四川省高考数学试卷(理科)解析
高考四川卷理数试题解析(正式版)(解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.【题设】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6 【答案】C 【解析】试题分析：由题意，{2,1,0,1,2}AZ =--，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.2.【题设】设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 4【答案】A考点：二项展开式，复数的运算.3.【题设】为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D 【解析】试题分析：由题意，为得到函数sin(2)sin[2()]36y x x ππ=-=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有点向右移6π个单位，故选D. 考点：三角函数图像的平移.4.【题设】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 （A ）24（B ）48（C ）60（D ）72 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他位置共有44A ，所以其中奇数的个数为44372A =，故选D.学科.网考点：排列、组合5.【题设】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30） （A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年 【答案】B考点：等比数列的应用.6.【题设】秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（A）9（B）18（C）20（D）35【答案】B考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史.7.【题设】设p：实数x，y满足(x–1)2–(y–1)2≤2，q：实数x，y满足1,1,1,y xy xy≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p是q的（A）必要不充分条件（B）充分不必要条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故选A.考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.8.【题设】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A ）33（B ）23（C ）22（D ）1 【答案】C 【解析】试题分析：设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222max 22,,212223633,,122211,,22332OM OM p p p p p x t x t t k k pt pt t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤=∴=⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩，故选C.考点：1.抛物线的简单的几何性质；2.平面向量的线性运算.学科.网 9.【题设】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 （A ）(0,1)（B ）(0,2)（C ）(0,+∞)（D ）(1,+∞) 【答案】A考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.10.【题设】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+【答案】B 【解析】试题分析：甴已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒.以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，则()((2,0,1,3,1,3.A B C ---设(),,P x y 由已知1AP =，得()2221x y -+=，又13133,,,,,2222x y x y PM MC M BM ⎛⎫⎛-+++=∴∴=⎪ ⎝⎭⎝⎭()(2221334x y BM -++∴=，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,33--距离平方的14，()()2222max149333144BM⎫∴=+-=⎪⎭，故选B 。
高考四川理科数学试题及答案解析
20XX 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【20XX 年四川，理1】设集合{|(1)(2)0}A x x x =+-<，集合{|13}B x x =<<，则A B =（ ）（A ）{}1|3x x -<< （B ）{}|11x x -<< （C ）{}|12x x << （D ）{}|23x x << 【答案】A【解析】∵{|12}A x x =-<<，{|13}B x x =<<，{|13}AB x x ∴=-<<，故选A ．（2）【20XX 年四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-=（ ）（A ）i - （B ）3i - （C ）i （D ）3i 【答案】C【解析】3222ii i i 2i i i i-=--=-+=，故选C ． （3）【20XX 年四川，理3】执行如图所示的程序框图，输出S 的值是（ ）（A ） （B （C ）12- （D ）12【答案】D【解析】易得当1,2,3,4k =时时执行的是否，当5k =时就执行是的步骤，所以51sin62S π==，故选D ． （4）【20XX 年四川，理4】下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）（A ）cos(2)2y x π=+ （B ）sin(2)2y x π=+ （C ）sin 2cos2y x x =+ （D ）sin cos y x x =+【答案】A 【解析】显然对于A ，cos(2)sin 22y x x π=+=-，为关于原点对称，且最小正周期是π，符合题意，故选A ．（5）【20XX 年四川，理5】过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则||AB =（ ）（A （B ） （C ）6 （D ） 【答案】D【解析】由题意可知双曲线的渐近线方程为y =，且右焦点(2,0)，则直线2x =与两条渐近线的交点分别为A ，B (2,-，∴||AB =D ．（6）【20XX 年四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B【解析】这里大于40000的数可以分两类：①当5在万位时，个位可以排0、2、4三个数中的一个，十位百位和千位没有限制∴有133472C A =种；②当4在万位时，个位可以排0、2两个数中的一个，十位百位和千位没有限制，∴有132448C A =种， 综上所述：总共有72+48=120种，故选B ．（7）【20XX 年四川，理7】设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =．若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（ ）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6【答案】C 【解析】这里可以采用最快速的方法，把平行四边形矩形化，因此，过B 建立直角坐标系，可得到()0,6A ，()3,0M ，()4,2N ，∴()3,6AM =-，()1,2NM =--，∴3129AM NM ⋅=-+=，故选C ．（8）【20XX 年四川，理8】设a ，b 都是不等于1的正数，则“331a b >>”是“log 3log 3a b <”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由已知条件333a b>>可得1a b >>．当1a b >>时，33log log 0a b >>．∴3311log log a b<，即l o g 3l o g 3a b <．∴“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的充分条件．然而取1133a b =<<=则log 30log 3a b <<，满足log 3log 3a b <，却不满足1a b >>．∴“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的不必要条件．综上“333a b >>”是“log 3log 3a b <”的充分不必要条件，故选B ．（9）【20XX 年四川，理9】如果函数()()()()212810,02f x m x n x m n =-+-+≥≥在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B【解析】()()'28f x m x n =-+-，由于()f x 单调递减得：∴()0f x '≤，∴()280m x n -+-≤在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立．设()()28g x m x n =-+-，则一次函数()g x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为非正数．∴只须在两个端点处102f ⎛⎫'≤ ⎪⎝⎭和()20f '≤即可．即()()128022280m n m n ⎧-+-≤⎪⎨⎪-+-≤⎩①②， 由②得：()1122m n ≤-．∴()211121218222n n mn n n +-⎛⎫≤-≤= ⎪⎝⎭．mn 当且仅当3,6m n ==时取到最大值18．经验证，3,6m n ==满足条件①和②，故选B ．（10）【20XX 年四川，理10】设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=> 相切于点M ，且M 为线段AB 的中点． 若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 【答案】D【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()5cos ,sin M r r θθ+，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩()()()1212124y y y y x x +-=-，当直线l 有两条．当直线l 的斜率存在时，可得：()()1212121222sin 4sin AB y y r y y x x k x x r θθ--=-⇒==-，又∵sin 0sin 5cos 5cos MC r k r θθθθ-==+-，∴1cos sin AB MC k k θθ=-=-， ∴2cos 22sin sin cos r r θθθθ=-⇒=-> 由于M 在抛物线的内部，∴()()()2sin 45cos 204cos 204212r r r θθθ<+=+=+⨯-=，∴sin r θ<2sin 164r r r r θ==<<⇒<，因此，24r <<，故选D ． 第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【20XX 年四川，理11】在()521x -的展开式中，含2x 的项的系数是 ． 【答案】-40【解析】由题意可知2x 的系数为：22352(1)40C ⨯⨯-=-．（12）【20XX 年四川，理12】°°sin15sin 75+的值是 ．【解析】()sin15sin 75sin15cos15154560︒+︒=︒+︒=︒+︒=︒==． （13）【20XX 年四川，理13】某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：°C ）满足函数关系kx b y e +=（ 2.718e =为自然对数的底数，k ，b 为常数）．若该食品在°0C 的保鲜时间是192小时，在°23C 的保鲜时间是48小时，则该食品在°33C 的保鲜时间是________小时． 【答案】24【解析】0+192k b e ⨯=①，2248k b e ⨯+= ②，∴221142k k e e ==⇒=②①， ∴当33x =时，33k b e x +=③，∴()3331248192k k xe e x ====⇒=③①． （14）【20XX 年四川，理14】如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则c o s θ的最大值为 ． 【答案】25【解析】以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AQ 为z 轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，则()0,0,0A ，()2,1,0F，()1,0,0E ，()0,,2M m ，∴()2,1,0AF =，()1,,2EM m =-∴cos 5AF EM AF EMθ⋅==⋅令[]()0,2)f m m =∈()f m '=，[]0,2m ∈，()0f m '∴<max 2()(0)5f m f ∴==，从而max2cos 5θ=． （15）【20XX 年四川，理15】已知函数()2x f x =，()2g x x ax =+(其中a R ∈)．对于不相等的实数1x ，2x ，设()()1212f x f x m x x -=-，()()1212g x g x n x x -=-，现有如下命题：(1) 对于任意不相等的实数1x ，2x ，都有0m >；(2) 对于任意a 的及任意不相等的实数1x ，2x ，都有0n >； (3) 对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =； (4) 对于任意的a ，存在不相等的实数1x ，2x ，使得m n =-．其中的真命题有_______（写出所有真命题的序号）． 