灰色预测
灰色预测模型公式
灰色预测模型公式灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它可以用来预测未来某个事件或指标的发展趋势。
灰色预测模型的核心思想是利用系统自身的信息和规律，通过建立灰色微分方程来进行预测。
灰色预测模型的公式可以表示为：$$\hat{X}_{0}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$$$\hat{X}_{i}^{(k)} = (X_{0}^{(1)} + X_{0}^{(2)} + ... + X_{0}^{(k)}) / k$$$$\hat{X}_{i+1}^{(1)} = aX_{i}^{(1)} + b$$$$\hat{X}_{i+1}^{(k+1)} = aX_{i}^{(k+1)} + b$$其中，$X_{0}^{(k)}$表示观测数据的累加生成序列，$\hat{X}_{i}^{(k)}$表示预测值，$a$和$b$为待确定的系数。
灰色预测模型的核心思想是将数据分为两个部分：系统的发展规律部分和随机波动部分。
系统的发展规律部分可以通过灰色微分方程进行建模和预测，而随机波动部分则通过随机项来表示。
灰色预测模型的建模步骤如下：1. 数据预处理：对原始数据进行平滑处理，消除随机波动的影响，得到累加生成序列。
2. 确定发展规律：根据累加生成序列，建立灰色微分方程，估计系统的发展规律。
3. 模型参数估计：通过最小二乘法估计模型的参数，确定$a$和$b$的值。
4. 模型检验和优化：对模型进行检验和优化，确保预测结果的准确性和可靠性。
5. 模型预测：利用建立好的灰色预测模型，对未来的数据进行预测。
灰色预测模型在实际应用中具有广泛的应用价值。
它可以用来预测各种经济指标、环境数据、自然灾害等，为决策提供科学依据。
同时，灰色预测模型还可以用于评估和分析系统的可持续发展能力，帮助企业和机构合理规划和管理资源。
灰色预测模型是一种基于历史数据和现有数据的预测方法，它通过利用系统自身的信息和规律，建立灰色微分方程来进行预测。
灰色预测和时间序列预测的优缺点和应用场景比较
灰色预测和时间序列预测的优缺点和应用场景比较灰色预测和时间序列预测是常用的预测分析方法，它们在很多领域都具有广泛的应用。
本文将比较这两个方法的优缺点和应用场景，以期帮助读者更好地理解和使用它们。
一、灰色预测方法灰色预测方法是一种基于信息不完备的小样本预测方法，它可以在数据量较小时对未来趋势进行预测。
它的优点包括：1、适用范围广：灰色预测方法适用于各种经济、社会和科技等领域的短期和中长期预测，对于复杂多变的系统也有较好的适应性。
2、效果显著：灰色预测方法可以针对不平衡数据或缺少有效信息的数据进行预测，准确率较高，在实际应用中表现出较好的效果。
3、计算简单：灰色预测方法原理简单，计算量小，对计算资源的要求较低。
但是，灰色预测方法也存在一些缺点：1、数据需求严格：灰色预测方法对数据要求较高，在数据量不充足的情况下容易出现预测偏差。
2、理论基础不足：灰色预测方法的理论体系相对较弱，缺乏统一的数学架构支撑。
3、易受外部因素影响：灰色预测方法很容易受到外部因素的影响，对于具有较强周期性的数据预测，其效果可能不太理想。
二、时间序列预测方法时间序列预测方法是指将某一现象随时间变化的过程所形成的数值序列作为研究对象，通过对序列的统计特征进行分析来预测未来的趋势。
它的优点有：1、适用性广泛：时间序列预测方法适用于各种领域的数据，并可应用于多种时间序列模型，如ARIMA、ARCH、GARCH等。
2、模型复杂，预测精度高：时间序列预测方法可使用多种复杂模型进行预测，模型优化后可以得到较为精确的预测结果。
3、预测稳定可靠：时间序列预测方法通常采用样本内和样本外检验来验证预测模型的稳定性和可靠性。
但是，时间序列预测方法也存在一些缺点：1、数据需求严格：时间序列预测方法对基础数据的准确性和完整性要求非常高，只有数据质量较高时才能得到准确的结果。
2、影响因素复杂：由于各种外部和内部因素的影响，某些时间序列的预测较为困难。
3、计算资源要求高：时间序列预测方法涉及多个模型、参数和算法，因此需要更高的计算资源和算法优化，计算成本较高。
灰色预测理论-定义
什么是灰色预测法?灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。
其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
简言之，灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。
灰色系统的概念是由邓聚龙教授于1982年提出的，它描述部分信急己知，部分未知介于黑白系统之间的系统。
GM（1,1）模型是灰色理论中较常用的预测方法，它以定性分析为先导，定量与定性结合，对离散序列建立微分方程以及白化方程，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤。
灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列的生成。
生成数通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。
灰色预测法
解答： 以 X 1 为参考序列求关联度。 第一步：初始化，即将该序列所有数据分别 除以第一个数据。得到：
1,0.9475,0.9235,0.9138 X1 1,1.063,1.1227,1.1483 X2 1,.097,1.0294,1.0294 X3 1,1.0149,0.805 X m1 i
i 1
k
