小学四年级奥数教程-乘法原理
小学四年级奥数教程-乘法原理
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练习提升
有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？（30） 四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。小王自编一个“密码本”，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用“011”代表汉字“车”。问：小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字？（1000）
年度工作总结汇报
小学四年级奥数教程
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小学四年级奥数教程-乘法原理
知识要点 如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务的方法有： N＝m1×m2×…×mn 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。
小学四年级奥数教程-乘法原理
例题精选
例7：
用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？
小学四年级奥数教程-乘法原理
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将染色这一过程分为依次给A，B，C，D，E染色五步。 先给A染色，因为有5种颜色，故有5种不同的染色方法；第2步给B染色，因不能与A同色，还剩下4种颜色可选择，故有4种不同的染色方法；第3步给C染色，因为不能与A，B同色，故有3种不同的染色方法；第4步给D染色，因为不能与A，C同色，故有3种不同的染色方法；第5步给E染色，由于不能与A，C，D同色，故只有2种不同的染色方法。根据乘法原理，共有不同的染色方法: 5×4×3×3×2＝360（种）
四年级奥数培优《乘法原理》
乘法原理一、知识梳理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理。
乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”。
二、例题精讲例1. 在下图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何点不得重复经过，问这只甲虫最多各有几种不同走法？例 2. 要从五年级六个班中评选出学习，体育、卫生先进集体各一个，有多少种不同的评选结果（同一个班级只能得到一个先进集体？）例3. 5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？例4. 如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？A B例5. 北京到上海之间一共有6站，车站应该准备多少种不同的车票？（往返车票算不同的两种）三、课堂小测7. 邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？8.将四封不同的信投入3个不同的信箱中，有多少种不同的投法。
9. “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色.现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？10.用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色.问：共有多少种不同的染色方法？11. 北京到广州之间有10个站，其中有四个站是大站（包括北京、广州），从大站出发的车辆可以配卧铺，那么铁路局要准备多少种不同的卧铺车票。
小学四年级奥数教程乘法原理
《小学四年级奥数教程乘法原理》2023-10-28contents •乘法原理概述•乘法原理基础•乘法原理进阶•乘法原理的应用•乘法原理的练习题与解析目录01乘法原理概述乘法原理定义乘法原理是关于两个或两个以上整数相乘的原理，即任何整数都可以表示为其他整数的和与倍数的乘积。
乘法原理公式乘法原理的公式为a×b=a×(b+n)−n，其中a、b和n均为整数，且n为任意整数。
什么是乘法原理基础数学知识乘法原理是小学数学中的基础知识，对于理解乘法的本质和解决乘法问题具有重要意义。
数学思维的培养学习乘法原理有助于培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，为后续学习更复杂的数学知识和解决实际问题打下基础。
乘法原理的重要性在古代数学中，乘法原理已经得到广泛应用。
例如，在古埃及和古希腊的数学文献中，都有关于乘法原理的记载和应用。
古代数学中的乘法原理在现代数学中，乘法原理不仅是基础数学知识之一，还在其他数学分支和实际应用领域发挥着重要作用。
现代数学中的乘法原理乘法原理的历史与发展02乘法原理基础如果有一个数 a 和另一个数 b 相乘，那么它们的乘积就是 a × b。
乘法原理定义乘法原理是关于乘法的数学原理，它描述了两个或多个数相乘的结果和如何进行这些乘法运算。
乘法原理公式乘法原理的公式与定义VS乘法结合律将三个数相乘，可以任意组合，它们的乘积不变。
例如：(a × b)× c = a × (b × c)。
乘法交换律交换两个数的位置，它们的乘积不变。
例如：a × b = b × a。
分配律将一个数与另一个数的和相乘，等于分别将这两个数相乘再求和。
例如：a × (b + c) = a × b+ a × c。
乘法原理的运算规则在购物时，如果一个商品的价格是 a 元，购买 b 个，那么总价就是 a × b 元。
四年级奥数详解答案乘法原理
四年级奥数详解答案第九讲乘法原理一、知识概要如果要完成一件任务需要分成几个步骤进行做，第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法……，做第n步有m n种方法，即么，按这样的步骤完成这件任务共有N= m1×m2×…×m n种不同的方法。
这就是乘法原理。
乘法原理和加法原理的区别是：加法原理是指完成一件工作的方法有几类，之间不相关系，每类都能独立完成一件工作任务；而乘法原理是指完成一件工作的方法是一类中的几个不同步骤，互相关联，缺一不可，共同才能完成一件工作任务。
二、典型例题精讲1. 从甲地到乙地有两条路可走，从乙地到丙地有三条路可走，试问：从甲地经乙地到丙地共有多少种不同的走法？分析：如图，很明显，这是个乘法原理的题目。
要完成“从甲到丙的行走任务”必须分两步完成。
第一步：甲分别通过乙的三条路线到达丙，故有3种走法。
第二步：甲从第二条路线出发又分别通过乙的三条路线到达丙，故又有3种走法。
这两种走法相类似，共同完成“从甲到丙”的任务。
解：3×2=6(种) 答：共有6种不同的走法。
2. 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行、每列只能出现一个棋子，共有多少种不同的放法？分析：(如图二)摆放四个棋子分四步来完成。
第一步放棋子A，A可任意摆放，有16种摆放；第二步摆B，由于A所在的位置那一行，那一列都不能放，故只有9种放法；第三步摆C子，也由A、B所在的那一行，那一到都不能，只有四格可任意放，故有4种放法；第四步，只剩一格放D子，当然只有一种放法。
