不等式与解三角形大题
三角形不等式(含练习题)
三角形不等式的应用根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用.类型一：证明形如a b c +>型的不等式例1、已知x y z 、、证明:作角∠120AOB =，∠120BOC =，则∠120AOC =，设x y z OA OB OC ===、、，由余弦定理：==又OA OB OC,+>所以原不等式成立.例2、已知x y z 、、证明:在空间直角坐标系中，取A(,0,0)B 0,0)C 00)x y z 、(,、(,,，则BC C A ==又AB BC C,A +>所以原不等式成立.类型二：证明形如a b c d ++>型的不等式例3、已知x y z 、、y z).++证明：以x y z ++为边作正方形，).BC CD AB x y z =++≥++DAx yzx y z类型三：证明形如a b c d e +++>型的不等式例4、设01,01x y <<<<求证：≥证明：左边即表示动点(,)P x y 到四个定点(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)O A B C 的距离之和. 另由题设知，P 在边长为1的正方形OABC 的内部.由()()OP BP CP AP OB AC +++≥+=.应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.例5、已知正数x y 、满足1x y +＝， 2.≥分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用1x y +＝这个条件进行化简.证明：2,只要证22224,x y y ++++≥x即证22224,x y y ++++x即证22224,x y y ++++≥x即证22[()2]x y xy x y +-+++注意到1x y +＝，即证2[12]14,xy -++即证14,xy +即证224(4()52)1816(),xy xy xy xy -+≥++即证287,xy -≥-1,4xy ≤而21(),24x y xy +≤=故14xy ≤成立. 所以原不等式成立.如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：证明：左边===设(,0)P x ，1(,)44A ，3(,44B ，则|||)PA PB =+左边，1(4A 关于x 轴的对称点为11(,4A ， 由对称及三角形不等式知1||||||PA PB A B +≥，当P 为1A B 与x 轴交点时取等号.1A B ==2.≥左边即原不等式成立比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的. 但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走进命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.下面的练习可以利用三角形不等式来证明或求解：1、求y =.（答案：5）2、已知a b ≠，求证：||.a b <-3、 求证：01≤<.4、已知x y z 、、为正数，求证：（1>（2）|<。
不等式,向量,解三角形专题练习作业含答案
专题集训·作业(九)一、选择题1．平行六面体的各棱长均为4，在其顶点P 所在的三条棱上分别取P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则棱锥P －ABC 的体积是平行六面体的体积的( )A.164 B.364 C.132 D.332答案 A解析 由已知可将平行六面体模型化为正方体，则有V 正方体＝64，V P －ABC ＝13×12×1×2×3＝1，故选A.2．(2014·合肥一中模拟)e ，π分别是自然对数的底数和圆周率，则下列不等式不成立的是( )A ．log πe ＋(log e π)2>2B ．log πe ＋log e π>1C ．e e －e>e π－πD ．(e ＋π)3<4(e 3＋π3)答案 C解析 设f (x )＝e x －x (x >0)，则f ′(x )＝e x －1，当x >0时，f ′(x )>0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (π)>f (e)，即e π－π>e e －e.3．(2014·鄂西示范性学校联考)命题“∀x ∈R ，x 2－3x ＋2≥0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2<0B ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2>0C ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2≥0 答案 A解析 求全称命题的否定时，需要先把全称量词改写为存在量词，再对结论进行否定，所以原命题的否定为“∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋2<0”．4．(2014·襄阳五校联考)已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，离心率为2，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过F 1作一条斜率为k (k ≠0)的直线与双曲线交于两个点M ，N ，则∠MAN ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 D解析 由离心率为2，可得c ＝2a ，b 2＝3a 2，则双曲线方程为3x 2－y 2＝3a 2.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为x ＝my －2a ，与双曲线方程联立得(3m 2－1)y 2－12amy ＋9a 2＝0，从而有3m 2－1≠0，y 1＋y 2＝12am 3m 2－1，且y 1y 2＝9a 23m 2－1.则AM →·AN→＝(x 1－a )(x 2－a )＋y 1y 2＝(my 1－3a )(my 2－3a )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－3am (y 1＋y 2)＋9a 2＝9a 2(m 2＋1)3m －1－36a 2m23m －1＋9a 2＝0，故选D. 5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的外接球体积为( )A.32π B.3π C ．23π D ．33π答案 A解析 由正视图和侧视图均是腰长为1的等腰直角三角形，可得该几体体是一个四棱锥(如图所示)，底面BCDE 是边长为1的正方形，侧棱AE ⊥底面BCDE ，所以根据球与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC .根据勾股定理知AC＝1＋1＋1＝3，所以外接球半径为32，于是该几何体的外接球体积V ＝43π×(32)3＝32π.故选A.6．已知对于任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，则x 的取值范围是( )A ．1<x <3B ．x <1或x >3C ．1<x <2D ．x <2或x >2答案 B解析 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 7．已知在正三棱锥S －ABC 中，E 是侧棱SC 的中点，且SA ⊥BE ，则SB 与底面ABC 所成角的余弦值为( )A.12B.23C.23D.63答案 D解析 如图所示，在正三棱锥S －ABC 中，作SO ⊥平面ABC ，连接AO ，则O 是△ABC 的中心，所以SO ⊥BC ，AO ⊥BC .由此可得BC ⊥平面SAO ，所以SA ⊥BC .又SA ⊥BE ，所以SA ⊥平面SBC ，故正三棱锥S －ABC 的各侧面全等且均是等腰直角三角形．连接OB ，则∠SBO 为SB 与底面ABC 所成的角．设SA ＝a ，则AB ＝2a ，BO ＝63a ，所以cos ∠SBO ＝63.8．定义在R 上的可导函数f (x )，当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋f ′(x )<xf ′(x )恒成立，若a ＝f (2)，b ＝12f (3)，c ＝(2＋1)f (2)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <c <bD ．c <b <a答案 A解析 设g (x )＝f (x )x －1，则g ′(x )＝f ′(x )(x －1)－f (x )(x －1)2.由于f (x )＋f ′(x )<xf ′(x )，即f ′(x )(x －1)－f (x )>0，因此g (x )＝f (x )x －1在(1，＋∞)上为增函数，故c <a <b .9．过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线l ，使l 与直线AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线l 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条答案 D解析 本题考查了空间直线与直线所成角问题，考查空间想象能力．显然正方体的对角线AC 1与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，将该正方体以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1分别为坐标轴建立空间直角坐标系，则可以得到8个象限，其中在平面ABCD 上方的四个象限内的每一个象限内均有一条与AC 1相似的对角线与此三条棱成等角，即这样的直线l 有4条，故应选D.10．(2014·芜湖三校一模)已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R ，满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2.若b n ＝f (2n )2n (n ∈N *)，则数列{b n }的通项公式为( )A ．nB ．n －1C ．2nD ．2n －1答案 A解析 ∵f (ab )＝af (b )＋bf (a )，f (2)＝2，∴f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n f (2)＝2f (2n )＋2n ＋1.∵b n ＝f (2n )2n (n ∈N *)，又f (2n ＋1)2n ＋1＝f (2n)2n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1，∴{b n }成等差数列，且b 1＝f (2)2＝1，∴b n ＝b 1＋(n －1)×1＝1＋n －1＝n ，n ∈N *.11．(2014·孝感市质检)若函数f (x )＝x －1＋1e x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)的图像与直线l ：y ＝kx －1没有公共点，则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．－1 D.1e答案 B解析 令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1e x ，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．假设k >1，此时g (0)＝1>0.g (1k －1)＝－1＋1e 1k －1<0.又函数g (x )的图像是连续的，由零点存在性定理，可知g (x )＝0在R 上至少有一个解，与方程g (x )＝0在R 上没有实数解矛盾，故k ≤1.又k ＝1时，g (x )＝1e x >0，易知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．所以实数k 的最大值为1.12．(2014·武汉部分学校调研)椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，若点P 在C 上且直线P A 2斜率的取值范围是[－2，－1]，则直线P A 1斜率的取值范围是( )A ．[12，34] B ．[38，34] C ．[12，1] D ．[34，1]答案 B解析 椭圆的左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.而kP A 2＝y 0x 0－2，kP A 1＝y 0x 0＋2，所以kP A 2·kP A 1＝y 20x 20－4＝－34.又kP A 2∈[－2，－1]，所以kP A 1∈[38，34]．二、填空题13．已知函数f (x )＝3x ＋sin x ＋1，若f (t )＝2，则f (－t )＝________. 答案 0解析 由于g (x )＝3x ＋sin x 为奇函数，且f (t )＝3t ＋sin t ＋1＝2，所以3t ＋sin t ＝1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－1＋1＝0.14．(2014·皖西四校联考)若正数x ，y 满足2x ＋3y －3＝0，则x ＋2yxy 的最小值为________．答案 7＋433解析 由2x ＋3y －3＝0，得1＝2x ＋3y 3.于是x ＋2y xy ＝1y ＋2x ＝(1y ＋2x )·2x ＋3y 3＝13(7＋2x y ＋6y x )≥13×(7＋43)＝7＋433，当且仅当⎩⎨⎧2x y ＝6y x，2x ＋3y －3＝0，即x ＝6－33，y ＝23－3时，等号成立．故最小值为7＋433.15．已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案 (－2,1)解析 方法一 由题意可知，当x ≥0时，g (x )＝－g (－x )＝－[－ln(1＋x )]＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.当x ≤－2时，由f (2－x 2)>f (x )，得(2－x 2)3>x 3，因为f (x )＝x 3在R 上为增函数，所以有2－x 2>x ，解得－2<x <1，即－2<x ≤－ 2.当－2<x ≤0时，由f (2－x 2)>f (x )，得ln(1＋2－x 2)>x 3，即－2<x ≤0.当0<x <2时，由f (2－x 2)>f (x )，得ln(1＋2－x 2)>ln(1＋x )，所以有2－x 2>x ，解得－2<x <1，即0<x <1.当x ≥2时，由f (2－x 2)>f (x )，得(2－x 2)3>ln(1＋x )，无解．综上得－2<x <1.方法二 同上得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.易知f (x )在R 上是增函数，由f (2－x 2)>f (x )，得2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，∴－2<x <1.16．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．答案 (1,3]解析 ∵P 为双曲线左支上一点，∴|PF 2|－|PF 1|＝2a .∴|PF 2|＝|PF 1|＋2a .∴|PF 2|2|PF 1|＝(|PF 1|＋2a )2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ，当且仅当4a 2|PF 1|＝|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号，故|PF 2|＝4a .当点P 在x 轴上时，|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，即2a ＋4a ＝2c ，此时e ＝3；当点P 不在x 轴上时，在△PF 1F 2中，|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|，即2a ＋4a >2c ，此时e <3，∴e ≤3.又e >1，于是1<e ≤3.。
不等式解三角形数列高考试题精选
