江苏省徐州市睢宁县宁海外国语学校高中数学 推理案例赏析学案 苏教版选修23

推理案例赏析
学习目标：
1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.
2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力.
学习重难点：
合情推理和演绎推理
学法指导：
在实际的数学活动中，通过观察、思考、联想，可以猜测新的结论，新的结论的正确性可以利用演绎推理进行证明.
学习过程:
探究一:运用归纳推理探求结论
问题1:在数学活动中，归纳推理一般有几个步骤？
实验、观察(列举几个特别的例子)→概括、推广(分析特例，发现规律，找出共性)→猜测一般性结论.
问题2：归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？
归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向.
例1：已知数列的前4项为3
2
，1，
7
10
，
9
17
，试写出这个数列的一个通项公式.
跟踪训练：下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为______.
探究二：运用类比推理探求结论
问题1：在数学活动中，类比推理一般有几个步骤？
观察，比较(类比两类对象，挖掘他们之间的相似或相同点)→联想，类推(提炼出两类对象的本质的共同的属性，并根据一类对象所具有的性质推测另一类对象也具有某种类似的性质)→猜测新的结论.
问题2：类比推理的结论是否一定正确？
从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证.
例2：Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BC2＝BD·BA.类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P—ABC中，可得到什么结论？
跟踪训练：在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2”.拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_____________________.
探究三：运用演绎推理证明结论的正确性
问题1：合情推理与演绎推理有何异同之处？
问题2：应用三段论推理时，一定要严格按三段论格式书写吗？ 在实际应用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式.前一个三段论的结论往往作为下一个三段论的前提.
例3：在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *
. (1)求证数列{a n －n }是等比数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；
跟踪训练：已知函数f (x )，对任意的x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y ).求证：f (x )是奇函数.
当堂检测：
1.一个数列的第2项到第4项分别是3，15，21，据此可以猜想这个数列的第一项是________.
2.在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形.运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________.
3.设x i >0 (i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2x 1x 2；x 1＋x 2＋x 3≥33x 1x 2x 3，…类比上
述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x n ，猜想有下述结论________________________________.
4.已知a 、b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则f 2f 1
＋ f 3f 2＋…＋f 2 013f 2 012
＝________. 5. 如图，设△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，BC 边上的高AD ＝h .扇形A 1B 1C 1中，B 1C 1＝l ，
半径为R，△ABC的面积可通过下列公式计算：(1)S＝1
2
ah；(2)S＝
1
2
bc sin∠BAC.
运用类比的方法，猜想扇形ABC的面积算式，并指出其真假.
(1)______________________
(2)______________________。