【答案】(1) (4)【解析】(1)设1x ，2x ,∵函数2xy =是增函数，∴1222x x >，120x x ->，则1212()()f x f x m x x -=-=12x 1222x x x -->0， 所以正确；(2)设12x x >，则120x x ->，∴()()22121122121212g x g x x ax x ax n x x a x x x x -+--===++--不妨我们设121,2,3x x a =-=-=-，则60n =-<，矛盾，所以(2)错． (3)∵m n =，由(1)(2)可得：()()()()12121212f x f xg x g x m n x x x x --===--，化简得到，()()()()1212f x f x g xg x -=-，也即()()()()1122f x g x f x g x -=-，令()()()22xh x f x g x x a x=-=--，A即对于任意的a 函数()h x 在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x ，2x ．则()2'2ln 2x h x x a =--，2()2ln 2x h x x a '=--，显然当a →-∞时，()'0h x >恒成立，即()h x 单调递增，最多与x 轴有一个交点，不满足题意，所以错误．(4)同理可得()()()()1122f x g x g x f x +=+，设()()()22x h x f x g x x ax =+=++，即对于任意的a 函数()h x 在定义域范围内存在有两个不相等的实数根1x ，2x ，从而()h x 不是恒为单调函数．()'2ln 22x h x x a =++，()()2''2ln220x h x =+>恒成立，∴()'h x 单调递增，又∵x →-∞时，()'0h -∞<，x →+∞时，()'0h +∞>．所以()h x 为先减后增的函数，满足要求，所以正确．三、解答题：本大题共6题，共75分． （16）【20XX 年四川，理16】（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值．解：（Ⅰ）当2n ≥时有，11112(2)n n n n n a S S a a a a --=-=---，则12n n a a -=(2)n ≥，12n n aa -=()2n ³，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公比的等比数列．又由题意得21322a a a +=+，1112224a a a ∴⋅+=+，∴12a =，∴2n n a =*()n N ∈（Ⅱ）由题意得112n n a =，∴111[1()]11221()12212n nn n i i T =-===--∑，则2111-=()22n nT -=（），又1091111,210242512==，即11110241000512<<111000n T ∴-<成立时，n 的最小值为10n =． （17）【20XX 年四川，理17】（本小题满分12分）某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． （Ⅰ）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望．解：（Ⅰ）设事件A 表示“A 中学至少有1名学生入选代表队”，可以采用反面求解：33343366199()11100100C C P A C C =-⋅=-=（Ⅱ）由题意，知1,2,3X =，3133461(1)5C C P X C ===；2233463(2)5C C P X C ===；1333461(3)5C C P X C === 因此期望为：131()1232555E X =⋅+⋅+⋅=．（18）【20XX 年四川，理18】（本小题满分12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N ． （Ⅰ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（Ⅱ）证明：直线//MN 平面BDH ；（Ⅲ）求二面角A EG M --的余弦值． 解：（Ⅰ）如下图所示：CEE ACCAE（Ⅱ）如答图所示，连接BD ，AC 相交于点O ，连接MO∵M 、O 分别为线段BC 、BD 的中点，∴////MO CD GH 且1122MO CD GH NH ===∴四边形QMNH 为平行四边形，∴//OH MN ，又∵OH ⊂平面BDH ，∴//MN 平面BDH（Ⅲ）连接EG ，过点M 作MP AC ⊥于点P ，过点P 作PQ EG ⊥于点Q ，连接MQ ，由三垂线定理可得EG MQ ⊥，∴PQM ∠为二面角A EG M --的平面角，设正方体棱长为4a ，则4PQ BC a ==，∴2MC a =，∵45MCP ∠=︒，MP=，所以tanMP PQM PQ ∠===，所以cos PQM ∠=，所以cos cosA EG M MLK <-->=∠=（19）【20XX 年四川，理19】（本小题满分12分）如图，,,,A B C D 为平面四边形ABCD 的四个内角．（Ⅰ）证明：1cos tan2sin A AA-=； （Ⅱ）若180o A C +=，6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求tantan tan tan 2222A B C D+++． 解：（Ⅰ）证明：2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222A AA A A-===⋅． （Ⅱ）∵180o A C +=，∴()()cos cos 180cos ,sin sin 180sin C A A C A A =︒-=-=︒-=，∴1cos 1cos 1cos 1cos 2tantan 22sin sin sin sin sin A C A C A A A C A A A---++=+=+=，∵180o A C +=，∴180o B D += 同理可得2tan tan 22sin B D B +=，∴11tan tan tan tan 22222sin sin A B C D A B ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭连接BD ，设BD x =，在ABD ∆和CBD ∆中分别利用余弦定理及180o A C +=可得：cos cos A C =-，即22222265342234x x +-+-=-⋅⋅，解得22477x =，从而得3cos 7A=，sin A =．同理可得，1cos 19B =， sin B =11tan tan tan tan 2()2222sin sin A B C D A B +++=+==（20）【20XX 年四川，理20】（本小题满分13分）如图，椭圆2222:1x yE a b+=，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点．当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为 （Ⅰ）球椭圆E 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xoy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题知椭圆过点)．因此可得：22222211c e a a b a b c⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪=+⎩，解得：2a =，b c =∴椭圆E 的方程为：22142x y +=．（Ⅱ）假设存在满足题意的定点Q ．当直线l 平行于x 轴时，则1QA PAQB PB==，,A B 两点关于y 轴对称，∴Q 点在y 轴上．不妨设()0,Q a ，当直线l 垂直于x轴时，((,0,A B ，QA PA QBPB==，解得2a =或1a =（舍去，否则Q 点就是P 点），∴P 点的坐标为()0,2．下面我们证明对于一般的直线:1l y kx =+，()0,2Q 也满足题意． ∵QA PA QBPB=，∴由角平分线定理可知，y 轴为AQB ∠的角平分线．所以QA QB k k =-．设()11,A x y ，()22,B x y ，则111y kx =+，221y kx =+，联立：22124y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 可得，()2212420k x kx ++-=， 由韦达定理可得，122412k x x k +=-+，122212x x k -=+， ∴11111211QA y kx k k x x x --===-，22222211QB y kx k k x x x --===-，两式相加得， 121212112+2220QA QB x xk k k k k k x x x x ⎛⎫++=-=-=-= ⎪⎝⎭，即QA QB k k =-，从而，假设成立，即存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立． （21）【20XX 年四川，理21】（本题满分14分）已知函数()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其中0a >．（Ⅰ）设()g x 是()f x 的导函数，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）证明：存在()0,1a ∈，使得()0f x ≥在区间()1,+∞内恒成立，且()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解．解：（Ⅰ）∵()()222ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，∴求导可得，()2'2ln 222af x x x a x=---+-，即()()22ln 2220,0ag x x x a a x x==---+->>∴()()()222222'20,0x x a a g x a x x x x -+-=++=>>， 对于多项式2x x a -+，（1）当140a ∆=-≤，即14a ≥时，20x x a -+≥恒成立．此时，()'0g x ≥恒成立，所以()g x 恒单调递增．（2）当104a <<时，一元二次方程20x x a -+=有两个实数根，设为12,x x ．那么求根可得：110,2x ⎛⎫=⎪⎝⎭，21,12x ⎛⎫= ⎪⎝⎭①令()'0g x >，即()200x x a x -+<>，解得：10x x <<，2x x >．所以()g x 在()10,x ，()2,x +∞，时单调递增．②令()'0g x <，即()200x x a x -+<>，解得：12x x x <<，所以()g x 在()12,x x ，时单调递减．综上所述：当14a ≥时，()g x 在()0,+∞上单调递增． 当104a <<时，()g x在)+∞上单调递减．（Ⅱ）∵()0,1a ∈，∴由（Ⅰ）可知()()'f x g x =在()1,+∞内单调递增．又1x +→时，()()1lim ''1222240x f x f a a a +→==--+-=-<， 当x →+∞时，显然()()lim ''0x f x f →+∞=+∞>．而()'f x 在()1,+∞是单调递增的，因此在()1,+∞内必定存在唯一的0x 使得()00002'2ln 2220af x x x a x =---+-= ……………．． ① ∴当01x x <<时，()'0f x <，当0x x >时，()'0f x >，∴()f x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，∴()()0min f x f x =． 由已知条件()0f x =在区间()1,+∞内有唯一解，∴必有()()0min 0f x f x ==． 即()()22000002ln 220f x x a x x ax a a =-++--+= ………………………． ② 由①式得到000ln 2a x x a x =+-+带入②式化简得：()()2232000025220a x x a x x +---=，即()()200220xx a x a -+-=，注意这里的a 比较容易解出，因此我们可以用0x 表示a ，解得：2x a =，2002a x x =- (1)当01(,1)22x a =∈时，带入①式可得，22ln 230a a --=…………………．． ③即讨③是否有解．令()22ln 23h a a a =--，()()212'20a h a a a-=-=<∴()h a 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减．又∵()11302h a h ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，∴③式无解．(2)当2002a x x =-时，∵01a <<，∴012x <<，把2002a x x =-带入①式可得，20022ln 60x x --= ………………．．④即讨论④是否有解．又设2000()22ln 6h x x x =--，()()2000002212'4x h x x x x -=-=，∵()01,2x ∈， ∴()0'0h x >恒成立，∴0()h x 在()1,2上单调递增．∴()(1)4h x h >=-，()()222ln 20h x h <=->． ∴()h x 与x 轴有交点，从而20022ln 60x x --=在()1,2上有解． 从而命题得证！。
完整word版四川省高考数学试卷理科答案与解析
