建筑力学平面一般力系的平衡方程及其应用
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平面一般力系的平衡方程及其应用
MB 0
W1
l 2
W
l
x
FAyl
0
得
FAy 7k N
Y 0
F T
sin
FAy
W1
W
0
得
FT 34k N
X 0 FAx FT cos 0
得
FAx FT cos 29.44k N
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
4) 讨论。 本题若列出对A、B两点的力矩方程 和在x轴上的投影方程，即
F，平衡锤重WQ，已知W、F、a、b、e、l，欲使起重机满载和空载
时均不致翻倒，求WQ的范围。
目录
力系的平衡\平面力系的平衡方程及其应用 【解】 1）考虑满载时的情况 受力如图所示。 列平衡方程并求解 MB=0 WQmin（a+b）WeFl=0
得 We F l
WQmin a b
目录
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
理论力学
平面力系\平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系的平衡方程及其应用
1.1 平面一般力系的平衡方程
1. 基本形式 如果平面力系的主矢和对平面内任一点的主矩均为零，则力系
平衡。反之，若平面力系平衡，则其主矢、主矩必同时为零（假如 主矢、主矩有一个不等于零，则平面力系就可以简化为合力或合力 偶，力系就不平衡）。因此，平面力系平衡的充要条件是力系的主 矢和对任一点的主矩都等于零，即
应用平面力系的平衡方程求解平衡问题的步骤如下： 1) 取研究对象。根据问题的已知条件和待求量，选择合适的研 究对象。 2) 画受力图。画出所有作用于研究对象上的外力。 3) 列平衡方程。适当选取投影轴和矩心，列出平衡方程。 4) 解方程。 在列平衡方程时，为使计算简单，通常尽可能选取与力系中多 数未知力的作用线平行或垂直的投影轴，矩心选在两个未知力的交 点上；尽可能多的用力矩方程，并使一个方程只含一个未知数。
建筑力学-第三章(全)
建筑力学
3.5 平面一般力系平衡条件和平衡方程
众所周知，当主矢 FR 0 时，为力平衡；当主矩 MO 0 时，为力偶平衡。
故平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 FR和 主矩 都M O等于零。
上述平衡条件可表示为
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
Mo Mo (Fi ) 0
YA
XA
A
Q1=12kN
300 S
Q2=7kN 三力矩方程：再去掉Σ X=0方程 B
mC 0, X A60tg300 30Q1 60Q2 0
D
（二）力系的平衡
示例：斜梁。求支座反力
300
2kN/m B
2kN/m B
300
RB
A
300
A
2m
YA XA
C
X 0, X A RB sin 300 0
30cm
30cm Q1=12kN
Q2=7kN
X 0, X A S cos 300 0
X A 22.5kN
A
600
B
Y 0,YA Q1 Q2 S sin 300 0
YA 6kN
二力矩方程：去掉Σ Y=0方程
C
mB 0, 60YA 30Q1 0
FBl cos M 0
从而有：
FB
M l cos
20 kN 5 c os30
4.62kN
故：
FA FB 4.26kN
建筑力学
[例] 求图中荷载对A、B两点之矩.
解：
(a)
(b)
图(a)： MA = - 8×2 = -16 kN ·m MB = 8×2 = 16 kN ·m
力系的平衡方程及应用
§ 4-4 平面平行力系的平衡方程
4-4-1平面平行力系的平衡方程:
平面汇交力系平衡的解析条件是:
力系中所有各力在任选的两个直角坐标轴上投影 的代数和分别等于零
X 0 或 m0 F 0
Y
0
§ 4-5物体系统的平衡
4-5-1举例说明物体系平衡问题的解法:
例5-1 图示两根梁由铰 B 连接，它们置于O，A，
§ 4-2 平面一般力系的平衡方程
4-2-2 平面方程的其他形式:
二力矩形式的平衡方程:
条件是：AB两点的连线不能与 x 轴或 y 轴垂直
X
0mmBA或FF 00Y
0
三力矩形式的平衡方程:
条件是：ABC三点不能共 线
mA mB mC
平面平行力系:各力作用线互相平行的力 系
力系
平面一般力系: 各力作用线任意分布的
§4–1平面一般力系向一点简化
4-1-2 平面一般力系向作用面内任一点的简化
主矢和主矩
问题： 力的作用线本身是否可以平移？如果平移，
会改变其对刚体的作用效应吗？
假设点 P 作用力 F ，今在同 一刚体上某点 O，沿与力 F 平行方向
施反加的F一力 与对F大 小相等（等于F）、方向相
P r
F
F
显然，这一对力并不改变力 F 对刚体的作用效果
O为什麽？F §4–1平面一般力系向一点简化
我们可以将这 3 个力构成的力系视为 一对力偶 (F , F )
和1 个作用于点 O
的力
F
力 F 可以视为力F 由P点向O点的平移, 但是平移时必须附加一对力偶
3-2平面一般力系的平衡与应用
一、导入由上节课的简化结果可知：若平面一般力系平衡，则作用于简化中心的平面汇交力系和附加力偶也必须同时满足平衡条件。