不等式解三角形数列高考试题精选一．选择题（共6小题）1．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z2．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0 4．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b ﹣1）（b﹣a）＞05．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c6．设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q二．选择题（共1小题）7．2﹣3，，log25三个数中最大数的是．三．填空题（共9小题）8．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为．9．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．10．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为．12．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=．13．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．四．解答题（共24小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．19．在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．21．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．23．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．25．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．26．在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD 的长．27．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p ∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．28．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．30．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=．31．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．32．设数列{a n }满足a 1+3a 2+…+（2n ﹣1）a n =2n ．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{}的前n 项和．33．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．34．已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1+a 2=6，a 1a 2=a 3．（1）求数列{a n }通项公式；（2）{b n } 为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n +1=b n b n +1，求数列的前n 项和T n ．35．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．36．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．37．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．38．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．39．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．40．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．不等式解三角形数列高考试题精选参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．2．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，b=．则=4，==，log2（a+b）==∈（1，2），∴＜log2（a+b）＜a+．故选：B．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．故选：C．4．已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若log a b＞1，则（）A．（a﹣1）（b﹣1）＜0 B．（a﹣1）（a﹣b）＞0 C．（b﹣1）（b﹣a）＜0 D．（b ﹣1）（b﹣a）＞0【解答】解：若a＞1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＞a＞1，此时b﹣a＞0，b＞1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，若0＜a＜1，则由log a b＞1得log a b＞log a a，即b＜a＜1，此时b﹣a＜0，b＜1，即（b﹣1）（b﹣a）＞0，综上（b﹣1）（b﹣a）＞0，故选：D．5．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C6．设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），q=f（）=ln（）≥ln（）=p，r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），∴p=r＜q，故选：B二．选择题（共1小题）7．2﹣3，，log25三个数中最大数的是log25．【解答】解：由于0＜2﹣3＜1，1＜＜2，log25＞log24=2，则三个数中最大的数为log25．故答案为：log25．三．填空题（共9小题）8．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为8．【解答】解：直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则+=1，由2a+b=（2a+b）×（+）=2+++2=4++≥4+2=4+4=8，当且仅当=，即a=，b=1时，取等号，∴2a+b的最小值为8，故答案为：8．9．若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；∴上式的最小值为4．故答案为：4．10．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．11．已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．【解答】解：作出f（x）=x2﹣4x（x＞0）的图象，如图所示，∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴利用奇函数图象关于原点对称作出x＜0的图象，不等式f（x）＞x表示函数y=f（x）图象在y=x上方，∵f（x）图象与y=x图象交于P（5，5），Q（﹣5，﹣5），则由图象可得不等式f（x）＞x的解集为（﹣5，0）∪（5，+∞）．故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）12．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=6．=2a n，【解答】解：∵a n+1∴，∵a1=2，∴数列{a n}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n===2n+1﹣2=126，∴2n+1=128，∴n+1=7，∴n=6．故答案为：613．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=﹣1，a n+1=S n+1S n，则S n=﹣．【解答】解：∵a n=S n+1S n，+1﹣S n=S n+1S n，∴S n+1∴﹣=1，又∵a1=﹣1，即=﹣1，∴数列{}是以首项是﹣1、公差为﹣1的等差数列，∴=﹣n，∴S n=﹣，故答案为：﹣．14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=，故答案为：15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=60°，b=，c=3，则A=75°．【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60°，b=，c=3，∴sinB==，∵b＜c，∴B=45°，∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，故答案为：75°．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为8．【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA==．==bc=，化为bc=24，∵S△ABC又b﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．故答案为：8．四．解答题（共24小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sinB=4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，∴cosB=；（2）由（1）可知sinB=，=ac•sinB=2，∵S△ABC∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．=acsinB=，【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．19．在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sinC的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sinC=sinA=×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cosC=，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，=acsinB=×7×3×=6．∴S△ABC20．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；（2）若cosB=，求cosC的值．【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．（II）解：cosB=，∴sinB==．cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．21．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：＞0，代入可得（bk）2=2ak•ck，∴b2=2ac，∵a=b，∴a=2c，由余弦定理可得：cosB===．（II）由（I）可得：b2=2ac，∵B=90°，且a=，∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．∴S==1．△ABC22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，∵==2∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．23．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．25．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．∴=tanA，∵由正弦定理：，又tanA=，∴=，∵sinA≠0，∴sinB=cosA．得证．（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，∴sin2B=，∵0＜B＜π，∴sinB=，∵B为钝角，∴B=，又∵cosA=sinB=，∴A=，∴C=π﹣A﹣B=，综上，A=C=，B=．26．在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD 的长．【解答】解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3…4分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD===…12分27．已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p ∈R）两个实根．（Ⅰ）求C的大小（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，所以p≤﹣2，或p≥．由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，从而tan（A+B）==﹣=﹣．所以tanC=﹣tan（A+B）=，所以C=60°．（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，解得B=45°，或B=135°（舍去）．于是，A=180°﹣B﹣C=75°．则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．28．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知=，∴b=•sinB=×=3．（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞∴cosB=﹣=﹣，sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．29．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos （2A ﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC ，利用正弦定理化简得：b=c ，代入a ﹣c=b ，得：a ﹣c=c ，即a=2c ，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A 为三角形内角， ∴sinA==，∴cos2A=2cos 2A ﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos （2A ﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．30．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知bcosC +ccosB=2b ，则= 2 ．【解答】解：将bcosC +ccosB=2b ，利用正弦定理化简得：sinBcosC +sinCcosB=2sinB ， 即sin （B +C ）=2sinB ， ∵sin （B +C ）=sinA ， ∴sinA=2sinB ，利用正弦定理化简得：a=2b ， 则=2． 故答案为：231．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6． （1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列． 【解答】解：（1）设等比数列{a n }首项为a 1，公比为q ， 则a 3=S 3﹣S 2=﹣6﹣2=﹣8，则a 1==，a 2==，由a1+a2=2，+=2，整理得：q2+4q+4=0，解得：q=﹣2，则a1=﹣2，a n=（﹣2）（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，∴{a n}的通项公式a n=（﹣2）n；（2）由（1）可知：S n===﹣（2+（﹣2）n+1），则S n+1=﹣（2+（﹣2）n+2），S n+2=﹣（2+（﹣2）n+3），由S n+1+S n+2=﹣（2+（﹣2）n+2）﹣（2+（﹣2）n+3）=﹣[4+（﹣2）×（﹣2）n+1+（﹣2）2×+（﹣2）n+1]，=﹣[4+2（﹣2）n+1]=2×[﹣（2+（﹣2）n+1）]，=2S n，即S n+1+S n+2=2S n，∴S n+1，S n，S n+2成等差数列．32．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴a n=．（2）==﹣．∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．33．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n．﹣1【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．34．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6，a1a2=a3．（1）求数列{a n}通项公式；=b n b n+1，求数列（2）{b n}为各项非零的等差数列，其前n项和为S n，已知S2n+1的前n项和T n．【解答】解：（1）记正项等比数列{a n}的公比为q，因为a1+a2=6，a1a2=a3，所以（1+q）a1=6，q=q2a1，解得：a1=q=2，所以a n=2n；（2）因为{b n}为各项非零的等差数列，所以S2n=（2n+1）b n+1，+1=b n b n+1，又因为S2n+1所以b n=2n+1，=，所以T n=3•+5•+…+（2n+1）•，T n=3•+5•+…+（2n﹣1）•+（2n+1）•，两式相减得：T n=3•+2（++…+）﹣（2n+1）•，即T n=3•+（+++…+）﹣（2n+1）•，即T n=3+1++++…+）﹣（2n+1）•=3+﹣（2n+1）•=5﹣．35．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．36．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N*），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b n}的前n项和（n∈N*）．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得，而b1=2，所以q2+q﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8．由S11=11b4，可得a1+5d=16，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，{b n}的通项公式为．（Ⅱ）解：设数列{a2n b n}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，有，，上述两式相减，得=．得．所以，数列{a2n b n}的前n项和为（3n﹣4）2n+2+16．37．已知{a n}为等差数列，前n项和为S n（n∈N+），{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12，b3=a4﹣2a1，S11=11b4．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和（n∈N+）．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由已知b2+b3=12，得b1（q+q2）=12，而b1=2，所以q+q2﹣6=0．又因为q＞0，解得q=2．所以，b n=2n．由b3=a4﹣2a1，可得3d﹣a1=8①．由S11=11b4，可得a1+5d=16②，联立①②，解得a1=1，d=3，由此可得a n=3n﹣2．所以，数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，数列{b n}的通项公式为b n=2n．（II）设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n，由a2n=6n﹣2，b2n﹣1=4n，有a2n b2n﹣1=（3n﹣1）4n，故T n=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，4T n=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，上述两式相减，得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8得T n=．所以，数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为．38．已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a n b n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1+b n+1=nb n．即3b n+1=b n．即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．39．设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*．∴a1+a2=4，a2=2S1+1=2a1+1，解得a1=1，a2=3，=2S n+1，a n=2S n﹣1+1，当n≥2时，a n+1两式相减得a n﹣a n=2（S n﹣S n﹣1）=2a n，+1=3a n，当n=1时，a1=1，a2=3，即a n+1=3a n，满足a n+1∴=3，则数列{a n}是公比q=3的等比数列，则通项公式a n=3n﹣1．（Ⅱ）a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2，设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|，则b1=|30﹣1﹣2|=2，b2=|3﹣2﹣2|=1，当n≥3时，3n﹣1﹣n﹣2＞0，则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2，此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=，则T n==．40．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．。
解三角形数列不等式
2016年高一下学期期中检测一、选择题。
(12×5分=50分)1.在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于( )A. 30 ºB. 60ºC. 30º 或 150ºD. 60º 或120º2.如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ）A.3,9b ac ==B.3,9b ac =-=C.3,9b ac ==-D.3,9b ac =-=-3.已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≤+11y x y y x ，Z=2x+y 的最大值是 （ ）A ．5B ．23C ．3D ．54.在△ABC 中，若cos cos a b B A=，则该三角形一定是 ( ) A ．等腰三角形但不是直角三角形 B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( ) A. 21 B. 31 C.2 D.3 6.设a>0,b>0,若是3a 与3b的等比中项,则+的最小值为( ) (A)8 (B)4 (C)1 (D)7.在△ABC 中,三边a,b,c 成等差数列,B=30°,且△ABC 的面积为,则b 的值是( )(A)1+ (B)2+ (C)3+ (D)8.已知是等比数列，，则=（ ） A.16（） B.6（） C.（） D.（） 9. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ， B ， C 的对边，如果c a b +=2， B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于( ) {}n a 41252==a a ，13221++++n n a a a a a a n --41n --21332n --41332n --21A.231+B.31+C.232+ D.32+ 10.在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，q ∈R 且｜q ｜≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A.9B.10C.11D.1211.等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与Ｔn ，对一切自然数n ，都有n n T S =132+n n ，则55b a 等于( ) A.32 B. 149 C. 3120 D. 1711 12. 一个直角三角形的周长为2p ，则其斜边长的最小值为（ ）A. 21+B. 21- C.D. 二、填空题。
不等式与解三角形大题
2013-2014学年度第二学期解三角形和不等式的大题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题（题型注释）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）（1，求)(x f 的取值范围；（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值．【答案】2．已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x =，1()2f x m n =⋅-. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,a =,1()22Af =, 若C C A cos 2)sin(3=+，求b 的大小.【答案】（1）()f x 递减区间是3,,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2） 3．已知函数f(x)＝22x x a x＋＋，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）6（2）()3,-+∞ 4．(1)已知x<54，求函数y ＝4x －2＋145x -的最大值； (2)已知x>0，y>0且19x y＋＝1，求x ＋y 的最小值． 【答案】（1）y max ＝1.（2）最小值为165．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 【答案】4个单位的午餐和3个单位的晚餐，6．设z ＝2x ＋y ，式中变量满足下列条件：4335251x y x y x ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩－－，＋，，求z 的最大值和最小值．【答案】12 37．在△ABC 中，a ＝3，b ＝，∠B ＝2∠A. (1)求cosA 的值； (2)求c 的值． 【答案】（1）32）5. 8．在△ABC 中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若2=b ，求△ABC 面积的最大值. 【答案】（Ⅰ）4π=B ；（Ⅱ）12+.9．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且cosA=31. （1）求2sin 2C B ++cos2A 的值;（2）若a=3,求bc 的最大值. 【答案】（1）－91（2）49. 10．△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且B Csin sin ＝53． （1）求AC ； （2）求∠A ． 【答案】（1）5 （2） 120-=∠A11．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，他们的对边分别为a 、b 、c ，且21s in s in c o s c o s =-C B C B 。
高一期末复习解三角形与不等式
高一下学期期末复习1：解斜三角形与不等式姓名一、 选择题（每题5分，12题）1． 在三角形ABC 中，222c b a <+，且,23sin =C 则=∠C A 1200B 600C 300D 600或12002．三角形ABC 中，满足下列条件，不是恰有一解的是A 030,10,5===A b a 030,34,4,===A b a B060,22,32.===A b a C 030,3,4.===A b a D3． 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是300，600，则塔高为3652.A 620564.B 1758.C 3652.-D4． 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一根比1大，一根比1小，则a 的范围11.<<-a A 1,1.>-<ora a B 12.<<-a C 1,2.>-<ora a D5．.对于04≤≤m 中任意m 不等式342-+>+m x mx x 恒成立， x 的取值范围是A 、-13≤≤xB 、1-≤xC 、3≥xD 、x<-1或 x>36．给定平面区域如图，)5,1(),4,6(),1,3(C B A ，若目标函数y ax z +=取最大值的最优解仅过点C ，则a 的范围是 A 512-≤≤-a B 251<<aC0,,251≥<<a or a D 21<<-a 7．某同学用50元买纪念邮票，票面8至少买2套，共有多少种不同的买法？ A 15 个 B 16个 C 10个 D 12个8． 如果x 2＋y 2=1,则3x －4y 的最大值是 ( ) A ．3 B ．51C ．4D ．5 9．设),(y x P 是第一象限的点，且在直线623=+y x 上，则xy 的最大值是 A 、2 B 、1.5 C 、2.5 D 、1 10．设b a <<0, 且1=+b a , 在下列四个数中最大的是aA 1, b B , C ab 2 D 22b a + 11．已知△ABC 中,∠C=90°,则a bc+的取值范围是 A.(0,2) ]C.⎡⎣ ]12．关于x 的方程22cos cos cos 02Cx x A B -⋅⋅-=有一个根为1，则△ABC 一定是A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二、填空题（每题5分，6题）13．在△ABC 中，A =60°, b =1, 面积为3，则s i n s i n s i n a b cA B C++++= ；14．在△ABC 中，ac c b a c b a =+-++))((，则B=15．关于x 的不等式01)13(2>+--x a ax 的解集是Ｒ，则实数a 的取值范围是 16．若不等式102≤+-≤a ax x 有唯一解,则a 的取值为 17．函数a ax x a x y ,20)(2(<<-=为常数），则最大值是 18．若直角三角形的斜边为1,则其内切圆的半径的最大值为 （选择题答案填写处）三、解答题19．解下列关于x 的不等式（1）12731422<+-+-x x x x （2）)0(01)1(2≠<++-a x a ax20． （1）已知,0,0>>b a 求证：b a ba ab +≥+（2）已知,0,0>>b a 且3++=b a ab ，求：ab 的最小值21．△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b ac =，43cos =B ． （Ⅰ）求CA tan 1tan 1+的值； （Ⅱ）设c a +=⋅求,23的值。
解三角形基础大题20道
