离散无记忆二进制BSC信道容量

第3章信道与信道容量32

j i j
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》曹雪虹等编著
14
3.2离散单个符号信道及其容量
信道容量
C＝ max I ( X ; Y )
p ( ai )
= max[ H (Y ) − H (Y | X )]
p ( ai ) p ( ai )
= max H (Y ) − H (Y / X )
第3章信道与信道容量
3.1信道分类和表示参数 3.2离散单个符号信道及其容量
离散无记忆信道：对称、准对称
3.4连续信道及其容量
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》曹雪虹等编著
1
3.1信道分类和表示参数
信道分类
用户数量：单用户、多用户输入端和输出端关系：无反馈、有反馈信道参数与时间的关系：固参、时变参噪声种类：随机差错、突发差错输入输出特点：离散、连续、半离散半连续、波形信道
• 信道种类
1 无干扰信道 2 有干扰无记忆信道 3 有干扰有记忆信道
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》曹雪虹等编著 3
信道参数
无干扰（无噪声）信道
1, y = f (x) p ( Y / X) = 0, y ≠ f (x)
普通高等教育“十五”国家级规划教材《信息论与编码》曹雪虹等编著
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3.2离散单个符号信道及其容量
•
输入对称
∑ p(b j / ai ) log p(b j / ai )与i无关
j
H (Y / X ) = −∑ p(ai )∑ p(b j / ai ) log p(b j / ai ) = −∑ p(b j / ai ) log p (b j / ai ) = H (Y / xi )

信息论与编码期末复习填空

1.信源编码的主要目的是提高有效性, 信道编码的主要目的是提高可靠性。

2、信源的剩余度主要来自两个方面, 一是信源符号间的相关性, 二是信源符号的统计不均匀性。

3.三进制信源的最小熵为0, 最大熵为 bit/符号。

4.无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= Hr(S)）。

5.当R=C 或（信道剩余度为0）时, 信源与信道达到匹配。

6.根据信道特性是否随时间变化, 信道可以分为恒参信道和随参信道。

7、根据是否允许失真, 信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。

8、若连续信源输出信号的平均功率为 , 则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或时, 信源具有最大熵, 其值为值。

9、在下面空格中选择填入数学符号“,,,=≥≤〉”或“〈”（1）当X 和Y 相互独立时, H （XY ）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。

（2）()()1222H X X H X =≥()()12333H X X X H X = （3）假设信道输入用X 表示, 信道输出用Y 表示。

在无噪有损信道中, H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)<H(X)。

无穷大。

1、在认识论层次上研究信息的时候, 必须同时考虑到形式、含义和效用三个方面的因素。

2、1948年, 美国数学家香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文, 从而创立了信息论。

3、按照信息的性质, 可以把信息分成语法信息、语义信息和语用信息。

4、按照信息的地位, 可以把信息分成客观信息和主观信息。

5、人们研究信息论的目的是为了高效、可靠、安全地交换和利用各种各样的信息。

6、信息的可度量性是建立信息论的基础。

7、统计度量是信息度量最常用的方法。

8、熵是香农信息论最基本最重要的概念。

9、事物的不确定度是用时间统计发生概率的对数来描述的。

10、单符号离散信源一般用随机变量描述, 而多符号离散信源一般用随机矢量描述。

信息论与编码第三版第4章

C max H ( X ) log 3
p( x)
信息论与编码
3. 根据平均互信息量I（X; Y）达到信道容量的充要条件式对C进行验证：
p ( y j ) p ( xi ) p ( y j / xi )
i 1 3
1 P 0 0
0 1/ 2 0
0 1/ 2 0
0 0 1/6
x1 x2 x3 x4 x5
1 1 1 1 1
y1 y2 y3 y4 y5
1 0 P 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
【解】该信道的信道容量为：
C max I ( X ; Y ) max H ( X ) log 5
C max I ( X ; Y ) max H (Y )
p( x) p( x)
由于
p( y ) p( x) p( y / x)，由于信道转移概率是确定的，求使H (
X
Y)
达到最大值的p ( x )的最佳分布就转化为求p ( y )的最佳分布。由极大离散熵定理知，在p ( y )等概率分布时，H ( Y ) 达到最大，则
I ( x2 ; Y ) p ( y j / x2 ) log
j 1 2
p ( y j / x2 ) p( y j ) p ( y j / x3 ) p( y j ) p ( y j / x4 ) p( y j ) p ( y j / x5 ) p( y j )
1 log
1 1/ 2
log 2
I ( x3 ; Y ) p ( y j / x3 ) log
j 1 2
1 log