解：16×9×4×1=576(种) 答：共有576种不同的放法。
3. 有五张卡片，分别写有数字1，2，4，5，8。
现从中取出3张片排在一起，组成一个三位数，如□1□5□2，可以组成个不同的偶数。
分析：分三步取出卡片：1.个位，个位只能放2、4、8；故有3种放法；2.百位，因个位用去1张，所以百位上还有四张可选，故有4种放法；3.十位，因个位和百位共放了两张，所以还有3张可选放，有3种放法。
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15、机会表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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小学四年级奥数教程-乘法原 理
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
最新四年级奥数.计数综合.乘法原理(A级).学生版
四年级奥数.计数综合.乘法原理(A级).学生版（1） 懂得并运用加法乘法原理来解决问题，（2） 掌握常见的计数方法，会使用这些方法来解决问题一、 乘法原理我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地，如果完成一件事需要n 个步骤，其中，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法 ，…，做第n 步有m n 种不同的方法，则完成这件事一共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．．的独立步骤．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的．．．．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.二、 乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N 个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘三、 乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说从A 地到B 地有三种交通方式，从B 地到C 地有2种交通方式，问从A 地到C 地有多少种乘车方案；知识结构乘法原理有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几位数的偶数，有多少种排法．重难点（1）掌握加法乘法原理（2）熟练运用加乘方法（3）解决加乘及计数综合性题目例题精讲【例 1】马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋.问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？【巩固】康康到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？【例 2】从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？【巩固】邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？【例 3】用5种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？【巩固】“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色.现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？【例 4】如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？【巩固】用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色.问：共有多少种不同的染色方法？【例 5】从全班20人中选出3名学生排队，一共有多少种排法？【巩固】如果将四面颜色不同的小旗子挂在一根绳子上，组成一个信号，那么这四面小旗子可组成种不同的信号。
四年级上册数学奥数课件 乘法原理 全国通用 共19张
）（种）。
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2.灰姑娘有许多套服装，帽子的数量为3顶、上衣有5件， 裤子有6条，还有皮鞋3双，每次出行要从几种服装中各 取一个搭配．问：共可组成多少种不同的搭配(帽子可以 选择戴与不戴)？
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解题过程：
帽子戴有3种方式，不带有1
1、分（ 4 ）步完成 种，所以一共是4种
2、第一步选帽子，有（ 4 ）种； 第二步选上衣，有（ 5 ）种； 第三步选裤子，有（ 6 ）种； 第四步选鞋子， 有（ 3 ）种。
脑筋急转弯：
小刚问小强:"我用口红砸你的头,你用眉笔戳我的头, 弟弟用粉盒拍妹妹的头,妹妹用护肤霜打弟弟的头。请 问,是谁的头最疼?
答案：妈妈的头最疼
1
乘法原理 1
2
新课内容
3Байду номын сангаас
例1
马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子 和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴 一顶帽子、穿 一双鞋.问：小丑的帽子和鞋 共有几种不同搭配？
第二步选上衣，有（ 6 ）种； 第三步选裤子，有（ 4 ）种； 第四步选鞋子， 有（ 4 ）种。
3、根据乘法原则应有（ 3×6×4×4=288 ）种
鞋子一共有两种，但是每次只 能穿1种，所以一共是2+2=4（种）
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2020
谢谢聆听
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3、根据乘法原则应有（ 4×5×6×3=360 ）种
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3.灰姑娘有许多套服装，帽子的数量为3顶、上衣有6 件，裤子有4条，还有皮鞋2双，高跟鞋2双。每次出 行要从几种服装中各取一个搭配．问：共可组成多少 种不同的搭配(帽子可以选择戴与不戴)？
17
1、分（ 4 ）步完成
解题过程：
四年级奥数讲义：加法原理与乘法原理