解三角形基础大题20道一、解答题1．在△ABC 中，3a cos B ＝b sin A ． （1）求∠B ；（2）若b ＝2，c ＝2a ，求△ABC 的面积． 2．如图所示，△ABC 中，AB =AC =2，BC =23.（1）求内角B 的大小;（2）设函数f (x )=2sin(x +B )，求f (x )的最大值，并指出此时x 的值.3．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状．4．ABC 中，角,,A B C 的对的边分别为,,a b c ，且cos cos 2cos b C c B a A += （1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值. 5．已知()223sin cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求()f x 的最大值及该函数取得最大值时x 的值；（2）在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，1a =，S 是ABC 的面积，22A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，比较33b c +163S 6．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2cos cos cos b B C Aac c a=+. （1）求B ；（2）若ABC 面积为23S =，外接圆直径为4，求ABC 的周长. 7．在ABC ∆中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-. （1）求角A ；（2）若7BC =，·20AB AC =，求||AB AC +. 8．如图，已知△ABC 中，AB ＝362，∠ABC ＝45°，∠ACB ＝60°．（1）求AC 的长；（2）若CD ＝5，求AD 的长．9．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知7a =2b =，60A =︒.（1）求sin B 的值； （2）求c 的值. 10．若ABC 2,1,6b c ==A ∠为锐角. (1) 求cos A 的值； (2) 求sin 2sin AC的值. 11．ABC 中，角A B C ,,的对边长分别为,,a b c ，满足222sin sin sin 3sin sin B C A B C +-=.（1）求角A 的大小； （2）若1a =，3B π=，求ABC ∆的面积.12．如图，一条东西流向的笔直河流，现利用监控船D 监控河流南岸相距150米的A 、B 两处（A 在B 的正西侧）.监控中心C 在河流北岸，测得45ABC ︒∠=，75BAC ︒∠=，1206m AB =，监控过程中，保证监控船D 观测A 和监控中心C 的视角为120︒.A ，B ，C ，D 视为在同一个平面上，记ADC 的面积为S ，DAC ∠θ=.（1）求AC 的长度；（2）试用θ表示S ，并求S 的最大值. 13．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ； （2）求∠A ．14．在ABC ∆中，32b =，6cos A =，2B A π=+．（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求cos 2C 的值．15．设ABC 中，()cos cos 3cos 0C A A B +=，内角A 、B 、C 对应的对边长分别为a 、b 、c . （1）求角B 的大小；（2）若2248a c +=，求ABC 面积S 的最大值，并求出S 取得最大值时b 的值. 16．△ABC 三个内角A ，B ，C 对应的三条边长分别是a ，b ，c ，3＝acosC ． （1）求角C 的大小；（2）若b 3=c 11=a .17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin 8sin a B A =，π4C =，22265a cb ac +-=．（1）求c 的长；（2）求πcos()6A -的值．18． 在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，()2223163c S b a +=-.（1）求tan B 的值；（2）若42S =，10a =，求b 的值．19．已知a ，b ，c 分别为锐角三角形ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2sin a C =． （1）求A ；（2）若2a =，ABC b ，c ． 20．已知函数1()sin (cos sin )2f x x x x =-+. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）在锐角ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且满足cos2cos sin a B a B b A =-，求(A)f 的取值范围.参考答案1．（1）3π；（2）3． 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tan B ，进而可求B ； （2）由余弦定理及已知条件可求a ，c 的值，然后结合三角形的面积公式可求． 【详解】解：（1）在△ABC 中，由正弦定理，cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =， 因为sin A ≠0，sin B B =，所以tan B = 因为0＜B ＜π， 所以3B π=，（2）因为b ＝2，c ＝2a ，由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 可得22144222a a a a =+-⨯⨯，所以a =，c 3=，所以11223323ABCSacsinB ==⨯⨯=． 【点睛】此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题 2．（1）6B π=，（2）f (x )的最大值为2，此时2,3x k k Z ππ=+∈【分析】（1）利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦函数的性质直接求其最大值【详解】解：（1）因为△ABC 中，AB =AC =2，BC所以222cos 2AB BC AC B AB BC +-===⋅ 因为(0,)B π∈，所以6B π=，（2）由（1）可知()2sin()6f x x π=+，所以当2,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取最大值2，即2,3x k k Z ππ=+∈【点睛】此题考查余弦定理的应用，考查正弦函数的性质的应用，属于基础题 3．（Ⅰ）60A =︒；（Ⅱ）等边三角形. 【分析】（1）由已知三边关系，结合余弦定理即可求角A ；（2）由正弦定理的边角互化，应用两角和正弦公式可得sin()0A C -=，结合（1）的结论即可知ABC 的形状． 【详解】（Ⅰ）∵22(2)(2)a b c b c b c =-+-，整理得222bc b c a =+-，∴2221cos 22b c a A bc +-==， ∴60A =︒．（Ⅱ）由正弦定理，得sin 2sin cos B C A =，而()B A C π=-+，∴sin()2sin cos sin cos cos sin A C C A A C A C +==+，即sin cos cos sin 0A C A C -=， ∴sin()0,A C A C -==， ∴60A B C ===︒， ∴ABC 为等边三角形． 【点睛】本题考查了正余弦定理，根据三边关系应用余弦定理求角，由正弦定理的边角互化、两角和正弦公式判断三角形形状，属于基础题.4．（1）3π；（2. 【分析】（1）由cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，可得sin 2sin cos A A A =，化简即可求值；（2）由2a =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得：224=b c bc bc +-≥， 所以4bc ≤，再根据面积公式即可得解. 【详解】（1）由cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=， 可得sin 2sin cos A A A =，在ABC 中，0A π<<，sin 0A ≠， 可得：1cos 2A =，故3A π=； （2）由（1）知3A π=，且2a =，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得：224=2b c bc bc bc bc +-≥-=， 所以4bc ≤，所以1sin 2ABC S bc A ==≤△， 当且仅当4b c ==时取等号，所以ABC 【点睛】本题考查了解三角形，考查了正弦定理和余弦定理的应用，在解题过程中主要有角化边和边化角两种化简方法，同时应用了基本不等式求最值，属于基础题.5．（1）当,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 有最大值2；（2）33b c +≥【分析】（1）先化简函数()f x ，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先代入求出角A ，再根据立方和公式与面积公式化简代数式，再根据基本不等式即可比较大小． 【详解】解：（1）∵()2cos 2cos 1f x x x x =+-2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴当22,62x k k Z πππ+=+∈，即,6x k k Z ππ=+∈时，()f x 有最大值2；（2）由题意可得2sin 226A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴sin 16A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴62A ππ+=，∴3A π=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入数据得221b c bc +-=，==，∴()()3322b c b c b c bc +=++--()b c =+-0≥=， 当且仅当b c =时取等号，∴33b c +≥ 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数与解三角形，第一问的解题关键在于化简函数解析式，第二问的关键在于熟记立方和公式与基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．6．（1）3π；（2）6+. 【分析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果；（2）根据三角形面积公式可得ac ， 再正弦定理可求b ，再利用余弦定理可求a c +，由此即可求出结果. 【详解】（1）2cos cos cos 2cos cos cos b B C Ab B a Cc A ac c a=+⇒=+， 得2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+sin B =，1sin 0cos 2B B ≠∴=()0,B π∈∴3B π=.（2）ABC 的面积1sin 82S ac B ac ==⇒=，由正弦定理可知4sin bb B=⇒= 由222222cos 12b a c ac B a c ac =+-⇒+-=2()12336a c ac ⇒+=+=，则6a c +=，∴ABC 的周长为6+. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.7．（1）3A π=；（2【分析】（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sin B 不为0，得出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式222||||2?·cos BC AB AC AB AC A =+-，将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出22||AB AC +的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展开，将各自的值代入开方即可求出值.【详解】（1）原式可化为：sin sin()sin()B A B A B =+--sin cos cos sin sin cos cos sin 2cos sin A B A B A B A B A B =+-+=，(0,)B π∈，sin 0B ∴>，1cos 2A ∴=， 又(0,)A π∈，3A π∴=；（2）由余弦定理，得222||||2cos BC AB AC AB AC A =-⋅+，7BC =，···cos 20AB AC AB AC A ==， 22||89AB AC ∴+=，222||||28940129AB AC AB AC AB AC +=++=⋅+=， 129AB AC ∴+=【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，考查了平面向量的数量积运算法则，以及向量模的计算，熟练掌握计算公式及法则是解本题的关键，属于基础题. 8．（1）3，（2）7 【分析】（1）在△ABC 中直接利用正弦定理求解即可；（2）先求出120ACD ∠=︒，然后在ACD △中利用余弦定理求解即可 【详解】解：（1）如图所示，在△ABC中，由正弦定理得，sin sin AC ABABC ACB=∠∠,则sin 45sin 23sin sin 60AB ABC AC ACB ︒⋅∠===∠︒， （2）因为∠ACB ＝60°，所以120ACD ∠=︒, 在ACD △中，由余弦定理得，7AD ===【点睛】此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题9．（1）sin B =；（2）3c =. 【分析】由正弦定理求出sin B ，由余弦定理列出关于c 的方程，然后求出c ． 【详解】解：（1）因为a =2b =，60A =︒.由正弦定理sin sin a b A B =，可得2sin 60sin B =︒，所以sin 7B =；（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-22222cos60c c =+-⨯︒， 3c =，1c =-（舍），所以3c =. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．10．（1）cos A =（2）sin 2sin A C =【分析】(1)根据面积公式求出sinA,再求出cosA, (2)先用余弦定理求出边a ，再将式子化简sin22sin cos 2cos sin sin A A A aA C C c⋅==⋅，求解即可. 【详解】（1）因为ABC所以 11sin 1sin 222ABCSbc A A ==⨯=，所以sin 3A = ． 因为 ABC 中，A ∠为锐角，所以cos A ==. （2）在ABC 中，由余弦定理，222222cos 1213a b c bc A =+-=+-⨯=，所以a = 由正弦定理=sin sin a c A C , 所以sin =sin A a C c.所以sin22sin cos 2cos sin sin A A A a A C C c ⋅==⋅==. 【点睛】本题考查了三角形的面积以及正余弦定理，公式的熟练运用是解题的关键,属于基础题.11．（1）6π；（2）2. 【分析】（1）根据正弦定理可得：222b c a +-=，代入余弦定理，即可得解； （2）根据内角和为π，求出角C ，解得ABC ∆为直角三角形，即可得解. 【详解】（1）因为222sin sin sin sin B C A B C +-=，由正弦定理可得：222b c a +-=，所以222cos 22b c a A bc +-==， 所以6A π=.（2）因为6A π=，3B π=，所以2C π=，所以b =ABC S ∆=. 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了边化角以及三角形的性质，计算量不大，属于简单题.12．（1）240m ；（2）()2sin 2301S θ︒⎤=+-⎦，2.【分析】（1）在ABC 中，利用正弦定理解三角形即可得AC .（2）由（1）知AC 的长度，利用正弦定理求AD 的长度，结合DAC ∠θ=，利用面积公【详解】（1）在ABC 中，45ABC ︒∠=，75BAC ︒∠=，所以60ACB ︒∠=.因为AB =，所以，由正弦定理得sin 60sin 45AB AC︒︒=，所以240m AC =；（2）在ADC 中，设DAC ∠θ=，则60ACD θ︒∠=-， 由正弦定理得sin sin AC ADADC ACD=∠∠.所以()60AD θ︒=-.所以()11sin 24060sin 22S AC AD θθθ︒=⨯⨯=⨯⨯-. ()2cos21)2sin 2301θθθ︒⎤=+-=+-⎦因为060θ︒︒<<.所以当30θ︒=时，S 取到最大值2.答：AC 的长度为240m ，()2sin 2301S θ︒⎤=+-⎦，S 取到最大值2.【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于基础题. 13．（1）5b =；（2）∠A ＝120°. 【分析】由正弦定理求得b ，由余弦定理求得cos ∠A ，进而求出∠A 的值． 【详解】（1）由正弦定理得sin bB ＝sin c C可得， c b ＝sin sin C B ＝35，所以b ＝533⨯＝5． （2）由余弦定理得cos A ＝2222c b a c b+-⋅⋅＝92549235+-⨯⨯＝12-，又因为()0,180A ︒︒∈，所以∠A ＝120°．