2012年全国初中数学联赛试题答案
2012年全国初中数学竞赛试题及参考答案
—
１
＝
么
＋
ｃ 口＋ａ ｂ的 ÷一 ＋ 值为— — ． ＋
７ 甲） 图 ４ （ ．如 ，正 方 形 Ａ Ｃ 的 边 ＢＤ ，Ｅ、Ｆ分 别 是 Ａ Ｂ、Ｂ 的 Ｃ
（ Ａ）３ ／ 、２
４ 甲） （ ．小倩 和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币． 小
题均给 出了代 号为 Ａ，Ｂ，ｃ ，Ｄ的 四个选项 ，其 中有且只有 一 倩对小 玲说 ：“ 若给我 ２元 ，我 的钱数将 是你 的 ｎ倍” 你 ；小玲
个 选 项 是 正 确 的 ．请 将 正 确 选 项 的 代 号 填 入 题 后 的 括 号 里 ， 不 对小倩说 ：“ 你若给我 ｎ元 ，我的钱数将是你 的 ２倍” ．其 中 ｎ为 填 、 多填 或错 填都 得 ０分 ）
（ Ｂ）４
长为 ２
曰 Ｃ
（ Ｃ）２ ／ 、５
（ Ｄ）４５ ．
中 点 ，ＡＦ与 Ｄ Ｅ、Ｄ 分 别 交 于 点 、 Ｂ Ｎ，￣ ＡＤ ＭＮ的面积是
图２
３ ５
舞
７ 乙 ） 如 图 ５ ６０ 的半 径 为 ２ ， （ ． ， ３ ０ Ｃ 点 Ｅ在 Ｏ Ｄ． Ｄ上 ，且 ＤＣ＝Ｄ Ｅ，Ｂ Ｅ的 延 长 线 与 ６ ０ 交 于点 Ｆ ３．
（ ）Ｐ Ｂ 。
（ Ｄ）Ｐ ３
１
，
…
２ 甲） （ ．如果 正 比例 函数 Ｙ＝一（ ≠０ 与反 比例 函数 Ｙ Ⅱ ） ＝ （ ≠０ 的图象有两个交点 ，其 中一个交点 的坐标为（ ３ ２ ，那 ｂ ） 一 ，一 ） 么另一个交点的坐标为 （
（ （ ，３ Ａ） ２ ） （ Ｃ）（ ２
-2012全国初中数学竞赛试题及答案(安徽赛区)
中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年全国初中数学竞赛试题【安徽赛区】一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、如果2a =-11123a+++的值为【 】（A）（B（C ）2 （D）解：B ∵213+=+a ∴1231-=+a ，12312+=++a，123121-=++a因此原式=22、 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式y x y x 2222+≤+的整数点坐标（x ，y ）的个数为【 】 （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5 解：B 解法一：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x因为x 、y 均为整数，因此()()01122=-+-y x 或()()11122=-+-y x 或()()21122=-+-y x分别解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧==10y x ⎩⎨⎧==12y x ⎩⎨⎧==01y x ⎩⎨⎧==21y x 或⎩⎨⎧==20y x ⎩⎨⎧==22y x ⎩⎨⎧==00y x ⎩⎨⎧==02y x 所以共有9个整点 解法二：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x 它表示以点（1,1）为圆心，2为半径的圆内，画图可知，这个圆内有9个（0,2）、（0,1）（0,0），（1,0），（1,1），（1,2），（2,0），（2,1），（2,2）3、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为【 】（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5解：图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ． 由于AC = BC ，CD = CE ，BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ．又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒．在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是4=，所以CD = DE = 4．4、如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是【 】 （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8解：C ∵p 、q 是正整数∴042>+=∆q p ，021<-=⋅q x x ∴正根为3242<++q p p解得p q 39-<∴⎩⎨⎧==11q p ，⎩⎨⎧==21q p ，⎩⎨⎧==31q p ，⎩⎨⎧==41q p ，⎩⎨⎧==51q p ，⎩⎨⎧==12q p ，⎩⎨⎧==22q p 5、黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是【 】 （A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 解：C 1)1)(1(-++=++b a ab b a ∵计算结果与顺序无关∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b c b c c a a b+++++的值为 ．解：7在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得103=++++++ac bc b a b a c 即7=+++++ac bc b a b a c 7、如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 285 ．解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为16OB ==，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===，366455CM BM ===，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8、设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 . 解：1600()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此9|54+n ，所以)5(mod 14≡n ，因此25k ,15±±=或k n 240252012⋯⋯=÷所以共有2012-402=1600个数9、如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c（，，）均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则ac的取值范围是 . 解：1253≤<-ca依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>+>+a c b cb a 111，所以ac b ->，代入（2）得ca c cb a 11111+-<+<，两边乘以a 得c a a c a +-<1即ac ac a c -<-化简得0322<+-c ac a ，两边除以2c 得 0132<+-⎪⎭⎫⎝⎛c a c a 所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c ，所以1≤c a 综合得1253≤<-c a 10、已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ．解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22 由于n 是偶数，a+b 、a-b 同奇偶，所以n 是4的倍数当1≤n ≤100时，4的倍数共有25个 但是224⨯=，6412224⨯=⨯=，8416232⨯=⨯=，10420240⨯=⨯=，8612424248⨯=⨯=⨯=，14428256⨯=⨯=，10630260⨯=⨯=，16432264⨯=⨯= 12618436272⨯=⨯=⨯=，10820440280⨯=⨯=⨯=，22444288⨯=⨯= 12816624448296⨯=⨯=⨯=⨯=这些不符合要求，因此这样的n 有25-12=13个 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以AB = 10．由勾股定理，得6BO ==．易知ABO ACO △≌△， 因此 CO = BO = 6．于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，．设点D 的坐标为()m n ，．由C O E A D E S S =△△，得C D B A O B S S =△△．所以1122BC n AO BO ⋅=⋅，1112()8622n ⨯-=⨯⨯．解得 4n =-． 因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△ABC 的重心，所以点E 的坐标为8(0)3-，． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入，解得a =272． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-． 12、如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证： （1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）AB ＋AD ＝2BD.（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ． 同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线．（2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由 BCCD =，知OC ⊥BD ． 