东北大学自控原理期末试题

1. 概念题（10分） A（1）简述自动控制的定义。

（2）简述线性定常系统传递函数的定义。

解：（1）所谓自动控制是在没有人的直接干预下，利用物理装置对生产设备或工艺过程进行合理的控制，使被控制的物理量保持恒定，或者按照一定的规律变化。

（5分） （2）零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

（5分） B（1）简述闭环自动控制系统一般是由哪些基本环节组成，并画出其控制系统结构图。

（2）简述什么是无差系统。

解： （1）（5分）1-给定环节；2-比较环节；3-校正环节；4-放大环节；5-执行机构；6-被控对象；7-检测装置（2）若系统的稳态误差为零，则称该系统为无差系统。

（5分） 2．（10分）A.控制系统如图1所示，其中)(s W c 为补偿校正装置，试求该系统闭环传递函数)()(s X s X r c ，并从理论上确定如何设计补偿校正装置)(s W c 可以使系统补偿后的给定误差为零。

图1 控制系统结构图解：[])()(1)()()()()()(2121s W s W s W s W s W s X s X s W c r c B ++==（5分） 由此得到给定误差的拉氏变换为)()()(1)()(1)(212s X s W s W s W s W s E r c +-=如果补偿校正装置的传递函数为)(1)(2s W s W c =（5分）即补偿环节的传递函数为控制对象的传递函数的倒数，则系统补偿后的误差0)(=s EB. 控制系统如图1所示，其中)(s W c 为补偿校正装置，试求该系统的扰动误差传递函数)()(s N s X c ，并从理论上确定如何设计补偿校正装置)(s W c 可以使系统补偿后的扰动误差为零。

图1 控制系统结构图解：系统的扰动误差传递函数为)()(1)()]()(1[)()(2121s W s W s W s W s W s N s X c c +-=（5分）则 )()()(1)()]()(1[)(2121s N s W s W s W s W s W s X c c +-=如果选取 )(1)(1s W s W c =（5分） 则得到 0)(=s X c 从而，实现系统补偿后的扰动扰动误差为零。

3．已知某三阶单位负反馈系统具有一个有限零点为-1.5、三个极点分别为6.12.1j ±-和-1.49、且系统传递函数根的形式放大系数为4。

试求系统在单位阶跃函数作用下，系统的动态性能指标超调量%σ、调整时间s t 和峰值时间m t 。

（10分） 解：49.13-=s 与5.11-=z 构成偶极子可相消，故系统可以用主导极点2,1s 构成的低阶系统近似（1分）：由2.1=n ξω，得46.13==ns t ξωs （或33.34==ns t ξωs ）（3分）； 由96.16.112==-=πξωπn m t s ，得46.13==ns t ξωs （或33.34==ns t ξωs ）（3分）； 由75.06.12.112==-ξωξωn n ，得%3.4%100%100%*75.012=⨯-=⨯=---πξξπσe e （3分）四（14分）设单位负反馈系统的开环传递函数为 A.)4)(1()(++=s s s k s W gk ；B.)2)(1()(++=s s s k s W gk ；1． 绘制闭环系统根轨迹；2． 试确定系统呈单调动态响应以及衰减振荡动态响应的g K 取值范围。

解： A.（1） 有三个开环极点：00=p , 11-=-p , 42-=-p 。

（2分） （2） 在0~1-及-∞-~4的实轴上有根轨迹。

（3） 分离点计算0)1()4()4)(1()()(')()('=++++++=-s s s s s s s D s N s N s D得分离点为467.01-=s 和87.22-=s 。

因为在4~1--之间不可能有根轨迹，故分离点应为467.01-=s ，（2分）将467.01-=s 代入特征方程得其对应g K 为0.8794；所以，系统的单位阶跃函数输入响应为单调过程的g K 取值范围为8794.00≤<g K ；（2分）（4） 渐近线倾角按式(4-13)算得o o o o 180,60,6003)21(180-=-+=μϕ （2分）渐近线交点计算，3511-=---=-∑∑==mn zp mi in j jk σ（2分）（5） 根轨迹与虚轴交点。

由已知开环传递函数可得闭环系统特征方程为0)4)(1(=+++g K s s s令ωj s =得0)4)(1(=+++g K j j j ωωω亦即0)41(2=+-ωg K043=-ωω根轨迹与虚轴交点为2±=ω，对应的根轨迹放大系数为20=g K ，（2分）所以，系统的单位阶跃函数输入响应为单调过程的g K 取值范围为208794.0<<g K 。

（2分）B.（1） 有三个开环极点：00=p , 11-=-p , 22-=-p 。

（2） 在0~1-及-∞-~2的实轴上有根轨迹。

（3） 分离点计算0)1()2()2)(1()()(')()('=++++++=-s s s s s s s D s N s N s D得分离点为423.01-=s 和577.12-=s 。