2021年四川省高考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔5分〕〔2021?四川〕〔1+x〕7的展开式中x2的系数是〔〕A．42B．35C．28D ．21考点：二项式定理．专题：计算题．分析：由题设，二项式〔1+x〕7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是，计算出答案即可得出正确选项解答：解：由题意，二项式〔1+x〕7的展开式通项是Tr+1=xr故展开式中x2的系数是=21应选D点评：此题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键2．〔5分〕〔2021?四川〕复数=〔〕A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：由题意，可先对分子中的完全平方式展开，整理后即可求出代数式的值，选出正确选项解答：解：由题意得，应选B点评：此题考查复合代数形式的混合运算，解题的关键是根据复数的运算规那么化简分子3．〔5分〕〔2021?四川〕函数在x=3处的极限是〔〕A．不存在B．等于6 C．等于3 D．等于0考点：极限及其运算．专题：计算题．分析：对每一段分别求出其极限值，通过结论即可得到答案．1解答：解：∵=x+3；∴f〔x〕=〔〕=6；而f〔x〕=[ln〔x﹣2〕]=0．即左右都有极限，但极限值不相等．故函数在x=3处的极限不存在．应选：A．点评：此题主要考察函数的极限及其运算．分段函数在分界点处极限存在的条件是：两段的极限都存在，且相等．4．〔5分〕〔2021?四川〕如图，正方形ABCD的边长为 1，延长BA至E，使AE=1，连接EC、ED那么sin∠CED=〔〕A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的图像与性质．分析：法一：用余弦定理在三角形CED中直接求角的余弦，再由同角三角关系求正弦；法二：在三角形CED中用正弦定理直接求正弦．解答：解：法一：利用余弦定理在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，由余弦定理得cos∠CED=，∴sin∠CED==．应选B．法二：在△CED中，根据图形可求得ED=，CE=，∠CDE=135°，由正弦定理得，即．应选B．2点评：此题综合考查了正弦定理和余弦定理，属于根底题，题后要注意总结做题的规律．5．〔5分〕〔2021?四川〕函数 y=a x﹣〔a ＞0，a ≠1〕的图象可能是〔〕A ．B ．C ．D ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用． 分析：讨论a 与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可． 解答：解：函数y=a x ﹣ 〔a ＞0，a ≠1〕的图象可以看成把函数 y=a x的图象向下平移 个单位得到的． 当a ＞1时，函数 y=a x ﹣ 在R 上是增函数，且图象过点〔﹣ 1，0〕，故排除 A ，B ．B 当1＞a ＞0时，函数 y=a x﹣ 在R 上是减函数，且图象过点〔﹣ 1，0〕，故排除 C ，应选D ．点评：此题主要考查了指数函数的图象变换，指数函数的单调性和特殊点，表达了分类讨论的数学思想，属于根底题．6．〔5分〕〔2021?四川〕以下命题正确的选项是〔 〕．假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行．假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行C ．假设一条直线平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线平行D ．假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行考点：命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系． 专题：简易逻辑．分析：利用直线与平面所成的角的定义，可排除 A ；利用面面平行的位置关系与点到平面的 距离关系可排除 B ；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断 C 正确；利用面面垂 直的性质可排除 D ．解答：解：A 、假设两条直线和同一个平面所成的角相等，那么这两条直线平行、相交或异面，故A 错误；、假设一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行或相交，故 错误；3C 、设平面α∩β=a ，l ∥α，l ∥β，由线面平行的性质定理，在平面 α内存在直线 b ∥l ， 在平面β内存在直线 c ∥l ，所以由平行公理知 b ∥c ，从而由线面平行的判定定理可证 明b ∥β，进而由线面平行的性质定理证明得 b ∥a ，从而l ∥a ，故C 正确；D ，假设两个平面都垂直于第三个平面，那么这两个平面平行或相交，排除 D ． 应选C ．点评：此题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属根底题．7．〔5分〕〔2021?四川〕设 、都是非零向量，以下四个条件中，使成立的充分条件是〔 〕A ．B ．C ．D ．且考点：充分条件． 专题：简易逻辑．分析：利用向量共线的充要条件，求等式的充要条件，进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件 解答： 解： ? ? 与 共线且同向? 且λ＞0，应选C ．点评：此题主要考查了向量共线的充要条件，命题的充分和必要性，属根底题．8．〔5分〕〔2021?四川〕抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点M〔2，y 0〕．假设点M 到该抛物线焦点的距离为 3，那么|OM|=〔〕A ．B ．C ．4D ．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：关键点M 〔2，y 0〕到该抛物线焦点的距离为3，利用抛物线的定义，可求抛物线方程，进而可得点 M 的坐标，由此可求|OM|．y 2=2px 〔p ＞0〕解答：解：由题意，抛物线关于x 轴对称，开口向右，设方程为∵点M 〔2，y 0〕到该抛物线焦点的距离为3，2+=3 p=2 抛物线方程为y 2=4x M 〔2，y 0〕 ∴∴ |OM|=4应选B．点评：此题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．9．〔5分〕〔2021?四川〕某公司生产甲、乙两种桶装产品．生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的方案中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产方案，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是〔〕A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元考点：简单线性规划．专题：应用题．分析：根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可．解答：解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元那么根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如下图作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=2800点评：此题考查用线性规划知识求利润的最大值，这是简单线性规划的一个重要运用，解题的关键是准确求出目标函数及约束条件10．〔5分〕〔2021?四川〕如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面α内，过点O作平面α的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足∠BOP=60°，那么A、P两点间的球面距离为〔〕5A ．B ．C ．D ．考点：反三角函数的运用；球面距离及相关计算． 专题：计算题．分析：由题意求出 AP 的距离，然后求出 ∠AOP ，即可求解 A 、P 两点间的球面距离．解答：解：半径为R 的半球O 的底面圆 O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，所以CD ⊥平面AOB ，因为∠BOP=60°，所以△OPB 为正三角形，P 到BO 的距离为PE= ，E 为BQ 的中点，AE== ，AP= =，AP 2=OP 2+OA 2﹣2OP?OAcos ∠AOP ，，cos ∠AOP=，∠AOP=arccos ，A 、P 两点间的球面距离为 ， 应选A ．点评：此题考查反三角函数的运用， 球面距离及相关计算，考查计算能力以及空间想象能力．11．〔5分〕〔2021?四川〕方程 ay=b 2x 2+c 中的a ，b ，c ∈{﹣3，﹣2，0，1，2，3}，且a ，b ， c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有〔 〕 A ．60条 B ．62条 C ．71条 D ．80条考点：排列、组合及简单计数问题． 专题：综合题；压轴题． 分析：方程变形得 ，假设表示抛物线，那么 a ≠0，b ≠0，所以分 b=﹣3，﹣2，1，2，6五种情况，利用列举法可解． 解答：解：方程变形得 ，假设表示抛物线，那么 a ≠0，b ≠0，所以分 b=﹣3，﹣2，1，2，3五种情况：1〕当b=﹣3时，a=﹣2，c=0，1，2，3或a=1，c=﹣2，0，2，3或a=2，c=﹣2，0， 1，3或a=3，c=﹣2，0，1，2；2〕当b=3时，a=﹣2，c=0，1，2，﹣3或a=1，c=﹣2，0，2，﹣3或a=2，c=﹣2， 0，1，﹣3或a=﹣3，c=﹣2，0，1，2； 以上两种情况下有 9条重复，故共有 16+7=23条； 3〕同理当b=﹣2或b=2时，共有16+7=23条；4〕当b=1时，a=﹣3，c=﹣2，0，2，3或a=﹣2，c=﹣3，0，2，3或a=2，c=﹣3，﹣2，0，3或a=3，c=﹣3，﹣2，0，2；共有16条． 综上，共有 23+23+16=62种 应选B ．点评：此题难度很大，假设采用排列组合公式计算，很容易无视重复的 9条抛物线．列举法是 解决排列、组合、概率等非常有效的方法．要能熟练运用12．〔5分〕〔2021?四川〕设函数 f 〔x 〕=2x ﹣cosx ，{a n }是公差为 的等差数列，f 〔a 1〕+f 〔a 2〕+ +f 〔a 5〕=5π，那么 =〔 〕A ．0B ．C ．D ．考数列与三角函数的综合． 点 ：专计算题；综合题；压轴题．题：分由f 〔x 〕=2x ﹣cosx ，又{a n}是公差为的等差数列，可求得125〕析f 〔a〕+f 〔a 〕++f 〔a：=10a ﹣cosa 〔1+ +〕，由题意可求得a=，从而可求得答案．333解解：∵f 〔x 〕=2x ﹣cosx ，答 ∴f 〔a 〕+f 〔a 〕++f 〔a 〕=2〔a+a++a 〕﹣〔cosa+cosa++cosa 〕，1 251 2 5 12 5：∵{a n }是公差为的等差数列，∴a 1+a 2+ +a 5=5a 3，由和差化积公式可得， cosa 1+cosa 2+ +cosa 5=〔cosa 1+cosa 5〕+〔cosa 2+cosa 4〕+cosa 3=[cos 〔a 3﹣ ×2〕+cos 〔a 3+ ×2〕]+[cos 〔a 3﹣〕+cos 〔a 3+ 〕]+cosa 37=2cos cos+2coscos+cosa3=2cosa3?+2cosa3?cos〔﹣〕+cosa3=cosa3〔1++〕，f〔a1〕+f〔a2〕++f〔a5〕=5π，∴10a33〕=5π，+cosa〔1++cosa3=0，10a3=5π，故a3=，∴2=π﹣〔﹣〕?=π2﹣．应选D．点此题考查数列与三角函数的综合，求得cosa3=0，继而求得a3=是关键，也是难点，考评：查分析，推理与计算能力，属于难题．二、填空题〔本大题共4个小题，每题4分，共16分．把答案填在答题纸的相应位置上．〕13．〔4分〕〔2021?四川〕设全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，那么〔?U A〕∪〔?B〕={a，c，d}．U考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由题意全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，可先求出两集合A，B 的补集，再由并的运算求出〔?U A〕∪〔?U B〕解答：解：集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c，d}，所以?U A={c，d}，?U B={a}，所以〔?U A〕∪〔?U B〕={a，c，d}故答案为{a，c，d}点评：此题考查交、并、补集的混合计算，解题的关键是熟练掌握交、并、补集的计算规那么14．〔4分〕〔2021?四川〕如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，那么异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°．8考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．解答：解：以D为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系．设棱长为2，那么D〔0，0，0〕，N〔0，2，1〕，M〔0，1，0〕，A1〔2，0，2〕，=〔0，2，1〕，=〔﹣2，1，﹣2〕?=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，故答案为：90°．点评：此题考查空间异面直线的夹角求解，采用了向量的方法．向量的方法能降低空间想象难度，但要注意有关点，向量坐标的准确．否那么容易由于计算失误而出错．15．〔4分〕〔2021?四川〕椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是3．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+〔2a﹣AE〕+〔2a﹣BE〕=4a+AB9AE﹣BE；AE+BE≥AB；AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．AB=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．故答案为：3．点评：此题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决此题的关键在于利用定义求出周长的表达式．16．〔4分〕〔2021?四川〕记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]=2，]=1，[﹣0.3]=﹣1．设a为正整数，数列{x n}满足x1=a，，现有以下命题：①当a=5时，数列{x n}的前3项依次为5，3，2；②对数列{x}都存在正整数k，当n≥k时总有x=x；n nk③当n≥1时，；④对某个正整数k，假设x k+1≥x k，那么．其中的真命题有①③④．〔写出所有真命题的编号〕考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题；压轴题；新定义．分析：按照给出的定义对四个命题结合数列的知识逐一进行判断真假，①列举即可；②需10举反例；③可用数学归纳法加以证明；④可由归纳推理判断其正误．解答：解：①当a=5时，x1=5，，，∴①正确．