因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==．故2AB AD BD +=． 13、给定一个正整数n ，凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒？并说明理由． 解：14、将2，3，…，n （n ≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得b a c =，求n 的最小值．解：当1621n =-时，把23n ， ， ，分成如下两个数组：{}88162322121+- ， ， ， ， ， 和{}84521- ， ， ， ． 在数组{}88162322121+- ， ， ， ， ， 中，由于38821632221<>-（，），所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =．在数组{}84521- ， ， ， 中，由于48421>-， 所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =． 所以，162n ≥． 下面证明当162n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若224=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组，8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时ba c =；如果8在第二组，我们取16482a b c ===，，，此时b a c =．综上，162n =满足题设条件． 所以，n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．。
2012年全国初中数学联赛试题(含答案)
2012年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A ．3 B ．3C ．3D ．34．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ） A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98.5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p 的所有可能的值之和为 （ B ）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ C ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =1±．2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝． 4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝332．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩ 所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. 二．（本题满分25分）如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC .∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ，∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM //BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x b x c -++=的两根，所以13x b c =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE.因为P A 为⊙D 的切线，所以P A ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. 又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.又因为AM //BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. 把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-.第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >. 由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <. 又因为c 为整数，所以2129c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π； 当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π.二．（本题满分25分）如图，P A 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，AD ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E .证明：∠BAE ＝∠ACB .证明：连接OA ，OB ，OC ，BD . ∵OA ⊥AP ，AD ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PBD ∽△COD ， ∴PD BDCD OD =， ∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD AD AD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB . 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，P A 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC .求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，所以点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x b x c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE .因为P A 为⊙D 的切线，所以P A ⊥AD ，又AE ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662by x b=--++-.易求得两抛物线的交点为Q23(312102)2bb+-+.由∠QBO＝∠OBC可得tan∠QBO＝tan∠OBC.作QN⊥AB，垂足为N，则N(312b+-，又233(x b b=+=，所以tan∠QBO＝QNBN2310212b+=12=22111)]22==⋅.又tan∠OBC＝OCOB1(2b==⋅，所以111)](22b⋅=⋅-.解得4b=（另一解45)03b=<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x=-+-.。
2012年全国初中数学联赛试题详解
2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知1a =，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<解答：1a ===b ==，2c ===1显然：b a c <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 解答：222222223232()234x xy y x xy y y x y y ++=+++=++=由0、1、2、3、4、5、6的平分别是0、1、4、9、16、25、36知唯有16+2⨯9=34故5555544444x y x y x y x y x y y y y y y +=-+=+=+=-⎧⎧⎧⎧+=±=±⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩、，由、、、得 4444=9=1=9=1y y y y x x x x ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨--⎩⎩⎩⎩、、、共4组解。
3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A．3 B．3 C．3 D．3EBD解答：如图，做G H ⊥BE 于H ，易证Rt △AB E ∽Rt △GHB ，设GH=a ，则HE=a ，BH=2-a ， 由GH BH a 2-a 2==a=AB BE 123得解得，故BG=3。
4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ）A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 解答：44222222219=2=21=2()48a ab b a b a b ab a b ab ab +++-+-++--+2（） 考查以ab 整体为自变量的函数的图像为抛物线219y=2()48ab --+其对称轴为14ab = 由22222020a b ab a b ab +-≥++≥和知1122ab -≤≤ 又1111()4242-->-，故当12ab =-时，函数取最小值0。
2012全国初中数学竞赛试题及答案(安徽赛区)
