大学物理第十章习题

30 I (r a ln r ) ab
2
a
30I (b a ln a b )
2
a
例20：一无限长直载流导线被弯成如图所示的形
状，通以电流I，则 Bo
3
1
2 3
I
R
B1 B3 0

Bo
B2

0I
2R
3
2
0I
12R
2
R
I 1
Bo

0I
2R

0I 2R
例11：一导线弯曲成如图的形状，求B 0
B2
b
B3
I oc
B1
a
Bo B1 B2 B3
d
Bo

0I 4R

0I
4R

0

0I
4R
(1

1)
推广：
（1） I

R o
B0
x
B0

0I
2R
（2 ）
I
R
o
B0

0I
4R
（3） I R o
B0

0I
8R
（4）
（5） I
BA

0I


6
2


2
B

BOQ

0 I 4 a cos 1
sin
2Байду номын сангаас
sin
1
B

BOQ

0 I 4 a cos 1
sin
2
sin
1

2.0
107 20 102 0.866
1



1 2


1.73
104
(T)
方向：垂直于纸面向外。
dpm

wq R2
r 3dr
m

wq R2
R r3dr＝ wq R2
0
4
例17:半径 为 R的带电薄圆盘的电荷面密度
为 , 并以角速度 绕通过盘心垂直于盘面的轴转
动 ，求圆盘中心的磁感强度.

o
R
r
解法一 圆电流的磁场
dI 2π rdr rdr
2π
dr
0, B 向外 0, B 向内
y
dI在p点产生的 d B 大小：
dB dB
dB

0dI 2R

0I 2 2 R
d
θ
x 方向不同，分量式求解
dBx dB cos dBy dB sin
半圆柱关于x轴对称， dB关于y轴对称，
Bx 0
By
dB sin

0
0I 2 2R
sind

0I 2R
E1

I
1S
,
E2


I 2S
（2）
U AB

E1d1

Id1
1S
,
U BC

E2d2

Id2
2S
例4：在电力系统中，为了安全，常用一金属球 （半径为a）埋入大地作接地电板，设大地电阻率 为ρ，求此电板的接地电阻及周围的电势分布。
解：（1）接地电阻：电流在大地
内流过时所遇到的电阻，在 r≥a 处，
0.24Wb
befc m

Bs cos 90

0
aefd m

BS cos bae
2.0 0.5 0.3 0.4 0.5 Z
mabcd 0.24wb
Y
40cm b 30cm e B
a
50cm
30cm
c
o
fX
例7图
d
例7：正方体边长为a，均匀磁场穿过，求通过① ②③④面的磁通量，n的方向，向外为正方向。
B

0 4
qv rˆ r2
B
0 4
qv sin 90 r2

107
1.60 1019 2.2 106 (0.531010 )2
13(T )
+ r-
m
v
解:
B
0 4
qv sin 90 r2
13(T )
I ne v e
2r
m IS v er 2 1 v e r
a
B dB
0 Idx
0I ln a
0 2a( a x) 2a l
例13：半径为R的无限长半圆柱形锯片中通有 电流I，求轴线上p的 B
p
解：把半圆柱形锯片看成是无数
多个无限长的小狭条宽为dι ，
I
载有的电流 dI jd I d I d
R
的导体，中间有两层电导率分别为 1 和 2 的均
匀导体，其厚度分别为 d1 和 d2 ，导体横截面
积为S，当导体中通有稳恒电流强度I时，求：
（1）两层导电体中电场强度
（2）电势差 U AB 和 U BC 。
E1
A
和 E2 ；
B
C
解：（1） I E
S
I
1
2
I
I ES 1E1S 2E2S I d1 d2
2r
2
1 2.2 106 1.60 1019 0.53 1010
2
0.931023( A / m)
扩展：若是一个均匀带电圆盘，半径为R，总
电量为q，绕盘心以ω 转，求 Bo ? pm ?
解：带电圆盘→ 环形带电体→
环形电流，带电圆盘绕盘心转
o
r 动相当于许多圆形电流组成。
y
dB dB
θ
x
例14：无限长载流导线（I）与之共面有一矩
形线圈abcd，长为 l 宽为b，线圈一边与导线
的距离为a，求穿过该矩形线圈的φ m 。
ab
B B(r) 0I 2r
Ia
d dr c
o
r
以导线上一点为原点，建o－r轴， 在 r 处取一小矩形面元，宽dr， 长为 l ，向里为法线正方向
dB 0dI 0 dr
2r 2
B 0
R
dr

0R
20
2
解法二 运动电荷的磁场

o
R
r
dr

dB0

0
4π
dqv r2
dq 2π rdr
dB 0 dr
2
v r
B 0 R dr 0R
20
2
例18：四条相互平行的载流长直导线如图示，电 流均为I，正方形边长为2a，求正方形中心的 B
（2） I 即通过两棒的电流密度不同；
S I1 I2 , S1 S2 1 2
（3） E 即两棒中的电场强度不同；
1 2 , 1 2 E1 E2
（4）R l
S
U1 I1R1 I2R2 U2
1 2 , l1 l2 , S1 S2 R1 R2
解：（1）
A
I qn 2 Rn O
x
（2）
R
m IS 2 R n R2 2 2R3n
推广：若已知圆环带有电荷q，则结果又如何？
例9 判断下列各点磁感强度的方向和大小.
1
8
2
+