②当a=8时，x1=8，∴此数列从第三项开始为3，2，3，2，3，2为摆动数列，故②错误；③当n=1时，x1=a，∵a﹣〔〕=＞0，∴x1=a＞成立，假设n=k时，，那么n=k+1时，，∵≥≥=〔当且仅当x k=时等号成立〕，∴＞，∴对任意正整数 n，当n≥1时，；③正确；④≥x k，由数列①②规律可知一定成立11故正确答案为①③④点评：此题主要考查了数列递推公式的应用，归纳推理和演绎推理的方法，直接证明和间接证明方法，数学归纳法的应用，难度较大，需有较强的推理和思维能力三、解答题〔本大题共6个小题，共74分．解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．〕17．〔12分〕〔2021?四川〕某居民小区有两个相互独立的平安防范系统〔简称系统〕A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．〔Ⅰ〕假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；〔Ⅱ〕设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕求出“至少有一个系统不发生故障〞的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；〔Ⅱ〕ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．解答：解：〔Ⅰ〕设“至少有一个系统不发生故障〞为事件C，那么∴；〔Ⅱ〕ξ的可能取值为0，1，2，3P〔ξ=0〕=；P〔ξ=1〕=；P〔ξ=2〕==；P〔ξ=3〕=；∴ξ的分布列为ξ0123P数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=点评：此题考查概率知识的求解，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．18．〔12分〕〔2021?四川〕函数f〔x〕=6cos 2sinωx﹣3〔ω＞0〕在一个周期内的图象如下图，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．〔Ⅰ〕求ω的值及函数f〔x〕的值域；12〔Ⅱ〕假设f 〔x 0〕=0 ∈〔﹣ 0〕的值．，且x 〕，求f 〔x+1考点：由y=Asin 〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题；综合题．分析：〔Ⅰ〕将f 〔x 〕化简为f 〔x 〕=2 sin 〔ωx+〕，利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f 〔x 〕的值域；〔Ⅱ〕由，知x 0+∈〔﹣， 〕，由，可求得即sin 〔 x 0+ 〕=，利用两角和的正弦公式即可求得f 〔x 0+1〕． 解答：解：〔Ⅰ〕由可得，f 〔x 〕=3cos ωx+ sin ωx=2sin 〔ωx+〕，又正三角形 ABC 的高为2 ，从而BC=4，∴函数f 〔x 〕的周期T=4×2=8，即 =8，ω= ，∴函数f 〔x 〕的值域为[﹣2 ，2]．〔Ⅱ〕∵f 〔x 0〕= ，由〔Ⅰ〕有f 〔x 0〕=2 sin 〔 x 0+〕= ，即sin 〔x 0+〕=，由，知x 0+ ∈〔﹣，〕，∴cos 〔 x 0+ 〕==．∴f 〔x +1〕=2sin 〔x++〕=2sin[〔 x+〕+]=2[sin 〔x+〕cos+cos 〔 x 0+ 〕sin ]=2 〔 ×+× 〕．点评：此题考查由y=Asin 〔ωx+φ〕的局部图象确定其解析式，着重考查三角函数的化简求值与正弦函数的性质，考查分析转化与运算能力，属于中档题．1319．〔12分〕〔2021?四川〕如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．〔Ⅰ〕求直线PC与平面ABC所成角的大小；〔Ⅱ〕求二面角B﹣AP﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；用空间向量求直线与平面的夹角．分析：解法一〔Ⅰ〕设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．可以证出∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．不妨设PA=2，那么OD=1，OP=，AB=4．在RT△OCP中求解．〔Ⅱ〕以O为原点，建立空间直角坐标系，利用平面APC的一个法向量与面ABP的一个法向量求解．解法二〔Ⅰ〕设AB中点为D，连接CD．以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用与平面ABC的一个法向量夹角求解．〔Ⅱ〕分别求出平面APC，平面ABP的一个法向量，利用两法向量夹角求解．解答：解法一〔Ⅰ〕设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，因为∠APB=90°，∠PAB=60°，所以△PAD为等边三角形，所以PO⊥AD，又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AD．PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角不妨设PA=2，那么OD=1，OP=，AB=4．所以CD=2，OC===在RT△OCP中，tan∠OCP===．故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．〔Ⅱ〕过D作DE⊥AP于E，连接CE．由，可得CD⊥平面PAB．根据三垂线定理知，CE⊥PA．所以∠CED为二面角B﹣AP﹣C的平面角．由〔Ⅰ〕知，DE=，在RT△CDE中，tan∠CED===2，故二面角B﹣AP﹣C的大小为arctan2．解法二：〔Ⅰ〕设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB=BC=CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，那么EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．14如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，由可得，AB=4，OA=OD=1，OP=，CD=2，所以O〔0，0，0〕，A〔﹣1，0，0〕，C〔1，2，0〕，P〔0，0，〕，所以=〔﹣1，﹣2，〕=〔0，0，〕为平面ABC的一个法向量．设α为直线PC与平面ABC所成的角，那么sinα===．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，=〔1，0，〕，=〔2，2，0〕．设平面APC的一个法向量为=〔x，y，z〕，那么由得出即，取x=﹣，那么y=1，z=1，所以=〔﹣，1，1〕．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为=〔0，1，0〕，那么cosβ===．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．15点评：此题考查线面关系，直线与平面所成的角、二面角等根底知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题能力．20．〔12分〕〔2021?四川〕数列{a}的前n项和为S，且aa=S+S对一切正整数n都n n2n2n成立．〔Ⅰ〕求a1，a2的值；〔Ⅱ〕设a1＞0，数列{lg}的前n项和为T n，当n为何值时，T n最大？并求出T n的最大值．考点：数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕由题意，n=2时，由可得，a221222≠0，〔a﹣a〕=a，分类讨论：由a=0，及a分别可求a1，a2〔Ⅱ〕由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项解答：解：〔Ⅰ〕当n=1时，a2a1=S2+S1=2a1+a2①当n=2时，得②②﹣①得，a2〔a2﹣a1〕=a2③假设a2=0，那么由①知a1=0，假设a2≠0，那么a2﹣a1=1④①④联立可得或综上可得，a1=0，a2=0或或〔Ⅱ〕当a1＞0，由〔Ⅰ〕可得当n≥2时，，∴∴〔n≥2〕∴=令16由〔Ⅰ〕可知= ={b n }是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2b 1＞b 2＞＞b 7=当n ≥8时，∴数列的前7项和最大， = =7﹣点评：此题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，还考查了一定的逻辑运算与推理的能力．21．〔12分〕〔2021?四川〕如图，动点M 到两定点A 〔﹣1，0〕、B 〔2，0〕构成△MAB ，且∠MBA=2∠MAB ，设动点M 的轨迹为C ．〔Ⅰ〕求轨迹C 的方程；〔Ⅱ〕设直线y=﹣2x+m 与y 轴交于点 P ，与轨迹C 相交于点Q 、R ，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题． 专题：综合题；压轴题．分析：〔Ⅰ〕设出点M 〔x ，y 〕，分类讨论，根据∠MBA=2∠MAB ，利用正切函数公式，建立方程化简即可得到点 M 的轨迹方程；〔Ⅱ〕直线y=﹣2x+m 与3x 2﹣y 2﹣3=0〔x ＞1〕联立，消元可得x 2﹣4mx+m 2+3=0①， 利用①有两根且均在〔1，+∞〕内可知，m ＞1，m ≠2设Q ，R 的坐标，求出x R ，x Q ，利用 ，即可确定的取值范围．解答：解：〔Ⅰ〕设M 的坐标为〔x ，y 〕，显然有x ＞0，且y ≠0当∠MBA=90°时，点M 的坐标为〔2，±3〕当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA=2∠MAB 有tan ∠MBA=，化简可得3x 2﹣y 2﹣3=0而点〔2，±3〕在曲线3x 2﹣y 2﹣3=0上17综上可知，轨迹 C 的方程为 3x 2﹣y 2﹣3=0〔x ＞1〕；〔Ⅱ〕直线y=﹣2x+m 与3x 2﹣y 2﹣3=0〔x ＞1〕联立，消元可得x 2﹣4mx+m 2+3=0①∴①有两根且均在〔1，+∞〕内设f 〔x 〕=x 2﹣4mx+m 2+3，∴ ，∴m ＞1，m ≠2设Q ，R 的坐标分别为〔 x Q ，y Q 〕，〔x R ，y R 〕， ∵|PQ|＜|PR|，∴x R =2m+ ，x Q =2m ﹣ ，∴= =m ＞1，且m ≠2∴，且∴，且∴的取值范围是〔 1，7〕∪〔7，7+4〕点评：此题以角的关系为载体，考查直线、双曲线、轨迹方程的求解，考查思维能力，运算能力，考查思维的严谨性，解题的关键是确定参数的范围．22．〔14分〕〔2021?四川〕 a 为正实数，n 为自然数，抛物线 与x 轴正半 轴相交于点 A ，设f 〔n 〕为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距． 〔Ⅰ〕用a 和n 表示f 〔n 〕；〔Ⅱ〕求对所有 n 都有成立的a 的最小值；〔Ⅲ〕当0＜a ＜1时，比拟与 的大小，并说明理由．考圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中点：的应用． 专 综合题；压轴题． 题：18分析：〔Ⅰ〕根据抛物线与x 轴正半轴相交于点A ，可得A 〔 〕，进一步可求抛物线在点A 处的切线方程，从而可得f 〔n 〕；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知f 〔n 〕=a n，那么成立的充要条件是a n ≥2n 3+1，即n3n4 nn3知，a ≥2n+1对所有n 成立，当a= ，n ≥3时，a ＞ =〔1+3〕＞2n+1，当n=0，1，2时，，由此可得a 的最小值；〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知f 〔k 〕=a k，证明当0＜x ＜1时，，即可证明：．解答：解：〔Ⅰ〕∵抛物线 与x 轴正半轴相交于点A ，∴A 〔 〕对求导得y ′=﹣2x∴抛物线在点A 处的切线方程为，∴∵f 〔n 〕为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距，∴f 〔n 〕=a n；n成立的充要条件是n3〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知f 〔n 〕=a ，那么a ≥2n+1即知，a n ≥2n 3+1对所有n 成立，特别的，取n=2得到a ≥当a=，n ≥3时，a n ＞4n=〔1+3〕n≥1+=1+2n 3+＞2n 3+1当n=0，1，2时，∴a= 时，对所有n 都有 成立∴a 的最小值为 ；〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知〔fk 〕=a k，下面证明：首先证明：当 0＜x ＜1时，19设函数g 〔x 〕= x 〔x 2﹣x 〕+1，0＜x ＜1，那么g ′〔x 〕= x 〔x ﹣〕当0＜x ＜ 时，g ′〔x 〕＜0；当时，g ′〔x 〕＞0故函数g 〔x 〕在区间〔0，1〕上的最小值 g 〔x 〕min =g 〔 〕=0∴当0＜x ＜1时，g 〔x 〕≥0，∴由0＜a ＜1知0＜a k＜1，因此 ，从而=≥ =＞=点此题考查圆锥曲线的综合，考查不等式的证明，考查导数的几何意义，综合性强，属评：于中档题．20。
四川省2022年高考[理数]考试真题与答案解析
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四川省2022年高考·理科数学·考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若，则（ ）1z =-1zzz =-A. B. C. D. 1-+1-13-+13-【答案】C【详解】1(1113 4.z zz =-=-+-=+=，故选 ：C 113z zz ==--2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（ ）A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【详解】讲座前中位数为,所以错；70%75%70%2+>A 讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,所以讲座后问卷80%,485%90%答题的正确率的平均数大于,所以B 对；85%讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为，100%80%20%-=讲座前问卷答题的正确率的极差为,所以错.95%60%35%20%-=>D 故选:B.3. 设全集，集合，则（ ）{2,1,0,1,2,3}U =--{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣()U A B ⋃=ðA. B. C. D. {1,3}{0,3}{2,1}-{2,0}-【答案】D【详解】由题意，，所以,{}{}2=4301,3B x x x -+=={}1,1,2,3A B ⋃=-所以。
