人教版高中数学高二-数学学案 余弦定理 (人教A版必修5) (2)

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1.1.2 余弦定理

1. 掌握余弦定理的两种表示形式;

2. 证明余弦定理的向量方法;

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

一、课前准备

复习1:在一个三角形中,各 和它所对角的 的 相等,即 = = .

复习2:在△ABC 中,已知10c =,A =45 ,C =30 ,解此三角形.

思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?

二、新课导学

※ 探究新知

问题:在ABC ∆中,AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b .

∵AC = , ∴AC AC •=

同理可得: 2222cos a b c bc A =+-, 2222cos c a b ab C =+-.

新知:余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍.

思考:这个式子中有几个量?

从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论:

222

cos 2b c a A bc

+-=

, , . [理解定理]

(1)若C =90︒,则cos C = ,这时222c a b =+

由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为:

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.

试试:

(1)△ABC 中,a =2c =,150B =,求b .

(2)△ABC 中,2a =,b ,1c ,求A .

※ 典型例题

例1.在∆ABC 中,已知=a c 060=B ,求b 及A

变式1:在△ABC 中,若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )

A .090

B .060

C .0135

D .0

150

例2. 在△ABC 中,已知()()3a b c a b c ab +++-=,且2cos sin sin A B C ⋅=,试确定三角形的形状。

变式2:在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么?

三、总结提升

学习小结

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例;

2. 余弦定理的应用范围: ① 已知三边,求三角;

② 已知两边及它们的夹角,求第三边.

※ 知识拓展

在△ABC 中,

若222a b c +=,则角C 是直角; 若222a b c +<,则角C 是钝角; 222是锐角.

自我评价

你完成本节导学案的情况为( ).

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测(时量:5分钟 满分:10分)计分:

1. 已知三角形的三边长分别为3、5、7,则最大角为( ). A .60 B .75 C .120 D .150

2. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是( ).

A x <<

B x <5

C . 2<x

D <x <5

3.在△ABC 中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC 的形状是( )

A .锐角三角形

B .直角三角形

C . 钝角三角形

D .非钝角三角形 4. 在△ABC 中,|AB |=3,|AC |=2,AB 与AC 的夹角为60°,则|AB -AC |=________. 5. 在△ABC 中,已知三边a 、b 、c 满足222b a c ab +-=,则∠C 等于 .

1.. 已知在ABC ∆中,︒=∠45A ,2=a ,6=c 解此三角形。

2.. 如图,在四边形ABCD 中,已知AD CD ⊥,10AD =, 14AB =, 60BDA ∠=,

135BCD ∠=,求BC 的长.

A

D

1.1.2 余弦定理参考答案

※ 典型例题

例1.⑴解:∵2222cos =+-b a c ac B

=222+-⋅cos 045

=2121)+- =8

∴=b

求A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理:

⑵解法一:∵cos 2221

,22+-=

b c a A bc

∴0

60.=A

解法二:∵sin 0sin sin45,=a A B b

又 2.4 1.4 3.8,+=

21.8 3.6,⨯=

∴a <c ,即00<A <090,∴0

60.=A

变式1: D 01

2sin ,sin 2sin sin ,sin ,302

b a B B A B A A ===

=或0150 例2.解:因为2cos sin sin A B C ⋅=,由正弦定理得 sin cos 2sin 2C c

A B b

==

。 由余弦定理,222cos 2b c a A bc

+-=,得2222

,c b c a a b =+-∴=。

又因为()()3a b c a b c ab +++-=,所以2

2

()3,a b c ab +-=

∴2

2

2

43b c b -= 得b c = ,∴a b c ==.因此△ABC 为等边三角形。 变式2:在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么? 解:cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+=

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