由此可知，物体在平面一般力系的作用下，既不发生移动，也不发生转动的静力平衡条件为：力系中的所有各力在两个不同方向的X\Y轴上投影的代数和均为零，且力系中各力对平面内任意一点的力矩大代数和也等于零。
二、新授3-2平面一般力系的平衡与应用一、平面一般力系的平衡条件、平衡方程及其应用平面一般力系平衡的充要条件是力系主矢F R/ 和力系对某一点的主矩m o都等于零。
即：F R/ =0，m o =0要使F R/ =0，必须满足：∑F x =0 ∑F y =0要使m o =0，必须满足：∑m o（F）=0于是，平面一般力系的平衡条件可表达为：∑F x =0基本形式∑F y =0∑m o（F）=0 力矩方程平面一般力系有三个独立方程。
例1：钢筋混凝土钢架的受力及支座情况如图。
已知F=10KN，m=15KN.m，钢架自重不计，求支座反力。
平面一般力系平衡必须同时满足三个平衡方程式，这三个方程彼此独立，可求解三个未知量。
因此，平面一般力系平衡的充要条件又可叙述为：力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和都等于零，而且力系中所有各力对任一点力矩的代数和也等于零。
解：1、刚架为研究对象，画刚架的受力图， 建立坐标轴2、列平衡方程求解未知力 ∑F x =0 F －F BX ＝0 F BX ＝F ＝10KN∑m A （F ）=0 －F ×3－m ＋F BY ×3＝0 F BY ＝15KN （） ∑F y =0 F A ＋F BY ＝0 F A ＝－F BY ＝－15KN （） 二、平面一般力系平衡方程的其他形式 1、二力矩式平衡方程的基本形式并不是唯一的形式，还可以写成其他的形式,它与基本形式的平衡方程是等效的,但往往应用起来会方便一些。
形式：三个平衡方程中有两个力矩方程和一个投影方程00===∑∑∑xBA Fm m如果力系满足0=∑A m 的方程,简化结果就不可能是个合力偶,而只能是合力或平衡；若是合力则合力应通过A 点,同理,力系又满足0=∑B m ，则此合力还应通过B 点,也就是说,力系如果有合力则合力作用为AB 连线,又因为力系还满足=∑xF的方程，则进一步表明力系即使有合力,这合力也只是能与X 轴相垂直,但附加条件是AB 连线不与OX 轴垂直。
建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.
平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
建筑力学第三章 平面力系的平衡方程
刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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建筑力学
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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建筑力学
[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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建筑力学
物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
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[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A
FAx
l/2 P
B Q
a
Байду номын сангаас
l
A
l/2 P
B Q
a
l
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（3）列平衡方程，求未知量。
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
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物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
可列3n个方程（设物系中有n个物体）。
解物系问题的一般方法：
机构问题： 个体 个体
个体
“各个击破”
力系中各力对于同一点之矩的代数和。
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建筑力学
3.2平面力系的平衡方程及应用
FR=0， MO =0，力系平衡
FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡 平面力系平衡的充要条件为：
建筑力学复习知识要点
平面一般力系的平衡方程及其应用一平衡方程的三种形式1基本形式若平面上有一点a满足x轴不于ab连线垂直则这个力系就不能简化为力偶此力系可能平衡也可能有一个通过a点的合力若平面上有另一点b且满足则这个力可能平衡也可能有一个通过ab两点的合力r
一、《建筑力学》的任务 设计出既经济合理又安全可靠的结构