•对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多， 累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序 列变为非随机序列。
•一般随机序列的多次累加序列，大多可用指数曲 线逼近。
累减 将原始序列前后两个数据相减得到累减生成列
累减是累加的逆运算，累减可将累加生成列还原 为非生成列，在建模中获得增量信息。 一次累减的公式为：
X
1
k X k X k 1
0 0
三、关联度 关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方 法，在计算关联度之前需先计算关联系数。 （1）关联系数
设
ˆ 0 k X ˆ 0 1, X ˆ 0 2,..., X ˆ 0 n X
X1 45.8, 43.4, 42.3, 41.9
X 2 (39.1, 41.6, 43.9, 44.9)
农业
商业 试求关联度。
运输业 X 3 3.4, 3.3, 3.5, 3.5
X 4 6.7, 6.8, 5.4, 4.7
X4 参考序列分别为 X 1 , ，被比较序列为 X 2 , X 3 ,,
第二步：求序列差
2 0,0.1155,0.1992,0.2335
4 0,0.0674,0.1185,0.2148
第三步：求两极差
3 0,0.0225,0.1059,0.1146
灰色预测
灰色预测方法介绍 一．基本概念1．灰数的概念在灰色系统中，灰数（或灰色数）是指信息不完全的数，例如：“那人的身高约为170cm 、体重大致为60kg ”，这里的“（约为）170（cm ）”、“60”都是灰数，分别记为170⊗、60⊗。
又如，“那女孩身高在157－160cm 之间”，则关于身高的灰数]160,157[)(∈⊗h 。
记⊗~为灰数⊗的白化默认数，简称白化数，则灰数⊗为白化数⊗~的全体。
灰数有离散灰数（⊗~属于离散集）和连续灰数（⊗~属于某一区间）。
灰数的运算符合集合运算规律。
2．灰色生成数列在灰色系统理论中，把随机变量看成灰数，即是在指定范围内变化的所有白色数的全体。
对灰数的处理主要是利用苏剧处理方法寻求数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据尽心处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的规律性，这种方法称为数据的生成。
数据生成的常用方式有累加生成、累减生成和加权累加生成。
（1） 累加生成把数列各项（时刻）数据依次累加的过程称为累加生成过程（Accumulated Generating Operation ，简称AGO ）。
由累加生成过程所得的数列称为累加生成数列。
设原始数列为))(,),2(),1(()0()0()0()0(n x x x x =，令,,,2,1,)()(1)0()1(n k i x k x ki ==∑=称所得到的新数列))(,),2(),1(()1()1()1()1(n x x x x =为数列)0(x 的1次累加生成数列。
类似地有1,,,2,1,)()(1)1()(≥==∑=-r n k i x k x ki r r ，称为)0(x 的r 次累加生成数列。
（2） 累减生成对于原始数据列依次做前后相邻的两个数据相减的运算过程称为累减生成过程（IAGO ）。
如果原始数据列为))(,),2(),1(()1()1()1()1(n x x x x =，令,,,3,2),1()()()1()1()0(n k k x k x k x =--=称所得到的数列)0(x 为)1(x 的1次累减生成数列。
灰色预测
五、GM（n，h）模型
1、残差模型：若用原始经济时间序列 X 0 建立的 GM（1，1）模型检验不合格或精度不理想时，要对建 立的 GM（1，1）模型进行残差修正或提高模型的预测 精度。修正的方法是建立 GM（1，1）的残差模型。 2、GM（n，h）模型 GM（n，h）模型是微分方程模型，可用于对描述 对象作长期、连续、动态的反映。从原则上讲，某一 灰色系统无论内部机制如何，只要能将该系统原始表 征 量 表 示 为 时 间 序 列 X 0 t ， 并 有 X 0 t ， t N , X 0 t 0（N 表数自然数集） ， 即可用 GM 模型对系 统进行描述。
，
则 GM（1，1）模型相应的微
分方程为：
dX 1 aX 1 dt
其中：α 称为发展灰数；μ 称为内生控制灰数。
ˆ 2、设
乘法求解。
ˆ 为待估参数向量， (1) ( X ( 2 ) X ( 1 )) 1 X ( 0 ) ( 2) 2 (0) 1 X (3) B ( X (1) (3) X (1) (2)) 1, Y 2 1 ( X (1) (n) X (1) (n 1)) 1 X ( 0 ) ( n) 2
称为分辨率系数，取 0 到 1 之间的数（一般地，
在 0.1 到 0.5 之间的数，通常取 0.5 ） 。
X i 与 X 0 之间的关联度为：
1 k n 1 k m
1 k n 1 k m
1 n ri yi (k ), i 1,2,, m. n k 1
ˆ 0 k X ˆ 1 k 1 X ˆ 1 k X
3、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检验和后验 差检验。
灰色预测(讲)
一、什么是灰色预测灰色预测是就对灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如：一个商店可看作是一个系统，在人员、资金、损耗、销售信息完全明确的情况下，可算出该店的盈利大小、库存多少，可以判断商店的销售态势、资金的周转速度等，这样的系统是白色系统。
遥远的某个星球，也可以看作一个系统，虽然知道其存在，但体积多大，质量多少，距离地球多远，这些信息完全不知道，这样的系统是黑色系统。