本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题，根据正弦定理求出b 的值，是解题的关键． 14．（Ⅰ）3a =（Ⅱ）79【分析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系式，结合cos A =，可以求出sin A 的值，运用正弦定理，可以求出a 的值；（Ⅱ）由cos 3A =，2B A π=+，运用诱导公式，可以求出sin B 的值，根据同角的三角函数关系式，可以求出cos B 的值，运用三角形内角和定理和两角和的正弦公式求出sin C ，最后利用二倍角的余弦公式求出cos 2C 的值.【详解】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos A =，(0,)A π∈得sin A ==．因为2B A π=+，由正弦定理sin sin a bA B=，得sin()2a A A π+=，即cos a A =， 所以3a =．（Ⅱ）因为cos 3A =，2B A π=+，所以sin sin()cos 23B A A π=+==，cos 3B ==-． 所以1sin sin()sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B A B π=--=+=⋅+⋅=． 故27cos212sin 9C C =-=． 【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了同角的三角函数关系式，考查了二倍角的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了数学运算能力.15．（1）π3B =（2）面积S 的最大值为2；此时b =【分析】（1）在三角形中，()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，结合条件可得π2sin sin 03A B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此可求出答案；（2）由2248a c +=可得2ac ≤，则11sin 22222S ac B =≤⋅⋅=，此时2a =，1c =，再由余弦定理即可求出答案． 【详解】解：（1）∵()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+，∴()cos cos cos sin cos cos C A A B A B A B+=π2sin sin 03A B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∵sin 0A >，0πB <<， ∴πsin 03B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π3B =； （2）因a ，0c >，2248a c +=，2244a c ac +≥，故2ac ≤，于是，11sin 222S ac B =≤⋅=，∴ABC 面积S 且当S 取得最大值时，2ac =，2a c =，可得2a =，1c =，由余弦定理，2222cos 3b a c ac B =+-=，即得b =【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，考查重要不等式的应用，属于基础题．16．（1）6C π=（2）a =【分析】（1）由正弦定理a c sinA sinC=得csinA ＝asinC acosC =得acosC =，即可得出.（2）由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2abcosC ，代入化简即可得出. 【详解】解（1）由正弦定理a c sinA sinC=得csinA ＝asinC ，acosC =acosC =，cosC =∵0＜C ＜π，∴sinC ≠0，故cosC ≠0∴3tanC =又0＜C ＜π， ∴6C π=.（2）由余弦定理c 2＝a 2+b 2﹣2abcosC ，得2=a 22+-acos 6π，即a 2﹣3a ﹣8＝0，解得a 32±=， 又a ＞0，∴a =【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.17．（1）（2 【分析】（1）先由正弦定理得8b =，再结合余弦定理求出4sin 5B =，然后结合sin sin c bC B=求解即可；（2）由两角和、差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由sin 8sin a B A =，结合正弦定理，得8ab a =，所以8b =，因为22265a c b ac +-=，所以222635cos 225ac a c b B ac ac +-===．因为0πB <<，所以4sin 5B ==，由正弦定理sin sin c b C B=，可得8sin 24sin 5b Cc B ⋅===（2）在ABC 中，πA B C ++=，所以π()A B C =-+，于是πππcos cos()cos()cos cos sin sin 444A B C B B B =-+=-+=-+，又3cos 5B =，4sin 5B =，故34cos 525210A =-⨯+⨯=， 因为0πA <<，所以sin A =因此πππ1cos()cos cos sin sin 6662A A A -=+==． 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题.18．（1）34；（2）b =【分析】（1）由三角形的面积公式与余弦定理，化简已知等式，可得3sin cos 4B B =，根据同角三角函数基本关系式即可求得tan B ；（2）由同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，根据三角形面积公式求得c 的值，代入所给等式，即可求解b 的值. 【详解】（1）在ABC 中， 由三角形面积公式得，1sin 2S ac B =， 由余弦定理得，222cos 2c a b B ac+-=，()2223163c S b a +=-，∴()222316S c a b =+-， 整理可得()22233sin cos 84c a b B B ac+-==， 又()0,B π∈，∴sin 0B >，故cos 0B >，∴sin 3tan cos 4B B B ==. （2）由（1）得3tan 4B =， ()0,B π∈,∴3sin 5B =， 42S =，10a =，∴113sin 10342225S ac B c c ==⨯⋅==， 解得14c =，()2223163c S b a +=-，∴b ===. 【点睛】本题考查了三角形的面积公式及余弦定理的应用，考查了计算能力和转化能力，属于基础题. 19．（1）3A π=；（2）2b c ==.【分析】（12sin sin C A C =，消去sin C ，可得sin A ，可得答案；（2）由（1）所求A 及1sin 2bc A =可得bc 的值，再由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得b ，c 的值. 【详解】解：（12sin a C =，2sin sin C A C =，因为sin 0C ≠，所以sin A =． 因为A 为锐角，所以3A π=．（2）由2222cos a b c bc A =+-，得：224b c bc +-=．又ABC ∆1sin 2bc A = 所以4bc =．则228b c +=．解得2b c ==． 【点睛】本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，需注意公式的灵活运用. 20．（1）5,,.88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）11(,)22- 【分析】（1）根据降幂公式化简()f x 的解析式，再用整体代入法即可求出函数的单调递减区间； （2）由正弦定理边化角，从而可求得4B π=，根据锐角三角形可得,42A ππ<<从而可求出答案． 【详解】解：（1）111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+1(sin 2cos 2)2x x =+)24x π=+，由222,Z,242k x k k ππ3ππ+≤+≤π+∈得,88k x k π5ππ+≤≤π+ 所以()f x 的单调递减区间为5,,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）由正弦定理得sin cos2sin cos sin sin A B A B B A =-，∵sin 0,A ≠∴cos2cos sin B B B =-，即(cos sin )(cos sin )cos sin B B B B B B -+=-，(cos sin )(cos sin 1)0B B B B -+-=，得cos sin 0B B -=，或cos sin 1B B +=， 解得4B π=，或2B π=（舍），∵ABC 为锐角三角形，3+,4A C π=∴0,230,42A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得,42A ππ<<∴352,444A πππ<+<sin(2),242A π-<+<∴())24f A A π=+的取值范围为11(,)22-．【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，考查正弦定理的作用，属于基础题．。
解三角形数列不等式
必修5解三角形数列不等式【选择题】1．设,,a b c R ∈，且a b >，则 （ ）A ．ac bc >B ．11a b<C ．33a b >D ．22a b >⒉ 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则5a =（ ）A ．6-B ．4-C ．2-D ．2 3．在△ABC 中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状为（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 ⒋ 若点(,)x y 位于曲线y x = 与2y =所围成的封闭区域， 则2x y -的最小值为（ ）A ．－2B ．－6C ．0D ．25．在等比数列{}n a 中，若2nn a =，则7a 与9a 的等比中项为（ ）A ．8aB ．8a -C ．8a ±D ．前3个选项都不对6．关于x 的不等式2260x ax a --<（0a >）的解集为12(,)x x ，且2110x x -=，则a =（ ）A ．2B ．5C ．52D ．32⒎ 已知正项等比数列{}n a 满足2014201320122a a a =+14a =，则116()m n+的最小值为（ ）A ．23B ．2C ．4D ．6 8．△ABC 的内角,,A B C 的所对的边,,a b c 成等比数列，且公比为q ，则sinCsin q A+的取值范围为（）A ．()0,+∞B ．(1,2C ．()1,+∞D ．)1A ．2015-B ．2014-C ．2014D ．2015【填空题】11．若数列}{n a 中，762++-=n n a n ，则其前n项和n S 取最大值时，=n __________.12．在ABC ∆中，060,B AC ∠== ，则3AB BC +的最大值为 . 13．已知关于x 的不等式()()2440ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 ．14．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1sin cos ,24sin CB A==，且ABC S ∆=，则______.b =15．对于正项数列{}n a ，定义122n nnH a a na =++⋅⋅⋅+为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为n nH =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________。
必修五《解三角形,不等式》专题典例参考资料
解三角形（理）知识要点：一、正弦定理及其变形： sin a A= （R 为三角形外接圆半径） 变形1：=C B A sin :sin :sin 变形2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======)(sin ;)(sin ;)(sin ;C c B b A a 二、余弦定理及其推论：=2a=2b=2c推论：=A cos =B cos =C cos三、三角形面积公式=∆ABC S l r S ABC ⋅=∆21（r 是内切圆的半径，l 是三角形的周长） 1sin cos 22=+A A π=++C B A重要习题1、在△ABC 中，b ＝22，B ＝45°，则A=60°a ＝______；2、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为 ;3、在△ABC 中，已知bc b c a =--2222123且32π=A △ABC 是 三角形. 4、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于 ；最大角的余弦值为 ; △ABC 的面积为 ;5、在△ABC 中，4:3:2sin :sin :sin =C B A 且14=+c b 则△ABC 的面积为 。
6、在ABC ∆中，若其面积222S =C ∠=_______；7、已知△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求边c 及S △ABC ‘《不等式》（理）一、一元二次不等式的解法：1、解一元二次不等式的步骤：当0a ≠时求解不等式：20ax bx c ++>（或20axbx c ++<）（1）将原不等式化为一般式（a ）.（2）判断 的符号.（3）求 （4）根据 写解集. 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于 ，小于 。
2、分式不等式求解步骤： ， ， ， ，如：⇒>a x g x f )()(⇒≤a x g x f )()( 3、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔4、[]n m x x f a ,)(∈<，恒成立⇔[]n m x x f a ,)(∈≥，恒成立⇔三．线性规划1、解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。
不等式 向量 解三角形复习
一、不等式的解法：1.一元一次不等式：Ⅰ、(0)ax b a >≠：⑴若0a >，则 ；⑵若0a <，则 ；Ⅱ、(0)ax b a <≠：⑴若0a >，则 ；⑵若0a <，则 ；2.一元二次不等式：0a >时的解集与∆有关 （数形结合:二次函数、方程、不等式联系）3. 高次不等式：数轴标根 步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶不穿），定解.4.分式不等式的解法：通解变形为整式不等式； ⑴()0()f x g x >⇔；⑵()0()f x g x <⇔； ⑶()0()f xg x ≥⇔ ；⑷()0()f xg x ≤⇔；5.解含有参数的不等式：解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为12,x x （或更多）但含参数，要分12x x >、12x x =、12x x <讨论。
例：解关于x 的不等式： 2(1)10ax a x -++< （)R a ∈）例：实系数方程2()20f x x ax b =++=的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则21b a --∈；22(1)(2)a b -+- ∈ ；3a b +- ∈二、不等式的性质 （几个重要不等式） （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab baab ba Rb a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ②如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大.利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.常用的方法为：拆、凑、平方；例1:设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则21212()a a b b +的取值范围是___ 。
解三角形数列不等式考点分析。..
