圆中的概念和性质
8圆的基本概念与性质
圆的基本概念1． 圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O 叫做圆心，OA 叫做半径． 2． 弧与弦：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ． 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 3． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
判断题（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等( )（7）两个劣弧之和等于半圆( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R( )【例1】 如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>ON MHG FE DCB A【例2】 如图，直线212l l ∥，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线12l l 、于B 、C 两点，连接AC BC 、．若54ABC ∠=︒，则∠1的大小为________【例3】 如图，ABC ∆内接于O ，84AB AC D ==，，是AB 边上一点，P 是优弧 BAC 的中点，连接PA 、PB 、PC 、PD ，当BD 的长度为多少时，PAD ∆是以AD 为底边的等腰三角形？并加以证明．二 垂径定理及其应用【例4】 如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，OD BC ⊥于E ，交弧BC 于D ．（1）请写出五个不同类型的正确结论； （2）若82BC ED ==，，求O 的半径．【例5】 如图，在O 中，120,3AOB AB ∠=︒=，则圆心O 到AB 的距离=_______BAO【例6】 如图，D 内接于O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交O 于点E , 连接,AE BE 则下列五个结论①AB DE ⊥,②AE BE =,③OD DE =,④AEO C ∠=∠,⑤12AB ACB =，正确结论的个数是( )EDCBAA ．2B ．3C ． 4D ．5如图，AB 为O 的直径，CD 为弦, AB CD ⊥,如果70BOC ∠=︒,那么A ∠的大小为（ ）ODCBAA ． 70︒B ． 35︒C ． 30︒D ．20︒【例7】 如图，AB 是O 的在直径，弦CD AB ⊥于点E ，若8CD =，3OE =,则O 的直径为（ ）EO BDCAA ．10B ．12C ．14D ．16【例8】 如图，O 是ABC ∆的外接圆，60BAC ∠=︒，若O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．23【例9】 小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）OCBAA ．2B ．5C ．22D ．3如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得=∠DOE sin 1213． （1）求半径OD ；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？【例10】 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（ ）ABCDA ．5米B ． 8米C ．7米D ．53米【例11】 如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥,垂足是E ,连接OC ，若5,8OC CD ==,则AE =_______BEO DCA【例12】 一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径10OB =,截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）AOBEC DOCBAA ．16B ．10C ．8D ．6【例13】 已知，如图，1O 与坐标轴交与A （1,0）、B ( 5，0)两点，点1O 的纵坐标为5，求1O 的半径。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中最基本也是最重要的图形之一。
它具有独特的概念与性质，对于几何学研究和实际生活应用都具有重要的意义。
一、圆的概念圆可以通过平面上的一点（圆心）和与这个点距离相等的所有点构成，这个相等的距离称为圆的半径。
圆的边界称为圆周，圆周上的所有点到圆心的距离都相等。
二、圆的性质1. 圆心和半径：圆心是圆的核心位置，半径是从圆心到任意一个点的距离。
所有半径的长度都相等。
2. 直径：直径是通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。
直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍。
3. 弧长：弧长是圆上的一段弧对应的圆周长度。
弧长和圆的半径以及所对应的圆心角有关。
4. 弧度：弧度是弧长和半径之间的比值。
一个完整圆的弧长等于2π倍的半径。
角度和弧度之间的转换关系是180°=π弧度。
5. 扇形：扇形是由圆心、圆周上的两个点以及连接这两个点的弧段所构成的图形。
6. 弦：弦是连接圆周上的两个点的线段。
7. 切线：切线是与圆周只有一个交点的直线，切线与半径的夹角是直角。
8. 正切线：正切线是过圆上一点并且与该点的切线垂直相交的直线。
9. 圆的面积：圆的面积是指圆所包围的平面区域。
圆的面积公式是πr²，其中r为圆的半径。
三、圆的应用1. 圆在建筑设计中的应用：圆形的建筑物，例如圆形剧场、圆形体育馆等，不仅美观而且具有良好的音响效果和观看体验。
2. 圆在交通规划中的应用：交通圆环的设计可以提高交通效率，减少交通事故的发生。
3. 圆在制造业中的应用：例如车轮、电机转子等，圆形的设计可以提高工作效率和产品的稳定性。
4. 圆在数学研究中的应用：圆的概念和性质是数学研究中的基础，广泛应用于数学的各个分支，如几何学、代数学等。
总结：圆是几何学中的基本图形，具有独特的概念和性质。
圆的应用广泛存在于我们的生活中，不仅美观而且具有很多实际价值。
对于几何学的学习和实际应用，深入理解圆的概念和性质是非常重要的。
圆的概念与性质(编)