2012全国初中数学竞赛试题附答案(安徽赛区)说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1、如果2a =-11123a+++的值为【 】（A）（B（C ）2 （D）2、 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式y x y x 2222+≤+的整数点坐标（x ，y ）的个数为【 】 （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）53、如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为【 】（A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.54、如果关于x 的方程20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是【 】 （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 85、黑板上写有1，12，13，…，1100共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是【 】 （A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6、如果a ，b ，c 是正数，且满足9a b c ++=，111109a b b c c a ++=+++，那么a b cb c c a a b+++++的值为 ．7、如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 285 ．．8、设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 .9、如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c（，，）均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则ac的取值范围是 .10、已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11、如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．12、如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）AB＋AD＝2BD.13、给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150︒？并说明理由．，，（可以相同）使14、将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c=，求n的最小值．得b a c2012全国初中数学竞赛答案(安徽赛区)1． 解：B ∵213+=+a ∴1231-=+a ，12312+=++a，123121-=++a因此原式=22． 解：B 解法一：y x y x 2222+≤+化为()()21122≤-+-y x3． 4解：图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ． 由于AC = BC ，CD = CE ，4． 解：C ∵p 、q 是正整数∴042>+=∆q p ，021<-=⋅q x x ∴正根为3242<++qp p解得p q 39-<∴⎩⎨⎧==11q p ，⎩⎨⎧==21q p ，⎩⎨⎧==31q p ，⎩⎨⎧==41q p ，⎩⎨⎧==51q p ，⎩⎨⎧==12q p ，⎩⎨⎧==22q p5.解：C 1)1)(1(-++=++b a ab b a ∵计算结果与顺序无关∴顺次计算得：21)121)(11(=-++，31)131)(12(=-++，41)141)(13(=-++，…… 1001)11001)(199(=-++6. 解：7在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得103=++++++ac bc b a b a c 即7=+++++ac b c b a b a c 7. 解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为16OB ==，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===，366455CM BM ===，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285= 8. 解：1600()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此9|54+n ，所以)5(mod 14≡n ，因此25k ,15±±=或k n 240252012⋯⋯=÷所以共有2012-402=1600个数9. 解：1253≤<-ca依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧>+>+ac b c b a 111，所以a c b ->，代入（2）得ca c cb a 11111+-<+<，两边乘以a 得 c a a c a +-<1即ac ac a c -<-化简得0322<+-c ac a ，两边除以2c 得 0132<+-⎪⎭⎫⎝⎛c a c a 所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c ，所以1≤c a 综合得1253≤<-c a10.解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22 由于n 是偶数，a+b 、a-b 同奇偶，所以n 是4的倍数当1≤n ≤100时，4的倍数共有25个 但是224⨯=，6412224⨯=⨯=，8416232⨯=⨯=，10420240⨯=⨯=，8612424248⨯=⨯=⨯=，14428256⨯=⨯=，10630260⨯=⨯=，16432264⨯=⨯= 12618436272⨯=⨯=⨯=，10820440280⨯=⨯=⨯=，22444288⨯=⨯= 12816624448296⨯=⨯=⨯=⨯=这些不符合要求，因此这样的n 有25-12=13个 11. 解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以AB = 10．由勾股定理，得6BO ==．易知ABO ACO △≌△， 因此 CO = BO = 6．于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，．设点D 的坐标为()m n ，．由C O E A D E S S =△△，得C D B A O B S S =△△． 所以1122BC n AO BO ⋅=⋅，1112()8622n ⨯-=⨯⨯．解得 4n =-． 因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线，点E 为△ABC 的重心，所以点E 的坐标为8(0)3-，． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入，解得a =272． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-． 12. （1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ． 同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线．（2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由 BCCD =，知OC ⊥BD ． 因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ．又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==．故2A B A D BD +=． 14. 解：当1621n =-时，把23n ， ， ，分成如下两个数组：{}88162322121+- ， ， ， ， ， 和{}84521- ， ， ， ． 在数组{}88162322121+- ， ， ， ， ， 中，由于38821632221<>-（，）， 所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =．在数组{}84521- ， ， ， 中，由于48421>-， 所以其中不存在数a b c ，，，使得ba c =． 所以，162n ≥． 下面证明当162n =时，满足题设条件．不妨设2在第一组，若224=也在第一组，则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组，8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组，我们取8282a b c ===，，，此时ba c =；如果8在第二组，我们取16482abc ===，，，此时b a c =．综上，162n =满足题设条件． 所以，n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n 最小值为65536．。
2012年全国初中数学联合竞赛试题及解答
又 c a ( 6 2) ( 2 1) 6 ( 2 1) ，而 ( 6) ( 2 1) 3 2 2 0 .所 以 6
2 1 ，故 c a .因此 b a c .
2．方程 x 2 xy 3 y 34 的整数解 ( x, y ) 的组数为（
因为 2 | ab | a b 1 ，所以
2 2
因此 a ab b 的最小值为 0，当 a
4 4
2 2 2 2 或a 时取得. ,b ,b 2 2 2 2
5．若方程 x 2 px 3 p 2 0 的两个不相等的实数根 x1 , x2 满足 x1 x1 4 ( x2 x2 ) ，
2
验证可知： b 因此， t 1 . 方法二：由 a
1 a 1 1 a 1 时 t 1； b 时 t 1 . ,c ,c 1 a a 1 a a
1 1 bc . b 可得 bc b c a b ca a b 同理可得： ca ， ab . bc ca
1
） D．
6 3
B．
5 3
C．
2 6 3
2 5 3
易知 BG：GH＝2:1，所以 BG =
2 2 5 BH 3 3
A F
D G
H
B
2 2 4
C
4
P
E
）
4．已知实数 a, b 满足 a b 1 ，则 a ab b 的最小值为 （ A． 【答】B.
1 . 8
B．0.
C．1.