二、《建筑力学》研究的对象 静力学：构件、结构——外力 材料：构件——内力 结力：平面构件（杆系结构）——外力
二、刚体和平衡的概念。 1、刚体：
2、平衡：
三、力系、等效力系、平衡力系。
1、力系： a、汇交力系 b、力偶系 c、平面力系。（一般）
2、等效力系： a、受力等效——力可 b、变形等效。
M2
P3
３、平衡力系：
M1
a、汇交力系： ΣX=0, ΣY=0
M3
3、单位：国际单位制 N、KN 。
传递性。
P1
P1
T
T
A
A
N
(a)
(b)
图 1-8
在（ a）图中，对球体来看：球体虽在Ａ处与墙体有接触，但球体没有运动趋势，所以没有 （运动）反力。在（ b）图中，球体与墙在Ａ点不仅有接触点，球体同时还有向左的运动趋势。 二、约束的几种基本类型和约束的性质。 1、柔体约束：方向：指向：背离被约束物体。（拉力） 方位：在约束轴线方位。表示：Ｔ。 2、光滑接触面：方向：指向：指向被约束物体。（压力）
( 4 )力系 p, p , p 组成两个基本单元，一是力 p ，一是 p 和 p 组成的力偶，其力偶矩为
M pd
因此，作用于Ａ点的力Ｐ可用作用于Ｏ点的力 p 和力偶矩 M F d 来代替。
即： M 0（ P ）= M 0（ P X ）+ M0（ P Y） 由此得：合力对力系作用平面内某一点的力矩等于各分力对同一点力矩的代数和。 讲例题
一、《建筑力学》的任务 设计出既经济合理又安全可靠的结构
二、《建筑力学》研究的对象 静力学：构件、结构——外力 材料：构件——内力 结力：平面构件（杆系结构）——外力
二、刚体和平衡的概念。 1、刚体：
2、平衡：
三、力系、等效力系、平衡力系。
1、力系： a、汇交力系 b、力偶系 c、平面力系。（一般）
2、等效力系： a、受力等效——力可 b、变形等效。
M2
P3
３、平衡力系：
M1
a、汇交力系： ΣX=0, ΣY=0
M3
3、单位：国际单位制 N、KN 。
传递性。
P1
P1
T
T
A
A
N
(a)
(b)
图 1-8
在（ a）图中，对球体来看：球体虽在Ａ处与墙体有接触，但球体没有运动趋势，所以没有 （运动）反力。在（ b）图中，球体与墙在Ａ点不仅有接触点，球体同时还有向左的运动趋势。 二、约束的几种基本类型和约束的性质。 1、柔体约束：方向：指向：背离被约束物体。（拉力） 方位：在约束轴线方位。表示：Ｔ。 2、光滑接触面：方向：指向：指向被约束物体。（压力）
( 4 )力系 p, p , p 组成两个基本单元，一是力 p ，一是 p 和 p 组成的力偶，其力偶矩为
M pd
因此，作用于Ａ点的力Ｐ可用作用于Ｏ点的力 p 和力偶矩 M F d 来代替。
即： M 0（ P ）= M 0（ P X ）+ M0（ P Y） 由此得：合力对力系作用平面内某一点的力矩等于各分力对同一点力矩的代数和。 讲例题
建筑力学 平面一般力系的平衡
Fcy F 2 sin 60 F ND 20 0.866 8.66 8.66kN
（2） 取梁AC为研究对象,受力图如图(c)
M
A
(F
)
0,
F1
2
F
' Cy
6
F
NB
4
0
F
NB
F1 2
F
' Cy
4
6
10 2
8.66 6 4
17.99kN()
F
x
0,
F
Ax
F
' Cx
0
F
Ax
F
' Cx
10kN()
（1） 取梁CD 为研究对象,受力图如图（b）
M C (F ) 0, F 2 sin 60 2 F ND 4 0
F
ND
sin
60
2
8.66 k N()
F x 0, Fcx F 2 cos60 0
Fcx F 2 cos60 20 0.5 10kN
F y 0, F cy F ND F 2 sin 60 0
F
y
0,
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
0
F
Ay
F
NB
F1
F
' Cy
17.99
10
8.66
0.67k
N()
求解物体系统平衡问题的要领如下： （1） “拆”：将物体系统从相互联系的地方拆开，在拆开的地方用 相应的约束力代替约束对物体的作用。这样，就把物体系统分解为若 干个单个物体，单个物体受力简单，便于分析。 （2）“ 比”：比较系统的独立平衡方程个数和未知量个数，若彼此 相等，则可根据平衡方程求解出全部未知量。一般来说，由n 个物体 组成的系统，可以建立3n 个独立的平衡方程。 （3） “取”：根据已知条件和所求的未知量，选取研究对象。通常 可先由整体系统的平衡，求出某些待求的未知量，然后再根据需要适 当选取系统中的某些部分为研究对象，求出其余的未知量。 （4） 在各单个物体的受力图上，物体间相互作用的力一定要符合作 用与反作用关系。物体拆开处的作用与反作用关系，是顺次继续求解 未知力的“桥”。在一个物体上，可能某拆开处的相互作用力是未知 的，但求解之后，对与它在该处联系的另一物体就成为已知的了。可 见，作用与反作用关系在这里起“桥”的作用。 （5） 注意选择平衡方程的适当形式和选取适当的坐标轴及矩心，尽 可能做到在一个平衡方程中只含有一个未知量，并尽可能使计算简化。
建筑力学(第二版)第3章 平面力系
■ （２） Ｆ′R≠０，Ｍ0 ＝０，此时附加力偶互相平衡，原力系简化的最后结果是一个力，该力即为原力系的合力，它的作 用线通过选定的简化中心0。
§ 3 - 1-2 简化结果的分析
