第七章第六节

自 主 落 实 · 固 基 础
→ → → 【思路点拨】 (1)在图形中，用向量AB，AA1表示向量MN. (2)用共面向量的概念判定 MN 是否与平面 ABB1A1 平行． → → → → 【尝试解答】 (1)∵AM＝kAC1，BN＝kBC，
→ → → → → → → ∴MN＝MA＋AB＋BN＝kC1A＋AB＋kBC → → → → → → ＝k(C1A＋BC)＋AB＝k(C1A＋B1C1)＋AB
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
→ → 1 → → → ∴FG· ＝ (BC－BA)· BA BA 2 1 → → →2 1 1 1 ＝ (BC· －BA )＝ ×( －1)＝－ . BA 2 2 2 4
课 时 知 能 训 练
【答案】 B
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
【解】
→ → → → (1)由已知OA＋OB＋OC＝3OM，
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
→ → → → A，B，C 共面⇔对空间任意一点 O，有OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中 x ＋y＋z＝1)．
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
已知 A、B、C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一 → 1 → → → 点 O，若点 M 满足OM＝ (OA＋OB＋OC)． 3 → → → (1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
自 主 落 实 · 固 基 础
【思路点拨】
(1)利用向量的数乘和加减运算化简；(2)结合图
形，利用三角形(或平行四边形)法则及数乘运算法则求解． → → → 【尝试解答】 (1)∵AB＋AD＝AC，
→ 1→ 1 → → 1 → → ∴A1O－ AB－ AD＝A1O－ (AB＋AD) 2 2 2 → 1→ → → → ＝A1O－ AC＝A1O－AO＝A1A. 2
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
→ → → → → → → ＝kB1A＋AB＝AB－kAB1＝AB－k(AA1＋AB) → → ＝(1－k)AB－kAA1， → → → ∴由共面向量定理知向量MN与向量AB，AA1共面．
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 ·新课标 ·数学（理）［山东专用］
→ 3→ 3 → ＝2OC＋ OE＋ DO 2 2 → 3→ 3→ ＝2OC＋ OE＋ OB 2 2 3→ → 3→ ＝ OB＋2OC＋ OE., 2 2
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
图 7－6－2 如图 7－6－2，已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1，点 M，N 分
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
4．若三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上， 则a＝________，b＝________.
→ → 【解析】 AB＝(1，－1,3)，AC＝(a－1，－2，b＋4)， → → 因为三点共线，所以存在实数 λ 使AC＝λAB，
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
2．首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末 尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为 首尾相接的向量求和问题解决．
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
→ → → → 本例中试用OB，OC，OE表示AC1. → → → → → 【解】 AC1＝AC＋CC1＝2OC＋DD1
→ 3→ → 3 → → ＝2OC＋ DE＝2OC＋ (OE－OD) 2 2 → 3→ 3 → ＝2OC＋ OE－ OD 2 2
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
1．空间向量共线，即 a∥b(b≠0)⇔存在 λ，使 a＝λb；空间向量 共面，即向量 c 与 a，b，共面⇔存在惟一的 x，y∈R，使得 c＝xa＋ yb. 2． 可将四点共面问题， 转化为三个向量共面问题， 即空间四点 P，
典 例 探 究 · 提 知 能
.
课 时 知 能 训 练
(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对空 间任一向量 p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得 p＝xa＋yb ＋zc.
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
3．两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积 a· b＝|a||b|cos〈a，b〉 ． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)· b＝λ(a· b)；
典 例 探 究 · 提 知 能
→ → → → 别在 AC1 和 BC 上，且满足AM＝kAC1，BN＝kBC(0≤k≤1)． → → → (1)向量MN是否与向量AB，AA1共面？ (2)直线 MN 是否与平面 ABB1A1 平行？
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
课 时 知 能 训 练
【答案】 C
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
2．已知正四面体 ABCD 的棱长为 1，点 F，G 分别是 AD，DC → → 的中点，则FG· 等于( BA )
1 1 3 3 A. B．－ C. D．－ 4 4 4 4 → 1→ 1 → → 【解析】 FG＝ AC＝ (BC－BA)， 2 2
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
1．(a· c＝a· c)成立吗？ b)· (b·
【提示】 不一定成立．∵(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而
高 考 体 验 · 明 考 情
自 主 落 实 · 固 基 础
3．(2012·广东模拟)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， 满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________.