D．
m 2
m 2
设 n 2k 1 （其中 k 是正整数） ，则 5 2 4k (k 1) ，即 5 2
【数学竞赛】2012年全国初中数学联赛试题答案
【数学竞赛】2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =-，b =2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为 （ B ） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A B C D 4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为 （ B ） A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p的所有可能的值之和为 （ B ）A ．0.B ．34-. C ．1-. D ．54-. 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有 （ C ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =1±．2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ．3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝．4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝332．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA P B PC =⋅，∴PB PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ，∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即。
(整理)全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准
2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准•第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题, 请按照本评分标准规定的评分档次给分•如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数•第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.已知2012 , b：=,3- .2 , c:=,6- 2，那么a,b,c的大小关系是( )A. a< b< cB. a < c< bC. b< a< cD.b< c< a 【答】C.1 _因为一二\ 2 + 1,=3 +、、2 ,1 1 l所以0 ，故b a .又c-a = (、.-2) -1)―飞a b a b（、,2 1），而（、.6）2 -（.2 1）2=3 -0，所以,6.21，故c a.因此b ：：a ： c.2 22.方程x 2xy 3y =34的整数解（x, y）的组数为（）A . 3.B . 4. C. 5. D . 6.【答】B.方程即（x y）2 2y2 =34 ,显然x y必须是偶数，所以可设x，y=2t,则原方程变为2 2I t = 2,2t2 y2 =17 ,它的整数解为'从而可求得原方程的整数解为（x,y）= （-7,3）, （1,3）, （7,-3）,ly v,3.已知正方形ABCD勺边长为1, E为BC边的延长线上一点, BF 并延长与线段DE交于点G,贝U BG的长为A .迈3【答】D.过点C作CP//BG,交DE于点P.因为BC= CE= 1,所以CP是△ BEG 的中位线，所以P为EG的中点.又因为AD= CE= 1 , AD//CE，所以△ ADF^A ECF,所以CF= DF,又CP//FG ,所以FG是厶DCP的中位线，所以G为DP的中点.1 寸2因此DG = GP= PE= — DE =——3 3连接BD，易知/ BDC=Z EDC= 45°，所以/ BDE= 90 °又BD= J2，所以BG= J BD 2+ DG 2= ^2^~ ¥934.已知实数a, b满足a2 b2 =1，则a4 ab b4的最小值为CE= 1，连接AE,与CD交于点F,连接（）C.19A ..B . 0.C . 1.D .—.8 8【答】B.4422222221 2 9 a 4ab b 4=(a 2 b 2)-2a 2b 2 - ab =1 -2a 2b 2ab 二-2(ab_—)2—.4 8”221 1 3 1 1 1 29因为2|ab^a b =1，所以ab ，从而 ab，故0乞(ab )，因此2 244 44 161?99 亦 44 90 _ -2(ab )，即 0 _ a ab b 488 8因此a 4ab b 4的最小值为0,当a2,b2或a 2, b 2时取得.2 2 2 22323X 1,X 2 满足 X 1 X 1 =4-(X 2 - X 2)，则实数 p的所有可能的值之和为3 A . 0.B ..4【答】B.2 2 2 2x-i x 2 = (x , x 2) _2片 x 2 = 4 p 6p 4 , x ； x ； =(x 「x 2)[(x 1 - x 2)2-3捲 x 2] = -2p(4 p 29p ■ 6).2323223322又由 X 1 X 1 =4-(X 2 X 2)得 X 1 X 2 =4 -(X 1 X 2)，所以 4p 2 6p 4 = 4 2p(4p 2 9 p 6),3所以 p(4p 3)( p 1)=0,所以 5 =0, p 2 二一3, p 3=—1.43代入检验可知：p 1 =0, p 2均满足题意，p 3 =-1不满足题意.433因此，实数p 的所有可能的值之和为p 1 p^ 0 ().44abcd (数字可重复使用)，要求满足a ^b d .这样的四5.若方程x 2 • 2px -3p -2 =0的两个不相等的实数根 C . -1.由一元二次方程的根与系数的关系可得 X 1 X 2 = -2p ,论 x 2 = -3 p - 2，所以6.由1 , 2, 3, 4这四个数字组成四位数 位数共有A . 36 个.B . 40 个.【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑： (1) 只用1个数字，组成的四位数可以是 (2) 使用2个不同的数字，使用的数字有( )C . 44 个.D . 48 个. 1111, 2222, 3333, 4444,共有 4 个.6 种可能(1、2, 1、3, 1、4, 2、3, 2、4, 3、4).如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122, 1221, 2112, 2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6X 4= 24个.(3)使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232 , 2123,2321 , 3212, 2343, 3234, 3432, 4323，共有8 个.(4)使用4个不同的数字1 , 2, 3, 4，组成的四位数可以是1243, 1342, 2134 , 2431 , 3124 , 3421 , 4213 , 4312 ,共有8 个.因此，满足要求的四位数共有 4 + 24+ 8+ 8= 44个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1 1 1 1. ___________________________________________________________________ 已知互不相等的实数 a,b,c 满足a +—= b +—= c +—= t ，贝U t= _________________________________ .bca【答】_1.1 1 1 11 由a t 得b ，代入b t 得 t ，整理得ct 2-（ac T ）t • （a-c ） =0①b t -ac t -a c 1 2 2 2又由c t 可得ac •仁at ，代入①式得ct -at ・（a -c ）=：0，即（c-a ）（t -1）=0，又c = a ,a所以t 2 -1 =0，所以t验证可知：b 匚山二口 时t -1; b J,c = -L 时t =-1.因此，t =T .1-a a 1 +a a2. 使得5 2m 1是完全平方数的整数 m 的个数为 ____________ . 【答】1.设5 2m ，1= n 2 （其中n 为正整数），则5 2m = n 2-1=（n ，1）（n-1），显然n 为奇数，设n = 2k-1 （其中 k 是正整数），则 5 2m =4k （k -1），即 5 2m ，=k （k -1）.因此，满足要求的整数 m 只有1个.因为 a 2 —3a -1 =a 2 —3a abc =a(bc a - 3) = a(bc — b — c 1) = a(b —1)(c-1)，所以显然k 1，此时k 和k -1互质，所以L 严或L m.k-1=1, k-1=2「k = 2m_2或 ’解得k =5,m = 4.k-1=5,3.在厶 ABC 中，已知 AB = AC ，/ A = 40 P 为 AB 上一点，/ ACP = 20°，则匹AP【答】、、3 .设D 为BC 的中点，在△ ABC 外作/ CAE = 20°，则/ BAE = 60° . 1 作 CEL AE, PF 丄 AE,则易证△ ACE^A ACD 所以 CE= CD= - BC.2J31又 PF = PA sin / BAE = PA S in 60°= AP, PF = CE 所以AP = BC2 2 2因此匕BC =丿3 .AP4.