四年级奥数讲义：加法原理与乘法原理◆温故知新：1. 加法原理：如果完成一件事有几类方式,在每一类方式中又有不同的方法,那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数.2.乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤,在每一个步骤中又有不同的方法,那么把每步的方法数相乘就得到所有的方法数.3.分类是指完成一件事有几类不同的方法,从中任意选取一类即可,它们之间可以相互替代,任意选取一类都可以完成这件事.这种情况下一般要用到加法原理.4.分步是指完成一件事情有几步不同步骤,每一步都必须执行,他们之间不可以相互替代,少一步都不能完成这件事.这种情况下一般要用到乘法原理.5.加法原理的类与类之间会满足下列要求：（1）只能选择其中的某一类,而不能几类同时选；（2）类与类之间可以相互替代,只需要选择某一类就可以满足要求.6.乘法原理的步与步之间满足下列要求：（1）每步都只是整件事情的一个部分,必须全部完成才能满足结论；（2）步骤之间有先后的顺序,先确定好一步,再做下一步,直到最后.7.标数法的运用.◆练一练1.小明去吃午饭,发现附近的中餐厅有9个,西餐厅有3个,日式餐厅有2个.他准备找一家餐厅吃饭,一共有多少种不同的选择？2.小明进入一家中餐厅后,发现主食有3种,热菜有4种.他打算主食和热菜各买一种,一共有多少种不同的买法？3.电影院里有10个空座位,小红和小丽去看电影,每个人坐一个座位,共有多少种不同的坐法？◆例题展示例题1小高一家人外出旅游,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以坐飞机.经过网上查询,出发的那一天中火车有4班,汽车有3班,飞机有2班.任意选择其中一个班次,有多少种出行方法？练习1书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画,大头要从书架上任意取一本书,有多少种不同的取法？例题2“IMO”是“国际数学奥林匹克”的编写,要求把这三个字母涂上三种不同的颜色,且每个字母只能涂一种颜色.现有五种不同颜色的笔,按上述要求能有多少种不同的涂色方法？练习2把“CHINA”这五个字母涂上五种不同的颜色,每个字母只能涂一种颜色.共有多少种涂色方法？例题3老师要求墨莫在黑板上写出一个减法算式,要求被减数必须是三位数,减数必须是两位数.请问墨莫共有多少种不同的写法？练习 3 （1）小高在练习本上写出一个加法算式,要求其中一个加数是四位数,另一个加数是两位数,请问小高一共有多少种不同的写法？（2）有6个不同的文具盒,5支不同的铅笔,3支不同的钢笔,2把不同的尺子.若从中各取一个,配成一套学习用具,最多可以配成多少套不同的学习用具.例题4 书架上有三层书,第一层放了15本小说,第二层放了10本漫画,第三层放了5本科普书,并且这些书都各不相同.请问：（1）如果从所有的书中任取1本,共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各任取1本,共有多少种不同的取法？（3）如果从中取出2本不同类别的书,共有多少种不同的取法？练习4商店里有三类笔：铅笔、钢笔和圆珠笔.铅笔有4种颜色,钢笔有3种颜色,圆珠笔有2种颜色.（1）要买任意一支笔,有多少种买法？（2）要从三类笔中各买一支,有多少种买法？（3）要买两支不同类的比,有多少种买法？◆拓展提高拓展1从甲地到乙地有3条路,从乙地到丙地有3条路,从甲地到丁地有2条路,从丁地到丙地有4条路.如果要求所走路线不能重复,那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？练习1有两个不同的骰子,每个骰子的6个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6.任意摆放这两个骰子,如果要求朝上的面所标数字之和为偶数,共有多少种放法？拓展2 在下图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法？BA练习2 图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法？BA◆思维挑战挑战如图所示,蚂蚁在线段上爬行,只能按照箭头的方向行走.请问：从A点走到B点的不同路线有多少条？◆作业1、题库中有三种类型的题目,数量分别为30道、40道和45道,要从三种类型的题目中取出一道题目,共有多少种不同的取法？2、传说地球上有7颗不同的龙珠,如果找齐这7颗龙珠,并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现.邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠,但是他不知道排列的特定顺序.请问：运气不好的沙鲁最多要试几次才能遇见神龙？3、图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书.（1）小莫要去图书馆借1本书,有多少种不同的选择？（2）小莫三种书都要各借一本,有多少种不同的选择？4、萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅,有几种选法？5、图中,从A点沿线段走到B点,每次只能向上或向右走一步,共有多少种不同走法？BA。
四年级下册奥数——加法原理与乘法原理
第5讲加法原理与乘法原理知识点、重点、难点加法原理与乘法原理是计数中最常用、也是最基本的两个原理.所谓计数，就是数数，把一些对象的具体数目数出来，当然，情况简单时可以一个一个地数，如果数目较大时，一个一个地数是不行的，利用加法原理和乘法原理，可以帮助我们计数.加法原理完成一件工作有n 种方式，用第1种方式完成有1m 种方法，用第2种方式完成有2m 种方法， ，用第n 种方式完成有n m 种方法.那么完成这件工作共有n m m m +++ 21种方法.乘法原理完成一件工作共需n 个步骤，完成第1个步骤有1m 种方法，完成第2个步骤有2m 种方法， ，完成第n 个步骤有n m 种方法.那么完成这件工作共有n m m m ⨯⨯⨯ 21种方法.注意：加法原理是分类计数，乘法原理是分步计数.例题精讲例1小高一家外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机.经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班.任意选择其中一个班次，有多少种出行方法？例2用红、黄两种颜色给房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分涂色，每个部分只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法？例3学校组织读书活动，要求每位同学读一本书.肖明到图书馆借书时，图书馆有不同的英语书150本，不同的科技书200本，不同的小说书100本.他要借一本书，问有多少种不同的选法？例4利用数字4321，，，一共可以组成多少个数字不重复的三位数？例5从甲地到乙地有4条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从甲地到丙地有3条路可以走，那么从甲地到丙地共有多少种不同的走法？例6书架有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书都各不相同.请问：（1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？（2）如果从每一层中各取1本，共有多少种不同的取法？（3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？精选习题1.5个点之间可以连__________条线段.2.小琴、小惠、小梅三人报名参加运动会的跳绳、跳高和短跑这三个项目的比赛，每人只能参加一项比赛，不一定三项比赛都要有人参加.请问：报名的情况有多少种？3.萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置客厅，有几种选法？4.用数字54321、、、、可组成_______________个没有重复数字的三位数.5.各位数字之和等于10的三位数共有__________个.。