人体是一个系统，人体的一些外部参数（如身高、体温、脉搏等）是已知的，而其他一些参数，如人体的穴位有多少，穴位的生物、化学、物理性能，生物的信息传递等尚未知道透彻，这样的系统是灰色系统。
再如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
显然，黑色、灰色、白色都是一种相对的概念。
世界上没有绝对的白色系统，因为任何系统总有未确知的部分，也没有绝对的黑色系统，因为既然一无所知，也就无所谓该系统的存在了。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具有潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
常用的灰色时间序列预测；即用观察到的反映预测对象特征的时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。
二、灰色预测的步骤若给定原始数据序列)](),......2(),1([)0()0()0()0(n X X X X =可分别从)0(X 序列中,选取不同长度的连续数据作为子序列.对于子序列建立GM(1,1)模型的步骤可以概括为： 第一步：写出原始数据列(0)X(0)(0)(0)(0)(){(1),(2),......,()}X i X X X n =为了弱化原始时间序列的随机性 在建立灰色预测模型之前，需先对原始时间序列进行数据处理，经过数据处理后的时间序列即称为生成列。
灰色预测原理及实例
灰色预测原理及实例
一、灰色预测原理
灰色预测，是指根据动态系统的过去试验数据和实测数据，利用灰色规律进行预测的一种数学方法。
灰色预测的基本思想是：由内在原理和系统的实际运行数据，建立有关系的关于未来时间的数学模型，即所谓的灰色系统模型，从而建立未来状态的预测模型。
二、灰色预测实例
1、灰色模型在汽车行业的应用
汽车行业是一个特殊的行业，其市场受到很多因素的影响，因此，在汽车行业预测中，灰色模型能够很好地发挥其优势。
首先，根据汽车市场的详细统计数据，如汽车生产量、销售量，可以采集过去一定时间段内（如一年、两年）汽车的生产量及销售量等数据，将这些数据经过一定的模型处理，形成一个灰色模型，利用该模型可以预测汽车行业的今后发展趋势。
2、灰色模型在电力行业的应用。
灰色预测
从而
1 | s | | s | 1 11502 11430.5 0.997 0.90 1 | s | | s | | s s | 1 11502 11430.5 71.5
关联度为一级 计算均方差比 C
1 4 x x k 31151.5, 4 k 1 1 S x k x 4 k 1
故可用
x1 k 1 313834e0.089995k 286574 x0 k 1 x1 k 1 x1 k
进行预测。这里给出5个预测值
x 5 , x 6 , , x 9 X
定义2.1 设原始数据序列
X 0 ( x0 (1), x0 (2),, x0 (n))
相应的预测模型模拟序列:
残差序列:
X 0 x0 1 , x0 2 , x0 n
0 0 1 , 0 2 , 0 n
响应函数）为 x1 (t ) ( x1 1 b )e at b
a
a
２. GM(1,1)模型 x0 (k ) az1 (k ) b 的时间响应 序列为 b ak b x (k 1) ( x0 1 )e k 1, 2, , n
1
a
a
３.还原值 x (k 1) x (k 1) x (k )
i 1
k
Z 值生成序列： 1 ( z1 (2), z1 (3),, z1 (n))
1 其中 z1 (k ) 2 ( x1 (k ) x1 (k 1)) k 1, 2, n
数学建模——灰色预测模型
数学建模——灰色预测模型灰色预测模型（Grey Forecasting Model）是一种用于预测不确定性数据的数学模型。
它适用于那些缺乏充分历史数据、不具备明显的规律性趋势或周期性的情况。
灰色预测模型基于灰色系统理论，通过分析数据的变化趋势和规律，来进行预测。
该模型在处理少量数据、缺乏趋势规律的情况下，具有一定的优势。
灰色预测模型的基本思想：灰色预测模型基于“白化（Whitening）”和“黑化（Blackening）”的思想，将不确定性数据分为“白色”和“黑色”两部分。
其中，“白色”代表已知数据，具有规律性和趋势，可以进行预测；而“黑色”代表未知数据，缺乏规律，需要进行预测。
通过建立数学模型，将“白色”和“黑色”数据进行融合，得出预测结果。
灰色预测模型的基本步骤：1.建立灰色数列：将原始数据分成“白色”和“黑色”两部分，构建灰色数列。
2.建立灰色微分方程：对“白色”数列进行微分，得到一阶或高阶微分方程。
3.求解微分方程：求解微分方程，得到预测模型的参数。
4.进行预测：利用已知的模型参数，对“黑色”数据进行预测，得出未来的趋势。
示例：用灰色预测模型预测销售量假设你是一家新开设的小型餐厅的经营者，你希望预测未来三个月的月销售量。
然而，你的餐厅刚刚开业不久，历史销售数据有限，且不具备明显的趋势。
这种情况下，你可以考虑使用灰色预测模型来预测销售量。
步骤：1.建立灰色数列：将已知的销售数据分为“白色”（已知数据）和“黑色”（未知数据）两部分。
2.建立灰色微分方程：对“白色”销售数据进行一阶微分，得到灰色微分方程。
3.求解微分方程：根据灰色微分方程的形式，求解微分方程，得到模型的参数。
4.进行预测：利用求解得到的模型参数，对“黑色”销售数据进行预测，得到未来三个月的销售量趋势。
这个例子中，灰色预测模型可以帮助你基于有限的历史销售数据，预测未来的销售趋势。
虽然该模型的精确度可能不如其他更复杂的方法，但在缺乏充足数据时，它可以提供一种有用的预测工具。