已知实数 a,b,c 满足 abc - -1 , a b 4 ,a b — a - 3a -1 b - 3b -1 c - 3c -1c 2【答3322a -3a -1 (b-1)(c-1)1c1，~2=(a -1)(c-1) c -3c-1 (a-1)(b-1)4所以—(a -1)(b -1)(c -1) =(a -1) (b -1) (c-1).91 结合 abc = -1, a b c = 4，可得 ab bc ac . 4 222 233 因此，a b c = (a ■ b c) -2(ab bc ac) .21 1实际上，满足条件的 a,b,c 可以分别为 ，一，4.2 2第二试 (A )一、(本题满分20分)已知直角三角形的边长均为整数，周长为 解 设直角三角形的三边长分别为a,b,c ( aEbcc )，贝U a + b + c = 30.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由 a _b : c 及 a b c =30得 30 二a b c : 3c ，所以 c 10. 由 a b c 及a b c =30得 30 = a b c 2c ,所以 c :: 15. 又因为c 为整数，所以11乞C 乞14........................... 5分根据勾股定理可得 a 2 b^c 2，把c =30-a -b 代入，化简得ab-30(a b) 45^ 0 ,所以2 2(30 -a)(30-b) =450 =2 3 5 ,........................ 10分30 - a = 52,1 a = 5,因为a,b 均为整数且a 兰b ，所以只可能是2解得彳............... 15分[30 —b = 2汽32,lb = 12. 169所以，直角三角形的斜边长 C =13，三角形的外接圆的面积为 竺二................ 20分4.. 2•(本题满分25分)如图，PA 为。
2010-2012年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ C ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且,0111=+-+-ab b a 则 （ C ） A ．103a b <+≤. B ．113a b <+≤. C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++=（ D ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19． 3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA ＝5，PC ＝5，则PB ＝___10___．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线. 证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N. 因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC.由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-错误！未找到引用源。
2012年全国初中数学竞赛试卷及答案(福建赛区)
2012年全国初中数学竞赛试卷（福建赛区）（考试时间：120分钟，总分：150分）一、选择题（每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，ca b b c ++可以化简为（ ）A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ ）A ．10B ．9C ．7D ．53．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ ）A ．23B ．4C ．52D ．4.54．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）A ．2012B ．101C ．100D ．99二、填空题（每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 ． 7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 ．8．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为．9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 ．10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD ，交点为E ．作BF EC ⊥，并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 ．三、解答题（每题20分，共80分）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心．求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=．13．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．14．将23n ， ， ，（2n ≥）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a b c ，，（可以相同）使得ba c =，求n 的最小值．2012年全国初中数学竞赛试卷答案（福建赛区）（考试时间：120分钟，总分：150分）一、选择题（每小题7分，共35分）1．如果实数a ，b ，c a b b c ++可以化简为（ C ）A ．2c a -B ．22a b -C ．a -D ．a解：由实数a ，b ，c 在数轴上的位置可知0b a c <<<，且b c >，所以()()()a b b c a a b c a b c a ++=-+++--+=-2．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标()x y ，的个数为（ B ）A ．10B ．9C ．7D ．5解：由题设2222x y x y +≤+，得220(1)(1)2x y ≤-+-≤．因为x ，y 均为整数，所以有22(1)0(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)0(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)0x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，22(1)1(1)1x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，12x y =⎧⎨=⎩，10x y =⎧⎨=⎩，01x y =⎧⎨=⎩，21x y =⎧⎨=⎩，00x y =⎧⎨=⎩，02x y =⎧⎨=⎩，20x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩,以上共计9对()x y ，3．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒，AD = 3，BD = 5，则CD 的长为（ B ）A ．23B ．4C ．52D ．4.5解：如图，以CD 为边作等边△CDE ，连接AE ．由于AC = BC ，CD = CE ， BCD BCA ACD DCE ACD ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以 △BCD ≌△ACE ， BD = AE ．又因为30ADC ∠=︒，所以90ADE ∠=︒．在Rt △ADE 中，53AE AD ==，，于是DE 4=，所以CD = DE = 4．4．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ D ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元，x y ，均为非负整数． 由题设可得 2(2)2()x n y y n x n +=-⎧⎨+=-⎩．消去x 得，(27)4y n y -=+，(27)1515212727y n y y -+==+--．因为1527y -为正整数，所以27y -的值分别为1，3，5，15．y 的值只能为4，5，6，11．从而n 的值分别为8，3，2，1．所以 x 的值分别为14，7，6，7．5．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ C ） A ．2012 B ．101 C ．100 D ．99解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ，则1111(11)(1)(1)...(1)23100x +=+++⋅⋅+， 解得，1101x +=，100x =．二、填空题（每小题7分，共35分）6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是 719x <≤ ．解：前四次操作的结果分别为32x -，3(32)298x x --=-，3(98)22726x x --=-，3(2726)28180x x --=-．由已知得，27264878180487x x -≤⎧⎨->⎩．解得719x <≤． 容易验证，当719x <≤，32487x -≤，98487x -≤，故x 的取值范围是719x <≤． 7．如图，⊙O 的半径为20，A 是⊙O 上一点．以OA 为对角线作矩形OBAC ，且12OC =．延长BC ，与⊙O 分别交于D E ，两点，则CE BD -的值等于 285 ．解：如图，设DE 的中点为M ，连接OM ，则OM DE ⊥．因为16OB ==，所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===，366455CM BM ===，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8．