四年级奥数第六讲——乘法原理与加法原理
乘法原理与加法原理一、学习要点：Ⅰ乘法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：注意到 3×1=3．如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．这就是乘法原理．Ⅱ加法原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5种走法，如果乘长途汽车，有4种走法．上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有5+4=9种不同的走法．在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法．这就是加法原理．二、典例剖析：Ⅰ乘法原理例1 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？例2 右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3 书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？例4 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例5由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？例6 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？例7 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？分析由于四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看成是分四步完成这件事．第一步放棋子A，A可以放在16个方格中的任意一个中，故有16种不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格内也不能放B，故还剩下9个方格可以放B，B有9种放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放C，C有4种放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D有1种放法，本题要由乘法原理解决．解：由乘法原理，共有16×9×4×1=576种不同的放法．Ⅱ加法原理例1 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？450（种）例2一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？(11)②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？(24)例3 如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？例4 如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？分析从A点到B点有两类走法，一类是从A点先经过C点到B点，一类是从A点先经过D点到B点．两类中的每一种具体走法都要分两步完成，所以每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从A到B的全部走法时，只要用加法原理求和即可．解：从A点先经过C到B点共有：1×3=3（种）不同的走法．从A点先经过D到B点共有：2×3=6（种）不同的走法．所以，从A点到B点共有：3+6=9（种）不同的走法．例5 从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？分析从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含4．三位数中，小于500并且不含数字4的可以这样考虑：百位上，不含4的有1、2、3、这三种情况．十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含4的也有九种情况．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有3×9×9=243个三位数．由于500也是一个不含4的三位数．所以，1～500中，不含4的三位数共有3×9×9+1=244个．解：在1～500中，不含4的一位数有8个；不含4的两位数有8×9=72个；不含4的三位数有3×9×9+1=244个，由加法原理，在1～500中，共有：8+8×9+3×9×9+1=324（个）不含4的自然数．补充说明：这道题也可以这样想：把一位数看成是前面有两个0的三位数，如：把1看成是001．把两位数看成是前面有一个0的三位数．如：把11看成011．那么所有的从1到500的自然数都可以看成是“三位数”，除去500外，考虑不含有4的这样的“三位数”．百位上，有0、1、2、3这四种选法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种选法；个位上，也有九种选法．所以，除500外，有4×9×9=324个不含4的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应该去掉．而500还没有算进去，应该加进去．所以，从1到500中，不含4的自然数仍有324个．这是一种特殊的思考问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新给予规定之后，问题很简捷地得到解决．例6如下页左图，要从A点沿线段走到B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？分析观察下页左图，注意到，从A到B要一直向右、向上，那么，经过下页右图中C、D、E、F四点中的某一点的路线一定不再经过其他的点．也就是说从A到B点的路线共分为四类，它们是分别经过C、D、E、F的路线．第一类，经过C的路线，分为两步，从A到C再从C到B，从A到C有2条路可走，从C到B也有两条路可走，由乘法原理，从A经C到B共有2×2=4条不同的路线．第二类，经过D点的路线，分为两步，从A到D有4条路，从D到B有4条路，由乘法原理，从A经D到B共有4×4=16种不同的走法．第三类，经过E点的路线，分为两步，从A到E再从E到B，观察发现．各有一条路．所以，从A经E到B共有1种走法．第四类，经过F点的路线，从A经F到B只有一种走法．最后由加法原理即可求解．解：如上右图，从A到B共有下面的走法：从A经C到B共有2×2=4种走法；从A经D到B共有4×4=16种走法；从A经E到B共有1种走法；从A经F到B共有1种走法．所以，从A到B共有：4+16+1+1=22种不同的走法．1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？3．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？4．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8的没有重复数字的三位数？⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？6．某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？