信道容量的计算方法

信道容量的计算方法信道容量的计算方法：1、对于离散无记忆信道，香农公式是计算信道容量的重要方法。

香农公式为C = W log₂(1 + S/N)，其中C表示信道容量，W表示信道带宽，S表示信号功率，N表示噪声功率。

2、在计算信道容量时，先确定信道带宽W的值。

例如，在一个无线通信系统中，经过测量或者根据通信标准规定，信道带宽可能是20MHz。

3、接着确定信号功率S。

信号功率可以通过功率测量仪器得到，比如在一个发射机输出端测量到的功率为10W。

4、然后确定噪声功率N。

噪声功率的确定需要考虑多种因素，如热噪声、干扰噪声等。

热噪声功率可以根据公式N₀= kT₀B计算，其中k是玻尔兹曼常数，T₀是绝对温度，B是等效噪声带宽。

在常温下，假设T₀= 290K，若等效噪声带宽与信道带宽相同为20MHz，可算出热噪声功率，再加上其他干扰噪声功率得到总的噪声功率N。

5、将确定好的W、S、N的值代入香农公式计算信道容量C。

6、对于离散有记忆信道，计算信道容量会更复杂。

需要考虑信道的记忆特性，通常采用马尔可夫链来描述信道状态的转移概率。

7、构建马尔可夫链的状态转移矩阵，矩阵中的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。

8、通过求解马尔可夫链的稳态分布，结合输入符号的概率分布，利用信息论中的互信息公式来计算信道容量。

9、在多输入多输出(MIMO) 系统中，信道容量的计算又有不同。

需要考虑多个发射天线和多个接收天线之间的信道矩阵H。

10、利用矩阵H的特征值等信息，根据MIMO信道容量公式C = log₂det(I + ρHH*)计算信道容量，其中ρ是信噪比，I是单位矩阵，H*是H的共轭转置矩阵。

第三章离散信道及其信道容量

p(ym/x1)
p(ym/x2) … p(ym/xn)
第一节信道的数学模型及分类为了表述简便，可以写成 P(bj / ai ) pij
p11 p P 21 ... pr1 p12 ... p22 ... pr 2 ... p1s p2 s ... prs
i 1 r
P(aibj ) P(ai )P(bj / ai ) P(bj )P(ai / bj )
（3）后验概率
P(ai / b j )
P(aib j ) P(b j )
P(a / b ) 1
i 1 i j
r
表明输出端收到任一符号，必定是输入端某一符号输入所致
第二节平均互信息
第三节平均互信息的特性
1、平均互信息的非负性 I(X;Y)>=0 该性质表明，通过一个信道总能传递一些信息，最差的条件下，输入输出完全独立，不传递任何信息，互信息等于0，但决不会失去已知的信息。
2、平均互信息的极值性
I(X;Y)<=H(X) 一般来说，信到疑义度总是大于0，所以互信息总是小于信源的熵，只有当信道是无损信道时，信道疑义度等于0，互信息等于信源的熵。
C max{I ( X , Y )} max{H ( X ) H ( X / Y )}
P( X ) P( X )
信道容量与与信源无关，它是信道的特征参数，反应的是信道的最大的信息传输能力。对于二元对称信道，由图可以看出信道容量等于 1-H(P)
第四节信道容量及其一般计算方法
1、离散无噪信道的信道容量（1）具有一一对应关系的无噪声信道 x1 x2 x3 I(X;Y)=H(X)=H(Y) y1 y2 y3

4.信道及其容量

第4章离散信道及其容量4.1节离散无记忆信道（DMC, Discrete Memoryless Channel ）什么是 “信道”？通信的基本目标是将信源发出的消息有效、可靠地通过“信道”传输到目的地，即信宿（sink ）。

但什么是“信道”？Kelly 称信道是通信系统中“不愿或不能改变的部分”。

比如CDMA 通信中，设备商只能针对给定的频谱范围进行设备开发，而运营商可能出于成本的考虑，不愿意进行新的投资，仍旧采用老的设备。

通信是对随机信号的通信，因此信源必须具有可选的消息，因此不可能利用一个sin(·)信号进行通信，而是至少需要两个可供发射机进行选择。

一旦选择了信息传输所采用的信号，信道决定了从信源到信宿的过程中信号所受到的各种影响。

从数学上理解，信道指定了接收机接收到各种信号的条件概率(conditional probability)，但输入信号的先念概念（prior probability ）则由使用信道的接收机指定。

