED =（全等三角形的对应边相等）．（1）【方法应用】如图①，在ABC 中，6AB =，4AC =，则BC 边上的中线AD 长度的取值范围是______． （2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD 中，//AB CD ，点E 是BC 的中点，若AE 是BAD ∠的平分线，试猜想线段AB 、AD 、DC 之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）【拓展延伸】如图③，已知//AB CF ，点E 是BC 的中点，点D 在线段AE 上，EDF BAE ∠=∠，若5AB =，2CF =，求出线段DF 的长．3．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段a 要满足两个条件：①线段a 一个端点是图中一条线段b 的中点；②线段a 与这条线段b 不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．【应用举例】如图（1），已知：AD 为ABC ∆的中线，求证：2AB AC AD +>．简证：如图（2），延长AD 到E ，使得DE AD =，连接CE ，易证ABD ECD ∆≅∆，得AB = ，在ACE ∆中，AC CE +> ，2AB AC AD +>．【问题解决】（1）如图（3），在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ，求证：AF EF =．（2）如图（4），在ABC ∆中，90,A D ∠=︒是BC 边的中点，E F 、分别在边AB AC 、上，DE DF ⊥，若3,4BE CF ==，求EF 的长．（3）如图（5），AD 是ABC ∆的中线，,AB AE AC AF ==，且90BAE FAC ∠=∠=︒，请直接写出AD 与EF 的数量关系_ 及位置关系_ ．模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
中考几何证明复习之倍数线段的等量关系证明(1)巴蜀中学初三数学组
巴蜀中学欢迎您！倍数线段的等量量关系证明(⼀一)重庆市巴蜀中学初三数学组 王川中考⼏几何证明复习之我们学过的两种特殊的直⻆角三⻆角形：课前回顾1112CBA45°45°ACB30°60°AG DEB 45°H⽅方法⼀一例例1:先证△ABE ≌△CFE 得△BFE 是等腰直⻆角三⻆角形，∠FBE =45°过点F 作FH ⊥BF 交BC 于点H ，分析FC12BH转化证△A B F ≌△C F H⽅方法⼆二例例1：分析AGDC45°QB延⻓长FE ，过B 作BQ ⊥BF 交FE 的延⻓长线于点Q,得△BFQ 是等腰直⻆角三⻆角形证△A B Q ≌△C F BEFQ转化FAGDCEBFN⽅方法三例例1：分析作CN ⊥BC 交BG 的延⻓长线于点N ,连接ND证△CBF ≌△CND 后再证△NGD 是等腰直⻆角三⻆角形即可ND转化AGDCEBFN⽅方法四例例1变式：分析过点C 作CN ⊥AD 交点N证△CEF ≌△CND 再证GN=E F转化⼩小结与反思：C EBF构造或利利⽤用等腰直⻆角三⻆角形D AEFACBDGQFBAGC ED HGN通过旋转变换的思想找全等B AGCE DNP分析延⻓长AG ⾄至点P ,使AG=GP ,连BP,PF ∴△AGE ≌△PGB ∴AE=BP=CF∴△ACF ≌△ABP ∴可得△APF 是等边三⻆角形例例2：ABCDGEF⼩小结与反思利利⽤用含30 °的直⻆角三⻆角形构建等边三⻆角形A BCDGEF通过旋转变换的思想找全等P本节课你收获了了什什么：本课牢记“1 2 2”两种思想： 转化思想 数形结合思想 两个模型： 等腰直⻆角三⻆角形，含30 °的 直⻆角三⻆角形⼀一种⽅方法： 旋转变换找到全等谢谢⼤大家重庆市巴蜀中学校 王川B D MA C F E G 分析∴可证△AME ≌△CGEAM=GC,EM=EG △MEG 是等腰直⻆角三⻆角形作EG ⊥ME 交MC 于点G,A B C D ,A E ⊥B C 于点E ，F 是上⼀一点，F C ⊥C D 且F C =C D , 延⻓长C F 与A B 交于点M ,连接E M 。
一题多解，妙处自现—-根号2倍关系的几何证明
一题多解，妙处自现— - 根号 2 倍关系的几何证明摘要：老师在讲授或学生在解一道几何证明题时，经常会得到结论就结束了解题，而可能会忽视继续去发现、深入挖掘更多的方法，这样就浪费了宝贵的思维财富。
为了有利于培养学生的发散思维、创新思维，为了避免学生在解几何题时偏执的钻牛角尖，解题更加游刃有余。
在高效解题背景要求下，我们需在解题能力多元化、方法多样化方面下功夫，这样有利于提升学生的解题水平。
关键词：平面几何题；倍关系；辅助线；几何、代数方法波利亚说“掌握数学就意味着善于解题”。
这里的“掌握”包括关于数学的知识意蕴、思考方式、思想方法、思维倾向等。
特别需要指出的是，题目只是载体，因此更需要深入思考方法才能达到真正意义上的“掌握”。