■ （３） Ｆ′R≠０，Ｍ0≠０，原力系可以进一步简化为一个合力，如图３ －２ａ 所示。为此，只要将力偶Ｍ0 用一对等 值、反向、不共线的平行力Ｆ″R和ＦR 表示，且使ＦR ＝ － Ｆ″R ＝ Ｆ′R0 ＝ Ｆ′R，则力偶臂 如图３ －２ｂ 所示。若使力Ｆ″R作用于Ｏ 点，则力Ｆ′RＯ和Ｆ″R构成一对平衡力，可以去掉这一对平衡力，只剩下作用 于Ｏ′点的力ＦR。显然，力ＦR 就是原力系的合力，如图３ －２ｃ 所示。因此，在这种情况下，原力系简化的最后结果是 一个合力ＦR，其大小和方向与主矢Ｆ′R相同，合力的作用线离简化中心Ｏ 的垂直距离为
§ 3 - 2-2 平面特殊力系的平衡方程
■ 3. 平面平行力系的平衡方程
力系中各力的作用线均相互平行的平面力系称为平面平行力系。设物体受平面平行力系Ｆ１，Ｆ２，…，Ｆｎ 的作用（图 ３ －１３）。如选取ｘ 轴（或ｙ 轴）与各力垂直，则不论力系是否平衡，每一个力在ｘ 轴（或ｙ 轴） 上的投影恒等于 零，即∑Ｆｘ ＝ ０ （或∑Ｆｙ ＝０）。于是，平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即
■ 斜梁ＡＢＣ 为一楼梯的计算简图，如图３ －１４ａ 所示。其上承受的荷载为作用于斜梁ＡＢ 中点的集中力Ｆ ＝６００ Ｎ，作用于Ｃ 处的集中力偶Ｍ ＝１． ２ ｋＮ·ｍ 及沿梁ＡＢ 长度方向的均布荷载ｑ ＝１ ｋＮ／ ｍ，ｌ ＝１ ｍ， 试求梁Ａ，Ｂ 处的约束反力。
§ 例题
■ 例 3-12
■ 塔式起重机如图３ －１５ 所示。机架重Ｗ１ ＝７００ ｋＮ，其作用线通 过塔架的中心。最大起重量Ｗ２ ＝２００ ｋＮ，最大悬臂长为１２ ｍ， 轨道ＡＢ 的间距为４ ｍ。平衡荷重Ｗ３ 到机身中心线距离为６ ｍ。试问 ：
§ 3 - 1-2 简化结果的分析
■ （３） Ｆ′R≠０，Ｍ0≠０，原力系可以进一步简化为一个合力，如图３ －２ａ 所示。为此，只要将力偶Ｍ0 用一对等 值、反向、不共线的平行力Ｆ″R和ＦR 表示，且使ＦR ＝ － Ｆ″R ＝ Ｆ′R0 ＝ Ｆ′R，则力偶臂 如图３ －２ｂ 所示。若使力Ｆ″R作用于Ｏ 点，则力Ｆ′RＯ和Ｆ″R构成一对平衡力，可以去掉这一对平衡力，只剩下作用 于Ｏ′点的力ＦR。显然，力ＦR 就是原力系的合力，如图３ －２ｃ 所示。因此，在这种情况下，原力系简化的最后结果是 一个合力ＦR，其大小和方向与主矢Ｆ′R相同，合力的作用线离简化中心Ｏ 的垂直距离为
§ 3 - 2-2 平面特殊力系的平衡方程
■ 3. 平面平行力系的平衡方程
力系中各力的作用线均相互平行的平面力系称为平面平行力系。设物体受平面平行力系Ｆ１，Ｆ２，…，Ｆｎ 的作用（图 ３ －１３）。如选取ｘ 轴（或ｙ 轴）与各力垂直，则不论力系是否平衡，每一个力在ｘ 轴（或ｙ 轴） 上的投影恒等于 零，即∑Ｆｘ ＝ ０ （或∑Ｆｙ ＝０）。于是，平面平行力系的独立平衡方程的数目只有两个，即
■ 斜梁ＡＢＣ 为一楼梯的计算简图，如图３ －１４ａ 所示。其上承受的荷载为作用于斜梁ＡＢ 中点的集中力Ｆ ＝６００ Ｎ，作用于Ｃ 处的集中力偶Ｍ ＝１． ２ ｋＮ·ｍ 及沿梁ＡＢ 长度方向的均布荷载ｑ ＝１ ｋＮ／ ｍ，ｌ ＝１ ｍ， 试求梁Ａ，Ｂ 处的约束反力。
§ 例题
■ 例 3-12
■ 塔式起重机如图３ －１５ 所示。机架重Ｗ１ ＝７００ ｋＮ，其作用线通 过塔架的中心。最大起重量Ｗ２ ＝２００ ｋＮ，最大悬臂长为１２ ｍ， 轨道ＡＢ 的间距为４ ｍ。平衡荷重Ｗ３ 到机身中心线距离为６ ｍ。试问 ：
-建筑力学第三章平面力系的合成与平衡
平面汇交力系合成与平衡的几何法小 结
几何法解题步骤：1. 取研究对象；2. 画受力图； 3. 作力多边形；4. 选比例尺； 5. 解出未知数。
几何法解题不足： 1. 精度不够，误差大； 2. 作图要求精度高； 3. 不能表达各个量之间的函数关系。
平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法(重点掌 握)。
R0
Rx2
R
2 y
0
或：力系中所有力在各个坐标轴上投影的代
数和分别等于零。
Rx Fx 0 Ry Fy 0
为平衡的充要条件， 也叫平衡方程
解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:
1.选-对像;即依需选分离体，分离体选取应最好含题设
的已知条件; 2.画-分离体受力图,作到准确无误;
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力
的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。从而这
力系被分解为平面汇交力系和平面力偶系。这种变换的
方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。 R0 -----主矢,与简化中心选取无关; M0 ---主矩,与简化中心有关。
2、主矢和主矩 (1)主矢R0
F3 F2
D
C
F2 F4 F3
R
F4
R
F4
E
E
3、汇交力系的合成结果
汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这