如果关于x 的方程22393042x kx k k ++-+=的两个实数根分别为1x ，2x ，那么2012220111x x 的值为32-．解：根据题意，关于x 的方程有22394(3)042k k k ∆=--+≥，由此得2(3)0k -≤．又2(3)0k -≥，所以2(3)0k -= ，3k =．此时方程为29304x x ++=，解得1232x x ==-．故20111201222123x x x ==-9．2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分．比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 8 ．解：设平局数为a ，胜（负）局数为b ，由题设知 23130a b +=．由此得043b ≤≤．又(1)(2)2m m a b +++=，所以22(1)(2)a b m m +=++．于是0130(1)(2)43b m m ≤=-++≤，87(1)(2)130m m ≤++≤． 由此得8m =或9m =．当8m =时，40b =，5a =；当9m =时，20b =，35a =，5522a b a +>=．不合题设．故8m =． 10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD DC =．分别延长BA ，CD ，交点为E．作BF EC ⊥，并与EC 的延长线交于点F ．若AE AO =，6BC =，则CF 的长为 223 ．解：如图，连接AC ，BD ，OD ． 由AB 是⊙O 的直径知90BCA BDA ∠=∠=︒． 依题设90BFC ∠=︒，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以BCF BAD ∠=∠．所以Rt BCF Rt BAD △∽△，因此 BC BACF AD=． 因为OD 是⊙O 的半径，AD CD =，所以OD 垂直平分AC ，OD BC ∥，于是 2DE OEDC OB==．因此223DE CD AD CE AD ===，．由AED CEB △∽△，知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，，所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅，BA =．故2AD CF BC BA =⋅==． 三、解答题（每题20分，共80分）11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，8AO =，AB AC =，4sin 5ABC ∠=．CD 与y 轴交于点E ，且COE ADE S S =△△．已知经过B ，C ，E 三点的图象是一条抛物线，求这条抛物线对应的二次函数的解析式．解：因为sin ∠ABC =45AO AB =，8AO =，所以AB = 10．由勾股定理，得6BO ==．易知ABO ACO △≌△，因此 CO = BO = 6． 于是(08)A -，，(60)B ，，(60)C -，．设点D 的坐标为()m n ，．由COE ADE S S =△△，得CDB AOB S S =△△． 所以 1122BC n AO BO ⋅=⋅，1112()8622n ⨯-=⨯⨯．解得 4n =-．因此D 为AB 的中点，点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ，AO 分别为AB ，BC 的两条中线， 点E 为△A BC 的重心，所以点E 的坐标为8(0)3-，． 设经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入，解得a =272． 故经过B ，C ，E 三点的抛物线对应的二次函数的解析式为228273y x =-． 12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，AC 的中点I 是△ABD 的内心．求证：（1）OI 是△IBD 的外接圆的切线；（2）2AB AD BD +=．解：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质知CID IAD IDA ∠=∠+∠，CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠． 所以CID CDI ∠=∠， CI = CD ．同理，CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ，OC ，因为I 是AC 的中点，且OA = OC ，所以OI ⊥AC ，即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． （2）如图，过点I 作IE ⊥AD 于点E ，设OC 与BD 交于点F ．由BC CD =，知OC ⊥BD ．因为∠CBF =∠IAE ，BC = CI = AI ，所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ．又因为I 是△ABD 的内心，所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．13．已知整数a ，b 满足：a b -是素数，且ab 是完全平方数．当2012a ≥时，求a 的最小值．【解答1】设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是正整数）．因为 22()4()a b ab a b +-=-，所以 222(2)4a m n m --=，2(22)(22)a m n a m n m -+--=． 因为22a m n -+与22a m n --都是正整数，且2222a m n a m n -+>--（m 为素数)， 所以 222a m n m -+=，221a m n --=．解得2(1)4m a +=， 214m n -=． 于是214m b a m -=-=（）．又2012a ≥，即2(1)20124m +≥． 又因为m 是素数，解得89m ≥． 此时，2(891)4a +≥=2025． 当2025a =时，89m =，1936b =，1980n =．因此，a 的最小值为2025．【解答2】设a b m -=（m 是素数），2ab n =（n 是非负整数）。
-2012年全国初中数学联赛试卷
2012年全国初中数学联赛试卷一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）223．（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接．C D．2244．．5．（7分）若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所C．6．（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=_________．8．（7分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为_________．9．（7分）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=_________．10．（7分）已知实数a，b，c满足abc=﹣1，a+b+c=4，，则a2+b2+c2= _________．三、解答题（共3小题）11．（20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．12．（25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．13．（25分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．2012年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）﹣b=﹣﹣=，=+，=+1=＜＜，＜＜，22，3．（7分）已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE=1，连接AE，与CD交于点F，连接．C D．DE=DE=．，=．2244．．≤，﹣+≤时，时，﹣（﹣）+×+﹣，，或a=﹣5．（7分）若方程x2+2px﹣3p﹣2=0的两个不相等的实数根x1，x2满足，则实数p的所C．然后利用得到有关+﹣=[+﹣（+）得=4﹣（），﹣（﹣．6．（7分）由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足a+c=b+d．这样的四位数共有二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）7．（7分）已知互不相等的实数a，b，c满足，则t=±1．=t，代入b+c+=t，=t，得：=t=t，时，，时，8．（7分）使得5×2m+1是完全平方数的整数m的个数为1．或9．（7分）在△ABC中，已知AB=AC，∠A=40°，P为AB上一点，∠ACP=20°，则=．BCBAE=PAsin60=AP==故答案为：10．（7分）已知实数a，b，c满足abc=﹣1，a+b+c=4，，则a2+b2+c2=．，同理可得：，=+，+=，=，即整理得：，=故答案为：三、解答题（共3小题）11．（20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积．∴只可能是或或，三角形的外接圆的面积为12．（25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．13．（25分）已知抛物线的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．中，﹣的横坐标为：﹣=3b，纵坐标为：b的坐标为是一元二次方程的两根，，．，即，．代入，解得（另一解舍去）∴抛物线的解析式为。
2012年全国初中数学 竞赛试题