解三角形数列不等式考点分析。
必修五所学三章都为高考考察重点，且是与高考数学联络严密的知识点，温习中应惹起大家注重，本文经过对考点停止剖析来指点温习。
一、解三角形考点剖析〔1〕判别三角形的外形；〔2〕正余弦定理的复杂运用；〔3〕测量效果。
这些标题难度 不大，题型是中档题与复杂题，主要考察考生运用正余弦定理及三角公式停止恒等变形的才干；化简、求值或判别三角形外形为主，也能够与其他知识相结合，重点与三角恒等或平面向量交汇。
例1、台风中心此A 地以每小时20千米的速度向正南方向移动，离台风中心30千米内 的地域为风险区，城市B 在A 的正西方40千米处，城市B 处于风险区内的时间为多长？ 解：如图，设台风中心从A 地到C 地用时为t ，|AC|＝20t ，在▲ABC 中，由余弦定理得：t t A AC AB AC AB BC 280024001600cos ||||2||||||22-+=-+=， 依题意，只需30||≤BC ，城市B 就处于风险区内，由此得： 121222122min max =--+=-t t 〔小时〕， 所以城市B 处于风险区内的时间为1小时。
点评：正确了解方位角，画出契合实践状况的图形，普通是以时间为变量表达出图形中的线段，然后应用正、余弦定理，结合详细效果情境列式处置，这是应用正、余弦定理处置实践效果的重要思绪之一。
例2、▲ABC 的内角A 、B 、C 所对的边区分为a ，b ，c ，它的外接圆半径为6，三边a ，b ，c ，角A 、C 和▲ABC 的面积S 满足以下条件：22)(a c b S --=和〔1〕求B sin 的值；〔2〕求▲ABC 的面积的最大值。
剖析：此题从所给条件▲ABC 的面积S 满足以下条件：22)(a c b S --=能获取的信息是应用面积公式B ac S sin 21=与的关系式树立起等量关系，结合余弦定理第一问可求得；由条件外接圆半径为6应联想正弦定理以及条件34sin sin =+C A 可得a ＋c ＝16为定值，应与基本不等式联络解第二问。
客观题专练四 不等式、向量、解三角形
客观题专练四 不等式、平面向量、解三角形一、选择题 (共12小题，每题5分。
每道题只有一个正确选项。
)1．(2016·全国Ⅰ理，1)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，32．(2016·全国Ⅰ理，8)若a >b >1,0<c <1，则( )A ．a c <b cB ．ab c <ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c3．(2016·全国Ⅲ，1)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x ＞0}，则S ∩T 等于( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(0,2]∪[3，＋∞)4．(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝⎛⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎫32，12，则∠ABC 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5．(2016·全国Ⅲ，6)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b6．(2016·全国Ⅲ，8)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A 等于( )A.31010B.1010 C ．－1010 D ．－310107．(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A ．4 B ．－4 C.94 D ．－949．(2016·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( ) A ．－58 B.18 C.14 D.11810.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,=3 ,则( ) A =-BCD11. (2014课标全国Ⅰ,理1)已知集合A={|}，B=，则=（ ） .[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）12.(2013课标全国Ⅰ,理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n=1,2,3,….若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,a n+1=a n ,b n+1=,c n+1=,则( ).A .{S n }为递减数列B .{S n }为递增数列C .{S 2n-1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D .{S 2n-1}为递减数列,{S 2n }为递增数列二、填空题（共4道小题，每题5分，请将正确的结果填到横线上。
基本不等式和三角函数练习
基本不等式和三角函数练习一、选择题1.63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.29 C.3 D. 223 2.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C.94D.3 3.设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时， 2x y z +-的最大值为（ ）A.0B.98C.2D.944.若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( )A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-8．若正数,a b 满足1a b +=，则11a b +--的最小值为 （ ）A ．4B ．6C ．9D ．1610．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为__________．11．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是__________．12. 已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________. 13.设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .14.设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.15. 设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 。
16．在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin(A ＋C )，3)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2B ，2cos 2B 2－1，且向量m 、n 共线．(1)求角B 的大小； (2)如果b ＝1，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．17、在,,ABC a b c ∆中，分别为内角A,B,C 的对边.已知：)()22sin sin sin ,A C a b B ABC -=-∆的外（1）求角C 和边c ；（2）求ABC ∆的面积S 的最大值并判断取得最大值时三角形的形状.18、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c.已知24sin 4sin sin 22A B A B -+=+（I ）求角C 的大小； （2）若c =ABC ∆面积的最大值基本不等式和三角函数练习一、选择题1. 63)a -≤≤的最大值为 ( ) A.9 B.29 C.3 D.223 【解析】选B. 当6-=a 或3=a 时, 0)6)(3(=+-a a ，当36<<-a 时,29263)6)(3(=++-≤+-a a a a ,当且仅当,63+=-a a 即23=a 时取等号.2.设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z =0.则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A.0 B.1 C.94D.3 【解析】选B. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+. 所以2214343xy xy x y z x xy y y x ==-++-1≤=，当且仅当4x y y x =，即2x y =时取等号此时22y z =， 1)(max =zxy.xy y y z y x 2122212-+=-+)211(2)11(2y y x y -=-=211122412y y ⎛⎫+- ⎪⎪≤= ⎪⎪⎝⎭. 3.设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当zxy取得最大值时， 2x y z +-的最大值为（ ）A.0B.98C.2D.94【解析】 选C. 由22340x xy y z -+-=，得2234z x xy y =-+.所以1342344322=-⋅≥-+=+-=xyy x x y y x xy y xy x xy z ，当且仅当4x y y x =， 即2x y =时取等号此时22y z =，所以()222222242222222=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-=-=-+=-+y y y y y y y y y z y x ，当且仅当y=2-y 时取等号.4.若2x +2y =1,则x+y 的取值范围是 ( )A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞-【解析】选D. 2x +2y =1,所以2x+y ≤14,即2x+y ≤2-2,所以x+y ≤-2.8．若正数,a b 满足1a b +=，则11a b +--的最小值为 （ ） A ．4 B ．6 C ．9 D ．16时取等号，又2x ＋1y ＝1，此时x ＝4，y ＝2.∴(x ＋2y )min ＝8，要使x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，只需(x ＋2y )min ＞m 2＋2m 成立，即8＞m 2＋2m ，解得－4＜m ＜2.答案：D二、填空题10．已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为__________．解析：log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )．∵log 2a ＋log 2b ≥1，∴ab ≥2且a ＞0，b ＞0.3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥23a ·32b ＝23a ＋2b ≥2322ab≥232×2＝18，当且仅当a ＝2b ，即a ＝2，b ＝1时等号成立．∴3a ＋9b 的最小值为18.答案：1811．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是__________．解析：∵xy ≤14(x ＋y )2，∴1＝x 2＋y 2＋xy ＝(x ＋y )2－xy ≥(x ＋y )2－14(x ＋y )2＝34(x ＋y )2，∴(x ＋y )2≤43，∴－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y ＝33时，x ＋y 取得最大值233.答案：23312. 已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________.213.设a + b = 2, b >0, 则1||2||a a b+的最小值为 .【解题指南】将1||2||a a b+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b >0，所以1||||||2||4||4||4||++=+=++a ab a a b a a b a b a a b||214||4||4||≥+⨯=+a b a a a a b a ，当且仅当||4||=b a a b 时等号成立，此时2=-a ，或23=a ， 若2=-a ，则314||4+=a a ，若23=a ，则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +的最小值为3.4【答案】3414.设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.【解题指南】将1||2||a a b+中的1由a + b 代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a + b = 2, b >0，所以1||||||2||4||4||4||++=+=++a ab a a b a a b a b a a b||214||4||4||≥+⨯=+a b a a a a b a ，当且仅当||4||=b a a b 时等号成立，此时2=-a ，或23=a ，若2=-a ，则314||4+=a a ，若23=a ，则51.4||4+=a a 所以1||2||a a b +取最小值时，2=-a . 【答案】-215. 设b a ,为正实数，则ba bb a a +++2的最小值为 。
与不等式相关的三角最值问题