力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式：R F1 F 2
F1
A F2
F4 F3
F1
A
B F2
R
C
F3
D
F4
n
平面力系的平衡方程及应用
研究方法：几何法，解析法。
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。
正文
力在直角坐标轴上的投影
1
Fx=F·cosa ; Fy=F·sina = F ·cosb
说明： （1）力在坐标轴上的投影为代数量； （2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。
正文
合力投影定理
推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；
推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。
M
M
M
力偶表示方法
正文
思考：
力偶与力的异同
共同点：单位统一，符号规定统一。 差异点：1.力矩随矩心位置不同而变化；力 偶矩对物体作用效果与矩心选取无关。 2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。
′
F
M
单 手 攻 丝
正文
平面任意力系的简化
1
平面一般力系向平面内一点简化
F3
F1
F2
O
O
O
F
R′
MO
F
1′
M1
F1 =F1
′ M1=MO(F1)
F
2′
M2
F
3′
M3
F2 =F2
′ M2=MO(F2)
F3 =F3
′ M3=MO(F3)
简化中心
O
FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3)
正文
平面力偶系的合成与平衡
平衡方程及应用
FAx 31kN
FB
FAy G1 G2 0
FAy 50kN
FAx FAy
G1 G2
平面一般力系的平衡方程及应用
例2-20 已知：F＝8kN，M＝4kN·m求A、B处的约束力。
M
解：取刚架AB为研究对象，受力如图所示。
Fx 0 F FAx 0
F
FAx F 8kN
【例 2-7】
平面力系的平衡方程及应用
4.平面力偶系的平衡方程 作用在物体同一平面内力的许多力偶，称为平面 力偶系。
平面力偶系平
衡的必要充分 条件是：力偶 系中各力偶矩 的代数和为零。
M=M1+M2+…+Mn=0
【例2-8】
平面力系的平衡方程及应用
通过以上各例可归纳出求解物体系统平衡问题的一般步骤: （1）分析题意,选取适当的研究对象
平面力系的平衡方程及应用
1.平面一般力系的平衡方程
若使刚体处于平衡，则必须满足作用于 刚体上的合力矢FR=0，合力偶矩M=0，即
FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO(Fi )
Fx Fy
0 0
M o 0
—— 平面一般力系的平衡方 程（基本形式、两影一矩式）
平衡 方程
平面力系的平衡方程及应用
1.平面一般力系实例
平面力系的平衡方程及应用
1.平面一般力系实例
y
B
M
FAy
A
FAx
C F
x
FNC
F
a b
h
G
FA
H
FB FNB
FNA
平面力系的平衡方程及应用
建筑力学主要公式(PPT课件)
7.阳光总在风雨后，不管失败还是痛 苦，我 们如果 能快乐 地笑一 笑，高 歌生活 多么好 ，蓝天 白云多 么美， 那我们 就会获 得微笑 的幸福 ，甚至 能拥有 金灿灿 的硕果 。朋友 ，为了 生活更 加美好 ，快快 亮出你 的笑容 吧！
8.社会性是人的本质属性。社会参与 ，重在 强调能 处理好 自我与 社会的 关系， 养成现 代公民 所必须 遵守和 履行的 道德准 则和行 为规范 ，增强 社会责 任感， 提升创 新精神 和实践 能力， 促进个 人价值 实现， 推动社 会发展 进步， 发展成 为有理 想信念 、敢于 担当的 人。
l/4
二次抛物线Aω=hl/3
5l/8
3l/8
二次抛物线Aω=2hl/3
顶点处剪力等于零。
两种常见图形相乘结果
二次抛物线
a
a
M
图
P
b
l
M图
A yC
1 a bl 3
M
图
P
顶点
b
l
M图
A位移计算公式
Kc Ri ci
仅用于静定结构
KC 由支座移动引起的结构在K点沿某方向的位移； Ci 支座位移； Ri 虚设单位荷载所引起的相应支座位移处的支座反力。 当Ri与Ci同向时，乘积为正，反之为负。
其中A、B两矩心的连线不能垂直于 所选的投影轴（x轴）。 主要用于求解简支梁、外伸梁、简支 刚架等的支座反力，选择另一投影方 程校核。
三矩式
M A(F)=0 MB (F)=0 MC (F)=0
其中A、B、C三点不能共线。
主要用于一些三角支架、静定平面桁架的计算。 选择投影方程校核。
4、平面平行力系
ql 2 12
F
A
B
平面一般力系的平衡和应用
即 FR 0 Mo 0
因为
FR ( Fx )2 ( Fy )2
M O M O (Fi )
平面一般力系的平衡方程：
Fx Fy
0 0
M o 0
平面一般力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标
轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点的矩的代
数和也等于零.