圆的概念与性质【知识点一】：圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．（2）与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等．连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．（3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性．【典例分析】1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°【变式训练1】．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若∠AOC＝70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为（）A．70°B．60°C．50°D．40°【变式训练2】．下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半径相等的两个圆是等圆；其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式训练3】．如图：A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB＝50°，∠OBC＝40°，则∠OAC的度数为．【变式训练4】．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠C＝40°，求∠E及∠AOC的度数．【变式训练5】．如图，AB、CD为⊙O中两条直径，点E、F在直径CD上，且CE＝DF．求证：AF＝BE．【知识点二】：垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．【典例分析】如图，在⊙O中，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为（）A．B．C．3D．5【变式训练1】．如图，⊙O中，半径OC＝2，弦AB垂直平分OC，则AB的长是（）A．3B．4C．2D．4【变式训练2】．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为（）A．4B．6C．8D．9【变式训练3】．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是（）A．弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD C．OE＝BE D．CE＝DE【变式训练4】．P为⊙O内一点，OP＝3，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（）A．5B．6C．8D．10【变式训练5】．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为（）A．B．2C．2D．8【变式训练6】．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8cm，AE ＝2cm，则OF的长度是（）A．3cm B．cm C．2.5cm D．cm【变式训练7】．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（）A．cm B．3cm C．3cm D．6cm【变式训练8】．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD【变式训练9】．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），D为第一象限内⊙O上的一点，若∠OCD＝75°，则AD＝．【变式训练10】．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为．【变式训练11】．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是．【变式训练12】．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为．【变式训练13】．⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB和CD的距离是cm．【变式训练14】．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为．【知识点三】：圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．【典例分析】如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（）A．51°B．56°C．68°D．78°【变式训练1】．如图，在⊙O中，点P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论：①AB⊥CD②∠AOB＝4∠ACD③＝④PO＝PD，其中正确的个数是（）A．4B．1C．2D．3【变式训练2】．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．40°B．45°C．50°D．60°【变式训练3】．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB＝AD B．BC＝CD C．D．∠BCA＝∠DCA【变式训练4】．如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝．【变式训练5】．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，的度数为．【变式训练6】．如图，在⊙O中，直径AB∥弦CD．若∠COD＝130°，则的度数为．【巩固训练】1．如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，若AB＝4，则⊙O的半径是（）A．B．2C．3D．2．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm3．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（）A．3B．4C．5D．2.5第1题图第2题图第3题图4．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA＝5，AB＝8，则AD的长为．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且AE＝CD＝6，则⊙O的半径为．6．如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是．第4题图第5题图第6题图7．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD＝22.5°，若CD＝6cm，则AB的长为cm．8．如图，在⊙O中，AC＝BD，∠1＝30°，则∠2的度数为．9．如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝BC＝DA，AD、BC的延长线交于点P，且∠P＝40°，则弧CD的度数为．第7题图第8题图第9题图10．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，若AB⊥CD于E，下列结论：①CE＝DE，②＝．③＝，④AC＝AD．其中正确的有（填序号）．11．如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）请证明：E是OB的中点；的长．（2）若AB＝8，求CD纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
圆的认识与性质知识点总结
圆的认识与性质知识点总结圆是我们日常生活中经常接触到的一个几何图形，它有着独特的性质和特点。