2012年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案一、选择题（共6小题,每小题6分,共36分. 以下每道小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）1．在1,3,6,9四个数中,完全平方数、奇数、质数的个数分别是【 】 （A ）2,3,1 （B ）2,2,1 （C ）1,2,1 （D ）2,3,2 【答】A ．解.完全平方数有1,9；奇数有1,3,9；质数有3．2．已知一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限,则下列判断正确的是【 】（A ）1m >- （B ）1m <- （C ）1m > （D ）1m < 【答】C ．解.一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过一、二、三象限,说明其图象与y 轴的交点位于y 轴的正半轴,且y 随x 的增大而增大,所以10,10.m m ->⎧⎨+>⎩解得1m >．3．如图,在⊙O 中,CD DA AB ==,给出下列三个 结论.（1）DC =AB ；（2）AO ⊥BD ；（3）当∠BDC =30° 时,∠DAB =80°．其中正确的个数是【 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答】D ．解.因为CD AB =,所以DC =AB ；因为AD AB =,AO 是半径,所以AO ⊥BD ；设∠DAB =x 度,则由△DAB 的内角和为180°得.2(30)180x x -︒+=︒,解得80x =︒．4. 有4张全新的扑克牌,其中黑桃、红桃各2张,它们的背面都一样,将它们洗匀后,背面朝上放到桌面上,从中任意摸出2张牌,摸出的花色不一样的概率是【 】（A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）21【答】B ．解.从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能,摸出的2张牌花色不一样的有4种可能,所以摸出花色不一样的概率是3264=. 5．在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(1,0),点B 的坐标是(3,3)--,点C 是y 轴上一动点,要使△A B C 为等腰三角形,则符合要求的点C 的位置共第3题图O DCBA有【 】（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 【答】D ．解.由题意可求出AB =5,如图,以点A 为圆心AB 的长为半径画弧,交y 轴于C 1和C 2,利用勾股定理可求出OC 1=OC 2=225126-=,可得)62,0(),62,0(21-C C , 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧,交y 轴于点C 3和C 4, 可得34(0,1),(0,7)C C -,AB 的中垂线交y 轴于点C 5,利用 三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5-C ． 6．已知二次函数221y x bx =++（b 为常数）,当b 取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”,图中的实线型抛物线分别是b 取三个不同的值时二次函数的图象,它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线）,这条抛物线的解析式是【 】（A ）221y x =-+ （B ）2112y x =-+ （C ）241y x =-+ （D ）2114y x =-+【答】A ．解.221y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--88,42b b ,设4b x -=,882b y -=,由4b x -=得x b 4-=,所以222218)4(888x x b y -=--=-=． 二、填空题（共6小题,每小题6分,共36分）7．若2=-n m ,则124222-+-n mn m 的值为 ． 【答】7．解.71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m ．8．方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是 ．【答】120,4x x ==-．yxO 第6题图xyOABC 1C 2C 3C 4C 5 第5题图解.11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++11213(1)(3)x x x x =-=++++. ∴22(1)(3)3x x =++,解得 120,4x x ==-.9．如图,在平面直角坐标系中,点B 的坐标是（1,0）, 若点A 的坐标为（a ,b ）,将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段BA ',则点A '的坐标是 ． 【答】(1,1)b a +-+．解.分别过点A 、A '作x 轴的垂线,垂足分别 为C 、D ．显然Rt △ABC ≌Rt △B A 'D ． 由于点A 的坐标是(,)a b ,所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+,1A D BC a '==-,所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+．10．如图,矩形ABCD 中,AD =2,AB =3,AM =1,DE 是以点A 为圆心2为半径的41圆弧,NB 是以点M 为圆心2为半径的41圆弧,【答】2．解.连接MN ,显然将扇形AED 向右平移 可与扇形MBN 重合,图中阴影部分的面积等于 矩形AMND 的面积,等于221=⨯．11．已知α、β是方程2210x x +-=的两根,则3510αβ++的值为 ．【答】2-．解.∵α是方程2210x x +-=的根,∴212αα=-．∴ 322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-, 又 ∵2,αβ+=-M第10题图E 第9题图∴ 3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-．12．现有145颗棒棒糖,分给若干小朋友,不管怎样分,都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上,这些小朋友的人数最多有 个． 【答】36．解.利用抽屉原理分析,设最多有x 个小朋友,这相当于x 个抽屉,问题变为把145颗糖放进x 个抽屉,至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,则41x +≤145,解得x ≤36,所以小朋友的人数最多有36个．三、解答题（第13题15分,第14题15分,第15题18分,共48分）13．王亮的爷爷今年（2012年）80周岁了,今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和,问王亮今年可能是多少周岁？解.设王亮出生年份的十位数字为x ,个位数字为y （x 、y 均为0 ~ 9的整数）．∵王亮的爷爷今年80周岁了,∴王亮出生年份可能在2000年后,也可能是2000年前．故应分两种情况. …………………2分（1）若王亮出生年份为2000年后,则王亮的出生年份为200010x y ++,依题意,得2012(200010)20x y x y -++=+++,整理,得 1011,2xy -=x 、y 均为0 ~ 9的整数,∴0.x = 此时 5.y =∴王亮的出生年份是2005年,今年7周岁．…………………8分（2）若王亮出生年份在2000年前,则王亮的出生年份为190010x y ++,依题意,得2012(190010)19x y x y -++=+++,整理,得 111022x y =-,故x 为偶数,又1021110211,09,22x xy --=≤≤ ∴ 779,11x ≤≤ ∴ 8.x = 此时7.y = ∴王亮的出生年份是1987年,今年25周岁． …………………14分 综上,王亮今年可能是7周岁,也可能是25周岁．……………15分14．如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2),点D 在线段OA 上,BD =BA , 点Q 是线段BD 上一个动点,点P 的坐标是(0,3),设直线PQ 的解析式为y kx b =+．（1）求k 的取值范围；（2）当k 为取值范围内的最大整数时,若抛物线25y ax ax =-的顶点在直线PQ 、OA 、AB 、BC 围成的四边形内部,求a 的取值范围．解.（1）直线y kx b =+经过P (0,3),∴ 3b =．∵B (3,2),A (5,0),BD =BA ,∴ 点D 的坐标是(1,0), ∴ BD 的解析式是1y x =-, 1 3.x ≤≤依题意,得 1,3.y x y kx =-⎧⎨=+⎩,∴4,1x k =-∴ 41 3.1k -≤≤解得13.3k --≤≤……………………………………………7分 （2） 13,3k --≤≤且k 为最大整数,∴1k =-.则直线PQ 的解析式为3y x =-+.……………………………………………9分又因为抛物线25y ax ax =-的顶点坐标是525,24a ⎛⎫-⎪⎝⎭,对称轴为52x =．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25,3x x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 即直线PQ 与对称轴为52x =的交点坐标为51(,)22,∴125224a <-<．解得 822525a -<<-．……………………………………15分 15. 如图,扇形O M N 的半径为1,圆心角是90°．