灰色预测
关联度分析是分析系统中各因素关联程度的
方法。计算关联度需先计算关联系数。
1.2 灰色预测的概念
1.2 灰色预测的概念
1.2 灰色预测的概念
1.3 灰色预测模型
x (k ) x (0) (i ) x (1) (k 1) x (0) (k )
(1) i 0 k
X (1) {x(1) (1), x(1) (2),..., x(1) (n)}
1.2 灰色预测的概念
(2) 累减生成数(IAGO) 是累加生成的逆运算。 记原始序列为 X (1) {x(1) (1), x(1) (2),..., x(1) (n)} (1) 对 X 做一次累减生成，得生成序列 X (0) {x(0) (1), x(0) (2),..., x(0) (n)} 其中 x(0) (k ) x(1) (k ) x(1) (k 1) 规定 x(1) (0) 0 累加生成与累减生成之间的关系如下图所示： 1-AGO IAGO
X (0) {x(0) (1), x(0) (2),..., x(0) (n)}
关于“灰色预测模型”讲解
集成学习可以通过组合多个基模型的预测结果来提高整体 预测性能。可以将灰色预测模型作为基模型之一，与其他 预测方法一起构建集成学习模型。
与模糊逻辑融合
模糊逻辑能够处理不确定性和模糊性问题，可以与灰色预 测模型相结合，提高模型在处理不确定信息时的预测性能 。
THANKS
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灰色差分方程
灰色预测模型的核心是建立灰色差分方程，通过对原始数据序列进行累加或累减 生成，构造出具有指数规律的数据序列，进而建立相应的微分方程进行求解。
适用范围及优势
适用范围
小样本建模
适应性强
预测精度高
灰色预测模型适用于数据量较 少、信息不完全、具有不确定 性和动态性的系统。它可以在 数据序列较短、波动较大、趋 势不明显的情况下，进行有效 的预测和分析。
04
灰色预测模型检验与评 估
残差检验法
01
02
03
残差计算
通过比较实际值与预测值 之间的差异，计算残差序 列。
残差分析
对残差序列进行统计分析 ，包括计算均值、方差等 指标，以评估模型的预测 精度。
残差图
绘制实际值与预测值的散 点图，以及残差序列的折 线图，直观展示模型的拟 合效果。
后验差检验法
金融市场分析
灰色预测模型可以用于分析金融市场的波动性和 趋势，帮助投资者做出更明智的投资决策。
3
物价水平预测
利用灰色预测模型可以对物价水平进行短期和长 期预测，为政府制定物价调控政策提供依据。
社会领域应用案例
人口数量预测
通过收集历史人口数据，利用灰色预测模型可以对未来人 口数量进行预测，为政府制定人口政策提供参考。
关于“灰色预测模型 ”讲解
灰色预测
式中：1、
为第k个点与的绝对误差；
ˆ 2、 min min X 0 k X 0 k 为两级最小差；
ˆ 3、 max max X 0 k X 0 k 为两级最大差；
4、ρ称为分辨率， 0<ρ<1,一般取ρ=0.5；
1 n r k n k 1
1 1
x ( 0) (i ) ， k
i 1
1,2,n
为 X (1) 的紧邻生成序列： Z
(1)
z
(1)
1 (1) (1) (k ) ( x (k ) x (k 1)) ， k 2,3 , n 2
(1)
其中， Z 称
( z (2), z (3), , z (n))
1998
199
2000
试建立Gm(1,1)模型的白化方程及时间响应式，并对 Gm(1,1)模型进行检验，预测该企业2001-2005年产值。
解：1）设时间序列为
X
( 0)
x (1), x (2), x (3), x (4)
( 0) ( 0) ( 0) ( 0)
=（27260，29547，62411，35388）
27260 ,42033 .5,73012 .5,106912
于是，
z (1) (2) 1 42033 .5 1 B z (1) (3) 1 73012 .5 1 (1) 106912 1 z (4) 1
x ( 0 ) (2) 29547 Y x ( 0 ) (3) 32411 ( 0 ) 35388 x (4)
常用的灰色系统生成方式有: 累加生成,累减 生成,均值生成,级比生成等。
灰色预测模型
灰色预测模型1.模型建立灰色系统是指部分信息已知，部分信息未知的系统。
灰色系统的理论实质是将无规律的原始数据进行累加生成数列，再重新建模。
由于生成的模型得到的数据通过累加生成的逆运算――累减生成得到还原模型，再有还原模型作为预测模型。
预测模型，是拟合参数模型，通过原始数据累加生成，得到规律性较强的序列，用函数曲线去拟合得到预测值。
灰色预测模型建立过程如下：1) 设原始数据序列()0X 有n 个观察值，()()()()()()(){}n X X X X 0000,...,2,1=，通过累加生成新序列 ()()()()()()(){}n X X X X 1111,...,2,1=，利用新生成的序列()1X 去拟和函数曲线。
2) 利用拟合出来的函数，求出新生序列()1X 的预测值序列(1)X 3) 利用(0)(1)(1)()()(1)X k X k X k =--累减还原：得到灰色预测值序列： ()()(){}00001,2,...,X X X X n m =+ (共n ＋m 个，m 个为未来的预测值)。
将序列()0X 分为0Y 和0Z ，其中0Y 反映()0X 的确定性增长趋势，0Z 反映()0X 的平稳周期变化趋势。