在本文中，我将就圆的认识与性质进行总结和讨论。
一、圆的定义与基本特点圆是平面上一组点，它们到一个确定的点（圆心）的距离都相等。
圆可以用圆心和半径来唯一确定。
一个圆由无数个点组成，这些点到圆心的距离等于圆的半径。
1.1 圆心和半径圆心是圆上所有点到圆心的距离相等的点，用O表示。
半径是指圆心到圆上任意一点的距离，用r表示。
半径是圆的一个重要属性，决定了圆的大小。
1.2 圆的直径直径是指通过圆心的两个点之间的距离，它是圆上最长的一条线段，用d表示。
直径的长度是半径长度的两倍。
1.3 圆的弧圆上两点之间的线段叫做弧，在圆上可以确定无数个不同长度的弧。
弧长是指弧所对的圆心角所对应的圆周上的一段长度。
二、圆的性质除了上述基本特点外，圆还有许多其他重要的性质。
下面将具体介绍几个常见的圆的性质。
2.1 圆周率π圆周率π是一个非常重要的数学常数，它是圆的周长与直径的比值。
π的值约等于3.14159，但它是一个无限不循环的小数。
2.2 圆的周长圆的周长是指圆上一周的长度，也就是圆周的长度。
圆的周长可以用公式C = 2πr来计算，其中C表示周长，r表示半径。
2.3 圆的面积圆的面积是指圆内所有点所组成的部分的面积。
圆的面积可以用公式A = πr²来计算，其中A表示面积，r表示半径。
2.4 圆的切线和法线切线是指与圆相切且与半径垂直的线段或直线，切点是切线与圆的交点。
法线是指通过切点并垂直于切线的线段或直线。
切线和法线是圆的两个重要概念，它们与圆的弧、圆周角等性质密切相关。
三、圆的相关定理在圆的研究中，有一些重要的定理与命题，它们是我们理解和推导圆的性质的关键。
3.1 圆的半径垂直于切线如果在圆上有一条切线，那么切线与半径的交角是90度。
3.2 圆上的任意弧所对的圆心角相等圆上的任意弧都对应着一个圆心角，圆心角的大小等于其所对应的弧的度数。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是数学中的一个基本几何形状，它是平面上所有离一个特定点的距离都相等的点的集合。
圆的特性以及相关的性质在数学和几何学的研究中有着广泛的应用。
本文将介绍圆的基本概念、性质以及应用。
1. 圆的定义圆是由平面上所有距离一个固定点距离相等的点构成的图形。
该固定点叫作圆心，用O表示，它到圆上任一点的距离叫作半径，用r表示。
圆可以通过半径和圆心表示为“圆O(r)”。
2. 圆的性质圆有一些特点和性质，下面将列举一些重要的性质：(1) 圆上的任意两点与圆心连线的长度相等。
(2) 圆上任意一条线段被圆心分成两部分，其中一部分的长度就是另一部分的两倍。
(3) 圆上的任意一条弧所对的圆心角是不变的，即不依赖于弧的位置和大小。
(4) 圆的内切圆与外切圆的圆心在同一直径上。
(5) 圆的内切正多边形的边数越多，其形状越接近圆。
(6) 圆的内部所有点到圆心的距离都小于半径。
(7) 圆的外部所有点到圆心的距离都大于半径。
除了上述性质外，圆还有许多重要的应用。
3. 圆的应用圆的性质和特点在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍一些常见的应用场景：(1) 圆的计算：根据圆的半径或直径可以计算圆的周长和面积。
圆的周长可以通过公式C=2πr计算，其中π是一个常数，约等于3.14159。
圆的面积可以通过公式A=πr^2计算。
(2) 圆的测量：在实际测量中，圆的概念经常被用来描述和测量曲线的形状，如圆形的轮胎、圆形的盘子等。
(3) 圆的建模：在工程设计和物理学中，圆的性质被广泛用于建模和解决问题，如地球的形状可以近似看作一个圆球等。
(4) 圆的几何关系：圆和其他几何形状之间有着多种关系，如圆的切线、圆与直线的交点等，这些关系在解决几何问题中非常有用。
综上所述，圆是一个重要的几何形状，在数学和几何学中有着广泛的应用。
通过研究圆的定义和性质，我们可以理解和应用它在实际问题中的意义，从而更好地解决相关的数学和几何问题。
初中数学知识归纳圆的概念和性质
初中数学知识归纳圆的概念和性质圆是初中数学中的一个重要概念，它有许多独特的性质。
下面将对圆的概念和性质进行归纳。
一、圆的概念圆是由平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
固定点叫做圆心，等距离叫做半径。
圆可以用圆心和半径表示，通常表示为∠O(r)，其中O表示圆心，r表示半径。
二、圆的性质1. 圆上任意两点的距离都相等。
即圆上的任意两点A和B，都有AB = r，其中r为圆的半径。
2. 圆的直径是圆上任意两点间的最大距离。
直径d等于半径的两倍，即d = 2r。
3. 相交弧：圆上的两条弧如果有一个公共点，则称它们为相交弧。
4. 弧度：圆心角对应的弧长与圆的半径的比值叫做弧度。
常用弧度符号表示为θ。
5. 弧长：圆周上任意两点间的弧长等于该圆心角的弧度数乘以圆的半径。
即L = θr。
三、圆的相关公式1. 圆的面积公式：S = π * r²，其中S表示圆的面积，r表示半径。
π是一个常数，约等于3.14。
2. 圆的周长公式：C = 2π * r，其中C表示圆的周长，r表示半径。
3. 弓形的面积公式：A = 1/2 * θ * r²，其中A表示弓形的面积，θ表示圆心角的弧度数，r表示半径。
4. 弦与弦的关系公式：如果两条弦相交，且其中一条被另一条平分，则两条弦的乘积等于交叉部分之间的弦的乘积。
即AB * CD = BC * AD。
四、圆的常见问题类型1. 判断关系：判断两个图形是否为圆，判断是否为同心圆等。
2. 计算问题：根据已知条件计算圆的面积、周长等。
3. 推理问题：利用圆的性质进行推理，解决几何问题。
4. 证明问题：根据已知条件进行推导，证明一个几何命题。
5. 应用问题：将圆的概念和性质应用于生活实际，解决实际问题。
五、常见解题思路1. 利用定义：根据圆的定义进行判断或运用相关公式进行计算。
2. 运用性质：根据圆的性质推导出结论，解决几何问题。
3. 运用变换：将圆的问题转化为其他图形的问题，通过转换求解。
圆的概念和性质
圆的概念和性质圆是我们生活中常见的几何形状之一，它具有独特的概念和性质。
在数学中，圆是指平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
圆的性质有很多，下面我将为大家详细介绍。
1. 圆的直径和半径圆的直径是指通过圆心的一条线段，其两个端点都在圆上。
直径的长度是圆的重要属性，它等于圆的半径的两倍。
半径是从圆心到圆上任意一点的线段，半径的长度决定了圆的大小。
2. 圆的周长和面积圆的周长是指圆上一点到另一点所经过的弧长。
圆的周长也被称为圆的周长，它等于圆的直径乘以π（圆周率，约等于3.14）或者等于圆的半径乘以2π。
圆的面积是指圆内部的所有点构成的区域的大小，它等于圆的半径的平方乘以π。
3. 圆的切线和弦圆上的切线是指与圆只有一个交点的直线。
切线与圆的切点处与半径垂直。
圆上的弦是指连接圆上两个点的线段，弦的长度可以小于、等于或大于圆的直径。
4. 圆的内切和外切圆的内切是指一个圆与另一个圆相切，并且两个圆的圆心在同一条直线上。
圆的外切是指一个圆与另一个圆相切，并且两个圆的圆心不在同一条直线上。
5. 圆的相似如果两个圆的半径之比相等，则这两个圆是相似的。
相似的圆具有相似的形状，但是大小不同。
6. 圆的划分圆可以被划分成多个扇形、弓形、弧和扇形等部分。
扇形是由圆心和圆上两个点构成的区域，弓形是由圆上一段弧和两个半径构成的区域，弧是圆上的一段弯曲的部分，扇形是由圆心、圆上两点和两个半径构成的区域。