7
Idl + 3
R
6
+4
5
1、5 点 ：dB 0
3、7点
：dB

0 Idl
4π d
d *A
R1
R2
*o
B0

0I
4R2

0I
4R1

0I
4π R1
例12：宽度为 a 的薄金属板（无限长）通电I， 求与其共面的p点处的 B
解：把薄金属板分割成无限
dx
长载流直导线为电流元，在
ox I
x处取一电流元，
l p x dI I dx dB
0dI
a
2 ( a x)
例21：电流 I 均匀地流过一无限长圆柱形导体 （R），在导体内部作一平面 S ，一边是轴线， 另一边在外壁上，长为 l ，求Ф m。
I
解：无限长圆柱体内部的磁场
R ab dc
外部：作半径为 r 的安培环路L

H dl L

Ii
L内
H 2r I H I
2r
B

0H

0I 2r
ldx
2π x
d1 d2
o
Φ
S
B dS

0Il
2π
d2
d1
dx x
x
Φ 0Il ln d2
2π d1
例16：依玻尔氢原子模型，氢原子中电子以速率v=
2.2106m/s在半径为r=0.5310-8cm圆周上运
动求这电子在轨道中心所产生的磁感应强度
及磁矩.
+ r B
解:
v
I enu
s
一般情况： nqv
例6：有一长为l 的圆柱形电容器，内、外
极板的半径分别为R1和R2，两极间充满电
阻率为 的非理想介质，当两极板间加上
(电1)压计V算后电，介会质产的生漏漏电电电现阻象。R

2 l
lnR1RR12
(2)求电介质内各点处的场强
和漏电电流密度
V r0 ln R2 r
r
m
Bds
s
ab 0 Idr 0 I ln a b
a 2r
2 a
例15 如图载流长直导线的电流为 I , 试求通过
矩形面积的磁通量.
解 先求 B ，对非均匀磁场
B
给B出dΦ0后I ,积分B求 //ΦS
x
I
l
2π x dΦ BdS
0I
③ ④① ②
m1 Bs Ba2 B m2 Bs cos 0
m3 Bs cos(180o ) Ba2
m4 BS cos m3 Ba2
m后 Bs cos 0 m上 Bscos 0 m下 Bs cos 0
例8：半径为R的圆环，均匀带电，单位长度所带 的电量为λ，以每秒n转绕通过环心并与环面垂 直的轴作等速转动。求：（1）环中的等效电 流强度；（2）环的等效磁矩大小。
1
2
B4 B3
B 0I 0I 2 x 2 2 a
4
B1
B2
3
Bo 0
例19 求如图所示的三角形的 m
I
B
600
ab
o
B 0I ds (r a)tg60o dr
A
2r
d m

0I 2r
3(r a)dr
C
r
ab
m a
30I (r a)dr 2r
建or轴，在r处取一圆环→环形电流，在
o处产生的d B
dBo

0dI
2r
dI ndq 1 dq w q 2rdr wqrdr
f
2 R2
R2
dBo

0q 2R2
dr
Bo
dBo

0q 2R2
R
dr

0q
0
2R
dI

wqrdr
R2
s r 2
4 r 2
dr

I 4 r
r≤ a时，
I Va 4 a
例5：已知电子电量为e，电子的“漂移”
速度的平均值为 ，单位体积内自由 电子数为n，求金v属导体中的传导电流
密度。
电子的平均漂移速度u， S
n－单位体积内的电子数
v t
nev I q ensut enus t t
S （4）
E 1.75108 1.43106 2.50102 (V/m)
（5）
P IU 2.28103 50103 114 (W)
（6）



ne

8.5
1.43106 1028 1.601016
1.05104 (m / s)
例3:在如图所示的一段电路中，两边为电导率很大
I
厚度为 dr 的球壳的电阻为：
Oa
dr r
dR


dr
4 r
2
dR dl

dS
R
dR
a

dr
4 r 2
4 a

（2）任一点处， E
I Oa
dr r
E



I
4 r 2
r>a时，
Vr


Edr
r
r

I
4π R2
2、4、6、8 点 ：
dB

0 Idl
4π R2
sin
450
例10：如图，在被折成钝角的长直导线通中有20 安培的电流。求A点的磁感应强度。设 a=2.0cm，
α＝120º.
Q
P
解： B BOP BOQ
α I
A aO
由于A点位于 OP 延长线上，所以 BOP 0
1
R1
E V r0 ln R2 r R1
R2
例7：已知磁感应强度为B=2.0T的均匀磁场，方 向沿x轴正方向，如图所示。求：（1）通过图中 abcd面的磁通量；（2）通过图中befc面的磁通量； （3）通过图中aefd面的磁通量。
abcd m

BS cos180

2.0 0.4 0.3
例1：两个粗细不同、长度相同的铜棒串联在一起， 在两端加有一定的电压V，如图所示，略去分界 处的边缘效应，问： （1）通过两棒的电流强度是否相同？ （2）通过两棒的电流密度是否相同？ （3）两棒中的电场强度是否相同？ （4）细棒两端和粗棒两端的电压是否相同？
V
解：（1）通过两棒的电流强度相同；（串联）
（6）棒内电子的平均漂移速度。
解：（1）
R


l S

1.75
108

20

2 80 106

2.19 105
()
（2）
I U 50103 /(2.19105 ) 2.28103 (A) R
（3）
I 2.28103 /(2080106 ) 1.43106 (A/m2)
即细棒两端和粗棒两端的电压不同。
例2：一铜棒的横截面积为20mm×80mm，长为
2m，两端的电势差为50mV。已知铜的电阻率
为ρ＝1.75×10-8 Ω·m，铜内自由电子的数密度
为8.5×1028/m3。求：（1）棒的电阻；
（2）通过棒的电流；（3）棒内的电流密度；
（4）棒内的电场强度；（5）棒所消耗的功率；