故选：D.(){}U 2,0A B ⋃=-ð4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【答案】B【详解】由三视图还原几何体，如图，则该直四棱柱的体积，故选：B.2422122V +=⨯⨯=5. 函数在区间的图象大致为（ ）()33cos x xy x -=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A. B.C. D.【答案】A【详解】令，()()33cos ,,22xxf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦则，()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-所以为奇函数，排除BD ；()f x 又当时，，所以，排除C.0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭330,cos 0x x x -->>()0f x >故选：A.6. 当时，函数取得最大值，则（ ）1x =()ln bf x a x x=+2-(2)f '=A. B. C.D. 11-12-12【答案】B【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而()f x ()0,∞+()12f =-()10f '=，所以，即，所以，因此函数()2a bf x x x '=-2,0b a b =--=2,2a b =-=-()222f x x x'=-+()f x 在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．()0,1()1,+∞1x =()112122f '=-+=-故选：B.7. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）1111ABCD A B C D -1B D ABCD 11AA B B 30°A. B. AB 与平面所成的角为2AB AD =11AB C D 30°C. D. 与平面所成的角为1AC CB =1B D 11BB C C 45︒【答案】D【详解】如图所示：不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为1,,AB a AD b AA c ===1B D ABCD ，与平面所成角为，所以，即，1B DB ∠1B D 11AA B B 1DB A ∠11sin 30c b B D B D ==b c =，解得．12B D c ==a =对于A ，，，，A 错误；AB a =AD b =AB =对于B ，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，B 1BE AB ⊥E BE ⊥11AB C D AB 11AB C D BAE ∠因为，B 错误；tan c BAE a ∠==30BAE ∠≠对于C ，，，，C错误；AC ==1CB ==1AC CB ≠对于D ，与平面所成角为，，而1B D 11BB C C 1DB C∠11sin 2CD a DB C B D c ∠===，所以．D 正确．1090DB C <∠< 145DB C ∠= 故选：D ．8. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在上，．“会 AB AB CD AB ⊥圆术”给出的弧长的近似值s 的计算公式：．当时， AB 2CDs AB OA=+2,60OA AOB =∠=︒s=（ ）A.B.C.D.【答案】B【详解】解：如图，连接，OC 因为是的中点，C AB 所以，OC AB ⊥又，所以三点共线，CD AB ⊥,,O C D 即，2OD OA OB ===又，60AOB ∠=︒所以，2AB OA OB ===则，故OC =2CD =所以B.22CD s AB OA=+=+=9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，2πS 甲S 乙体积分别为和．若，则（ ）V 甲V 乙=2SS 甲乙=V V甲乙A.B. C.D.【答案】C【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公l 1r 2r 式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的122r r =12,r r l 高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，l 1r 2r 则，所以，11222S rl r S r l r ππ===甲乙122r r =又，则，所以，12222r r l l πππ+=121r r l +=1221,33r l r l ==所以甲圆锥的高，1h==乙圆锥的高，所以，故选：C.2h ==2112221313r h V V r h ππ===甲乙10. 椭圆的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直2222:1(0)x y Ca b a b+=>>线的斜率之积为，则C 的离心率为（ ）,AP AQ 14A.B.C.D.1213【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据()11,P x y ()11,Q x y -2122114y x a =-+，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.2211221x y a b+=1y 1x 【详解】解：，(),0A a -设，则，则，()11,P x y ()11,Q x y -1111,AP AQ y y k k x a x a ==+-+故，21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+又，则，所以，即，2211221x ya b +=()2221212b a x y a -=()2221222114b a x a x a -=-+2214b a =所以椭圆的离心率 A.C c e a ===11. 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,π)ω（ ）A. B. C. D. 513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【详解】解：依题意可得，因为，所以，0>ω()0,x π∈,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：()0,πsin y x =,33x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭则，解得，即，故选：C ．5323ππωππ<+≤13863ω<≤138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12. 已知，则（ ）3111,cos ,4sin 3244a b c ===A. B. C. D. c b a >>b a c >>a b c >>a c b>>【答案】A【分析】由结合三角函数的性质可得；构造函数14tan 4c b =c b >，利用导数可得，即可得解.21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞b a >【详解】因为,因为当，所以,即,所以；14tan 4c b =π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭11tan 44>1cb >c b >设，21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，所以在单调递增，则,所以，()sin 0f x x x '=-+>()f x (0,)+∞1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭131cos 0432->所以,所以，故选：Ab a >c b a >>二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分。
最新普通高等学校招生理科数学全国统一考试试题(四川卷)(含解析)
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出地 四个选项中，只有一个是符合题目要求地 ．1．设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x=-=，则A B =I （ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z地 共轭复数地 点是（ ）（A）A（B）B（C）C（D）D3．一个几何体地三视图如图所示，则该几何体地直观图可以是（）4．设x Z∈，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:,2∀∈∈，则（）p x A x B（A）:,2p x A x B⌝∀∉∉p x A x B⌝∀∃∈∉（B）:,2（C）:,2⌝∃∈∈p x A x B p x A x B⌝∃∉∈（D）:,25．函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<地 部分图象如图所示，则,ωϕ地 值分别是（ ）（A ）2,3π- （B ）2,6π- （C ）4,6π- （D ）4,3π6．抛物线24yx=地 焦点到双曲线2213yx -=地 渐近线地距离是（ ）（A ）12 （B ）3 （C ）1（D 37．函数231xx y =-地 图象大致是（ ）8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同地数分别为,a b，共可得到lg lga b地不同值地个数是（）（A）9（B）10（C）18（D）209．节日里某家前地树上挂了两串彩灯，这两串彩灯地第一次闪亮相互独立，若接通电后地 4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮地时刻相差不超过2秒地概率是（）（A）14（B）12（C）34（D ）7810．设函数()f x =a R ∈，e 为自然对数地 底数）．若曲线sin y x =上存在0(,)x y 使得0(())f f y y =，则a 地 取值范围是（ ）（A ）[1,]e （B ）1[,-11]e -，（C ）[1,1]e +（D ）1[-1,1]ee -+二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式5()x y +地 展开式中，含23x y 地 项地 系数是_________．（用数字作答）12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AOλ+=u u u r u u u r u u u r ，则λ=_________．13．设sin 2sin αα=-，(,)2παπ∈，则tan 2α地 值是_________．14．已知()f x 是定义域为R 地 偶函数，当x ≥0时，2()4f x x x=-，那么，不等式(2)5f x +<地 解集是________ ．15．设12,,,nP P P L 为平面α内地 n 个点，在平面α内地 所有点中，若点P 到12,,,nP P P L 点地 距离之和最小，则称点P为12,,,nP P P L 点地 一个“中位点”．例如，线段AB 上地 任意点都是端点,A B 地 中位点．则有下列命题： ①若,,A B C 三个点共线，C 在线AB 上，则C 是,,A B C 地 中位点；②直角三角形斜边地 点是该直角三角形三个顶点地 中位点；③若四个点,,,A B C D 共线，则它们地 中位点存在且唯一；④梯形对角线地 交点是该梯形四个顶点地 唯一中位点．其中地 真命题是____________．（写出所有真命题地 序号数学社区）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}na 中，218aa -=，且4a 为2a 和3a 地 等比中项，求数列{}na 地 首项、公差及前n 项和．17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 地 对边分别为,,a b c ，且232coscos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-．（Ⅰ）求cos A 地 值；（Ⅱ）若a =5b =，求向量BAu u u r在BCuuu r 方向上地 投影．18．(本小题满分12分)某算法地程序框图如图所示，其中输入地变量x在1,2,3,,24⋅⋅⋅这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y地值为i地概率(1,2,3)P i=；i（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图地理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y地值为(1,2,3)i i=地频数．以下是甲、乙所作频数统计表地部分数据．甲地 频数统计表（部分）乙地 频数统计表（部分）当2100n =时，根据表中地 数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 地值为(1,2,3)i i =地 频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求地 可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写地 程序运行3次，求输出y 地 值为2地 次数ξ地 分布列及数学期望．19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AB AC AA ==，120BAC ∠=o，1,D D 分别是线段11,BC B C 地 中点，P 是线段AD 地 中点．