7．如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？8．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？9．如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？10．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？11．在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？12．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？答案：1．3×2×4=24（种）．2．1×4×3=12（个）．3．90×9=810（个）．4．4×4×3×2×1=96（种）．5．①8×8×8=512（个）；②4×8×8=256（个）；③4×7×6=168（个）；④1×7×6=42（个）；⑤1×3×6=18（个）．6．9×10×10×10×10×10=900000（部）．7．3×3+2×4=17（种）．8．6+7+15+21+6×7=91（种）．提示：拿两本的情况分为2本画报或2本书或一本画报一本书．9．（1）6；（2）10；（3）20；（4）35．10．9+180+3=192（个）．11．8+8×8+3×8×8=264（个）．12．9+8+7+6+5+4+3+2+1=45（次）．。
四上奥数——3加法原理-、乘法原理
加法原理、乘法原理1.基本概念①加法原理：为了完成一件事，有几类方法。
第一类方法中有m1种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法……第n类方法中有m n种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法。
②乘法原理：为了完成一件事，需要几个步骤。
做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法。
那么，完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法。
2.理解要点：①加法原理和乘法原理的本质区别：能否一步做完,一步骤为加法，多步骤为乘法②乘法原理为什么要用乘法去计算,和我们之前的搭配问题一样，本质是和的形式，也可以用树状图理解③要深刻站在题目的角度，寻找每一步骤拥有的方法种数，题目画出限制条件，全面考虑加乘原理歌：一件事情几类分，类类独立能完成，共有方法多少种？几类方法来相加；一件事情需几步，步步做好才完成，共有方法多少种？几步可能来相乘．基础篇：1.每天从武汉到北京去，有6班火车，3班飞机，1班汽车.请问:每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同走法？2。
学校开展“诵读经典"读书竞赛活动，小明要从4大名著、2本外国名著和3本科普书里任意选取一本书，共有多少种不同的选法？3.如图，从甲村去乙村有3条道路，从乙村去丙村有2条道路，从丙村去丁村有4条道路。
小华要从甲村经乙村、丙村去丁村,共有多少种不同的走法？4。
如图，A、B、C是三个村庄,从A村到B村有2条路可走，从B村到C村有3条路可走,从A 村到C村有4条路可走,从A村到C村共有多少种不同的走法?5。
有四张卡片,上面分别写有0、1、2、4四个数字,从中任意抽出三张卡片组成三位数,这些卡片共可组成多少个不同的三位数？6.有五张卡片，卡片上写有数字1、2、3、4、5，从中任取两张卡片，摆放在一起，就可以组成一个两位数；请问:一共可以组成多少个不同的奇数？7.在实践活动课上，张老师发给每个学生一张简易地图（如图)，地图上有A、B、C、D四个相邻的城市.现从红、黄、蓝、绿四种颜料中选出若干种给地图涂色，要求相邻城市的颜色不同，有种不同的涂色方法.8.如图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、蓝、黄、白、绿五种颜色中的某一种涂染，若使相邻的区域涂不同的颜色，问:有几种不同的涂法？9.某信号兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂一面、两面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号？10。
四上奥数——3加法原理 、乘法原理
加法原理、乘法原理1.基本概念①加法原理：为了完成一件事，有几类方法。
第一类方法中有m1种不同的方法，第二类方法中有m2种不同的方法……第n类方法中有m n种不同的方法。
那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法。
②乘法原理：为了完成一件事，需要几个步骤。
做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法。
那么，完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法。
2.理解要点：①加法原理和乘法原理的本质区别：能否一步做完，一步骤为加法，多步骤为乘法②乘法原理为什么要用乘法去计算，和我们之前的搭配问题一样，本质是和的形式，也可以用树状图理解③要深刻站在题目的角度，寻找每一步骤拥有的方法种数，题目画出限制条件，全面考虑加乘原理歌：一件事情几类分，类类独立能完成，共有方法多少种？几类方法来相加；一件事情需几步，步步做好才完成，共有方法多少种？几步可能来相乘．基础篇：1.每天从武汉到北京去，有6班火车，3班飞机，1班汽车。
请问：每天从武汉到北京去，乘坐这些交通工具共有多少种不同走法？2.学校开展“诵读经典”读书竞赛活动，小明要从4大名著、2本外国名著和3本科普书里任意选取一本书，共有多少种不同的选法？3.如图，从甲村去乙村有3条道路，从乙村去丙村有2条道路，从丙村去丁村有4条道路。
小华要从甲村经乙村、丙村去丁村，共有多少种不同的走法？4.如图，A、B、C是三个村庄，从A村到B村有2条路可走，从B村到C村有3条路可走，从A村到C村有4条路可走，从A村到C村共有多少种不同的走法？5.有四张卡片，上面分别写有0、1、2、4四个数字，从中任意抽出三张卡片组成三位数，这些卡片共可组成多少个不同的三位数？6.有五张卡片，卡片上写有数字1、2、3、4、5，从中任取两张卡片，摆放在一起，就可以组成一个两位数；请问：一共可以组成多少个不同的奇数？7.在实践活动课上，张老师发给每个学生一张简易地图（如图），地图上有A、B、C、D四个相邻的城市。
小学四年级奥数教程-乘法原理
综合练习题
• 总结词：综合运用知识、提升解题能力 • 求一个三位数与一个两位数的乘积 • 123×45 • 456×78 • 789×90 • 求一个三位数分别乘以两个两位数的积之和 • 123×25+456×37 • 456×48+789×59 • 789×68+123×79
05
答案与解析
基础练习题答案与解析
综合练习题答案与解析
总结词：综合运用
详细描述：综合练习题是在基础练习题和进阶练习题的基础上，将多个知识点和 难点融合在一起，这些题目的答案与解析，可以帮助学生综合运用乘法原理，提 高解题能力和思维水平，为更高难度的学习做好准备。
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多位数乘法
总结词
分位数相乘，化繁为简
详细描述
