一元二次方程的公共根课后练习二详解 (302)

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一元二次方程公共根

一元二次方程公共根问题若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题，两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：1.设公共根为α，则α同时满足这两个一元二次方程；2.用加减法消去α2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；3.把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的实根情况，可以用判别式24b ac ∆=-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴ 2∆=⑵ 2b ak -=或2b ak --，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数)三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围1 已知一元二次方程x 2-4x +k =0有两个不相等的实数根， (1)求k 的取值范围．(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程x 2-4x +k =0与x 2+mx -1=0有一个相同的根，求此时m 的值．2 若两个关于x 的方程x 2+x +a =0与x 2+ax +1=0只有一个公共的实数根，求a 的值3 已知a ＞2，b ＞2，试判断关于x 的方程x 2-（a +b ）x +ab =0与x 2-abx +（a +b ）=0有没有公共根，请说明理由．4求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．5二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求ab b a b a a a --++的值6已知关于x 的两个一元二次方程：方程①：01)2()21(2=-+++x k x k方程②：032)12(2=--++k x k x（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简2)4(1241++-k k （3）若方程①和②有一个公共根a ，求代数式a a k a a 53)24(22++-+的值．练习：1.已知关于x 的一元二次方程062=+-k x x 有两个实数根。

中考试题一元二次方程的整数根课后练习二及详解.docx

学科：数学专题：一元二次方程整数根问题主讲教师：黄炜北京四中数学教师重难点易错点解析题一：题面：已知1是关于x 的一元二次方程(m ﹣1)x 2+x +1=0的一个根，则m 的值是（）A ． 1B ．﹣1C ． 0D ．无法确定金题精讲题一：题面：关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是（）A. 2B. 6C. 2或6D. 7满分冲刺题一：题面：已知023242=+--a ax x 无实根，且a 是实数，化简2241291236a a a a -++-+．题二：题面：求证：关于x 的方程013)32(2=-+++m x m x 有两个不相等的实数根．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：B详解：根据题意得：(m ﹣1)+1+1=0，解得：m =﹣1．故选B ．金题精讲题一：答案：B详解：∵方程25(5)0x mx m -+-=有两个正实数根， ∴{2112055(5)0x x m m x x m +=>⇒>⋅=->．又∵2x 1+x 2=7，∴x 1=7－m ．将x 1=7－m 代入方程25(5)0x mx m -+-=，得2(7)(7)5(5)0m m m m ---+-=，解得m =2或m =6．∵5m >，∴m =6．故选B ．满分冲刺题一：答案：a +3详解：方程023242=+--a ax x 无实根，∴224(2)44(32)0b ac a a -=--⨯-+<，即,01282<+-a a 解得,62<<a 当62<<a 时， .3632)6()32(361291242222+=-+-=-+-=+-++-a a a a a a a a a 题二：答案：原方程有两个不相等的实数根详解：22224(23)4(31)4129124413b ac m m m m m m -=+--=++-+=+，∵240m ≥，∴2244130b ac m -=+>，∴原方程有两个不相等的实数根．初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

一元二次方程的根(含答案)

初中数学竞赛辅导资料（45）一元二次方程的根甲内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1. 乙例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b 由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数) 有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ；方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b. ∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－；或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－.解得⎩⎨⎧=42b a ＝；或⎩⎨⎧==24b a .又解：设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++--　②（　①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1）得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得（a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1；或 (ab －a －b －2)＝0. 当x 0＝1时，由方程①得 a=1, ∴a －1=0，∴方程①不是二次方程. ∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时，得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42-依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m. ∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根. 证明：设方程有一个有理数根nm（m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0. 综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm)+c=0都不成立. 即假设方程有一个有理数根是不成立的. ∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d. 根据题意，得k abcdb a dc ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab, ∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1). 例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0. 解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解. ②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,－1, 2, －2，分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合. 答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解. 丙练习451. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定（1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0 的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2. 16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是（）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 （1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4.52 5. 9q=2p 26. 一正一负7. D8. a=1,b=－0.59. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。