（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行地直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；（Ⅱ）设（Ⅰ）中地 直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --地 余弦值．1C20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22221,(0)x y a b a b +=>>地两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41(,)33P ． （Ⅰ）求椭圆C 地 离心率；（Ⅱ）设过点(0,2)A 地 直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上地 点，且222211||||||AQAM AN =+，求点Q 地 轨迹方程．21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，22(,())B x f x 为该函数图象上地 两点，且12x x <．（Ⅰ）指出函数()f x 地 单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 地 图象在点,A B 处地 切线互相垂直，且2x<，求21xx -地 最小值；（Ⅲ）若函数()f x 地 图象在点,A B 处地 切线重合，求a地 取值范围．参考答案一、 选择题：本题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分50分.1.A2.B3.D4.D5.A6.B7.C8.C9.C 10.A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分，满分25分.(7,3)- 15.①④ 三、解答题:共6小题，共75分.16.解：设该数列公差为d ，前n 项和为ns .由已知，可得()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++.所以()114,30a d d d a +=-=，解得14,0a d ==，或11,3a d ==，即数列{}na 地 首相为4，公差为0，或首相为1，公差为3. 所以数列地 前n项和4n s n=或232n n n s -=. ………….12分17.解：()I 由()()232coscos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-，得()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦，即()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-，则()3cos 5A B B -+=-，即3cos 5A =-. ………….. 5分()II 由3cos ,05A A π=-<<，得4sin 5A =，由正弦定理，有sin sin a bA B =，所以，sin sin b A B a ==.由题知a b >，则A B >，故4B π=. 根据余弦定理，有(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得1c =或7c =-(舍去). 故向量BAu u u r 在BCuuu r 方向上地 投影为cos 2BA B =u u u r . ………….12分18. 解：()I .变量x 是在1，2，3，……24这24个整数中随机产生地 一个数，共有24种可能. 当x 从1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23这12个数中产生时，输出y 地 值为1，故112p =； 当x 从2，4，8，10，14，16，20，22这8个数中产生时，输出y 地 值为2，故213p=;当x 从6，12，18，24这4个数中产生时，输出y 地 值为3，故316p=. ……………3分()II 当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y 地 值为i(i=1，2，3)地 频率如下：比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求地 可能性较大. ………7分（3）随机变量ξ可能饿取值为0，1，2，3.33128(0)3327p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1213124(1)339p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2123122(2)339p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333121(3)3327p C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ξ地 分布列为所以842101231279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=即ξ地数学期望为1. ………12分 19.解：()I 如图，在平面ABC 内，过点P 做直线l //BC ，因为l 在平面1A BC 外，BC在平面1A BC 内，由直线与平面平行地 判定定理可知， l //平面1A BC .由已知，AB AC =，D 是BC 地 中点，所以，BC AD ⊥，则直线l AD ⊥.因为1AA ⊥平面ABC ，所以1AA ⊥直线l .又因为1,AD AA 在平面ξ12 3 p827492912711ADD A 内，且AD与1AA 相交，所以直线平面11ADD A . …………………………………………………………………………….6分()II 解法一:连接1A P ，过A 作1AE A P ⊥于E ，过E 作1EF A M ⊥于F ，连接AF .由()I 知，MN ⊥平面1AEA ，所以平面1AEA ⊥平面1A MN .所以AE ⊥平面1A MN ，则1A M AE ⊥.所以1A M ⊥平面AEF ，则1A M ⊥AF .故AFE ∠为二面角1A A M N --地 平面角(设为θ).设11AA =，则由12AB AC AA ==，120BAC ∠=o，有60BAD ∠=o，2,1AB AD ==.又P 为AD 地 中点，所以M 为AB 地 中点，且1,12AP AM ==， 在1Rt AA P V 中，1A P =;在1Rt A AM V 中，1AM从而，11AA AP AE A P •==，11AA AMAF A M•==所以2sin 5AEAFθ==.所以22215cos 1sin 15θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭.故二面角1A A M N--地 余弦值为155. ………………12分解法二:设11AA =.如图，过1A 作1A E 平行于11B C ，以1A 为坐标原点，分别以111,A E A D u u u r u u u u r ，1AA u u u r 地 方向为x 轴，y 轴，z 轴地 正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点1A 重合).则()10,0,0A ，()0,0,1A .因为P 为AD 地 中点，所以,M N 分别为,AB AC 地 中点，故11,1,,12222M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，()10,0,1A A =u u u r，)NM =u u u u r .设平面1AA M 地 一个法向量为()1111,,n x y z =，则1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u u r u u u u r 即11110,0,n A M n A A ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u u u u ru u u r 故有()()()1111111,,,10,2,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎫•=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪•=⎩从而111110,20.y z z ++=⎪=⎩取11x =，则1y =()11,n =.设平面1A MN 地 一个法向量为()2222,,nx y z =，则 212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u u ru u u u u r 即2120,0,n A M n NM ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩u u u u ru u u u r 故有()())2222221,,,10,22,,0,x y z x y z ⎧⎛⎫•=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪•=⎪⎩从而222210,220.x y z ++=⎨⎪=⎩取22y=，则21z=-，所以()20,2,1n=-.设二面角1A A M N --地 平面角为θ，又θ为锐角，则1212cos 5n n n n θ•===•.故二面角1A A M N--地 余弦值为5. ………………12分20．解：122a PF PF =+==所以，a =又由已知，1c =，所以椭圆C 地离心率2ce a ===……………4分 ()II 由()I 知椭圆C 地 方程为2212x y +=.设点Q 地 坐标为(x ，y).(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于()()0,1,0,1-两点，此时Q点坐标为0,25⎛- ⎝⎭(2) 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 地 方程为2y kx =+.因为,M N 在直线l 上，可设点,M N 地 坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++，则22222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()222222(1).AQx y k x =+-=+由222211AQAMAN=+，得()()()22222212211111k x k x k x =++++，即()212122222212122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212x y +=中，得()2221860kx kx +++= ②由()()22842160,k k ∆=-⨯+⨯>得232k>. 由②可知12122286,,2121k x xx x k k +=-=++代入①中并化简，得2218103xk =- ③因为点Q 在直线2y kx =+上，所以2y k x-=，代入③中并化简，得()22102318y x --=.由③及232k >，可知2302x<<，即22x ⎛⎫⎛∈-⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭U .又0,25⎛- ⎝⎭满足()22102318y x --=，故x ⎛∈ ⎝⎭.由题意，(),Q x y 在椭圆C 内部，所以11y -≤≤， 又由()22102183y x -=+有()2992,54y ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭且11y -≤≤，则1,22y ⎛∈ ⎝⎦.所以点Q 地 轨迹方程是()22102318y x --=，其中，22x ⎛∈- ⎝⎭，1,225y ⎛∈- ⎝⎦………..13分21．解：()I 函数()f x 地 单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为[)1,0-，()0,+∞()II 由导数地 几何意义可知，点A 处地 切线斜率为()1f x '，点B 处地 切线斜率为()2f x '，故当点A 处地 切线与点B 处地 切垂直时，有()()121f x f x ''=-.当0x <时，对函数()f x 求导，得()22f x x '=+. 因为12x x<<，所以()()1222221x x ++=-，所以()()12220,220x x +<+>.因此()()21121222212x x x x -=-+++≥=⎡⎤⎣⎦当且仅当()122x -+=()222x +=1，即123122x x =-=且时等号成立.所以函数()f x 地 图象在点,A B 处地 切线互相垂直时，21x x -地 最小值为1…………7分()III 当120x x <<或210x x >>时，()()12f x f x ''≠，故120x x <<.当10x <时，函数()f x 地 图象在点()()11,x f x 处地 切线方程为()()()21111222y x x a x x x -++=+-，即()21122y x x xa=+-+当2x>时，函数()f x 地 图象在点()()22,x f x 处地 切线方程为()2221ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =•+-.两切线重合地 充要条件是1222112 2 ln 1 x x x x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②由①及120x x <<知，110x -<<.由①②得，()2211111ln1ln 22122a xx x x =+-=-+-+.设()()21111ln 221(10)h x xx x =-+--<<，则()1111201h x x x '=-<+.所以()()1110h x x -<<是减函数.则()()10ln21h x h >=--，所以ln 21a >--.又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时，()1h x 无限增大，所以a 地 取值范围是()ln21,--+∞.故当函数()f x 地 图像在点,A B 处地 切线重合时，a 地 取值范围是()ln21,--+∞.14分。
四川高考数学试题理科含答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试 (四川卷)数 学(理工类)本试卷分第一局部(选择题)和第二局部(非选择题)。