【解析】 c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，
∴(c－a)·(2b)＝0×2＋0×4＋(1－x)×2＝2－2x＝－2，∴x＝2. 【答案】 2
a·(b·c)表示一个与a共线的向量，又c与a不一定共线，∴上式不一定
成立．
典 例 探 究 · 提 知 能
2．若a，b是平面α内的两个不共线向量，c＝xa＋yb，则表示c的 有向线段与平面α是什么关系？
【提示】 表示向量c的有向线段与平面α平行或在平面α内．
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
高 考 体 验 · 明 考 情
第六节
典 例 探 究 · 提 知 能
空间向量及其运算
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
(见学生用书第 141 页) 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定 考 理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标 纲 表示．
模
． 的向量．
高 考 体 验 · 明 考 情
(2)相等向量：方向 相同 且模
典 例 探 究 · 提 知 能
相等
(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直 线 平行 或 重合 ，则这些向量叫做共线向量 或 平行向量，a 平行于 b 记作 a∥b. (4)共面向量：平行于同一 平面 的向量叫做共面向量．
菜 单
课 时 知 能 训 练
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
1．选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定 → → 的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用AB，AD， → → AA1表示EO.解题时应结合已知和所求观察图形， 联想相关的运算法则 和公式等，就近表示所需向量．
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
②交换律：a· b＝b· a； ③分配律：a· (b＋c)＝a· b＋a· c.
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
传 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 真 3． 掌握空间向量的数量积及其坐标表示， 能用向 量的数量积判断向量的共线和垂直.
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
1．空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有 大小 和 方向 的量叫做空间向 量，其大小叫做向量的 长度 或
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
→ 1→ 1→ (1)化简：A1O－ AB－ AD； 2 2 → (2)设 E 是棱 DD1 上的点，且DE 2→ → → → → ＝ DD1，试用AB，AD，AA1表示EO. 3
课 时 知 能 训 练
图 7－6－1
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
→ → → (2)∵EO＝ED＋DO 2 → 1→ 2 → 1 → → ＝ D1D＋ DB＝ D1D＋ (DA＋AB) 3 2 3 2 2 → 1 → 1→ ＝ A1A＋ DA＋ AB 3 2 2 1→ 1 → 2 → ＝ AB－ AD－ AA1. 2 2 3
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
a－1＝λ， 即－2＝－λ， 解得 a＝3，b＝2. b＋4＝3λ，
【答案】 3 2
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
(见学生用书第 142 页)
如图 7－6－1，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点．
课 时 知 能 训 练
菜
单
一轮复习 · 新课标 ·数学（理）［山东专用］
自 主 落 实 · 固 基 础
2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量 a，b(b≠0)，a∥b⇔存在 λ∈R，使 a＝ λb .
高 考 体 验 · 明 考 情
(2)共面向量定理：若两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a， b 共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使 p＝ xa＋yb
自 主 落 实 · 固 基 础
(2)当 k＝0 时，点 M、A 重合，点 N、B 重合，MN 在平面 ABB1A1 内， 当 0＜k≤1 时，MN 不在平面 ABB1A1 内， → → → 又由(1)知MN与AB、AA1共面， 所以 MN∥平面 ABB1A1.,
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
自 主 落 实 · 固 基 础
1．(教材改编题)已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，向量 p ＝a＋b，q＝a－b，那么可以与 p、q 构成空间另一个基底的向量是 ( ) A．a B．b C．c D．2a
高 考 体 验 · 明 考 情
典 例 探 究 · 提 知 能
1 1 1 1 【解析】 由 a＝ p＋ q，b＝ p－ q 知 a、b 与 p 和 q 共面．另 2 2 2 2 外若 c 与 p、q 共面，则可得 c 与 a、b 共面，与条件矛盾，所以向量 c 与 p、q 可以构成一个基底．