一元二次方程的公共根与整数根（讲义）

一元二次方程的公共根与整数根一、公共根问题二次方程的公共根问题的一般解法：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．二、整数根问题对于一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ¹的实根情况，可以用判别式24b ac D =-来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ¹有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴24b ac D =-为完全平方数；⑵ 242b b ac ak -+-=或242b b ac ak ---=，其中k 为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a 、b 、c 均为有理数) 三、方程根的取值范围问题先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．一、一元二次方程的公共根【例1】求k 的值，使得一元二次方程210x kx +-=，2(2)0x x k ++-=有相同的根，并求两个方程的根．【例2】设,,a b c 为ABC D 的三边，且二次三项式222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式，证明：ABC D 一定是直角三角形．一定是直角三角形．【例3】三个二次方程20ax bx c ++=，20bx cx a ++=，20cx ax b ++=有公共根．有公共根．⑴ 求证：0a b c ++=； ⑵ 求333a b c abc++的值．的值．【例4】试求满足方程270x kx --=与26(1)0x x k --+=有公共根的所有的k 值及所有公共根和所有相异根．异根．【例5】二次项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++=和知识点睛例题精讲222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++=(其中a ，b 为正整数)有一个公共根，求b abaa b a b --++的值．的值．二、一元二次方程的整数根【例6】 k 为什么实数时，关于x 的方程2(6)(9)(11715)540k k x k x ----+=的解都是整数？的解都是整数？【例7】若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．个．【例8】已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．方程的整数根．【例9】若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．的值．【例10】关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=的两根都是整数．求满足条件的所有实数k 的值．的值．【例11】当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．有整数解．【例12】已知关于x 的方程24832x nx n --=和22(3)220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由．在，请说明理由．【例13】求所有有理数r ，使得方程2(1)(1)0rx r x r +++-=的所有根是整数．的所有根是整数．【例14】已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．的值．【例15】已知k 为常数，关于x 的一元二次方程22(2)(46)80k k x k x -+-+=的解都是整数，求k 的值．的值．【例16】已知p 为质数，二次方程222510x px p p -+--=的两根都是整数，请求出p 的所有可能的值．的所有可能的值．【例17】已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ．【例18】若一直角三角形两直角边的长，a 、b ()a b ¹均为整数，且满足24a b m ab m +=+ìí=î．试求这个直角三角形的三边长．角形的三边长．【例19】关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值．的值．【例20】已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例21】当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．是整数．【例22】设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．方程的根．【例23】当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．有整数解．【例24】已知方程()22238213150ax a a x a a --+-+=(a 是非负整数)至少有一个整数根，那么a = ．【例25】若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．个．【例26】设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例27】已知a 是正整数，且使得关于x 的一元二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根，求a 的值．的值．【例28】已知关于x 的方程2222(38)213150a x a a x a a --+-+= (其中a 是非负整数)至少有一个整数根，求a 的值．的值．【例29】已知b ，c 为整数，方程250x bx c ++=的两根都大于1-且小于0，求b 和c 的值．的值．【例30】已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程21()02x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请求出来；如果没有，请给出证明．求出来；如果没有，请给出证明．【例31】已知方程20x b x c ++=及20x cx b ++=分别各有个两个整整数根12,x x 及12,x x ¢¢，且120x x >，120x x ¢¢>．⑴ 求证：10x <，20x <，10x ¢<，20x ¢<； ⑵ 求证：11b c b -+≤≤； ⑶ 求,b c 所有可能的值．所有可能的值．【例32】设p q 、是两个奇整数，试证方程2220x px q ++=不可能有有理根．不可能有有理根．【例48】求所有的正整数a ，b ，c 使得关于x 的方程的方程222320,320,320x ax b x bx c x cx a -+=-+=-+=的所有的根都是正整数．的所有的根都是正整数．【例49】 n 为正整数，方程2(31)360x x n -++-=有一个整数根，则n =__________．【例50】求出所有正整数a ，使方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根．至少有一个整数根．【例51】已知方程22(1)2(51)240a x a x --++=有两个不等的负整数根，则整数a 的值是的值是______________________________．．【例52】不解方程，证明方程2199719970x x -+=无整数根无整数根【例53】已知方程219990x x a -+=有两个质数根，则常数a =________．【例54】已知方程210x mx m +-+=有两个不相等的正整数根，求m 的值．的值．【例55】当m 是什么整数时，关于x 的方程2(1)10x m x m --++=的两根都是整数？的两根都是整数？【例56】设方程2(2)(3)0mx m x m --+-=有整数解，试确定整数m 的值，并求出这时方程所有的整数解．【例57】已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．方程的整数根．【例58】若k 为正整数，且关于k 的方程()()221631720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值．的值．【例59】设a 为质数，b c ，为正整数，且满足为正整数，且满足 ()()2922509410225112a b c a b c b c ì+-=+-ïí-=ïî求()a b c +的值．的值．。