利用灰色GM （1，1）模型对()0X 序列的确定增长趋势进行预测 2 模型求解根据2006全国统计年鉴数据整理得到全国历年年度人口统计表如表1.根据上述数据，建立含有20个观察值原始数据序列()0X ：()[]09625998705105851112704127627128453129988130756X =利用Matlab 软件对原是数列()0X 进行一次累加，得到新数列为()1X ，如表2：表2：新数列()1X 误差和误差率1、利用表2，拟合函数，如下：0.011624(1)92800439183784t x t e +=-2、精度检验值c ＝0.3067 （很好） P ＝0.9474 （好）3、得到未来20年的预测值：。
灰色预测法
灰色预测法1.介绍灰色预测就是灰色系统所做的预测，灰色系统理论是我国著名学者邓聚龙教授创立的一种兼具软硬科学特性的新理论。
灰色系统的具体含义就是：部分信息已知，部分信息未知的某一系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素有很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
2.适用问题灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
比如说人口预测、气象预报、初霜预测、灾变预测（如地震时间的预测）、数列预测（如对消费物价指数的预测）。
灰色预测模型所需要的数据量比较少，预测比较准确，精确度比较高。
样本分布不需要有规律性，计算简便，检验方便。
灰色GM(1,1) 模型是指运用曲线拟合和灰色系统理论进行预测的方法，对历史数据有很强的依赖性，没有考虑各个因素之间的联系，所以误差偏大，只适合做中长期的预测，不适合长期预测。
3.数学方法核心步骤3.1数据的检验与处理首先，为了确保建模方法的可行性，需要对抑制数据作必要的检验处理，设参考数据为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，计算数列的级比(0)(0)(1)().2,3,...,()x k k k n x k λ-== 如果所有的级比()k λ 都在可容覆盖2212(,)n n e e -++ 内，则数列(0)x 可以作为模型GM(1,1)的数据进行灰色预测，否则，需要对(0)x 做必要地变换处理，使其落入可容覆盖内，即取适当的c ，做平移变换 (0)(0)()(),1,2,...,y k x k c k n =+=则是数列(0)(0)(0)(0)()((1),(2),...,())y k y y y n =的级比(0)(0)(1)(),2,3,...,()y y k k X k n y k λ-=∈= 3.2 建立模型按照下面的办法建立模型GM （1,1）（1） 由上面的叙述知道参考数据列为(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,())x x x x n =，对其做一次累加（AGO ）生成数列(1)x(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)((1),(2),...,())((1),(1)(2),...,(1)())x x x x n x x x x n x n ==+-+其中(1)(0)1()()(1,2,...,)k i x k x i k n ===∑ 。
灰色预测模型
dx
(t)
(1)
ax
(t)b,
dt
解为
b
a
(
t
1
) b
x(
t)
(
x(
1
))
e
.
a
a
(
1
)
(
0
)
（3）
于是得到预测值
b
b
(
1
)
(
0
)
ak
ˆ
x(
k
1
)
(
x(
1
)
)
e
,
k
1
,
2
,
,
n
1
,
a
a
从而相应地得到预测值：
(
0
)
(
1
)
(
1
)
ˆ
ˆ
ˆ
x
(
k
1
)
x
(
k
1
)
x
(
k
lim
dt
t
t 0
而 （ 1）( x ( k )) x ( k ) x ( k 1 ), 相当于
t 1
（3）加权邻值生成
(
0
)
(
0
)
(
0
)
(
0
)
x
(
x
(
1
),
x
(
2
),
,
x
(
n
))
设原始数列为
(完整版)灰色预测模型
我们说X (1)是X (0)的AGO序列，并记为
当且仅当
X (1) AGO X (0)
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
k
并满足 x(1) (k) x(0) (m) (k 1, 2,L , n) m1
例1 摆动序列为：X (0) 1, 2, 1.5, 3
3、灰数及其运算
只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰 数，通常记为：“”。
例如： 1. 头发的多少才算是秃子。应该是个区间范
围。模糊 2.多少层的楼房算高楼，中高楼，低楼。 3.多么重才算胖子？。
灰数的种类：
a、仅有下界的灰数。 有下界无上界的灰数记为： ∈[a, ∞] b、仅有上界的灰数。 有上界无下界的灰数记为： ∈[-∞ ,b] c、区间灰数 既有上界又有下界的灰数： ∈ [a, b] d、连续灰数与离散灰数 在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰 数，取值连续地充满某一区间的灰数称为连续 灰数。
这表明
IAGO X (1) IAGO(பைடு நூலகம்AGO X (0) ) X (0)
3. 均值生成算子（MEAN）
定义 它是将AGO序列中前后相邻两数取平均数， 以获得生成序列。令X (1)为X (0)的AGO序列
X (1) x(1) 1, x(1) 2,L , x(1) n
称Z (1)为X (1) 的MEAN序列，并记为
定义 它是对AGO生成序列中相邻数据依次累 减，又称累减生成。令X (0)为原序列
X (0) x(0) 1, x(0) 2,L , x(0) n
