天津市2013届高三数学总复习之综合专题：数学归纳法在数列综合题中的应用举例(教师版)

数学归纳法在数列综合题中的应用举例

1、在数列{}n a 和{}n b 中，3,121==a a ，

且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列，*N n ∈。 （1）求出43,a a 和4321,,,b b b b 的值；

（2）归纳出数列{}n a 和{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明。 全解103P

2、设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=

n n n a a S 121，*N n ∈，猜想出数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明。

全解104P

3、设0a 为常数，且1123---=n n n a a ，*N n ∈。

（1）证明对任意的()[]

()012121351,1a a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=≥-； （2）假设对任意的1≥n ，有1->n n a a ，求0a 的取值范围。 全解108P

4、设数列{}n a 满足12

1+-=+n n n na a a ，*N n ∈。 （1）当21=a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式；

（2）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有

①2+≥n a n ；

②2

1111≤+∑=n i i a 。 全解110P

5、已知{}n a 是由非负整数组成的数列，满足()()22,3,021121++===--+n n n n a a a a a a ， 其中*N n ∈且3≥n 。

（1）求3a ；

（2）证明22+=-n n a a ，3≥n ；

（3）求{}n a 的通项公式及其前n 项和n S 。

全解111P