与不等式相关的三角最值问题不等式是解决最值问题的重要方法，有关三角最值问题是高考的热点和难点，解决此例题：(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是________________．变式1(2018·浙江模拟)若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，求cos C的最小值．变式2(2018·盐城三模)设△ABC的面积为2，若角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则a2＋2b2＋3c2的最小值为________________．串讲1在△ABC中，BC＝2，AC＝1，以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧)，当∠C变化时，线段CD长的最大值为________________．串讲2在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点(a，b)在直线x(sin A －sin B)＋y sin B＝c sin C上．(1)求角C的大小；(2)若△ABC为锐角三角形且满足mtan C＝1tan A＋1tan B，求实数m的最小值．(2018·镇江期末)如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC分成AD，CD两段，其中两固定点A，B间距离为1米，AB与杆AC的夹角为60°，杆AC长为1米，若制作AD段的成本为a元/米，制作CD段的成本是2a元/米，制作杆BD是4a元/米．设∠ADB＝α，则制作整个支架的总成本记为S元．(1)求S关于α的函数表达式，并求出α的取值范围；(2)问AD段多长时，S最小？(2018·扬州期末)如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P ，Q 分别在射线OA 和OB 上．经测量得，扇形OPQ 的圆心角(即∠POQ)为2π3，半径为1千米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA ，OB 交于M ，N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，设∠POS ＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．(1)试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围； (2)试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值．答案：(1)MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，其中π6＜α＜π2； (2)当α＝π3时，MN 长度的最小值为23千米．解析：(1)因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ，所以OS ⊥MN.在Rt △OSM 中，因为OS ＝1，∠MOS ＝α，所以SM ＝tan α，在Rt △OSN 中，∠NOS ＝2π3－α，所以SN ＝tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α， 所以MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，4分其中π6＜α＜π2.6分(2)因为π6＜α＜π2，所以3tan α－1＞0，令t ＝3tan α－1＞0，则tan α＝33(t ＋1)，所以MN ＝33·⎝⎛⎭⎫t ＋4t＋2，8分 由基本不等式得MN ≥33·⎝⎛⎭⎫2t ×4t ＋2＝23，10分 当且仅当t ＝4t即t ＝2时取“＝”.12分当时tan α＝3，由于π6＜α＜π2，故α＝π3.13分答：(1)MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，其中π6＜α＜π2. (2)当α＝π3时，MN 长度的最小值为23千米.14分例题1 答案：8.解析：由sin A ＝sin (π－A)＝sin (B ＋C)＝sin B cos C ＋cos B sin C ，sin A ＝2sin B sin C ，可得sin Bcos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C.由三角形ABC 为锐角三角形，则cos B ＞0，cos C ＞0，可得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C.又tan A ＝－tan (π－A)＝ －tan (B ＋C)＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C，则tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ，由A ，B ，C 为锐角可得tan A ＞0，tan B ＞0，tan C ＞0，所以tan A tan B tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ，即tan A tan B tan C ≥8，当且仅当tan A ＝2tan B tan C ，即tan B ＝2＋2，tan C ＝2－2，tan A ＝4(或tan B ，tan C 互换)时取到等号，因此tan A tan B tan C 最小值为8.变式联想变式1 答案：6－24. 解析：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ≥234a 2×12b 2－22ab 2ab＝6－24，当且仅当34a 2＝12b 2时，即a b ＝23时等号成立，所以cos C 的最小值为6－24. 变式2 答案：811.解析：由S ＝12bc sin A ，得bc ＝4sin A .又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以a 2＋2b 2＋3c 2＝3b 2＋4c 2－2bc cos A ≥23b 2·4c 2－2bc cos A ＝bc ()43－2cos A ＝8（23－cos A ）sin A.令f(A)＝8（23－cos A ）sin A，A ∈(0，π)，f ′(A) ＝8（1－23cos A ）sin 2A ，令f′(A)＝0，解得cos A ＝123，sin A ＝1123，由单调性可知此时 f(A)取得最小值为811. 当且仅当3b ＝2c 且cos A ＝123时取等号，则a 2＋2b 2＋3c 2的最小值为811.串讲激活串讲1 答案：3. 解析：设∠CBA ＝α，AB ＝BD ＝a ，则在△BCD 中，由余弦定理可知CD 2＝2＋a 2＋22sin α，在三角形ABC 中，由余弦定理可知cos α＝a 2＋122a，可得sin α＝－a 4＋6a 2－122a ，所以CD 2＝2＋a 2＋－a 4＋6a 2－1，令t ＝2＋a 2，则CD 2＝t ＋ －t 2＋10t －17＝t ＋ －（t －5）2＋8≤2·（t －5）2＋[－（t －5）2＋8]＋5＝9，当(t －5)2＝4时等号成立．∴CD 的最大值为3. 串讲2答案：(1)π3；(2)2.解析：(1)由条件可知a(sin A －sin B)＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理可得a 2＋b 2－c 2＝ab ，又由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ∈(0，π)，在△ABC 中可得C ＝π3. (2)由m tan C ＝1tan A ＋1tan B ，可得m ＝⎝⎛⎭⎫1tan A ＋1tan B tan C ， 即m ＝sin Ccos C⎝⎛⎭⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ×cos A sin B ＋cos B sin A sin A sin B ＝sin C cos C×sin C sin A sin B .由正、余弦定理可得m min ＝c 2ab ×1cos C ＝2c 2ab ＝ 2（a 2＋b 2－ab ）ab＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋ab －1≥2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以实数m 的最小值为2.新题在线答案：(1)S ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3； (2)AD ＝5＋510时，S 最小． 解析：(1)在△ABD 中，由正弦定理得1sin α＝BD sin π3＝AD sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，所以BD ＝32sin α，AD ＝3cos α2sin α＋12， 则S ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋ 2a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos α2sin α＋12＋4a ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＝a ⎝⎛⎭⎪⎫43－3cos α2sin α＋32，由题意得α∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3. (2)令S′＝3a·1－4cos αsin 2α＝0.设cos α0＝14.所以当cos α＝14时，S ＋12＝5＋510.。
高二数学解三角形和不等式
4、小明在某岛上的 A 处，上午 11 时测得在 A 的北偏东 600 的 C 处有一艘轮船，12 时 20 分时测得该船航行到北偏西 600 的 B 处，12 时 40 分时又测得轮船到达位于 A 正西方 5 千米 的港口 E 处，如果该船始终保持匀速直线运动，求： （1）点 B 到 A 的距离； （2）船的航行速度。
3 m 1 4 三角形的三条边长，那么 m 的取值范围是________.
4. 目标函数 z 2 x y ，变量 x, y 满足
x 4 y 3 0 y 3 x 5 y 25 ，则有 （ ） C x 1 3x+5y-25=0
A． z max 12, z min 3 B． z max 12, z 无最小值 C． z min 3, z 无最大值 D． z 既无最大值，也无最小值
400 A、 3
400 3 B、 3
A
30o
200 3 C、 3
E
60o
200 D、 3
200 m
D
B
C
基本不等式的变形：
a b a b 2ab ab 2 ab a b 2 ab ab 2 2 2 ab 2 a b ab ( ) 2 2
2 2 2
2
；
C
E
5
A
（2）∵在 ABE 中，由余弦定理得
BE 2 AB 2 AE 2 2 AB AE cos30 16 4 3 3 31 25 2 5 3 3 2 3 93 BE 3
31 20 所以轮船速度是 93 （千米/小时） 3 60
C
4x x
D
C
A
解三角形 练习题(答案)
三角函数练习题（含答案）1．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定解析：选C.∵sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，由正弦定理可得a 2＋b 2＜c 2，所以cos C ＜0，得角C 为钝角，故选C.2．在△ ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( ) A ．－12B.12 C ．－1D ．1解析：选D.由a cos A ＝b sin B 可得sin A cos A ＝sin 2B ， 所以sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析：选A.∵a cos C ＋c cos A ＝b ， ∴原式可化为b sin B ＝12b ，sin B ≠0，∴sin B ＝12，a ＞b ，B 为锐角，∴B ＝π6.4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 3 解析：选D.∵A ＝π3，b ＝1，S △ABC ＝32， ∴12bc sin A ＝32，∴c ＝2.∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3， ∴a ＝ 3.5．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 解析：选B.∵cos 2A 2＝b ＋c2c，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋cc ，化简得a 2＋b 2＝c 2.故△ABC 是直角三角形．6．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A.1010 B.105C.31010D.55解析：选C.先利用余弦定理求出AC 边的长度，再利用正弦定理求出sin ∠BAC . 由余弦定理可得 AC ＝ BA 2＋BC 2－2BA ·BC cos ∠ABC ＝2＋9－2×2×3×22＝5， 于是由正弦定理可得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC ，于是sin ∠BAC ＝3×225＝31010.7．(2016·广西南宁模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝12，△ABC 的面积S ∈[1,2]，则下列不等式一定成立的是( )A ．ab (a ＋b )>16 2B ．bc (b ＋c )>8C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24解析：选B.依题意得sin [(A ＋B )＋(A －B )]＋sin [(A ＋B )－(A －B )]＋sin 2C ＝12，展开并整理得2sin(A ＋B )·cos(A －B )＋2sin C cos C ＝12，又sin(A ＋B )＝sin C ，cos C ＝－cos(A ＋B )，所以2sinC cos(A －B )＋2sin C cos C ＝2sin C ·[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，所以4sin A sin B sin C ＝12，sinA sinB sinC ＝18.又S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ，因此S 3＝18a 2b 2c 2·sin A ·sin B sin C ＝164a 2b 2c 2.由1≤S ≤2得1≤164a 2b 2c 2≤23，即8≤abc ≤162，因此选项C 、D 不一定成立．∵b＋c >a >0，∴bc (b ＋c )>bc ·a ≥8，即有bc (b ＋c )>8，∴选项B 一定成立．∵a ＋b >c >0，∴ab (a ＋b )>ab ·c ≥8，即有ab (a ＋b )>8，∴选项A 不一定成立．故选B. 8．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332C.3＋62D.3＋394解析：选B.设AB ＝c ，在△ABC 中，由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ， 即7＝c 2＋4－2×2×c ×cos 60°， c 2－2c －3＝0，即(c －3)(c ＋1)＝0. 又c >0，∴c ＝3.设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12BC ·h ，知12×3×2×sin 60°＝12×2×h ，解得h ＝332. 9．(2014·高考新课标卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．1解析：选B.利用三角形面积公式可求角B ，再利用余弦定理求得B 的对边AC . ∵S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4. 当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，∴AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，∴AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.10．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：利用三角形面积公式及余弦定理列式求解． 