称Y是 X (0)的IAGO序列，并记为
当且仅当
Y IAGO X (0)
Y y(1), y(2),L , y(n)
灰色预测
作m次累加：
X
X (1) (1) X (0) (1)
m
k X
i 1
k
m 1
i
X (1) (2) X (0) (1) X (0) (2) X (1) (1) X (0) (2) ...... X
(1)
( n) X (()) (i ) X (1) ( n 1) X (0) ( n)
度，根据经验，当ρ=0.5时，关联度大于0.6便 满意了。
（3）后验差检验
a.计算原始序列标准差:
S1
X i X
0
0 2
n
b. 计算绝对误差序列的标准差：
S2
i
0
0 2
n
c. 计算方差比：
S2 C S1
注：（1）原始数据不一定全部用来建模，数 据不同，模型不同。 （2）数据的取舍应保证建模序列等时矩、 相连，不得有跳跃出现。 （3）一般建模数据应当有最新的数据及其相 邻数据构成。
三、模型检验 灰色预测检验一般有残差检验、关联度检 验和后验差检验。
（1）残差检验
ˆ 1 i , 按预测模型计算X
1 0 X 1 X 1 （3）取
b ak b 0 1 ˆ X k 1 X 1 e a a
k 1, 2..., n
（4）还原值
ˆ 0 k 1 X ˆ 1 k 1 X ˆ 1 k X
灰色预测法
王卉
灰色预测
一、灰色预测的概念
（1）灰色系统、白色系统和黑色系统
• 白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，
预测方法——灰色预测模型
预测⽅法——灰⾊预测模型灰⾊预测模型主要特点是模型使⽤的不是原始数据序列，⽽是⽣成的数据序列，核⼼体系为灰⾊模型（GM），即对原始数据作做累加⽣成（累减⽣成，加权邻值⽣成）得到近似指数规律再进⾏建模。
优点：不需要很多数据；将⽆规律原始数据进⾏⽣成得到规律性较强的⽣成序列。
缺点：只适⽤于中短期预测，只适合指数增长的预测。
GM(1,1)预测模型GM(1,1)模型是⼀阶微分⽅程，且只含⼀个变量。
1. 模型预测⽅法2. 模型预测步骤1. 数据检验与处理为保证建模⽅法可⾏，需要对已知数据做必要的检验处理。
设原始数据列为x(0)=(x0(1),x0(2),….x0(n))，计算数列的级⽐λ(k)=x(0)(k−1)x(0)(k),k=2,3,...,n如果所有的级⽐都落在可容覆盖区间X=(e−2n+1,e2n+1)内，则数列可以建⽴GM（1，1）模型且可以进⾏灰⾊预测。
否则，对数据做适当的变换处理，如平移变换：y(0)(k)=x(0)(k)+c,k=1,2,...,n取c使得数据列的级⽐都落在可容覆盖内。
2. 建⽴模型根据1中⽅程的解，进⼀步推断出预测值ˆx(1)(k+1)=(x(0)(1)−ba)e−ak+ba,k=1,2,...,n−13. 检验预测值1. 残差检验ε(k)=x(0)(k)−ˆx(0)(k)x(0)(k),k=1,2,...,n如果对所有的|ε(k)|<0.1|ε(k)|<0.1，则认为到达较⾼的要求；否则，若对所有的|ε(k)|<0.2|ε(k)|<0.2，则认为达到⼀般要求。
2. 级⽐偏差值检验ρ(k)=1−1−0.5a1+0.5aλ(k)如果对所有的|ρ(k)|<0.1，则认为达到较⾼的要求；否则，若对于所有的|ρ(k)|<0.2,则认为达到⼀般要求。
4. 预测预报根据问题需要给出预测预报。
3. py实现import numpy as npimport pandas as pddata=[71.1,72.4,72.4,72.1,71.4,72.0,71.6] # 数据来源len=len(data) # 数据量# 数据检验lambdas=[]for i in range(1,len):lambdas.append(data[i-1]/data[i])X_Min=np.e**(-2/(len+1))X_Max=np.e**(2/(len+1))l_min,l_max=min(lambdas),max(lambdas)if l_min<X_Min or l_max> X_Max:print("该组数据为通过数据检验，不能建⽴GM模型！")else:print("改组数据通过检验")# 建⽴GM(1,1)模型data_1=[] # 累加数列z_1=[]data_1.append(data[0])for i in range(1,len):data_1.append(data[i]+data_1[i-1])z_1.append(-0.5*(data_1[i]+data_1[i-1]))B=np.array(z_1).reshape(len-1,1)one=np.ones(len-1)B=np.c_[B,one]Y=np.array(data[1:]).reshape(len-1,1)a,b=np.dot(np.dot(np.linalg.inv(np.dot(B.T,B)),B.T),Y)print('a='+str(a))print('b='+str(b))## 数据预测data_1_prd=[]data_1_prd.append(data[0])data_prd=[] # 预测datadata_prd.append(data[0])for i in range(1,len):data_1_prd.append((data[0]-b/a)*np.e**(-a*i)+b/a)data_prd.append(data_1_prd[i]-data_1_prd[i-1])# 模型检验## 残差检验e=[]for i in range(len):e.append((data[i]-data_prd[i])/data[i])e_max=max(e)if e_max<0.1:print("数据预测达到较⾼要求！")elif e_max<0.2:print("数据预测达到⼀般要求！")# 输出预测数据for i in range(len):print(data_prd[i])灰⾊Verhulst预测模型主要⽤于描述具有饱和状体的过程，即S型过程，常⽤于⼈⼝预测，⽣物⽣长，繁殖预测及产品经济寿命预测等。