通过对圆的概念和性质的了解，我们可以应用这些知识解决实际问题。
比如，我们可以利用圆的周长和面积计算出一个圆的大小，或者利用圆的切线和弦来解决与圆相关的几何问题。
此外，圆的相似性质也可以帮助我们在绘图或者设计中保持形状的一致性。
总结起来，圆是一个重要的几何形状，它具有独特的概念和性质。
通过对圆的认识和理解，我们可以更好地应用这些知识解决实际问题。
希望大家在学习数学的过程中能够深入了解圆的概念和性质，提高数学思维能力和解决问题的能力。
圆的基本性质汇总
圆的基本性质一、圆的有关概念1、圆：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合。
其中，定点为圆心，定长为半径。
2、弦：连接圆上任意两点的线段。
经过圆心的弦是直径，直径是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意两点间的部分叫弧。
圆上任一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫劣弧。
4、同圆与同心圆：同圆是指同一个圆；同心圆是指圆心相同，半径不等的圆。
5、等圆与等弧：能够重合的两个圆叫做等圆，或者说半径相等的两个圆是等圆；等弧是指能够完全重合的弧，等弧必须是同圆或等圆中的弧。
（注：长度相等的弧不一定是等弧，度数相等的弧也不一定是等弧。
）6、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
例1、判断题：（1）半圆是弧，但弧不一定是半圆。
（）（2）过圆上任意一点只能做一条弦，且这条弦是直径。
（）（3）弦是直径。
（）（4）直径是圆中最长的弦。
（）变式1-1、下列说法中正确的是（ ）。
.A 等于半径2倍的线段是直径 .B 过圆心的直线是直径.C 直径是弦 .D 过圆心的线段是直径变式1-2、下列说法中错误的有 。
①直径是弦，弦是直径；②弦是圆上任意两点间的部分；③半圆是弧，弧是半圆；④过圆内一点有无数条弦，这些弦都相等。
例2、已知，CD 为O ⊙的直径，75,EOD AE ∠=︒交O ⊙于B ，且AB OC =，则A ∠= 。
变式2-1、如图，AB 为O ⊙的直径，CD 为O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于E ，已知2,18AB DE E =∠=︒，则AOC ∠= 。
变式2-2、（2014∙永州一模）如图，以AB 为直径的半O⊙上有两点,D E E D 、与BA 的延长线交于点C ，且有D C OE =，若20C ∠=︒，则E O B ∠的度数是 。
二、圆的性质1、圆是轴对称图形，对称轴为直径所在的直线，有无数条。
圆是中心对称图形，并且无论绕圆心旋转多少度，都可以和原图形重合。
圆的综合知识点总结(初中数学)
圆的基本概念和性质要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧:在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.垂径定理知识点一、垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即⎩⎨⎧⇒⎭⎬⎫平分弦所对的弧平分弦垂直于弦直径(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）弧、弦、圆心角、圆周角要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义:如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
第9讲.圆中的基本概念和性质
圆的定义：1．描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．2．集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．3．圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”O⊙“，读作”圆O“．4．同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：同圆或等圆的半径相等．弦和弧1．弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．2．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．3．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．4．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB．5．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．6．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．7．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．8．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．圆心角和圆周角1．圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．2．圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．3．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．B圆是平面几何中的一个重要内容．由于圆与直线型图形可组合成一些复杂的几何问题，所以它经常出现在数学竞赛中． 圆的基本性质有：⑴ 直径所对的圆周角是直角． ⑵ 同弧所对的圆周角相等．⑶ 经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦．圆的对称性圆的对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合．⑴ 旋转对称性：无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合，对称中心为圆心． 圆的旋转对称性⇒弦、弧、弦心距，圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距这四组量中，只要有其中一组量相等，则其余三组量也分别相等，其相互推导关系如下图：注意：①前提条件是在同圆或等圆中；②在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等． ⑵ 轴对称性：它的任意一条直径所在的直线均为它的对称轴．圆的轴对称性⇒垂径定理：垂直于弦的直径平分弦、并且平分弦所对的两条弧．垂径定理1． 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2． 推论1：⑴ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3． 