第2页，共34页。
y
解得
FB
3 4
P
1 2
qa
F y
0
解得
FAy q 2a P FB 0
P3
FAy
4
qa 2
x
第16页，共34页。
思考：三角形分布载荷处理？
y
R mA
x q dx l
R
x d l
简化中心：A点
主矢
R
0l
x l
qdx
1 2
ql
主矩
L
mA
0l
x
x l
qdx
1 3
ql 2
x
简化最终结果
R=
R 1 ql 2
衡第
P =20kN, q = 4kN/m
静
三 节
取BC为研究对象画受力图.
定
mC(Fi) = 0
YC XC C
P
1m
和物 超体 静系 定的
-1×20 + 2×19.5 + 3 XB = 0 XB = - 6.33 kN
整体分析：
平
Xi = 0
XB
4×3+XA+XB = 0
B
XA = - 5.67 kN
又包含待求的未知量。 ②对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图。
建筑力学主要公式
M x
I
2、强度条件
3、 扭 转 角 计 xmax W
1.对于实心圆截面：
I
D4 32
d
W
I R
D3
16
O
D
2.对于空心圆截面：
I
D4
32
(14)
d
(
d D
)
d
O
D
W
D3
16
q=2kN/m
A
B
C
2m
2m
2m
3kN
9kN
4
D b
a
M图（kN.m） 6
B截面 C截面
B截 面 ： a为 拉 应 力 ， b为 压 应 力 C截 面 ： a为 压 应 力 ， b为 拉 应 力
2、 梁的强度计算
对于矩形截面
正应力强度条件
切应力强度条件：
max
Mmax Wz
4、平面平行力系
1. 基本形式
Fy =0 M O (F )=0
主要用于求解悬臂梁、悬臂刚架固定端的支座 反力，选择另一力矩方程校核。
2．二矩式
M A(F )=0
M B (F )=0
其中A、B连线不能与各力平行。
主要用于求解简支梁、外伸梁、简支刚架等的 支座反力，选择另一投影方程校核。
W
＝
z
bh2 6
max＝23
FQmax A
对于工字型钢
正应力强度条件
剪应力强度条件
max
M max Wz
Wz查 型 钢 表
第四章平面一般力系的平衡方程及其应用简化及平衡方程分解
2）列平衡方程，求解未知量
m 0
FRA 4 cos 450 m 0
解得：
FRA
FRB
m 4 cos450
3.5kN
Fx 0 FP FRBx 0
Fy 0
FRA FRBy q 3 0
mB (F) 0
FP
3
FRA
3
q
3
3 2
0
解得：
FRBx 5kN
FRA 28kN
FRBy 38kN
2.平衡方程的二矩式
Fx 0 mA(F)
0
（A与B两点的连线不垂直于x轴）
mB
(F
)
0
3.平衡方程的三矩式
第四章 平面一般力系的简化及平衡方程
§4.1 平面一般力系的简化 §4.2 平面一般力系的平衡方程及其应用 §4.3 物体系的平衡问题
§ 4-2 平面一般力系的平衡方程及其应用
平面一般力系平衡的必要和充分条件：力系的主矢和力
系对于任一点的矩都等于零，即： FR' 0, M0 0
由此平衡条件可导出不同形式的平衡方程。
1.平面汇交力系的平衡方程
1）平面汇交力系平衡的必要与充分 的解析条件是：各力在两个坐标轴 上投影的代数和分别等于零
Fx 0
Fy
0
2）平面汇交力系平衡的必要与充分 的几何条件是：力多边形自行封闭
利用几何法求解平面汇交力系的平衡 问题时，画出自行封闭的力多边形 ， 然后按比例尺从力多边形中直接量出 未知力的大小即可。
16 0.8
2
20
12(kN)
FRAy P qa FRB 20 20 0.8 12 24(kN)
[例]如图所示一钢筋混凝土刚架的计算简图，其左侧面受到一水平
建筑力学2平面力系
12
2.2 力对点之矩与平面力偶 2.2.1 力对点之矩—简称为：力矩 在力的作用下，物体将发生移动和转动。力 的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转 动效应的物理量。 讨论力的转动效 应时，主要关心 力矩的大小与转 动方向。
13
1.定义 力臂—某定点O到力F的作用线的垂直距离。
矩心—该点O称为矩心。 力对点之矩—力使物体绕某点转动效应的度量。其 数值等于力的大小F与力臂d的乘积。其方向，规 定：力使物体绕矩心逆时钟方向转动时力矩为正， 反之为负。记为 MO(F)=±Fd
F F
y
0
FAC FAC
3
解得
x
4 2 32 63.2kN 4
FT 2
2 12 2 2 FT 2
FT 1 0
0
FAB FAC FAB
1 12 2 2
解得
4 2 32 41.6kN
0
力FAC 是负值，表示该力的假 设方向与实际方向相反 ， 因此杆AC是受压班。
力的等效平移的几个性质：
1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附 加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的 位置的不同而不同。
2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内
的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原
力大小相等的平行力。