一元二次方程根的分布练习及答案

一元二次方程根的散布一．一元二次方程根的基本分布——零散布所谓一元二次方程根的零散布,指的是方程的根相对于零的关系.比方二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根散布在零的两侧.设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ,2x ,且21x x ≤.【定理1】01>x ,02>x (两个正根)⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩,推论：01>x ,02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b上述推论联合二次函数图象不可贵到.【例1】若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根,求m 的取值规模.剖析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m mm ⎧⎪∆=++-≥⎪+⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩0<m <1.【定理2】01<x ,02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x ab x x ac b ,推论：01<x ,02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b由二次函数图象易知它的准确性.【例2】若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数,求k的取值规模.（512-≤k 或k>3）【定理3】210x x <<⇔0<a c【例3】 k 在何规模内取值,一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？剖析：依题意有3k k -<0=>0<k <3【定理4】○101=x ,02>x ⇔0=c 且0<a b ;○201<x ,02=x ⇔0=c 且0>a b.【例4】若一元二次方程03)12(2=-+-+k x k kx 有一根为零,则另一根是正根照样负根？剖析：由已知k －3=0,∴k =3,代入原方程得32x +5x =0,另一根为负.二．一元二次方程的非零散布——散布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ,2x ,且21x x ≤.k 为常数.则一元二次方程根的k 散布（即1x ,2x 相对于k 的地位）有以下若干定理.【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k a b k af ac b 20)(042 【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k a b k af ac b 20)(042.【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af . 推论1210x x <<⇔0<ac .推论2211x x <<⇔0)(<++c b a a .【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21<k f k f【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a此定理可直接由定理4推出,请读者自证.【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b三.例题与演习【例5】已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1,求m 的取值规模.（412912<<m ）（2）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1,求m 的取值规模. （6252+>-<m m 或）（3）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2,求m 的取值规模. （62521+>-<m m 或）【例6】已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2,另一根比2小,求m 的取值规模. （221221+-<<--m ）（2）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在0和1之间,求m 的取值规模. （3221<<m ）（3）已知方程012)2(2=-+-+m x m x 的较大实根在0和1之间,求实数m 的取值规模. 变式：改为较小实根（不成能;221<<m ）（4）若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（1-.1）内,求k 的取值规模. （21324-<<+-k ）（5）若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,求k 的取值规模. （3221<<k ）（6）已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且知足βα<<<10,求m 的取值规模. （73-<<-m 或72<<m ）【例7】已知关于x 的二次方程x 2+2mx +2m +1=0.(1)若方程有两根,个中一根在区间(－1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的规模.(2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m 的规模.本题重点考核方程的根的散布问题,解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义.技能与办法：设出二次方程对应的函数,可画出响应的示意图,然后用函数性质加以限制.解：(1)前提解释抛物线f (x )=x 2+2mx +2m +1与x 轴的交点分离在区间(－1,0)和(1,2)内,画出示意图,得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165-<<-m .(2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或(这里0<－m <1是因为对称轴x =－m 应在区间(0,1)内经由过程)演习：1．若方程4(3)20x x m m +-•+=有两个不雷同的实根,求m 的取值规模. 提醒：令2x=t 转化为关于t 的一元二次方程有两个不合的正实根.答案：0<m <12．若关于x 的方程2lg(20)lg(863)0x x x a +---=有独一的实根,求实数a 的取值规模.提醒：原方程等价于2220020863x x x x x a ⎧+>⎪⎨+=--⎪⎩即2200 12630x x x x a <->⎧⎨+++=⎩或……①……②令()f x =2x +12x +6a +3(1) 若抛物线y=()f x 与x 轴相切,有△=144－4(6a +3)=0即a =112. 将a =112代入式②有x =－6不知足式①,∴a ≠112.(2) 若抛物线y=()f x 与x 轴订交,留意到其对称轴为x =－6,故友点的横坐标有且仅有一个知足式①的充要前提是(20)0(0)0f f -≥⎧⎨<⎩解得163162a -≤<-. ∴当163162a -≤<-时原方程有独一解.另法：原方程等价于2x +20x =8x －6a －3(x <－20或x >0)……③问题转化为：求实数a 的取值规模,使直线y =8x －6a －3与抛物线y =2x +20x (x <－20或x >0)有且只有一个公共点.固然两个函数图像都明白,但在什么前提下它们有且只有一个公共点却不显著,可将③变形为2x +12x +3=－6a (x <－20或x >0),再在统一坐标系平分离也作出抛物线y =2x +12x +3和直线y =－6a ,如图,显然当3<－6a ≤163即163162a -≤<-时直线y =－6a 与抛物线有且只有一个公共点.3．已知()f x =(x －a )(x －b )－2(a <b ),并且α,β是方程()f x =0的两根(α<β),则实数a ,b ,α.β的大小关系是() A.α<a <b <βB.a <α<β<b C.a <α<b <βD.α<a <β<b4．方程()f x =2ax bx c ++=0(a >0)的两个根都大于1的充要前提是()A 、 △≥0且f (1)>0B、f(1)>0且－ab>2C、△≥0且－ab>2,ca>1D、△≥0且f(1)>0,－ab>2.。