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根据垂径定理与勾股定理有：222()2ar d =+，根据此公式，在a ，r ，d 三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量．板块一、圆周角定理【例1】 ⑴(09四川凉山)如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．⑵(2007浙江温州)如图，已知ACB ∠是O 的圆周角，50ACB ∠=︒，则圆心角AOB ∠是 ．OCBA⑶(宜宾中考)已知：如图，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 是劣弧CD 上不同于点C 的任意一点，则BPC ∠的度数是( )A.45︒B.60︒ C.75︒ D.90︒P⑷(08龙岩)如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．⑸（2010海淀期末考试）如图，AB 是O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦．若23BAD ∠=︒，则ACD ∠ 的大小为（ ）A ．23︒B ．57︒C ．67︒D ．77︒【例2】 ⑴(08山东滨州)如图所示，AB 是O 的直径，AD DE =，AE 与BD 交于点C ，则图中与BCE ∠相等的角有( )BAA ． 2个B ． 3个C ． 4个D ． 5个⑵已知O ⊙的弦AB 长等于圆的半径，求该弦所对的圆周角 ．【巩固】 (07重庆)已知，如图：AB 为O ⊙的直径，AB AC =，BC 交O ⊙于点D ，AC 交O ⊙于点E ，45BAC ∠=︒．给出以下五个结论：①22.5EBC ∠=︒，；②BD DC =；③2AE EC =；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE BC =．其中正确结论的序号是 ．【例3】 (07年威海中考题)如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 都在O 上，若C D E ==∠∠∠，求A B +∠∠．BA【例4】 如图，已知30APC BD ∠=︒，的度数为30︒，求AC 和AEC ∠的度数 PEDCB A【例5】 （2006年“信利杯”全国初中数学竞赛广西赛区初赛）如图，A B P C ，，，是O 上的四点，且满足60APC CPB ∠=∠=︒，判断ABC ∆的形状，并证明你的结论【例6】 过O 上一点M 作弦MA MB MC ，，，使AMB BMC ∠=∠，如图，过点B 作BE MA ⊥于E ，BF MC ⊥于F ，求证：AE CF =CMF O【例7】 如图，已知O 的半径为R ，C D ，是直径AB 同侧圆周上的两点，AC 的度数为96︒，BD 的度数为36︒，动点P 在AB 上，求PC PD +的最小值AOB A【巩固】 如图，O 是单位圆，AB CD ，是两条直径，60AD =︒，点P 在BD 上，设t PA PC =+，则t 的取值范围为MADOBA【巩固】 已知：如图，MN 是O ⊙的直径，点A 是半圆上一个三等分点，点B 是AN 的中点，P 是MN 上一动点，O ⊙的半径为1，则PA PB +的最小值是_____________．【例8】 (09浙江衢州)如图，AD 是O ⊙的直径．⑴ 如图1，垂直于AD 的两条弦11B C ，22B C 把圆周4等分，则1B ∠的度数是___________，2B ∠的度数是____________；⑵ 如图2，垂直于AD 的三条弦112233B C B C B C 、、把圆周6等分，分别求123B B B ∠∠∠，，的度数； ⑶ 如图3，垂直于AD 的n 条弦112233n n B C B C B C B C ，，，…，把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示n B ∠的度数(只需直接写出答案)．图3图2图1-1n -2B n 3B B 2【例9】 已知，如图M N ，为O 中劣弧AB 的三等分点，E F ，为弦AB 的三等分点，连接ME 并延长，交直线MF 于点P ，连接AP BP ，交O 于C D ，两点，求证：3AOB APB ∠=∠．PNMOFEDCBA板块二、垂径定理 【例10】 ⑴(07年广州中考题)如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，OD AB ⊥于点D ，交O ⊙于点E ，60C ∠=︒，如果O ⊙的半径为2，则结论错误的是( )A ．AD DB = B ．AE EB =C ．1OD = D ．AB⑵如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的O ⊙交于点G B F E 、、、，8cm GB =，1cm AG =，2cm DE =，则EF =_________．B⑶ 如图所示，在Rt ABC ∆中90C ∠=︒，AC =1BC =，若以C 为圆心、CB 的长为半径的 圆交AB 于P ，则AP = ．PCBA【巩固】 如图所示，在O ⊙与三角形所组成的图形中，OA OB =，求证AC BD =．DC B A O【巩固】 如图所示，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点，试证明：AC BD =．【例11】 (08郴州)已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD 、是两条平行弦，且86AB CD ==，，求AC 的长．【巩固】 ⑴在半径为1的O ⊙中，弦AB AC、BAC ∠的度数为________． ⑵已知O ⊙的直径是50cm ，O ⊙的两条平行弦40cm AB =，48cm CD =，求弦AB 与CD 间的距离．【例12】 (2008广东湛江)如图所示，已知AB 为O ⊙的直径，CD 是弦，且AB CD ⊥于点E ．连接AC OC BC 、、．⑴ 求证：ACO BCD ∠=∠． ⑵ 若8cm 24cm EB CD ==，，求O ⊙的直径．【例13】 (09湖北黄石)如图，AB 是O ⊙的直径，且10AB =，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A B 、到MN 的距离分别为12h h ，，则12h h - 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【例14】 （太原市初三数学统练试题）如图，已知点B 在线段AC 上，分别以AB BC AC ，，为直径作12O O O ，，，过点B 作直线交O 于P Q ，，交1O 和2O 于R S ，，求证：PR QS =AO 1PRCA【例15】 如图，在O 中，弦CD 垂直于直径AB ，M 是OC 的中点，AM 的延长线交O 于E ，DE 交BC于N ，求证：BN CN =CEM NONM EDCBA板块三、圆中弦心距、弦、弧、圆心角、圆周角的综合 【例16】 如图，如图，1O 与2O 相交于A B ，两点，2O 过1O 的圆心1O ，过A 作直线分别交两圆于C D ，，连结CB ，交1O 于E ，求证：AD EB =【例17】 如图，直线AB 与O 相交于点E F ，，EF 为O 的直径，且AE EF FB ==，直线AP 与O 半径OD 垂直于D ，求证：ADE PDB ∠=∠NAOPFEDBA1.