将多位数拆分成若干个一位数和十位数等，分别与另一个数相乘，然后将结 果相加。例如，计算31 × 4时，可将其拆分为30 × 4+1 × 4=120+4=124。
乘法的结合律和分配律
总结词
灵活运用，提升计算能力
详细描述
结合律指的是将几个数相乘时，可以随意改变它们的 顺序，只要不改变它们的运算符号和个数。例如，(2 × 3) × 4=2 × (3 × 4)=6 × 4=24。分配律指的是将 一个数分别分配到若干个数的和或差中，可以分别进 行运算。例如，2 × (3+4)=2 × 3+2 × 4=6+8=14。
乘法原理的作用
简化计算
乘法原理可以用来简化计算，将多个乘积的运算转化为一个 简单的乘法运算。
优化算法
乘法原理还可以用来优化算法，将复杂的计算过程转化为简 单的乘法运算，提高计算效率。
乘法原理的分类
(完整word版)小学奥数——乘法原理与加法原理
乘法原理与加法原理在平常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不一样的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将谈论的乘法原理来解决．比方某人要从北京到大连拿一份资料，以后再到天津开会．此中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想坐船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不一样的走法？解析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择坐船这一种走法，因此他从北京到天津共有下边的三种走法：3× 1=3．假如这人到大连后，可以坐船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上边谈论问题的过程中，我们把所有可能的方法一一列举出来．这类方法叫穷举法．穷举法对于谈论方法数不太多的问题是很有效的．在上边的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法获得的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，假如完成一件事需要??个步骤，此中，做第一步有 ??1种不一样的方法，做第二步有 ??2种不一样的方法，，做第 ??步有 ??种不一样的方法，那么，完成这件事一共有??= ??1×× ×????2????种不一样的方法．这就是乘法原理．例 1.某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不一样的买法？增补说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个相互互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不一样的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例 2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不一样的走法？例 3.书架上有6本不一样的外语书，4本不一样的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不一样的取法？例 4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项竞赛，问：报名的结果会出现多少种不一样的情况？例 5.由数字0、1、2、3构成三位数，问：①可构成多少个不相等的三位数？②可构成多少个没有重复数字的三位数？解析在确立由 0、1、2、3 构成的三位数的过程中，应当一位一位地去确立．因此，每个问题都可以看作是分三个步骤来完成．①要求构成不相等的三位数．因此，数字可以重复使用，百位上，不可以取0，故有 3 种不一样的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有 4 种不一样的取法；个位上，也有 4 种不一样的取法 .②要求构成的三位数中没有重复数字，百位上，不可以取0，有 3 种不一样的取法；十位上，因为百位已在 1、2、3 中取走一个，故只剩下0 和其余两个数字，故有 3 种取法；个位上，因为百位和十位已各取走一个数字，故只好在剩下的两个数字中取，有 2 种取法．例 6.由数字1、2、3、4、5、6共可构成多少个没有重复数字的四位奇数？解析要构成四位数，需一位一位地确立各个数位上的数字，即分四步完成，因为要求构成的数是奇数，故个位上只有能取 1、3、5 中的一个，有 3 种不一样的取法；十位上，可以从余下的五个数字中取一个，有 5 种取法；百位上有 4 种取法；千位上有 3 种取法，故可由乘法原理解决．例 7.右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不一样的棋子放在方格里，并使每行每列只好出现一个棋子．问：共有多少种不一样的放法？解析因为四个棋子要一个一个地放入方格内．故可看作是分四步完成这件事．第一步放棋子 A，A 可以放在 16 个方格中的任意一此中，故有 16 种不一样的放法；第二步放棋子B，因为 A 已放定，那么放 A 的那一行和一列中的其余方格内也不可以放 B，故还剩下 9 个方格可以放 B， B 有 9 种放法；第三步放 C，再去掉 B 所在的行和列的方格，还剩下四个方格可以放 C，C 有 4 种放法；最后一步放 D，再去掉 C 所在的行和列的方格，只剩下一个方格可以放D，D 有 1 种放法，本题要由乘法原理解决．例 8.现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，假如从中最少取一张，至多取9 张，那么，共可以配成多少种不一样的钱数？解析要从三种面值的人民币中任取几张，构成一个钱数，需一步一步地来做．如先取一角的，再取贰角的，最后取壹元的．但注意到，取 2 张一角的人民币和取 1 张贰角的人民币，获得的钱数是同样的．这就会产生重复，如何解决这一问题呢？我们可以把壹角的人民币 4 张和贰角的人民币 2 张一致起来考虑．即从中拿出几张构成一种面值，看共可以构成多少种．解析知，共可以构成从壹角到捌角间的任何一种面值，共8 种状况．（即取两张壹角的人民币与取一张贰角的人民币是一种状况；取4 张壹角的人民币与取 2 张贰角的人民币是一种状况．）这样一来，可以把它们看作是 8 张壹角的人民币．整个问题就变为了从 8 张壹角的人民币和 3 张壹元的人民币中分别取钱．这样，第一步，从 8 张壹角的人民币中取；第二步，从 3 张壹元的人民币中取共 4 种取法，即 0、1、2、3．但要注意，要求“最少取一张” .生活中常有这样的状况，就是在做一件事时，有几类不一样的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将谈论的加法原理来解决．比方某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，此刻知道每日有五次火车从北京到天津，有 4 趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不一样的走法？解析这个问题发现，这人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，假如乘火车，有 5 种走法，假如乘长途汽车，有 4 种走法．上边的每一种走法都可以从北京到天津，故共有 5+4=9 种不一样的走法．