初三数学上册(人教版)第二十一章一元二次方程21.7知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：初三数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第二十一章一元二次方程 21.7 公共根（补充）一、学习任务1. 理解公共根的概念，已知几个方程有公共根会求方程的系数．二、知识清单公共根三、知识讲解1.公共根解一元二次方程公共根问题的一般步骤：① 设公共根为，则同时满足这两个一元二次方程；② 用加减法消去的项，求出公共根或公共根的有关表达式；③ 把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．四、课后作业m m m 2若两个关于的方程与只有一个公共的实数根，求的值．解：设方程的公共的实数根为，则两式相减得解得将带入方程得．x +x +a =0x 2+ax +1=0x 2a m {+m +a =0,m 2+am +1=0．m 2(a −1)m +1−a =0．m =1．m =1a =−2答案：1. 试求满足方程与有公共根的所有的值及所有公共根和所有相异根．不妨设两个方程的公共根为，则有两式相减可得即当时，两个方程均为此时有公共根和，无相异实根．当时，，两个方程为所以的根为，．的根为，．此时公共根为，相异根为和．−kx −7=0x 2−6x −(k +1)=0x 2k x 0{−k −7=0,x 02x 0−6−(k +1)=0.x 02x 0⋯⋯①⋯⋯②(6−k )+(k +1)−7=0,x 0(6−k )(−1)=0.x 0k =6−6x −7=0,x 27−1=1x 0k =−6+6x −7=0,−6x +5=0.x 2x 2+6x −7=0x 2=−7x 1=1x 2−6x +5=0x 2=5x 1=1x 21−75答案：2. 为何值时，使得一元二次方程，有相同的根，并求两个方程的相同根．不妨设是这两个方程相同的根，由方程根的定义有① ②有即所以或．当时，两个方程都变为解得k +kx −1=0x 2+x +(k −2)=0x 2a {+ka −1=0,a 2+a +(k −2)=0.a 2⋯⋯①⋯⋯②−ka −1−a −(k −2)=0,(k −1)(a −1)=0.k =1a =1k =1+x −1=0.x2。

华师大版九年级数学下册课后练习：一元二次方程的公共根课后练习一及详解

学科：数学专题：一元二次方程的公共根金题精讲题一：题面：一元二次方程25204x x --=的某个根，也是一元二次方程29(2)04x k x -++=的根，求k 的值．满分冲刺题一：题面：已知三个关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0恰有一个公共实数根，求 2a bc +2b ca +2c ab的值．题二：题面：设242210,210a a b b +-=--=，且1- ab 2 ≠0，则22531()ab b a a +-+=．课后练习详解金题精讲题一：答案：k 的值为-7或75．详解：解25204x x --=得1215,22x x =-=．把112x =-代入29(2)04x k x -++=得2119()(2)0224k -+++=，解得k = -7．把252x =代入29(2)04x k x -++=得2559()(2)0224k -++=，解得k =75． ∴k 的值为-7或75．满分冲刺题一：答案：3.详解：设三个关于x 的一元二次方程的公共实数根为t ，则at 2+bt +c =0①，bt 2+ct +a =0②，ct 2+at +b =0③，①+②+③得(a +b +c )t 2+(a +b +c )t +(a +b +c )=0，∴(a +b +c )(t 2+t +1)=0，而t 2+t +1=(t +12)2+34，∵(t +12)2≥0， ∴t 2+t +1＞0，∴a +b +c =0，∴a +b = -c ，原式=333a b c abc ++=223()()a b a ab b c abc +-++=223()c a ab b c abc--++= 222()c a ab b ab --+=22[()3]c a b ab ab -+-=223c c ab ab-+=3．题二：答案：-32详解：解2210a a +-=得1a ===-。