点B 是MN 上一动点,BA ⊥OM 于点A ,BC ⊥ON 于点C ,点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点,GF 与CE 相交于点P ,DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证.四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索当OA 的长为何值时,四边形EPGQ 是矩形；（3）连结PQ ,试说明223PQ OA +是定值．解.（1）证明.如图①, ∵∠AOC =90°,BA ⊥OM ,BC ⊥ON , ∴四边形OABC 是矩形． ∴OC AB OC AB =,//． ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点, ∴.,//GC AE GC AE =∴四边形AECG 为平行四边形.∴.//AG CE ……………………………4分 连接OB , ∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点, ∴ GF ∥OB ,DE ∥OB , ∴ PG ∥EQ ,∴四边形EPGQ 是平行四边形．………………………………………………6分A BCO D EFGPQ M N图①（2）如图②,当∠CED =90°时,□EPGQ 是矩形． 此时 ∠AED +∠CEB =90°．又∵∠DAE =∠EBC =90°,∴∠AED =∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ．………………………………8分 ∴AD AEBE BC=． 设OA =x ,AB =y ,则2x ∶2y =2y ∶x ,得222y x =．…10分又 222OA AB OB +=,即2221x y +=．∴2221x x +=,解得x =∴当OA的长为3时,四边形EPGQ 是矩形．………………………………12分 （3）如图③,连结GE 交PQ 于O ',则.,E O G O Q O P O '=''='．过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B '、A '．由△PCF ∽△PEG 得,2,1PG PE GE PF PC FC === ∴ PA '=23A B ''=13AB , GA '=13GE =13OA ,∴ 1126A O GE GA OA '''=-=． 在Rt △PA O ''中,222PO PA A O ''''=+,即 2224936PQ AB OA =+, 又 221AB OA +=, ∴ 22133PQ AB =+,∴ 2222143()33OA PQ OA AB +=++=．……………………………………18分A BCOD E F GP QMN 图②B'N MA'QP O'G F E D C B A O 图③。
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2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知1a =，b =-2c =，那么,,a b c 的大小关系是 （ C ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a <<2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为（ B ）A ．3.B ．4.C ．5.D ．6. 3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为 （ D ）A 3B 3C 3D 34．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（ B ）A ．18-. B ．0. C ．1. D ．98.5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则 实数p 的所有可能的值之和为（ B ）A ．0.B ．34-. C ．1-.D ．54-.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b +=+.这样的四位数共有 （ C ）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =1±．2．使得521m ⨯+是完全平方数的整数m 的个数为 1 ． 3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则B C A P＝．4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则22a b c++＝332．第二试 （A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <. 又因为c 为整数，所以1114c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π.二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2A DB DC D=⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA P B P C =⋅，∴P B P C P D P O ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ，∴P D B D C DO D=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅.三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解 易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE＝.因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.又由DA ＝DC得22DA DC=，即22226)(30)()c m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.又因为AM//BC ，所以O A O M O BO C=3||2|6|-=-.把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）.因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-.第二试 （B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.解 设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >. 由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <. 又因为c 为整数，所以2129c ≤≤.根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯，因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π；当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π. 二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.证明：连接OA ，OB ，OC ，BD. ∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅.又由切割线定理可得2PA P B P C =⋅，∴P B P C PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆， ∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴P D B D C D O D=，∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴B D A D A DC D=.又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ，∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.解 抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，所以点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m .显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE ＝.因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-.又由DA ＝DC得22DA DC=，即22226)(30)()c m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）.将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662by x b=--++-.易求得两抛物线的交点为Q23(312102)2bb+-+.由∠QBO＝∠OBC可得tan∠QBO＝tan∠OBC.作QN⊥AB，垂足为N，则N(3120)b+-，又233(x b b=+=+，所以tan∠QBO＝Q NB N＝2310212b+=21416(42b---=111)]22==⋅.又tan∠OBC＝O COB61(2b==⋅-，所以111)](22b⋅=⋅-.解得4b=（另一解45)03b=<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x=-+-.。