⑴ 若O ⊙中等于120︒的劣弧所对的弦长为，则O ⊙的半径是_______． ⑵ 在半径为4cm 的圆中，垂直平分半径的弦长是_______．⑶ 如图，同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C D 、两点，42AB CD ==，，AB 的弦心距等于1，那么，大圆半径与小圆半径之比是_________．2.如图，已知O ⊙的半径是5，点A 到圆心O 的距离为3，求过点A 的所有弦中最短弦的长度．3.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．4.(08沈阳)如图，AB 是O ⊙的弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交O ⊙于点D ，点E 在O ⊙上． ⑴ 若52AOD ∠=︒，求DEB ∠的度数； ⑵ 若3OC =，5OA =，求AB 的长．5.如图，P 为O ⊙外一点，过点P 引两条割线PAB 和PCD ，点M N ，分别是AB CD ，的中点，连结MN 交AB ，CD 与E F ，．求证：PEF ∆为等腰三角形．M6.如图，过O⊙的直径AB上两点M N，，若CD EF AC BF，，分别作弦CD EF，∥．求证：⑴==；⑵AM BNBEC ADF=．7.(09湖北荆门)如图，半径为O、相交于P点．⊙内有互相垂直的两条弦AB CD⑴求证：PA PB PC PD⋅=⋅；⑵设BC的中点为F，连结FP并延长交AD于E，求证：EF AD⊥；⑶若86，，求OP的长．AB CD==。
圆的基本性质与计算公式(知识点总结)
圆的基本性质与计算公式（知识点总结）圆是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和计算公式。
本文将从不同的角度来总结和介绍圆的基本性质和计算公式，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、圆的基本概念和性质1. 定义：圆是由平面上任意一点到一个固定点的距离等于常数的所有点的集合。
2. 圆心：固定点称为圆心，通常用字母O表示。
3. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。
4. 直径：通过圆心的一条线段，两个端点在圆上的线段称为直径，直径等于半径的两倍。
5. 弦：在圆上任意两点之间的线段称为弦，圆的直径也是一种特殊的弦。
6. 弧：在圆上两点之间的一段弧，圆心夹的角称为圆心角，它等于所对圆弧的一半。
7. 切线：与圆相切于圆上一点的直线称为切线，切线与半径的夹角为90度。
二、圆的计算公式1. 圆的周长：周长即圆的周长，用C表示，由于圆是一个闭合曲线，所以其周长是所有弧长的总和。
周长计算公式为C = 2πr，其中π取近似值3.14。
2. 圆的面积：面积是圆所包围的平面区域，用A表示，计算公式为A = πr²。
3. 弧长：弧长是指圆上一段弧的长度，用字母L表示。
弧长的计算公式为L = 2πr(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。
4. 扇形面积：扇形是由圆心和两个弧上的点组成的区域，扇形面积即扇形所包围的平面区域，用字母S表示。
扇形面积的计算公式为S = 0.5πr²(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。
5. 弓形面积：弓形是由圆上的弧和圆心到弧的两条切线组成的区域，弓形面积即弓形所包围的平面区域，用字母A表示。
弓形面积的计算公式为A = 0.5r²(θ/360 - sinθ)，其中θ表示圆心角的度数。
三、应用举例1. 例题一：已知一个圆的半径为6cm，求其周长和面积。
解：周长C = 2πr = 2π × 6 ≈ 37.68 cm，面积A = πr² = π × 6² ≈ 113.04 cm²。
圆的有关概念及性质
圆得有关概念及性质【基础知识回顾】一、圆得定义及性质:1、圆得定义:⑴形成性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定得一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转形成得图形叫做圆,固定得端点叫线段OA叫做⑵描述性定义:圆就是到定点得距离等于得点得集合2、弦与弧:弦:连接圆上任意两点得叫做弦弧:圆上任意两点间得叫做弧,弧可分为、、三类3、圆得对称性:⑴轴对称性:圆就是轴对称图形,有条对称轴, 得直线都就是它得对称轴⑵中心对称性:圆就是中心对称图形,对称中心就是【提醒:1、在一个圆中,圆心决定圆得半径决定圆得2、直径就是圆中得弦,弦不一定就是直径;3、圆不仅就是中心对称图形,而且具有旋转性,即绕圆心旋转任意角度都被与原来得图形重合】二、垂径定理及推论:1、垂径定理:垂直于弦得直径,并且平分弦所对得。
2、推论:平分弦( )得直径,并且平分弦所对得。
【提醒:1、垂径定理及其推论实质就是指一条直线满足:⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对得优弧⑸平分弦所对得劣弧五个条件中得两个,那么可推出其余三个,注意解题过程中得灵活运用2、圆中常作得辅助线就是过圆心作弦得线(即弦心距)。
3、垂径定理常用作计算,在半径r、弦a、弦心d与弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。
】三、圆心角、弧、弦之间得关系:1、圆心角定义:顶点在得角叫做圆心角2、定理:在中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应得其余各组量也分别【提醒:注意:该定理得前提条件就是“在同圆或等圆中”】四、圆周角定理及其推论:1、圆周角定义:顶点在并且两边都与圆得角叫圆周角2、圆周角定理:在同圆或等圆中,圆弧或等弧所对得圆周角都等于这条弧所对得圆心角得推论1、在同圆或等圆中,如果两个圆周角那么它们所对得弧推论2、半圆(或直弦)所对得圆周角就是,900得圆周角所对得弦就是【提醒:1、在圆中,一条弦所对得圆心角只有一个,而它所对得圆周角有个,就是类,它们得关系就是,2、作直径所对得圆周角就是圆中常作得辅助线】五、圆内接四边形:定义:如果一个多边形得所有顶点都在圆上,这个多边形叫做,这个圆叫做。
圆的概念与性质
圆的概念与性质圆是几何学中一种基本的二维图形，被广泛应用于数学、物理和工程领域。
本文将从圆的定义、性质以及应用等方面进行探讨。
一、圆的定义圆是由平面上离给定点距离相等的所有点组成的集合。
给定平面上的一个点为圆心，以该点为中心，以一个确定的长度为半径做直线，与平面上的点交于一或两点，这一或两点离圆心的距离为半径长，称其为圆。
二、圆的基本性质1. 圆心和半径在圆中，圆心是一个关键概念。
圆心可用于确定圆的位置，并将圆分割为内部和外部两部分。
圆心对称性是圆的独特性质之一，即圆上的任意两点与圆心的距离相等。
2. 弧和弧长圆上的弧是由圆周上的两点所确定的一部分，它可以是一段弧或者是圆上的整个弧。
弧长是指弧所对应的圆周的长度。
可以通过已知的圆的半径和弧度来计算弧长。
3. 圆的直径和周长圆的直径是通过圆心的直线，其两个端点都在圆上。
直径的长度是圆周长度的两倍，即d=2r，其中d为直径，r为半径。
圆的周长是指圆周的长度，通常用C表示，其计算公式为C=2πr。
4. 圆的面积圆的面积是指圆内部的平面区域的大小，通常用A表示。