人教版九年级数学上册：《一元二次方程的解法》课后练习及详解

专题：一元二次方程的解法（1）重难点易错点解析题一：题面：已知，关于x 的方程12)5(2=-+ax x a 是一元二次方程，则a金题精讲题一：题面：方程x (x -2)+x -2=0的解是（）A.2B. -2,1C. -1D.2, -1满分冲刺题一：题面：解下列方程：24(3)(3)0x x x ---=题二：题面：在一大片空地上有一堵墙（线段AB ），现有铁栏杆40m ，准备充分利用这堵墙建造一个封闭的矩形花圃．（1）如果墙足够长，那么应如何设计可使矩形花圃的面积最大？（2）如果墙AB =8m ，那么又要如何设计可使矩形花圃的面积最大？课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：.5-=/a详解：方程12)5(2=-+ax x a 既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知数的最高次数是2，因此，二次项系数,05=/+a 故.5-=/a 金题精讲题一：答案：D 。

详解：先利用提公因式因式分解，再化为两个一元一次方程，解方程即可由x (x -2)+(x -2)=0，得(x -2)(x +1)=0，∴x -2=0或x +1=0，∴x 1=2，x 2= -1。

故选D 。

满分冲刺题一：答案：4,321==x x .详解：(3)[4(3)]0,x x x ---=03,0)123)(3(=-=--x x x 或,0123=-x 解得4,321==x x题二：答案：（1）矩形的面积最大是200m 2（2）矩形花圃面积最大是144m 2 详解：（1）设DE =x ，那么面积S=x (20 - 2x ) = 22x -+20x = 12-(x -20)2+200 ∴当DE =20m 时，矩形的面积最大是200m 2（2）讨论①设DE =x ，那么面积S=x (20-2x )（0＜x ≤8）=12-(x-20)2+200∴当DE=8m时，矩形的面积最大是128m2．②延长AB至点F，作如图所示的矩形花圃设BF=x，那么AF=x+8，AD=16-x那么矩形的面积S=(x+8)(16-x) = -x2+8x+128= -(x-4)2+144∴当x=4时，面积S的最大值是144．∴按第二种方法围建的矩形花圃面积最大是144m2专题：一元二次方程的解法（2）重难点易错点解析一元二次方程ax 2+bx+c=0，a ≠0的条件。

九年级上册数学一元二次方程的判别式课后练习二及详解

学科：数学专题：一元二次方程的判别式重难点易错点解析题一：题面：若一元二次方程220x x m ++=有实数解，则m 的取值范围是（）A. 1m ≤-B. 1m ≤C. 4m ≤D. 12m ≤金题精讲题一：题面：若关于x 的一元二次方程x 2 - 4x + 2k = 0有两个实数根，则k 的取值范围是（）A 、k ≥2B 、k ≤2C 、k ＞-2D 、k ＜-2满分冲刺题一：题面：方程21(1)104k x k x ---+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）． A ． k ≥1 B ． k ≤1 C ． k ＞1D ． k ＜1题二：题面：关于x 的一元二次方程x 2-3x -k =0有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围．（2）当k 取最小整数值时，是关于k 的方程k 2-mk -3=0的一个根，求方程的另一个根．题三：题面：关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+k kx x k 的根的情况是．课后练习详解重难点易错点解析题一：答案：B详解：由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的取值范围：∵一元二次方程220x x m ++=有实数解，∴△=b 2－4ac =22－4m ≥0，解得：m ≤1． ∴m 的取值范围是m ≤1．故选B ．金题精讲题一：答案：B详解：由于已知方程有两个实数根，根据一元二次方程的根与判别式的关系，建立关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围：∵a ＝1，b ＝-4，c ＝2k ，且方程有两个实数根，∴△＝b 2-4ac ＝16-8k ≥0，解得，k ≤2．故选B ．满分冲刺题一：答案：D ．详解：当k =1时，原方程不成立，故k ≠1，当k ≠1时，方程21(1)04k x --+=为一元二次方程。

∵此方程有两个实数根，∴2214(4(1)1(1)2204b ac k k k k -=-⨯-⨯=---=-≥，解得：k ≤1，又∵10k -≥，∴k ≤1，综上k 的取值范围是k ＜1．故选D ．题二：答案：（1）k ＞-94；（2）32．详解：（1）x 的一元二次方程x 2-3x -k =0有两个不相等的实数根，∴最小的整数为-2，∴将k = -2代入关于k 的方程k 2-mk -3=0中得：4+2m -3=0解得：m = -12∴方程k 2-mk -3=0为：2k 2+k -6=0 设另一根为x ，则根据根与系数的关系得：-2x =62-．解得：x =32，故方程的另一根为32．题三：答案：无实根．详解：,)2(4)44(4162044)4)(1(4)2(422242422222+-=++-=---=++--=-k k k k k k k k k ac b 22202040k k b a c ≥∴+>∴-<，，，∴原方程无实根．。