灰色预测
′ X 2 = (1,1.063,1.1227,1.1483)
′ X 3 = (1,.097,1.0294,1.0294 )
′ X 4 = (1,1.0149,0.805,0.7 )
第二步： 第二步 求序列差 ∆ 2 = (0,0.1155,0.1992,0.2335)
∆ 3 = (0,0.0225,0.1059,0.1146)
1 1 1 1 1
计算BTB,(BTB)-1和BTYn
− 42.45 − 74.6 − 42.45 − 74.6 −108.05 −143 −179.65 T * −108.05 B B = 1 1 1 1 1 −143 −179.65
X 3 = (3.4,3.3,3.5,3.5) X 4 = (6.7,6.8,5.4,4.7 )
参考序列分别为X 1 ，被比较序列为 X 2 , X 3 , X 4 试求关联度。
以
X 1 为参考序列求关联度
第一步：初始化，即将该序列所有数据分
别除以第一个数据。得到：
X 1′ = (1,0.9475,0.9235,0.9138)
ˆ ˆ X (1) (i ) 累减生成 X (0 ) (i ),
ˆ 然后计算原始序列X (0 ) (i )与 X (0 ) (i ) 的绝对误差序列及相
对误差序列。
ˆ ∆(0 ) (i ) = X (0 ) (i ) − X (0 ) (i )
∆(0 ) (i ) φ (i ) = (0 ) ×100% X (i )
∆ 4 = (0,0.0674,0.1185,0.2148)
第三步： 第三步 求两极差
M = max max ∆ i (k ) = 0.2335
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用最小二乘法估计为
Uˆ
aˆ uˆ
(BT
B)1 BT
y
将a与u的估计值代入微分方程可得
xˆ(1) (k 1) [x(1) (1) uˆ ]eaˆk uˆ
aˆ
aˆ
GM(1,1)模型
求模拟值 x(1) 并累减还原出 x(0) 的模拟值。 对其做累减还原即可得到原始数列的灰色预测 模型为:
Xˆ (0) (k) Xˆ (1) (k 1) Xˆ (1) (k)
灰色生成
将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处 理称为生成.对原始数据的生成就是企图从杂 乱无章的现象中去发现内在规律.
常用的灰色生成方式有: 累加生成,累减生 成,均值生成,级比生成等
灰色生成
累加生成
累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数 列.累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在 灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可 以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据 中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生成是对原 始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序 列的一种手段.
常用到的灰色预测模型
• GM（1，1）模型——是1阶方程,包含有1个变量 的灰色模型
• GM（1，N）模型——是1 阶方程，包含有N 个 变量的灰色模型。
• GM（0，1）模型——是0 阶方程，包含有N 个变 量的灰色模型。表达式上相当于统计回归
• GM（2，1）模型——是2阶方程，包含有1 个变 量的灰色模型。
模型精度检验
+ 相对误差大小检验法(最常用) + 后验差检验法 + 关联度检验法
模型精度检验
相对误差大小检验法
相对误差大小检验法,它是一种直观的逐点进 行比较的算术检验方法,它是把预测数据与实 际数据相比较,观测其相对误差是否满足实际 要求。 设按该模型以求出Xˆ (1) ，并将 Xˆ (1) 做一次累 减转化为Xˆ (0) ，即
简介
它是系统科学思想发展的必然产
物，是社会经济深入发展对科学
刺激和需要的产物。
应用于各领域
系统理论形成
模糊理论首创
发展
查德
1968年
19世 纪80 年代
19世 纪90 年代 左右
邓聚龙
理论体系
20世 纪后
决策，预测等
简介
1. 灰色系统的定义
灰色系统是黑箱概念的一种推广。我们把既含有已知信 息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端， 我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全 确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要 标志是系统各因素之间是否具有确定的关系。
模型的修正
设原始数列为:
X 0 X 0 1 , X 0 2, X 0 3,...X 0 n
置入新信息X(0)(n+1),去掉老信息X(0)(1),可构成 新数列:
X 0 X 0 2, X 0 3, X 0 4,...X 0 n 1
利用这一新数列建立的GM(1,1)模型,即为等 维信息GM(1,1)模型。
;
x(0) (3) x(0) (N )
[
x
(1)
(3)
,1]ua
;
......