在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝154，所以有⎩⎨⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝⎛⎭⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.答案：811．(2015·高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__________. 解析：先根据正弦定理得3a ＝2b ，进而结合条件a ＝2求出b 的值，然后由余弦定理求出c 的值．∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16， ∴c ＝4. 答案：412．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________.解析：利用二倍角的正弦公式结合正、余弦定理求解．由正弦定理得sin A sin C ＝ac ，由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 答案：113．(2016·洛阳市高三模拟)如图，在△ABC 中，sin∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos ∠C ＝__________.解析：由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则9b 2＝a 2＋4－43a ①.因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，所以4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6②，联合①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3.在△ABC 中，cos ∠C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝32＋32－222×3×3＝79.答案：7914.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解：(1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理，得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)，知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.15．(2015·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，即B ＋C ＝34π，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ， ∴2sin C ·cos C ＝sin 2 C 解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝22b3，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.16．(2015·高考调研卷)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A ＝3cb c 2＋b 2－a 2.(1)求角A 的大小；(2)当a ＝3时，求c 2＋b 2的最大值，并判断此时△ABC 的形状． 解：(1)由已知及余弦定理，得sin A cos A ＝3cb2cb cos A ，sin A ＝32， 因为A 为锐角，所以A ＝60°.(2)法一 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ＝2sin(120°－B )． c 2＋b 2＝4[sin 2B ＋sin 2(120°－B )] ＝4⎣⎡⎦⎤1－cos 2B 2＋1－cos (240°－2B )2＝4⎣⎡⎦⎤1－12cos 2B －12⎝⎛⎭⎫－12cos 2B －32sin 2B＝4－cos 2B ＋3sin 2B ＝4＋2sin(2B －30°)．由⎩⎪⎨⎪⎧0°<B <90°，0°<120°－B <90°，得30°<B <90°，所以30°<2B －30°<150°， 当sin(2B －30°)＝1，即B ＝60°时，(c 2＋b 2)max ＝6， 此时C ＝60°，△ABC 为等边三角形．。
三角形中的不等式2
三角形中的不等式1. △ABC 中，求证：3π≥++++c b a cC bB aA . 法一：三角形ABC 中，必定有最大角≥∏/3，最小角≤∏/3(这个用反证法可证，此处不多说） 不妨设A≥B≥C,那么A≥∏/3,C≤∏/3(C*c+B*b+A*a)/(a+b+c)≥ ∏/3等价于: (C*c+B*b+A*a)≥(a+b+c)*∏/3（移项），等价于：(C*c+B*b+A*a)-(a+b+c)* ∏/3 ≥ 0（展开），等价于a(A-∏/3 )+b(B -∏/3 )+c(C -∏/3 )≥ 0将角B = ∏-A-C 代入 ,等价于a(A-∏/3 )+c(C -∏/3 )+B(∏-A-C -∏/3 )≥ 0a(A-∏/3 )+c(C -∏/3 )+B(2∏/3 -A-C)≥ 0展开整理,等价于A(a-b) +C(c-b) -a* ∏/3 -c* ∏/3 +b*2∏/3≥ 0等价于A(a-b) +C(c-b) -(a-b)*∏/3 -(c-b)* ∏/3 ≥ 0等价于(a-b)(A-∏/3) +(c -b)(C-∏/3) ≥ 0 ①也就是只要证明①成立。
因为在三角形中，大角对大边，A≥B≥C ，所以，a≥b≥c所以a-b≥0,c -b≤0,又因为 A≥∏/3,C≤∏/3所以(A-∏/3)≥0,(C -∏/3) ≤0所以(a-b)*(A-∏/3)≥0 ,(c -b)(C-∏/3)≥0所以(a-b)(A-∏/3) +(c -b)(C-∏/3) ≥ 0从而命题成立法二：原不等式等价于3(C*c+B*b+A*a)》=(a+b+c)（A+B+C ）化简：2（C*c+B*b+A*a)》=（Ab+Bc+Ca ）+（Ac+Ba+Cb ）不妨设A 》=B 》=C ，则a 》=b 》=c （大角对大边）左边显然为同序和，右边为乱序和，由排序不等式：同序和》=乱序和原不等式得证2. △ABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ≤233.3．A 、B 、C 为锐角三角形三内角，求证：tan 3A+tan 3B+tan 3C ≥93.4．△ABC 中，求证：a 2+b 2+c 2≥43△（△为△ABC 的面积）（提示：利用c ab b a c c ab cos 2,sin 21222-+==∆，再用求差法）5．a 、b 、c 为△ABC 三边，x ∈R ，求证：a 2x 2+(a 2+b 2－c 2)x+b 2>0.（提示：△=…=（a+b+c ）(a+b －c)(a －b+c(a －b －c)<0)6．△ABC 中，利用代数换元a=y+z,b=z+x,c=x+y(x,y,z ∈R +)求证：sin 812sin 2sin 2 C B A . 7.问题 设a,b,c;ma,mb,mc;ha,hb,hc 分别表示△ABC 的三边长,三中线和三条高。
用不等式(组)解三角形的边角问题
用不等式（组）解三角形的边角问题湖北 王东青三角形边角的不等问题，经常要用不等式（组）来解决，下面举例说明． 例1 ABC △中，三边长为5，12，23x -，周长为奇数，求整数x 的值及周长的最大值．解：由三角形的三边关系的性质可知：512235*********x x x +>-⎧⎪+->⎨⎪+->⎩， ①， ②． ③ 解这个不等式组，得553x -<<-． 故整数x 的值为432---，，．当4x =-时，23x -最大，最大值为14，此时周长取最大值，最大值为31． 评注：由于此题中51223x -，，的大小关系不确定，应考虑任何两边之和大于第三边，所以用不等式组确定x 的取值范围，细心的读者会注意到512<，又因为23x -应大于0，故不等式③是多余的．例2 三角形的三个内角分别为αβγ，，．且αβγ>≥，2αγ=，则β的取值范围是______．解：依题意，得2180αγαβγαβγ=⎧⎪=︒⎨⎪>⎩， ①++， ②≥． ③ 由①、②，得1601203γβαβ2=︒-=︒-3，． 所以2120603βββ1︒->︒-3≥． 解得7245β︒>︒≥．所以4572β︒<︒≤．评注：先根据三角形的内角和的性质及已知条件，用含β的式子来表示αγ，，再建立关于β的不等式组．例3 在ABC △中，三个内角的度数均为整数，且A B C <<∠∠∠，47C A =∠∠，求B ∠的度数．解：设C x ∠=︒，则47A x =︒∠，180-180B A C x x x 411∠=︒-∠∠=︒-︒-︒=180︒-︒77． 由A B C ∠<∠<∠，得41118077x x x <-<． 解得7084x <<． 因为47x 为整数，所以77x =，求得59B ∠=︒． 评注：设C x ∠=︒，先把A B ∠∠，用含x 的式子来表示，再建立关于x 的不等式组，求出x 的取值范围，然后利用整数的性质确定B ∠的值．例4 ABC △的三个内角A B C ，，满足35A B >，32C B ≤，则这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解：由3532A B C B >⎧⎨⎩，≤得353233A B B B B C >=++≥， 所以A B C >+．又180A B C ++=︒，所以180A A >︒-，即90A >︒，故选C ．评注：不等式之间的转换不易把握，解此题的关键是推出A B C >+，我们还可以这样推导：5332A B B C >，≥，故5332A C >⨯，即52A C >，所以25C A <，又35B A <，故2355BC A A +<+，即B C A +<．。
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2013-2014学年度第二学期解三角形和不等式的大题
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、选择题（题型注释）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明
二、填空题（题型注释）
（1，求)(x f 的取值范围；
（2）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A 为锐角，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值．
【答案】21m n =⋅-. （1（2，求b 的大小.
【答案】（1）()f x 递减区间是2
3．已知函数f(x)x ∈[1，＋∞)．
(1)当a ＝4时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围． 【答案】（1）6（2）()3,-+∞
4．(1)已知y ＝4x －2
(2)已知x>0，y>01，求x ＋y 的最小值． 【答案】（1）y max ＝1.（2）最小值为16
5．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 【答案】4个单位的午餐和3个单位的晚餐，
6．设z ＝2x ＋y ，式中变量满足下列条件：4335251x y x y x ≤⎧⎪
≤⎨⎪≥⎩
－－，＋，，求z 的最大值和最小值．
【答案】12 3
7．在△ABC 中，a ＝3，b ＝
B ＝2∠A. (1)求cosA 的值； (2)求c 的值． 【答案】（1
2）5. 8．在△ABC 中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)
求B ；
(Ⅱ)若2=
b ，求△ABC 面积的最大值. 【答案】
9．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,
且 （1
的值;
（
2）若
求bc 的最大值. 【答案】（1（2
10．△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3 （1）求AC ； （2）求∠A ． 【答案】（1）5 （2）
120-=∠A
三个内角，他们的对边分别为a
、b 、c ，且
（1）求
A;
（2
的值，并求ABC ∆的面积。
【答案】（1212．在ABC ∆中，（1）求sin A 的值；
（2求ABC ∆的面积.
【答案】（1
（2
13．在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，（Ⅰ）求角B 的大小；
，求△ABC 的面积.
（214．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，(Ⅰ)求A ；
(Ⅱ)若2a =，ABC ∆的面积为；求,b c 。
【答案】（1）6015．在ABC ∆中，（1）求A sin 的值； （2）求CA CB ∙的值.
【答案】（1216．在△ABC 中，∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是,,a b c ，且 222
b c a bc +=+.
（1）求∠A 的大小；
（2，3b c +=，求b 和c 的值.
【答案】（12）1,2b c == 或 2,1b c ==.
17．若不等式0252>-+x ax 的解集是
(1) 求a 的值；
(2) 【答案】（118．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，2C A =，（1）求cos ,cos B C 的值；
（2）若27
BA BC ⋅=
，求边AC 的长. 5
19的对边分别是,,a b c 且满足(2)cos cos a c B b C -= 求角B 的大小；
（2）若ABC ∆的面积为为，求a c +的值；
【答案】 ⑵a ＋c
20．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足3AB AC ⋅=．
（1）求ABC ∆的面积； （2）若1c =，求
【答案】（1
（221．（本小题满分10分）
已知0a >，解关于x 的不等式)1)(1(--x ax ＜0
a =11
22（1（2）若3a =，sin 2sin B C =，求ABC S ∆．
【答案】（I II 23．(本题满分12分)
已知不等式02>++c bx x 的解集为}12|{<>x x x 或 （1)求b 和c 的值； (2)求不等式012≤++bx cx 的解集.
【答案】（1) 3,2b c =-= (2) 24．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，已知（1）求B 的值；
（2）若ABC ∆的面积为，求b a ,的值 【答案】（1） 30=B （2）⎩
⎨
⎧==24
b a 或25．（本小题满分12分）
已知2()2f x x bx c =++，不等式()0f x <的解集是()0,5，
(Ⅰ) 求()f x 的解析式；
(Ⅱ) 若对于任意[1,1]x ∈-，不等式()2f x t +≤恒成立，求t 的取值范围． 【答案】（1）2()210f x x x =-（2）10t ≤-。