因为在2~1--之间不可能有根轨迹，故分离点应为423.01-=s ，将423.01-=s 代入特征方程得其对应g K 为0.385；所以，系统的单位阶跃函数输入响应为单调过程的g K 取值范围为385.00≤<g K ；（4） 渐近线倾角按式(4-13)算得o o o o 180,60,6003)21(180-=-+=μϕ渐近线交点计算，111-=---=-∑∑==mn zp mi in j jk σ（5） 根轨迹与虚轴交点。

由已知开环传递函数可得闭环系统特征方程为0)2)(1(=+++g K s s s令ωj s =得0)2)(1(=+++g K j j j ωωω亦即032=-ωg K023=-ωω根轨迹与虚轴交点为2±=ω，对应的根轨迹放大系数为6=g K ，所以，系统的单位阶跃函数输入响应为单调过程的g K 取值范围为68794.0<<g K 。

五（20分） 一单位负反馈最小相位系统的开环对数幅频特性如图3所示，其中虚线为校正前特性，实线为加入串联校正装置后的特性。

1． 试写出串联校正装置的传递函数，并说明此校正主要是利用该装置的什么特性； 2． 试求校正后系统的相位裕量)(c ωγ。

A图3解：由图可知：26lg 20=K ，则20=K 校正前系统的开环传递函数为：)12(20)(+==s s s W K 校正后系统的开环传递函数为：20(1)4.32()(1)(1)219.87K sW s s s s +'=++ 所以，校正装置的传递函数为(1)4.32()(1)19.87c sW s s +=+（6分）此校正为串联超前校正，主要是利用该装置的相位超前特性。

（4分） 由校正后特性得：1232.420)(='⎪⎭⎫⎝⎛'≈'c cc c A ωωω，则126.9-='s cω（5分） 校正后系统的相位裕量为：4.5232.426.9arctan 87.1926.9arctan 226.9arctan 90180)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+='cωγ（5分） B图3解：由图可知：20lg 40=K ，则10=K 校正前系统的开环传递函数为：)15(10)(2+==s s s W K 校正后系统的开环传递函数为：22217.161)15(74.2110)(）（）（s s s s s W K +++==所以，校正装置的传递函数为2217.16174.21)(）（）（s s s W c ++== 此校正为串联滞后校正，主要是利用该装置的低频幅值衰减特性。

由校正后特性得：1574.210)(2=''⎪⎭⎫⎝⎛'≈'c cc c A ωωωω，则166.6-='s cω 校正后系统的相位裕量为：4.3774.266.6arctan 217.1666.6arctan 2566.6arctan 180180)(=+⎪⎭⎫ ⎝⎛---+='cωγ6．如图4所示为一非线性系统，其中1=K 、1=M ，试用描述函数法分析系统存在自振的条件，并确定振幅与频率。

（图中非线性特性的描述函数为X MK π4+；)1)(1()(21++=s T s T s K s W ）（8分）图4解：由非线性元件的描述函数得其基准描述函数的负倒特性为：XM K X N π41)(1+-=-其负倒描述函数特性如下图所示。

当0=X 时，0)(1=-X N ； 当∞→X 时，11)(1-=-→-K X N ，即)(1X N -曲线位于实轴]1,0(-区间。

线性部分传递函数为3阶，所以，)(ωj W 曲线必与负实轴有交点：若)(ωj W 曲线在]1,0[-区间与实轴相交，则产生稳定的自振荡；（2分）)()()(ωωωjQ P j W k +=式中 222142221221)(1)()(T T T T T T K P ωωω++++-=； ])(1[)1()(2221422212212T T T T T T K Q ωωωωω+++--=在0=ω时，)()0(21T T K P +-=，-∞=)0(Q 。

在211T T =ω时（2分），2121)(T T T KT P +-=ω，0)(=ωQ 。

211414)(T KT T T X X M K X N +-=--=--=-ππ；解得：π)(42121T KT T T X -+=（2分）即，当2121T T T T K +<时（2分），系统存在自振，其振幅π)(42121T KT T T -+与自振频率为211T T =ω。

7．已知离散控制系统的结构如图7所示，其中10=K 、s T 2.0=。

（8分）试求： A.(1) 求出系统的闭环脉冲传递函数)(z W B ； (2) 判断闭环系统的稳定性。

（注：已知z 变换22)1(1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z Tz s Z ；323)1(2)1(1-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡z z z T s Z ）图7 离散系统的结构图解：系统开环脉冲传递函数为：22313)1(2)1(1)1()1()z (-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--z z T K s Z z K s e K Z W Ts )1(5.01)1(5.0)1(5.0)(212-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--z KT s Z z K s e K Z z WH Ts )1()1(2.0)(1)()(-+=+=z z z z WH z W z W K则系统闭环脉冲传递函数为：2.08.0)1(2.0)1()1(2.01)1()1(2.0)(1)()(2+-+=-++-+=+=z z z z z z z z z z W z W z W K K B （4分）则系统闭环特征方程为：02.08.0)(2=+-=z z z D 特征根为：2.04.02,1j z ±=；1447.02,1<=z特征根在单位园内，所以，闭环系统稳定。