3、力平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一 个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。
9
【例2-5】重W=20kN的重物被绞车匀速吊起，绞车 的绳子绕过光滑的定滑轮A,，滑轮由不计重量的 杆AB、AC支撑，A、B、C三点均为光滑铰链， 可忽略滑轮A的尺寸。求杆AB、AC所受的力。
B
4 A FBA B A FAB FAC F’AB y A x F’AC FT2 FT1
平面力系的合成与平衡—平面一般力系的平衡方程和应用(建筑力学)
y
0
FAy FB 80 5 2 0
M F 0
A
FB 4 80 2 5 2 5 0
解上述方程，得：
FAy 37.5kN
FB 52.5kN
结果均为正，说明其实际方向与假设方向相同。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
例4.10 在图示刚架中，已知q=3kN/m，F 6 2kN ，M=10kN.m，不计刚架自重。
求固定端A处的约束力。
解：(1)取刚架为研究对象；(2)画受力图；
(3) 列平衡方程：
Fx 0
Fy 0
M A F 0
解得：
1
FAx q 4 F cos45 0
2
FAy F sin 45 0
1
1
M A q 4 4 M F sin 45 3 F cos45 4 0
M
M
i
( Fi ) 0
B ( Fi ) 0
A
不能选择与力垂直
的投影轴
A、B两点的连线
不与各力作用线
平行。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
三、平面一般力系平衡方程的应用
基本步骤：
1、根据求解的问题，恰当选取研究对象：要使所取物体上既包括已知条
件，又包含待求的未知量。
2、对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图。
§4-4 平面一般力系的平衡方程和应用
一、平面一般力系的平衡方程
平面一般力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR'=0
MO=0
因为 FR‘= （∑）2 + （∑）2
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普通高等教育“十一五”国家级规划教材
满足平衡方程时，物体既不能移动，也不能 转动，物体就处于平衡状态。当物体在平面一般 力系的作用下平衡时，可用三个独立的平衡方程 求解三个未知量。 二、平衡方程的其它形式
1.二力矩形式的平衡方程 ∑FX= 0 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 式中x轴不可与A、B两点的连线垂直。
FAx
FNCD = 30kN (↗)
∑MD (F ) = 0
FNCD
- FAy×0.6 + 14 ×0.3 = 0
14kN 8kN
300
300 100
A 30° D B
FAy
C
FAy = 7kN (↑)
∑MC (F ) = 0
- FAx×0.6/ 3- 14 ×0.3
- 8 ×0.6 = 0 FAx = - 25.98kN (←)
5 + FAy= 0
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3kN·m 6kN
3m
6
A
B
5
5
3m
可取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核： 3 + 5×3 - 6×3 = 0
说明计算无误。
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例4-4 梁AB一端是固定端支座，另一端无
约束，这样的梁称为悬臂梁。它承受荷载作用如
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在使用三力矩式计算出结果后，可用另外两 个投影方程之一进行校核。可知计算无误。
例4-6 外伸梁受荷载如图所示。已知均布荷载 集度q=20kN/m,力偶的力偶矩M=38kN·m，集中 力FP=10kN。试求支座A、B的反力。
10kN 20kN/m 38kN·m
A
B
2m 1m 1m 2m
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10kN 20kN/m 38kN·m
FAx A FAy 2m 1m 1m
B 2m FB
∑FX= 0 FAx= 0
∑MA (F ) = 0
FB = - 22kN (↓)
FB×4 + 38 + 20×3×0.5 + 10×2 = 0
∑MB (F ) = 0
பைடு நூலகம்
0
说明计算无误。
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例4-5 管道支架的结构简图如图所示。求 支座A的反力和杆CD所受的力。
14kN 8kN
300
300 100
A
DB
60°
C
容易判断：杆CD当为 二力杆，且为受压。画出 受力图。
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∑MA (F ) = 0
FNCD×0.3 - 14 ×0.3 - 8×0.6 = 0
FAy = 92kN (↑)
- FAy×4 + 38 + 20×3×4.5 + 10×6 = 0