圆的面积的计算公式为A=πr^2，其中r为半径。
三、圆的应用圆具有许多实际应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 圆的几何应用在建筑、设计和工程领域，圆常常用于绘制弧线、圆形或圆弧结构，如建筑的圆顶、桥梁的拱形等。
圆形的地基也可以增强结构的稳定性。
2. 圆的运动学应用在物理学和工程中，圆用于描述旋转和循环运动。
例如，轮胎的旋转和车轮在行驶过程中的循环运动均可以使用圆来解释和计算。
3. 圆的几乎的普遍性圆是自然界中最常见的形状之一。
在生物学和天文学中，圆形的结构和形态被广泛观察。
例如，太阳、行星、水滴和许多生物体的细胞结构都具有圆形特征。
4. 圆的数学应用圆具有丰富的数学应用，与圆相关的数学概念如三角函数、圆周率等，都在数学研究和实际问题中发挥着重要的作用。
例如，三角函数中的正弦函数和余弦函数可以通过圆的投影和观察来定义和计算。
圆的基本概念与性质
圆的基本概念与性质圆是几何学中的重要概念，具有独特的性质。
本文将详细介绍圆的基本概念以及一些常见的性质，以帮助读者更好理解和掌握圆这一几何形状。
一、圆的定义圆是由平面内与一定点之间的距离都相等的所有点的集合构成的几何图形。
二、圆的要素1. 圆心：圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点。
通常用字母O 表示圆心。
2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
3. 直径：直径是通过圆心的一条线段，两个端点在圆上。
直径的长度是半径的两倍，即d=2r。
三、圆的性质1. 圆的周长：圆的周长是圆上一周的长度，通常用字母C表示。
由于圆上任意两点之间的距离都是一样的，所以圆的周长可由半径或直径表示。
周长公式为：C=2πr或C=πd。
2. 圆的面积：圆的面积是圆内部的所有点的集合。
用字母A表示。
根据圆的性质，圆的面积可由半径或直径表示。
面积公式为：A=πr²或A=π(d/2)²。
3. 圆的弧长：圆的弧是圆上两点之间的一段弧，圆弧长度即为弧长。
弧长与圆心角的大小有关，公式为：L=2πr × (θ/360°)，其中θ为圆心角的度数。
4. 圆的扇形面积：扇形是由圆心、圆上两点以及与圆心连线的弧所围成的图形。
扇形的面积是圆的一部分面积。
扇形面积与圆心角的大小有关，公式为：S=πr² × (θ/360°)。
5. 圆的切线：切线是与圆相切且仅切于圆上一个点的直线。
切线与半径垂直，相切点就是切线与圆的唯一公共点。
6. 圆的切点：切点是切线与圆相交的点。
由于切线仅与圆相交于一个点，所以切点也是圆上的唯一点。
7. 圆的弦：弦是圆上两点之间的线段。
弦的长度可以小于、等于或大于直径。
直径是弦的特殊情况，即直径是连接圆上任意两点的弦。
8. 圆与直线的关系：直线可以与圆有三种不同的关系：相离、相切和相交。
如果直线与圆没有相交点,则称直线与圆相离；如果直线只有一个切点,则称直线与圆相切；如果直线与圆有两个相交点,则称直线与圆相交。
圆的定义与基本性质
圆的定义与基本性质圆是数学中的一个基本概念，它在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将探讨圆的定义和其基本性质，包括圆的构成要素、圆的方程、圆的特点以及与其他几何形状的关系。
1. 圆的定义圆是一个平面上的几何形状，由距离相等的一组点构成。
这些点与一个固定的点（圆心）之间的距离称为半径，用字母r表示。
圆的边界称为圆周，即由一组无限接近圆心的点组成的曲线。
2. 圆的构成要素圆由两个基本构成要素定义：圆心和半径。
圆心是圆的中心点，用字母O表示。
半径是圆心到圆周上任一点的距离，用字母r表示。
圆的元素还包括直径、弦、弧等。
3. 圆的方程在笛卡尔坐标系中，可以用方程表示圆。
设某圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆上任一点（x，y）满足方程：(x-a)² + (y-b)² = r²。
这个方程被称为圆的标准方程。
4. 圆的特点圆具有以下几个基本特点：a. 圆的任意两点与圆心的距离相等，即圆周上的所有点到圆心的距离都等于半径。
b. 圆周上的任意弧的长度等于弧所对圆心角的度数与圆周长度的比值。
c. 圆的直径是通过圆心并且两端都与圆周相切的线段，大小等于两倍的半径。
d. 圆的内接四边形是一个正方形，且正方形的对角线长度等于直径。
5. 圆与其他几何形状的关系圆与其他几何形状之间有许多有趣的关系，如：a. 圆与正方形的关系：一个正方形的外接圆和内切圆均与正方形的四个顶点相切。
b. 圆与三角形的关系：一个等边三角形的外接圆和内切圆均与三角形的三个顶点相切。
c. 圆与矩形的关系：一个矩形的外接圆和内切圆均与矩形的四个顶点相切。
d. 圆与椭圆的关系：一个椭圆可以看作一个圆在两个坐标轴方向上分别进行拉伸得到的结果。
总结圆是平面几何中的一种重要形状，定义了圆心、半径等概念。
圆的方程和基本性质可以通过数学表达和推导得到。
圆与其他几何形状之间存在着多种有趣的关系，这些关系在数学和几何应用中都有重要意义。
了解圆的定义和基本性质，有助于我们理解和应用相关的数学概念和方法。
数学圆的所有概念
数学圆的所有概念数学圆的所有概念包括圆的定义、圆的性质、圆心和半径、直径和周长、面积、弧长和扇形等等。
下面将详细介绍这些概念。
一、圆的定义圆是由平面上距离一个固定点距离相等的所有点组成的集合。
这个固定点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离叫做半径。
二、圆的性质1. 圆的内部所有点到圆心的距离都小于半径，而圆上的点距离等于半径。
2. 圆的内部所有点的距离到圆心的距离都大于半径，而圆外的点到圆心的距离大于半径。
3. 圆是一个凸集，即圆上任意两点的连线都在圆内部。
三、圆心和半径1. 圆心是圆的中心点，用字母O表示。
2. 半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
四、直径和周长1. 直径是通过圆心，且两个端点在圆上的线段。
2. 直径的长度是半径长度的两倍，即直径=2r。
3. 周长是圆的边界的长度，用字母C表示，计算公式为C=2πr，其中π是一个常数，约等于3.1415926。
五、面积圆的面积是指圆内部所有点组成的区域的大小，用字母A表示，计算公式为A=πr²。
六、弧长弧是圆上的一段曲线，弧长是弧所占有的圆的周长的长度比例。
1. 弧度制（radian）是计量弧长的单位，用符号rad表示。
一个圆周的弧长等于半径r的弧长是2πr，故一个圆的周长等于2πr，其中π是一个常数，约等于3.1415926。
2. 利用弧长S、圆心角θ和半径r之间的关系可以得到公式S=rθ，其中θ用弧度制表示。
七、扇形扇形是圆内以圆心为顶点的两条半径和介于它们之间的弧所围成的区域。
1. 扇形的面积可以通过扇形的圆心角θ和半径r计算，公式为A=(θ/360)πr²。
2. 扇形的弧长与圆周长的比例等于圆心角与360的比例，即s=(θ/360)2πr。
总结：数学圆的概念包括圆的定义、圆的性质、圆心和半径、直径和周长、面积、弧长和扇形等。
圆是由平面上距离一个固定点相等的所有点组成的集合，这个固定点叫做圆心，圆心到圆上任意一点的距离叫做半径。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图， BAC是圆周角.