在上边的问题中，完成一件事有两大类不一样的方法．在详尽做的时候，只要采纳一类中的一种方法就可以完成．而且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的所有做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地，假如完成一件事有??类方法，第一类方法中有??1种不一样做法，第二类方法中有??2种不一样做法，，第 ??类方法中有 ??种不一样的做法，则完成这件事共有种????= ??1 + ??2 + ?+ ????不一样的方法．这就是加法原理．例 1.学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书室借书时，图书室有不一样的外语书150 本，不一样的科技书 200 本，不一样的小说 100 本．那么，小明借一本书可以有多少种不一样的选法？例 2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不同样．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不一样的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不一样的取法？增补说明：由本题应注意加法原理和乘法原理的差别及使用范围的不一样，乘法原理中，做完一件事要分成若干个步骤，一步接一步地去做才能完成这件事；加法原理中，做完一件事可以有几类方法，每一类方法中的一种做法都可以完成这件事．事实上，常常有好多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟习加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．例 3.如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有 3 条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？解析从甲地到丙地共有两大类不一样的走法．第一类，由甲地路过乙地到丙地．第二类，由甲地直接到丙地．例 4.以下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不行重复经过．问：这只甲虫有多少种不一样的走法？解析从 A 点到 B 点有两类走法，一类是从 A 点先经过 C 点到 B 点，一类是从 A 点先经过 D 点到 B 点．两类中的每一种详尽走法都要分两步完成，因此每一类中，都要用乘法原理，而最后计算从 A 到 B 的所有走法时，只要用加法原理乞降即可．例 5.有两个同样的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情况？解析要使两个数字之和为偶数，只要这两个数字的奇偶性同样，即这两个数字要么同为奇数，要么同为偶数，因此，要分两大类来考虑．例 6.从1到500的所有自然数中，不含有数字4 的自然数有多少个？解析从 1 到 500 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含 4 的有 8 个，它们是 1、2、3、5、6、7、8、9；要确立一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理．要确立一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理．增补说明：这道题也可以这样想：把一位数看作是前方有两个0 的三位数，如：把 1 看作是 001．把两位数看作是前方有一个0 的三位数．如：把11 看作 011．那么所有的从 1 到 500 的自然数都可以看作是“三位数”，除去 500 外，考虑不含有 4 的这样的“三位数”．百位上，有 0、 1、 2、 3 这四种选法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、 9 这九种选法；个位上，也有九种选法．因此，除500外，有 4× 9× 9=324 个不含 4 的“三位数”．注意到，这里面有一个数是000，应当去掉．而500 还没有算进去，应当加进去．因此，从 1 到 500 中，不含 4 的自然数仍有324 个．这是一种特别的思虑问题的方法，注意到当我们对“三位数”重新恩赐规定以后，问题很简捷地获得解决．例 7.如图，要从A点沿线段走到B，要求每一步都是向右、向上也许向斜上方．问有多少种不一样的走法？解析观察下页左图，注意到，从 A 到 B 要向来向右、向上，那么，经过下页右图中 C、D、E、F 四点中的某一点的路线必定不再经过其余的点．也就是说从 A 到 B点的路线共分为四类，它们是分别经过C、D、E、F 的路线．自我检测1. 某罪犯要从甲地路过乙地和丙地逃到丁地，此刻知道从甲地到乙地有 3 条路可以走，从乙地到丙地有 2 条路可以走，从丙地到丁地有 4 条路可以走．问，罪犯共有多少种逃脱的方法？2.如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？3.在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以构成多少个不一样的减法算式？4.一个篮球队，五名队员 A 、B、C、 D、 E，因为某种原由， C 不可以做中锋，而其余四人可以分配到五个地点的任何一个上．问：共有多少种不一样的站位方法？5.由数字 1、 2、 3、4、5、6、 7、 8 可构成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8 的没有重复数字的三位数？⑤百位为8 的没有重复数字的三位偶数？6. 某市的电话号码是六位数的，首位不可以是0，其余各位数上可以是0～ 9 中的任何一个，而且不一样位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？1.如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？2. 书架上有 6 本不一样的画报和7 本不一样的书，从中最多拿两本（不可以不拿），有多少种不一样的拿法？3.以以下图中，沿线段从点 A 走最短的路线到 B，各有多少种走法？4.在 1～ 1000 的自然数中，一共有多少个数字0？5.在 1～ 500的自然数中，不含数字0 和 1 的数有多少个？6.十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？。
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由下图可以看出，帽子和鞋共有6种搭配。
事实上，小丑戴帽穿鞋是分两步进行的。第一 步戴帽子，有3种方法；第二步穿鞋，有2种方法。 对第一步的每种方法，第二步都有两种方法，所以 不同的搭配共有
3×2＝6（种）。
例2： 从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条
集体各一个（不能同时评一个班6.在下图的方格纸中放两枚棋子，要求两枚棋
子不在同一行也不在同一列。问：共有多少种不同
的放法？
（提示：第一枚棋子 有25种放法，去掉这 枚棋子所在的行和列， 还有16个空格，所以 第二枚棋子有16种放
7.要从四年级六个班中评选出学习和体育先进 集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不