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10kN 20kN/m 38kN·m
A 92
B
2m
1m 1m 2m 22
可取∑FY = 0这一未用过的方程进行校核： 92 - 20×3 - 10 - 22 = 0
说明计算无误。
图所示。已知FP=2ql，α=60°，梁的自重不计。
求支座A的反力。
A
q
FP
MA
60° A
q
FP 60°
l
B
FAx
FAy l
B
∑FX= 0 ∑FY= 0
FAx - 2ql × 0.5 = 0 FAx= ql (→) FAy -ql -2ql × 0.866 = 0 FAy= 2.732 ql(↑)
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2.三力矩形式的平衡方程 ∑MA (F ) = 0 ∑MB (F ) = 0 ∑MC (F ) = 0
式中A、B、C三点不共线。
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平面一般力系的平衡方程虽有三种形式，但 不论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡 方程。因为当力系满足基本式或二力矩或三力矩 式的三个平衡方程时，力系必定平衡， 任何第四 个平衡方程都是力系平衡的必然结果，而不再是 独立的。我们可以利用这个方程来校核计算的结 果。在实际应用中，采用哪种形式的平衡方程， 完全取决于计算是否简便。通常力求在一个平衡 方程中只包含一个未知量，避免解联立方程组。
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第二节 平面一般力系的平衡方程及其应
用
一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程
平面一般力系平衡的必要和充分条件是： 力系的主矢FR′和主矩MO′都为零。即
FR′= 0， MO′= 0
FR
F F ' 2
'2
RX
RY
( FX )2 ( FY )2
∑FX= 0 ∑FY= 0 ∑MO (F ) = 0
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另
10kN 20kN/m 38kN·m
解
FAx A FAy 2m 1m 1m
B 2m FB
∑MA (F ) = 0 FB×4 + 38 + 20×3×0.5 + 10×2 = 0
38 + 30 + 20
FB = -
4
= - 22kN (↓)
∑MB (F ) = 0
38 + 20×3×4.5 + 10×6
FAy =
4
= 92kN (↑)
∑MA (F ) = 0
MA q
A
FAx
FAy l
FP 60° B
MA - ql 2/ 2 - 2ql ×0.866×l = 0
MA= 2.232 ql 2()
仍取∑MB (F ) = 0这一未用过的方程进行校核：
M B (F )
M
A
ql
l 2
FAyl
2.232ql 2
1 2
ql 2
2.732ql 2
3kN·m 6kN
A
B
3m
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3m
∑FX= 0
6 + FAx= 0 FAx= -6kN(←)
∑MA (F ) = 0 3 + 3FB - 6×3 = 0 FB= 5kN (↑)
3kN·m 6kN
FAx FAy
A 3m
B
FB
∑FY= 0
FB + FAy= 0 FAy= -5kN(↓)
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三、平衡方程的应用
应用平面一般力系的平衡方程，主要是求解 结构的约束反力，还可求解主动力之间的关系 和物体的平衡位置等问题。其解题步骤如下：
1.确定研究对象。根据题意分析已知量和未 知量，选取适当的研究对象。
2.分析受力并画出受力图。在研究对象上画 出它受到的所有主动力和约束反力，约束反力根 据约束类型来画。 当约束反力的方向未定时， 一般可用两个互相垂直的分力表示；当约束反力 的指向未定时，可以先假设其指向。
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因此，平面一般力系平衡的充分必要条件也 可以表述为：力系中所有各力在两个坐标轴上的 投影的代数和都等于零，而且力系中所有各力对 任一点力矩的代数和也等于零。
∑FX= 0 ∑FY= 0 ∑MO (F ) = 0
上式又称为平面一般力系平衡方程，是一基 本形式: 其中前两式称为投影方程，第三式称为 力矩方程。对于投影方程可以理解为：物体在力 系作用下沿x轴和y轴方向都不能移动；对于力矩 方程可以理解为：物体在力系作用下绕任一矩心 都不能转动。
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3.列平衡方程求解未知量。为简化计算，避 免解联立方程，在应用投影方程时，选取的投影 轴应尽量与多个未知力相垂直； 应用力矩方程 时，矩心应选在多个未知力的交点上，这样可使 方程中的未知量减少，使计算简化。
3m
例4-3 钢筋混凝 土刚架，受荷载及支承 情况如图所示。已知 FP= 6kN，M = 3kN·m, 刚架自重不计。求支座 A、B的反力。