人教版高中数学高二-数学学案 余弦定理 (人教A版必修5) (2)
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1.1.2 余弦定理
1. 掌握余弦定理的两种表示形式;
2. 证明余弦定理的向量方法;
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
一、课前准备
复习1:在一个三角形中,各 和它所对角的 的 相等,即 = = .
复习2:在△ABC 中,已知10c =,A =45 ,C =30 ,解此三角形.
思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?
二、新课导学
※ 探究新知
问题:在ABC ∆中,AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .
∵AC = , ∴AC AC •=
同理可得: 2222cos a b c bc A =+-, 2222cos c a b ab C =+-.
新知:余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍.
思考:这个式子中有几个量?
从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论:
222
cos 2b c a A bc
+-=
, , . [理解定理]
(1)若C =90︒,则cos C = ,这时222c a b =+
由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为:
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
试试:
(1)△ABC 中,a =2c =,150B =,求b .
(2)△ABC 中,2a =,b ,1c ,求A .
※ 典型例题
例1.在∆ABC 中,已知=a c 060=B ,求b 及A
变式1:在△ABC 中,若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )
A .090
B .060
C .0135
D .0
150
例2. 在△ABC 中,已知()()3a b c a b c ab +++-=,且2cos sin sin A B C ⋅=,试确定三角形的形状。
变式2:在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么?
三、总结提升
※
学习小结
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;
2. 余弦定理的应用范围: ① 已知三边,求三角;
② 已知两边及它们的夹角,求第三边.
※ 知识拓展
在△ABC 中,
若222a b c +=,则角C 是直角; 若222a b c +<,则角C 是钝角; 222是锐角.
※
自我评价
你完成本节导学案的情况为( ).
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:
1. 已知三角形的三边长分别为3、5、7,则最大角为( ). A .60 B .75 C .120 D .150
2. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是( ).
A x <<
B x <5
C . 2<x
D <x <5
3.在△ABC 中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC 的形状是( )
A .锐角三角形
B .直角三角形
C . 钝角三角形
D .非钝角三角形 4. 在△ABC 中,|AB |=3,|AC |=2,AB 与AC 的夹角为60°,则|AB -AC |=________. 5. 在△ABC 中,已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=,则∠C 等于 .
1.. 已知在ABC ∆中,︒=∠45A ,2=a ,6=c 解此三角形。
2.. 如图,在四边形ABCD 中,已知AD CD ⊥,10AD =, 14AB =, 60BDA ∠=,
135BCD ∠=,求BC 的长.
A
D
1.1.2 余弦定理参考答案
※ 典型例题
例1.⑴解:∵2222cos =+-b a c ac B
=222+-⋅cos 045
=2121)+- =8
∴=b
求A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:
⑵解法一:∵cos 2221
,22+-=
b c a A bc
∴0
60.=A
解法二:∵sin 0sin sin45,=a A B b
又 2.4 1.4 3.8,+=
21.8 3.6,⨯=
∴a <c ,即00<A <090,∴0
60.=A
变式1: D 01
2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302
b a B B A B A A ===
=或0150 例2.解:因为2cos sin sin A B C ⋅=,由正弦定理得 sin cos 2sin 2C c
A B b
==
。 由余弦定理,222cos 2b c a A bc
+-=,得2222
,c b c a a b =+-∴=。
又因为()()3a b c a b c ab +++-=,所以2
2
()3,a b c ab +-=
∴2
2
2
43b c b -= 得b c = ,∴a b c ==.因此△ABC 为等边三角形。 变式2:在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么? 解:cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=