一、呈现题目如图1，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，点F是AE上一点，FC⊥CD，且FC=CD，连接BF并延长交AD于点G.求证：①△AEB≌△CEF；②DG＝ BF本题是在听本校年轻教师上汇报课时记录的题目，未查出处。
但可以肯定，它是近几年来中考热点、经典代表之一。
解析：本题第一问，由平行四边形的性质可知，AB=CD=CF，∠BAD=∠BCD，又因为AD∥BC且AE⊥BC，所以∠AEB=∠CEF=∠EAD=90°，由FC⊥CD，所以∠FCD=90°，可得∠BAE=∠FCE，从而证得△AEB≌△CEF。
此时，估计有部分同学就会马上联系第二问进行思考，证明全等会给我们带来些什么有用结论呢?1.由△AEB≌△CEF，可以得到BE=EF，AE=CE；2.易证△BEF和△AFG为等腰直角三角形；(3)由AD=BC，AG=AF，EF=BE，所以：DG=AD-AG=AD-AF，BE=BC-EC=BC-AE=BC-EF-AF，所以：DG=2BE，这样就为解决第二问带来便利。
二、几何方法解决第二问的方法探索（一）方法①：不添辅助线，直接证明第二问是非常典型的倍模型，需要构建等腰直角三角形，而△BEF就是等腰直角三角形，所以易解决。
初中数学几何专题- 辅助线专题(1)-中线倍长问题
A
C
MD
【拓】等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE 有公共的直角顶点 A，分别连接 CD、BE. （1）如图，若 N 为 BE 的中点，求证：2AN＝CD；
A
D
M
C
E
N
B
（2）如图，若 N 为 BE 的中点，点 M 为 AN 和 CD 的交点，求证：AM⊥CD； A
D
M
C
E
N
B
（3）如图，若 AM⊥CD 于点 M，点 N 为 MA 与 BE 的交点，求证：N 为 BE 的中点．
D
A
E
B
P
C
【家庭作业】 1、在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若 AB＝3，AD＝4，则 AC 长的取值范围是______________. 2、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，点 E 在 AD 上，BE＝AC，延长 BE 交于 AC 于 F，求证：AF＝EF．
3、如图，在△ABC 中，AB＞AC，E 为 BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线，交 AB 于 F，交 CA 的延长线于 G．求证：BF＝CG．
（2）如图 2，△ABC 为一般三角形时线段 AM 与 ED 的关系是_________．试证明你的结论； （3）如图 3，若以△ABC 的边 AB、AC 为直角边，向内作等腰直角△ABD 和△ACE，其它条件不变，
试探究线段 AM 与 DE 之间的关系，不要求证明你的结论．
D E
ED
A
A
A
C M
B MC 图1
B
D
E
C
【例 2】如图，△ABC 中， AC<AB ， AD 是中线．求证： DAB<DAC ． A
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中考专题复习
几何证明之线段倍分关系（一）
（教学设计）
一、教学目标
1、掌握几何证明题的基本解题步骤、思路和方法（本节课重点学习解题方法，可简略书写过程）。
2、灵活运用线段中点的常见用法，会证明线段的2倍关系。
3、体会重要的数学思想——转化思想；会从不同角度出发思考问题，探索用多种方法解答问题。
二、教学重难点
教学重点：几何证明题的基本解题步骤、思路和方法；灵活运用线段中点的常见用法，会证明线段的2倍关系。
教学难点：作辅助线。
三、教学过程：
（一）、自学预检（用简短的语言或图形表示）
1、几何证明题的解题步骤是：
2、线段的中点有哪些常见的用法：
3、证明线段的2倍关系除以上中点的基本图形外还有什么方法：
4、证明线段相等有哪些常见的方法：
（二）、合作探究
例1：如图，在菱形ABCD中,∠BAD=60°，M为线段AC上一点(M不与A,C重合)，以AM为边，构造如图所示等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC，DM，Q为线段NC的中
点，连接DQ，MQ，求证：DM=2DQ.
请同学们标上已知条件，并思考以下问题：
1、由菱形ABCD你在图中能得到哪些结论？结合∠BAD=60°你又能得到时哪些结论？把你认为有用的结论标在图上。
2、由等边三角形AMN你能得出哪些结论？
3、中点有哪些常见的用法？结合图形和已知条件猜想中点Q可以怎么用？
4、线段的2倍关系有哪些常见的证明方法？结合图形和已知条件你认为有哪些可能的方
法？
5、你还有其他方法吗？请写出简要解题思路（可不写证明过程）。
我的收获：
（三）当堂达标：
如图，在RT △ABC 中，∠ABC=90°，在RT △BDE 中，∠BDE=90°，AB=DB ，∠
BAC=∠BDE ，连接CD ，连接AE 交BD 于点F ，点F 恰好为AE 的中点。
求证：CD=2BF 。
（四）课堂小结 备用图
备用图
备用图。