随机信号分析基础学习知识课后学习材料

第一章

1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A = ()0.2P B = ()0.1P C = ()0.4

P D =

E －迟到，由已知可得

(|)0.25(|)0.4

(|)0.1(|)0

P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()()P E P EA P EB P EC P ED =+++ 贝叶斯公式：

()(|)()0.075

(|)0.455()()0.165(|)()0.08

(|)0.485

()0.165

(|)()0.01

(|)0.06

()0.165(|)()

(|)0

()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ⋅=

===⋅===⋅===⋅==

综上：坐轮船

3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2

2

22,0

()0,0X x x X x e x f x x σσ-⎧⎪>=⎨⎪

<⎩

式中，常

数0X σ>，求期望()E X 和方差()D X 。 考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？

2

22

2

2

2()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dx

D X

E X m X m f x dx

D X

E X E X E X x f x dx

∞

-∞

∞

-∞

∞-∞

=⋅=-=

-=-⇒=⋅⎰⎰

⎰

6、已知随机变量X 与Y ，有1,3,()4,()16,0.5XY EX EY D X D Y ρ=====，令

3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。

考察随机变量函数的数字特征

思路： 协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-⋅ 相关系数：

22()()()

()()()2(,)

XY E aX bY aE X bE Y D aX bY a D X b D Y abCov X Y ρ=

+=++=++

()6

()5()76()52(,)40E U E V D U D V Cov U V ==-===-

11、设随机变量X 的均值为3，方差为2。令新的随机变量622Y X =-+，问：随机变量X 与Y 是否正交、不相关？为什么？ 考察正交、不相关的概念

()0

E XY =⎧⎨≠⎩ 0正交，非0不正交

XY ρ=⎧⎨

≠⎩ 0不相关，非0相关 ()0E XY = 正交 (,)0Cov X Y ≠ 相关

以上四题都是概率论的标准题。

第二章

1、已知随机信号0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布，求

0020,

,33t ππωω=三个时刻()X t 的一维概率密度函数。 解：

0022

00[()][cos ]cos []

()[()][cos ]cos []

x X

m E X t E A t t E A t D X t D A t t D A ωωσωω===⋅===⋅

A Q 服从标准高斯分布 022200[]0,[]1[]cos 0

()[]cos cos x X E A D A m E A t t D A t t

ωσωω∴==∴=⋅==⋅=

∴

一维高斯概率密度函数2

2220[()]2cos 2()

(,)x X x m t x t

t x f x t ωσ--

-

=

=

①当0t =

时，22

(;0)x x f x -=

②当03t πω=

时，2

20(;)3x x f x πω-= ③当023t πω=

时，2

202(;)3x x f x πω-=

3、随机变量X 与Y 相互统计独立，并且服从2

(0,)N σ分布。它们构成随机信号()X t XYt =，试问：(1)信号X(t)的一维概率密度函数(;)x f x t ；

(2) t 时刻的随机变量是什么分布，求其均值和方差。 解：（1）,X Y Q 服从2

(0,)N σ分布 且()X t X Yt =+ ()X t ∴也服从正态分布

[()][][][]0

[()][]

E X t E X Yt E X tE Y D X t D X Yt ∴=+=+==+

,X Y Q 相互统计独立

()

2

22

222

21[()][][][](1)(;)x t x D X t D X Yt D X t D Y t f x t σρ-

+∴=+=+=+∴=

（2）t 时刻，随机变量是高斯分布

2

2

[()]0[()](1)E X t D X t t σ

==+

∴其均值为0，方差为2

2

(1)t σ+

4、假定随机正弦幅度信号0()cos()X t A t ωθ=+，其中频率0ω和相位θ为常数，幅度A 是一个服从[]0,1均匀分布的随机变量，试求t 时刻该信号加在1欧姆电阻上的交流功率平均值。