同的评选结果？ （30）
8 .如下图，在三条平行线上分别有一个点，
四共个线点），．三在个每点条（直且线不上在各同取一一条直线上的三个点不 个点，可以画出一个三角 形．问：一共可以画出多少个 这样的三角形？
（1×4×3=12）
9. 在自然数中，用两位数做被减数，用一位 数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？
例7： 用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块
区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问： 共有多少种不同的染色方法？
将染色这一过程分为依次给A，B，C，D，E染 色五步。
先给A染色，因为有5种颜色，故有5种不同的 染色方法；第2步给B染色，因不能与A同色，还剩 下4种颜色可选择，故有4种不同的染色方法；第3 步给C染色，因为不能与A，B同色，故有3种不同的 染色方法；第4步给D染色，因为不能与A，C同色， 故有3种不同的染色方法；第5步给E染色，由于不 能与A，C，D同色，故只有2种不同的染色方法。根 据乘法原理，共有不同的染色方法:
10．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E， 由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分 配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同 的站位方法？（4×4×3×2×1=96 ）
11.某市的电话号码是六位数的，首位不能是0， 其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同 位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳 多少部电话机？
5×4×3×3×2＝360（种）
1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三 条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、 一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装 束？（30）
2.四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。 小王自编一个“密码本”，用3个数码（可取重复 数字）表示一个汉字，例如，用“011”代表汉字 “车”。问：小王的“密码本”上最多能表示多 少个不同的汉字？（1000）
3.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个 字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔， 按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？
（60）
4.甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。从三 个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？ （432）
5.要从四年级六个班中评选出学习和体育先进
2×3×2＝12（种）。
例3： 用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三
位数（各位上的数字允许重复）？
组成一个三位数要分三步进行：第一步确定百 位上的数字，除0以外有5种选法；第二步确定十位 上的数字，因为数字可以重复，有6种选法；第三 步确定个位上的数字，也有6种选法。根据乘法原 理，可以组成三位数
60（个）。
例6： 有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：
共有多少种不同的吃法？
将10块糖排成一排，糖与糖之间共有9个空。从 头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么就 在其间画一条线。下图表示10块糖分在五天吃：第 一天吃2块，第二天吃3块，第三天吃1块，第四天 吃2块，第五天吃2块。因为每个空都有加线与不加 线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共有 29＝512（种）。因为每一种加线方法对应一种吃 糖的方法，所以不同的吃法共有512种。
路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、 丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？
用A1，A2表示从甲地到乙地的2条路，用B1， B2，B3表示从乙地到丙地的3条路，用C1，C2表示 从丙地到丁地的2条路（见下页图）。
事实上，从甲到丁是分三步走的。甲到乙有2种 方法，乙到丙有3种方法，丙到丁有2种方法。所以 不同的走法共有：
（9×10×10×10×10×10=900000）
5×6×6＝180（个）。
例4： 如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、
黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使 相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染 色方法？
将染色这一过程分为依次给A，B，C，D，E染 色五步。
先给A染色，因为有5种颜色，故有5种不同的 染色方法；第2步给B染色，因不能与A同色，还剩 下4种颜色可选择，故有4种不同的染色方法；第3 步给C染色，因为不能与A，B同色，故有3种不同的 染色方法；第4步给D染色，因为不能与A，C同色， 故有3种不同的染色方法；第5步给E染色，由于不 能与A，C，D同色，故只有2种不同的染色方法。根 据乘法原理，共有不同的染色方法
5×4×3×3×2＝360（种）。
例5： 求360共有多少个不同的约数。
由例5得到：如果一个自然数N分解质因数后的 形式为：
其中P1，P2，…，Pl都是质数，n1，n2…，nl 都是自然数，则N的所有约数的个数为：
（n1＋1）×（n2+1）×…×（nl＋1）。 例如，11088＝24×32×7×11，11088共有不 同的约数： （4＋1）×（2+1）×（1＋1）×（1＋1）＝
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第 1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有 mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务的方 法有：
N＝m1×m2×…×mn 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几 步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任
务缺一不可的。
例1： 马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、