一元二次方程的公共根 课后练习二详解 (302)

学科：数学

专题：一元二次方程的判别式

主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：

题面：如果关于 x 的一元二次方程 kx2 ? 2k ?1x ?1 ? 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的

取值范围是（ ）
1 1 1 1 1 1
A．k＜ B．k＜ 且 k≠0 C．? ≤k＜ D．? ≤k＜ 且 k≠0
2 2 2 2 2 2

金题精讲

题一：
题面：已知关于 x 的一元二次方程(a?l)x2?2x+l=0 有两个不相等的实数根，则 a 的 取值范围
是（ ）
A．a＞2 B．a＜2 C．a＜2 且 a≠l D．a＜?2


满分冲刺

题一：

题面：当 m 时，方程 x 2 ? (2m ?1)x ? (m ? 2) 2 ? 0 有实数根．





题二：

题面：当 m 是什么整数时，关于 x 的方程 mx 2 ? 4x ? 4 ? 0 与

x 2 ? 4mx ? 4m 2 ? 4m ? 5 ? 0 的根都是整数?







题三： 题面：当 a、b、 c 是实数时，求证：方程 x 2 ? (a ? b)x ? (ab ? c 2 ) ? 0 必有两个实数根，并

求两根相等的条件．





课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：D
详解：由题意，根据一元二次方程二次项系数不为 0 定义知： k≠ 0；根据二次根式被开方数
非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1?4k＞0.三者联立，
1 1
解得? ≤k＜ 且 k≠0.
2 2
故选 D.


金题精讲

题一：
答案： C
详解：利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出 a 的取值范围，结合一元二次
方程定义作出判断：∵由△=4?4(a?1)=8?4a＞0 解得：a＜2.
又根据一元二次方程二次顶系数不为 0 的定义，a?1≠0，∴a＜2 且 a≠1.故选 C.


满分冲刺

题一：
3
答案： ?
4

详解：方程 x 2 ? (2m ?1)x ? (m ? 2) 2 ? 0 有实数根．
3
?b 2 ? 4ac ? (2m ?1) 2 ? 4(m ? 2) 2 ? 4m 2 ?. 4m ?1? 4m 2 ?16m ?16 ? 20m ?15 ? 0,?m ? ?
4

题二：
答案： m ? 1

详解：一元二次方程 mx 2 ? 4x ? 4 ? 0 有整数根

?b2 ? 4ac ? (?4)2 ? 4? 4m ? 0,m ?1, ① 又方程 x 2 ? 4mx ? 4m 2 ? 4m ? 5 ? 0 有整数根

5
?b2 ? 4ac ? (?4m)2 ? 4(4m2 ? 4m ? 5) ? 0,m ? ? .②
4
5
由 ①、② 得： ? ? m ? 1,? m 为整数 ,?m ? ?1,0,1,
4
当 m=0 时，代入第二个方程，得不到整数解，不合题意，舍去；

2 2
当 m ? 1时，方程 mx ? 4x ? 4 ? 0 为 x ? 4x ? 4 ? 0, 其根为 x1 ? x2 ? 2;

2 2 2
方程 x ? 4mx ? 4m ? 4m ? 5 ? 0 为 x ? 4x ? 5 ? 0, 其根为 x1 ? 5, x2 ? ?1;

当 m ? ?1时，方程 mx 2 ? 4x ? 4 ? 0 为 x 2 ? 4x ? 4 ? 0, 其根不是整数；

综上，当 m ? 1时，方程 mx 2 ? 4x ? 4 ? 0 与方程 x 2 ? 4mx ? 4m 2 ? 4m ? 5 ? 0 的根都是整

数．


题三：
答案： a ? b 且 c ? 0.

详解： ? ? [?(a ? b)]2 ? 4(ab ? c 2 ) ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 4ab ? 4c 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? 4c 2

? (a ? b) 2 ? 4c 2 , ?(a ? b) 2 ? 0,4c 2 ? 0,?? ? 0,

方程 x 2 ? (a ? b)x ? (ab ? c 2 ) ? 0 必有两个实数根，

当方程两根相等时， ? ? (a ? b)2 ? 4c2 ? 0, ?(a ? b) 2 ? 0 且 4c 2 ? 0,?a ? b 且 c ? 0

原方程两根相等的条件是 a ? b 且 c ? 0.