第一局部 1至2页，第二局部 3至4 页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，总分值150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的外表积公式P(A+B)=P(A)+P(B)s4R 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B)球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么v4R 23在n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径P n (k)C n k p k (1p)nk(k 0,1,2,...n)第一局部〔选择题共60分〕考前须知：1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。
2.本局部共12 小题，每题 5分，共 60分。
一、选择题：本大题共 12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项符合题目要求的。
〔11四川理 1〕有一个容量为 66的样本，数据的分组及各组的频数如下：，15.5) 2 [15.5,19.5)4 ，23．5)9[23.5,27.5)18，31.5) 1l ，35.5)12 ．39.5)7[39.5,43.5)3 根据样本的频率分布估计，数据落在，43.5)的概率约是 (A) 1 (B) 1 (C) 1〔D 〕2631 23〔11四川理 2〕复数ii =〔B 〕1(A) 2i 〔〕 〔〕2iC 0Di2〔11四川理 3〕l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，那么以下命题正确的选项是(A) l 1 l 2，l 2l 3 l 1 l 3〔B 〕l 1l 2，l 2l 3l 1 l 3 [ 来源:](C) l 2 l 3 l 3l 1，l 2，l 3共面〔D 〕l 1，l 2，l 3共点 l 1，l 2，l 3共面〔11四川理 4〕如图，正六边形 ABCDEF 中，BACDEF=(A)0(B)BE(C)AD(D)CF〔11四川理5〕函数，f(x)在点x x0处有定义是f(x)在点x x0处连续的(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件〔11四川理6〕在ABC中．sin2sin2B sin2C sinBsinC.那么A的取值范围是(A)(0，](B)[，)(c)(0，](D)[，)66331〔11四川理7〕f(x)是R上的奇函数，且当x0时，f(x)()x 1，那么f(x)的反2函数的图像大致是〔11四川理8〕数列a n的首项为3，b n为等差数列且b n a n1a n(nN*).假设那么b32，b1012，那么a8〔A〕0〔B〕3〔C〕8〔D〕11〔11四川理9〕某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理方案党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润〔A〕4650元〔B〕4700元〔C〕4900元〔D〕5000元〔11四川理10〕在抛物线y x2ax5(a0)上取横坐标为x14，x22的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆2236相切，那么抛5x5y物线顶点的坐标为〔A〕(2,9)〔B〕(0,5)〔C〕(2,9)〔D〕(1,6)〔11四川理11〕定义在0,上的函数f(x)满足f(x)3f(x2)，当x0,2时，f(x)x22x.设f(x)在2n2,2n上的最大值为a n(n N*)，且a n的前n项和为S n，那么limS nn〔A〕3〔B〕5〔C〕2〔D〕322〔11四川理12〕在集合1,2,3,4,5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为 n ，其中面积不超过 4的平行四边形的个数为 m ，那么m〔A 〕4〔B 〕1〔C 〕2〔D 〕2n153 53二、填空题：本大题共 4小题，每题4分，共 16分.13〕计算(lg11〔11四川理 lg25)1002=.4〔11四川理 x 2 y 2 4，那么点P 到左14〕双曲线=1上一点P 到双曲线右焦点的距离是64 36准线的距离是.〔11四川理 15〕如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大 是，求的外表积与改圆柱的侧面积之差是 . 〔11四川理 16〕函数f(x)的定义域为A ，假设x 1,x 2A 且f(x 1)f(x 2)时总有x 1x 2，那么称f(x)为单函数，例如，函数f(x) 2x 1(xR)是单函数.以下命题：①函数f(x)x 2(xR)是单函数；②假设f(x)为单函数，x 1,x 2A 且x 1x 2，那么f(x 1) f(x 2)；③假设f ：A B 为单函数，那么对于任意 bB ，它至多有一个原象；〔11四川理18〕本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。
2023四川高考数学试卷解析
2023四川高考数学试卷解析
十年寒窗苦读日，金榜题名一朝夕。
2023高考已经结束，你考得怎么样呢？让我们一起来看看今年四川高考全国甲卷理科数学试卷难度怎么样吧。
一、试卷基本结构
二、各题考点对比分析
2023年四川高考全国甲卷理科
三、试卷分析
1、立足基础，考察基础核心知识点的灵活运用，主要公式的运用。
试卷的知识点主要考察函数与导数、三角函数、立体几何、解三角形和圆锥曲线。
大部分题目侧重于考查基础知识、基本技能、基本思想方法，强调知识的理解应用以及阅读素养和思维。
在问题解决的方法上注重逻辑思维，淡化特殊技巧，注重考察学生的基本素养与能力。
2、难度较大。
尤其解答题综合性较强，且计算难度大。
①试题难度较大，紧扣教材，能反映出学生的数学水平，题量适中，但计算难度较大。
②整套试卷强调基础知识的考查，基本方法的运用，比例分配合理。
四、23年真题对数学学习带来的启发
1、重视基础知识的掌握和基本能力的培养。
夯实基础，重视教材，强化所学重点知识的理解与记忆。
2、重视课堂上做过的例题或练习题，注重典型题型及错题的积累。
在课堂中、以及课后，通过多种形式进行练习，及时巩固所学知
识，同时注重练习的灵活性、针对性和典型性。
3、注重解题步骤，重视答题的规范性。
把平时做题当考试，按照标准步骤去做题，不嫌麻烦，不省步骤。
4、计算是根本，加强计算能力。
近两年高考来看，计算强度明显提高，所以平时做题过程中要注意计算能力的提升，规范草稿纸的使用，多做一些计算的练习，提升自己计算的准确性和计算过程中的耐心。
2023年四川省高考数学理科真题及参考答案
2023年四川省高考理科数学真题及参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}Z k k x x A ∈+==,13，{}Z k k x x B ∈+==,23，U 为整数集，()=⋃B A C U （）A .{}Z k k x x ∈=,3B .{}Z k k x x ∈-=,13C .{}Z k k x x ∈-=,23D .φ2.若复数()()21=-+ai i a ，则=a （）A .1-B .0C .1D .23.执行下面的程序框图，输出的=B （）A .21B .34C .55D .894.已知向量1==b a ，2=c 且0=++c b a ，则=--c b c a ,cos （）A .51-B .52-C .52D .545.已知等比数列{}n a 中，11=a ，n S 为{}n a 的前n 项和，4535-=S S ，则=4S （）A .7B .9C .15D .306.有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报名足球俱乐部，则其报名乒乓球俱乐部的概率为（）A .8.0B .4.0C .2.0D .1.07.“1sin sin 22=+βα”是“0cos sin =+βα”的（）A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充要条件D .既不是充分条件也不是必要条件8.已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的离心率为5，其中一条渐近线与圆()()13222=-+-y x 交于B A ,两点，则=AB （）A .51B .55C .552D .5549.有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（）A .120B .60C .40D .3010.已知函数()x f 为函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62cos πx y 向左平移6π个单位所得函数，则()x f y =与直线2121-=x y 的交点个数为（）A .1B .2C .3D .411.在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，4=AB ,3==PD PC ，︒=∠45PCA ,则PBC ∆的面积为（）A .22B .23C .24D .2512.已知椭圆16922=+y x ，21F F ，为两个焦点，O 为坐标原点，P 为椭圆上一点，53cos 21=∠PF F ，则=OP （）A .52B .230C .53D .235二、填空题：本大题动4小题，每小题5分，共20分.13.若()⎪⎭⎫⎝⎛+++-=2sin 12πx ax x y 为偶函数，则=a .14.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-1332323y x y x y x ，设y x z 23+=，则z 的最大值为.15.在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD ，11B A 的中点，则以EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为.16.在ABC ∆中，2=AB ，︒=∠60BAC ，6=BC ，D 为BC 上一点，AD 为BAC ∠的平分线，则=AD .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高考四川卷理数试题解析(正式版)(原卷版)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是 （A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为 （A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点 （A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 （参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）（A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋使其的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（A ）9（B ）18（C ）20（D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2–(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（A 3B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（A ）(0,1)（B ）(0,2)（C ）(0,+∞)（D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ﹒DB =DB ﹒DC =DC ﹒DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是（A ）434（B ）494（C ）37634+（D ）372334+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
四川高考理科数学试题含答案
上，直线 与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线 与平面 所成的角为 的取值范围是
，
由于 ， ，
所以 的取值范ห้องสมุดไป่ตู้是
9．已知 ， 。现有下列命题：
① ；② ；③ 。其中的所有正确命题的序号是
A．①②③B．②③C．①③D．①②
16．已知函数 。
（1）求 的单调递增区间；
（2）若 是第二象限角， ，求 的值。
解：（1）由
所以 的单调递增区间为 （ ）
（2）由
因为
所以
又 是第二象限角，所以 或
①由 （ ）
所以
②由
所以
综上， 或
17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得 分）。设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立。
【答案】
【解析】 ，
14．设 ，过定点A的动直线 和过定点B的动直线 交于点 ，则 的最大值是。
【答案】
【解析】 ， ，因为 ，所以
故 （当且仅当 时取“ ”）
15．以 表示值域为R的函数组成的集合， 表示具有如下性质的函数 组成的集合：对于函数 ，存在一个正数 ，使得函数 的值域包含于区间 。例如，当 ， 时， ， 。现有如下命题：
由 ，所以
又
因为点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧，所以 ，故
于是
当且仅当 时取“ ”
最新四川省高考数学试卷(理科)及答案(word版)
普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1、设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ ）（A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）∅2、如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ） （A ）A （B ）B （C ）C （D ）D3、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）4、设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集。