[
x
(1)
(
N
),1]ua
由于
x (1) t
涉及
x
(1)
的两个时刻的值，因此取其前后两
个时刻的均值更为合理。所以将 x(1) (i)替换为
1 x(1) (i) 1 x(1) (i 1)
2
2
GM(1,1)模型
当k=1,2，…N-1时求解的为拟合值，当k大于 等于N时求出的为预测值。
GM(1,1)模型
GM(1,1)模型的特征
建立在灰色系统理论基础上的灰色预测方法具有原 理简单、所需样本少、不需考虑分布规律、计算方 便、预测精度高和易于检验等优点,但是灰色预测方 法也存在较大缺陷而使得灰色模型一般不宜用于中 长期预测,有关文献已经证明了灰色模型参数与模型 的适用性间有如下的关系:
灰色生成
累加生成
设原始数据序列
x(0) {x(0) (1), x(0) (2), , x(0) (N ) } {6, 3, 8, 10, 7}
对数据累加
x(1) (1) x(0) (1) 6， x(1) (2) x(0) (1) x(0) (2) 6 3 9， x(1) (3) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) 6 3+8 17， x(1) (4) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) 6 3+8+10 27， x(1) (5) x(0) (1) x(0) (2) x(0) (3) x(0) (4) x(0) (5)
1
14.7185
1
1
1 1
y [x(0)(2), x(0)(3), x(0)(4), x(0)(5)]T
[3.278, 3.337, 3.390, 3.679]T
销售额预测
销售额预测
销售额预测
销售额预测
模型的修正
灰色等维信息模型
GM(1,1)模型中具有预测意义的数据仅仅是数据 X(n)以后的前几个数据，随着时间的推移，老的 数据越来越不适应新的情况，所以，要在原数据 的基础上每次增加一个新信时，就去掉一个老信 息。这种新数据补充、老数据去除的数据列，由 于其维数不变，因而叫等维信息数据列，相应的 模型叫等维灰数递补模型，或叫新陈代谢模型。
Xˆ (0) xˆ(0) (1), xˆ(0) (2),..., xˆ(0) (n)
计算残差： E e(1), e(2),..., e(n)
模型精度检验
计算相对误差
rel(k) e(k) 100 %, k 1,2,..., n x(0) (k)
平均相对误差
1 n
rel rel(k) n k 1
简介
灰色预测常见应用
（1）数列预测，即用观察到的反映预测对象特征的 时间序列来构造灰色预测模型，预测未来某一时刻 的特征量，或达到某一特征量的时间。 （2）灾变与异常值预测，即通过灰色模型预测异常 值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时 区内。 （3）波形预测。预测事物未来变动的轨迹。
简介
x(0) (i) xˆ(i) xˆ(i 1) , (i 2,3,..., N )
（6）精度检验与预测
销售额预测
表2列出了某公司1999—2003年逐年的销售额.试用建立 预测模型，预测2004年的销售额，要求作精度检验。
表2：逐年销售额（百万元）
年份 1999 2000 2001 2002 2003
由导数定义
dx(1) lim x(1) (t t) x(1) (t)
dt
t
当t变化取值为1单位时，近似的有
x(1) (t 1) x(1) (t) x(1) t
所以一阶常微分方程可以变换为
x(0) (t) ax(1) (t) u
GM(1,1)模型
x(0)
(2)
[ x(1)
a
(2),1]u
小误差概率p 0.95<=p 0.80<=p<0.95 0.70<=p<0.80 P<0.70
所以模型的精度级别为: Maxp的级别，C的级别
模型精度检验
灰色关联度
ij
min j
X0(
j)
Xi(
j)
max max
i
j
X0(
j)
Xi(
X
0
(
j)
X
i
(
j
)
max i
max j
X
0
(
j)
X
i
(
j
)
j)
模型精度检验
后验差检验法
设原始序列与残差序列的方差分别为
S12
1 n
n k 1
x(0) (k) x
2
S
2 2
1 n
n k 1
e(0) (k) e
2
后验差比为 C S2 S1
小误差概率为 p P e(k) e 0.6745S1
模型精度检验
精度检验等级参照表
模型精度等级 均方差比值C 1级（好） C<=0.35 2级（合格） 0.35<C<=0.5 3级（勉强） 0.5<C<=0.65 4级（不合格） 0.65<C
3.390
12.879
2003 5
3.679
16.558
销售额预测
（2）建立矩阵： B, y
B
1 2
[
x(1)
(2)
1 2
[
x(1)
(3)
1 2
[
x(1)
(4)
1 2
[
x(1)
(5)
x(1) (1)] x(1) (2)] x(1) (3)] x(1) (4)]
1 4.513
1 1
7.8205 11.184
目录
+ 简介 + 灰色生成 + GM (1,1) 模型 + 模型精度检验 + 灰色模型的修正 + 相关赛题介绍
简介
灰色系统理论是由华中科技大学邓聚龙教授于 1982年提出并加以发展的。二十几年来，引起 了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展。 目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术 在等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控 制、系统分析与建模的重要方法之一。特别是 它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系 统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到 了广泛的应用.
6 3+8+10+7 34.