圆周角定义的两个特征：①顶点在圆上②两边都与圆相交
练习：如图， APB是圆周角的是（）
圆周角定理：
圆周角定理：同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的度数的一半.
等圆：半径相等（能够重合）的两个圆，叫做等圆.
注意：同圆或者等圆的半径相等.
同心圆的圆心相同，半径不同的圆.
弦：连接圆上任意两点的线段如图中的EF，CD，AB.
直径：经过圆心的弦，如图中的AB
弧：圆上任意两点间的部分，简称弧.如图，以AB为端点的弧记
为 读作“弧AB”.
优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示，如图中
劣弧：小于半圆的弧，如图中 与
半圆：任意一条直径把固分成的两条弧，如圆中
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，如图中 =
例1.（1）下列说法正确的有_________________（填序号）．
①直径是弦； ②半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④所对圆心角相等的两条弧是等弧；
⑤半径相等的两个圆是等圆（圆心不同）； ⑥两个半圆是等弧．
A：1个 B：2个 C：3个 D：4个
例2.(1)如图所示，MN为⊙O的弦，∠MON = 70 ，则∠N的度数为（ ）
A：40
B：50
C：55
D：60
(2)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，若AB = 2DE，∠E = 18 ，则 ∠C = ________，∠AOC = ________．
例3.如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不正确的是（ ）
A：CE = DE
B：AE = OE
C：弧BC = 弧BD
D：ΔOCE≌ΔODE
练3-1.在⊙O上作一条弦AB，再作一条与弦AB垂直的直径CD，CD与AB交于点E，则下列结论中不一定正确是（ ）
A： AE = BE B： AC = BC
2 设点P是半径为5的⊙O内一定点，且OP = 4，则过点P的所有弦中，弦长可能取到的所有整数值之和为_________．
第2讲圆中的角
【知识点一】圆—圆周角定理及推论
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角如图， AOB是圆心角
弧度：把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是 ，
的圆心角对着 的弧，即圆心角的度数等于弧度数.
(2)下列结论错误的是（ ）
A：圆是轴对称图形
B：圆是中心对称图形
C：半圆不是弧
D：顶点在圆心的角叫做圆心角
练1-1.有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（ ）
A：1 B：2 C：3 D：4
练1-2.给出下列说法：①半径相等的圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧，其中正确的有（ ）
A：4
B：5
C：25
D：19
练5-2.如图, ⊙O的弦AB垂直平分半径OC, 若AB = , 则⊙O的半径为（ ）
A： B：2
C： D：
附加：
1.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A：1cm B：7cm C：3cm或4cm D：1cm或7cm
练2-1.(1)如图所示，MN为⊙O的弦，∠M = 55 ，则∠MON的度数为（ ）
A：50
B：55
C：60
D：70
(2)如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE = OB，∠AOC = 87 ，则∠E = ________，
∠C = ________．
练2-2.(1)如图所示，MN为⊙O的直径，点P是圆上一点，连接OP，MP，已知∠P = 50 ，则∠PON的度数为（ ）
A：80
B：90
C：100
D：110
(2)如图，CD是⊙O的直径，∠EOD = 84∘，AE交于⊙O点B，且AB = OC，则∠A的度数是__________．
【知识点二】圆—垂径定理有关计算
练习：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离
为3cm,求⊙O的半径
分析：过点O做OE AB与E，连接OA，由垂径定理：
第1讲圆中的概念和性质
【知识点一】圆的概念与性质
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，
另一端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点0叫做圆心，
线段OA半径.
圆的表示法：习惯上用半径 表示，以点O为圆心，记作“⊙O”，读作“圆O”
同圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆.
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.
A：5cm
B：2.5cm
C：2cm
D：1cm
练4-2.如图，⊙O的直径CD=10，弦AB=8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为（ ）
A： 5
B： 6
C： 7
D： 8
例5.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD= 12，BE=2，则⊙O的直径为（ ）
A：8
B：10
C：16
D：20
练5-1.如图,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为点C,若AB = 8,CD = 3,则 ⊙ O的半径为（ ）
C： D：
练3-2.如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（ ）
A：CE=DE
B：弧BC等于弧BD
C：∠BAC=∠BAD
D：OE=BE
例4.如图,AB是⊙O的弦,半径OC⊥AB于点D,若⊙O的半径为5,AB = 8,则CD的长是（ ）
A：2
B：3
C：4
D：5
练4-1.如图,AB是⊙O的弦,半径OC ⊥ AB于D点,且AB = 6cm,OD = 4cm,则DC的长为（ ）
， AOE中，
， ⊙O的半径的半径为5cm.
总结：过圆心向弦作垂线并连接半径,则半径、弦的一半与该弦
的弦心距三条线段满足勾股定理.
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
符号语言表达： CD是直径且CD AB， AE=BE， = ， =
垂直于弦的直径的几个基本作图：
垂径定理的推论：平分弦(此弦非直径）的直径垂直于弦,并且平分弦
所对的两条弧.
思考：为什么强调这里的弦不是直径？
如图，一个圆的任意两条直径总是互相平分，但不一定互相垂直.
因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立
①直径（过圆心） （CD过圆心，即CD为直径）
②垂直径 （CD AB）
③平分弦（不是直径） （AE=BE）
④平分优弧 （ = ）
⑤平分劣弧 （ = ）
“知二推三”