若命题:,2p x A x B ∀∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ⌝∀∈∉ （B ）:,2p x A x B ⌝∀∉∉（C ）:,2p x A x B ⌝∃∉∈ （D ）:,2p x A x B ⌝∃∈∉5、函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） （A ）2,3π-（B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π6、抛物线24y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是（ ） （A ）12（B）2（C ）1 （D7、函数331x x y =-的图象大致是（ ）8、从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20 9、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮。
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,解析版)
普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（四川卷，解析版）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}-2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a bd c <【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a b d c <5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2，否则，S 的值为1.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
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2015年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i3．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx5．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．46．（5分）（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A．144个B．120个C．96个D．72个7．（5分）（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9D．68．（5分）（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）A．16 B．18 C．25 D．10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）（2015•四川）在（2x﹣1）5的展开式中，含x2的项的系数是（用数字填写答案）．12．（5分）（2015•四川）sin15°+sin75°的值是．13．（5分）（2015•四川）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y=e kx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时．14．（5分）（2015•四川）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为．15．（5分）（2015•四川）已知函数f（x）=2x，g（x）=x2+ax（其中a∈R）．对于不相等的实数x1、x2，设m=，n=．现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1、x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1、x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1、x2，使得m=﹣n．其中的真命题有（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（12分）（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．17．（12分）（2015•四川）某市A、B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（Ⅰ）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（Ⅱ）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．18．（12分）（2015•四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．在正方体中，设BC的中点为M、GH的中点为N．（Ⅰ）请将字母F、G、H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（Ⅱ）证明：直线MN∥平面BDH；（Ⅲ）求二面角A﹣EG﹣M的余弦值．19．（12分）（2015•四川）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个内角．（Ⅰ）证明：tan；（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．20．（13分）（2015•四川）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．（14分）（2015•四川）已知函数f（x）=﹣2（x+a）lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a，其中a＞0．（Ⅰ）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）证明：存在a∈（0，1），使得f（x）≥0在区间（1，+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间（1，+∞）内有唯一解．2015年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）（2015•四川）设集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B=（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}考点：并集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：求解不等式得出集合A={x|﹣1＜x＜2}，根据集合的并集可求解答案．解答：解：∵集合A={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B={x|1＜x＜3}，∴集合A={x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A点评：本题考查了二次不等式的求解，集合的运算，属于容易题．2．（5分）（2015•四川）设i是虚数单位，则复数i3﹣=（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：通分得出，利用i的性质运算即可．解答：解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，∴===i，故选；C点评：本题考查了复数的运算，掌握好运算法则即可，属于计算题．3．（5分）（2015•四川）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k的值，当k=5时满足条件k＞4，计算并输出S的值为．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1k=2不满足条件k＞4，k=3不满足条件k＞4，k=4不满足条件k＞4，k=5满足条件k＞4，S=sin=，输出S的值为．故选：D．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．4．（5分）（2015•四川）下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（）A．y=cos（2x+）B．y=sin（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．解答：解：y=cos（2x+）=﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确y=sin（2x+）=cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；y=sin2x+cos2x=sin（2x+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；y=sinx+cosx=sin（x+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；故选：A．点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力．5．（5分）（2015•四川）过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|=（）A．B．2C．6D．4考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|．解答：解：双曲线x2﹣=1的右焦点（2，0），渐近线方程为y=，过双曲线x2﹣=1的右焦点且与x轴垂直的直线，x=2，可得y A=2，y B=﹣2，∴|AB|=4．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用．6．（5分）（2015•四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A．144个B．120个C．96个D．72个考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解答：解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选：B点评：本题考查计数原理的运用，关键是根据题意，分析出满足题意的五位数的首位、末位数字的特征，进而可得其可选的情况．7．（5分）（2015•四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据图形得出=+=，==，=•（）=2﹣，结合向量结合向量的数量积求解即可．解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，，∴根据图形可得：=+=，==，∴=，∵=•（）=2﹣，2=22，=22，||=6，||=4，∴=22=12﹣3=9故选；C点评：本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示．8．（5分）（2015•四川）设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，log a3＜log b3，或根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可．解答：解：a、b都是不等于1的正数，∵3a＞3b＞3，∴a＞b＞1，∵log a3＜log b3，∴，即＜0，或求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的充分条不必要件，故选：B．点评：本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论．9．（5分）（2015•四川）如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为（）A．16 B．18 C．25 D．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：根据二次函数的单调性得出①m=2，n＜8对称轴x=﹣，②③构造函数或或运用导数，结合线性规划求解最大值．解答：解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴①m=2，n＜8对称轴x=﹣，②即③即设或或设y=，y′=，当切点为（x0，y0），k取最大值．①﹣=﹣2．k=2x，∴y0=﹣2x0+12，y0==2x0，可得x0=3，y0=6，∵x=3＞2∴k的最大值为3×6=18②﹣=﹣．，k=，y0==，2y0+x0﹣18=0，解得：x0=9，y0=∵x0＜2∴不符合题意．③m=2，n=8，k=mn=16综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，故选；B点评：本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题．10．（5分）（2015•四川）设直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与圆（x﹣5）2+y2=r2（r＞0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，4）C．（2，3）D．（2，4）考点：抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先确定M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论．解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则斜率存在时，设斜率为k，则y12=4x1，y22=4x2，利用点差法可得ky0=2，因为直线与圆相切，所以=﹣，所以x0=3，即M的轨迹是直线x=3，代入抛物线方程可得y=±2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，所以2＜r＜4时，直线l有2条；斜率不存在时，直线l有2条；所以直线l恰有4条，2＜r＜4，故选：D．点评：本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。