如果只考虑离散时间信道，则输入、输出均可用随机变量序列进行描述。

输入序列X 1,X 2,……是由发射机进行选择，信道则决定输出序列Y 1, Y 2,……的条件概率。

数学上考虑的最简单的信道是离散无记忆信道。

离散无记忆信道由三部分组成：（1）输入字符集A ={a 1, a 2, a 3,…}。

该字符集既可以是有限，也可以是可数无限。

其中每个符号a i 代表发射机使用信道时可选择的信号。

（2）输出字符集B={b 1, b 2, b 3,…}。

该字符集既可以是有限，也可以是可数无限。

其中每个符号bi 代表接收机使用信道时可选择的信号。

（3）条件概率分布P Y |X (·|X )，该条件分布定义在B 上，其中X ∈A 。

它描述了信道对输入信号的影响。

离散无记忆的假设表明，信道在某一时刻的输出只与该时刻的输入有关，而与该时刻之前的输入无关。

或者：1111|(|,...,,,...,)(|)n n n Y X n n P y x x y y P y x --=，n =1,2,3….Remark: (1) n x 在信道传输时受到的影响与n 时刻以前的输入信号无关。

信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答-071102

第3章信道容量习题解答3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和(;)I X Y 。

i i 2i=13311H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-⨯-=∑符号111121*********j j j=132117p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=4343127755H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)12121212bit ⨯+⨯=⨯+⨯=---=∑符号 22i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )2211log()log()0.9183(/)3333i jjbit -=-=-⨯-⨯=∑∑符号I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。

二进制对称信息的信道容量H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)1122C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{0.5，0.5} 注意单位3-2 求下列三个信道的信道容量及其最佳的输入概率分布。

1b 2b 3b 3a 2a 1a Y X 1b 2b 3a 2a 1a Y X 1b 2b 2a 1a Y X 3b 11111110.70.3第一种：无噪无损信道，其概率转移矩阵为： 1 0 0P=0 1 00 0 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦信道容量：()max (;)P X C I X Y @ bit/符号()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H X H X Y H X Y C I X Y H X ==-∴=∴==离散无记忆信道(DMC)只有输入为等概率分布时才能达到信道容量，C=log3=1.5850 bit/符号输入最佳概率分布如下：111,,333⎧⎫⎨⎬⎩⎭第二种：无噪有损信道，其概率转移矩阵为： 1 0P=0 10 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，离散输入信道， ()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H Y H Y X H Y X C I X Y H Y ==-∴=∴==H(Y)输出为等概率分布时可达到最大值，此值就是信道容量此时最佳输入概率：123p(a )+p(a )=0.5,p(a )=0.5 信道容量：C=log(2)=1 bit/符号第三种：有噪无损信道，由图可知：()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H X H X Y H X Y C I X Y H X ==-∴=∴==输入为等概率分布时可达到信道容量，此时信道容量p(x)C=max{H(X)}=log(2)=1 bit/符号输入最佳概率分布：11,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭3-3 设4元删除信道的输入量{1,2,3,4}X ∈，输出量{1,2,3,4,}Y E ∈，转移概率为(|)1(|)1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε P=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε ε1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε p1= p2=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε εP Y i X i P Y E X i εε===-===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中1,2,3,4i = 1）该信道是对称DMC 信道吗？ 2）计算该信道的信道容量；3）比较该信道与两个独立并联的二元删除信道的信道容量。

计算机科学技术：信息论与编码考试题库二

计算机科学技术：信息论与编码考试题库二1、问答题（江南博哥）请给出平均码长界定定理及其物理意义。

答案：2、填空题多用户信道的信道容量用（）来表示。

答案：多维空间的一个区域的界限3、判断题狭义的信道编码既是指：信道的检、纠错编码。

答案：对4、判断题互信息量I（X；Y）表示收到Y后仍对信源X的不确定度。

答案：对5、判断题对于具有归并性能的无燥信道，当信源等概率分布时（p（xi）=1/n），达到信道容量。

答案：错6、问答?有两个二元随机变量X和Y，它们的联合概率为P[X=0，Y=0]=1/8，P[X=0，Y=1]=3/8，P[X=1，Y=1]=1/8，P[X=1，Y=0]=3/8。

定义另一随机变量Z=XY，试计算：（1）H（X），H（Y），H（Z），H（XZ），H（YZ），H（XYZ）；（2）H（X/Y），H（Y/X），H（X/Z），H（Z/X），H（Y/Z），H（Z/Y），H （X/YZ），H（Y/XZ），H（Z/XY）；（3）I（X；Y），I（X；Z），I（Y；Z），I（X；Y/Z），I（Y；Z/X），I（X；Z/Y）。

答案：7、填空题平均互信息量I（X；Y）与信源熵和条件熵之间的关系是（）。

答案：（X;Y)=H(X)-H(X/Y）8、填空题根据输入输出信号的特点，可将信道分成离散信道、连续信道、（）信道。

答案：半离散或半连续9、填空题单符号离散信源一般用随机变量描述，而多符号离散信源一般用（）描述。

答案：随机矢量10、填空题信源编码的目的是提高通信的（），信道编码的目的是提高通信的（），加密编码的目的是保证通信的（）。

答案：有效性；可靠性；安全性11、填空题某离散无记忆信源X，其符号个数为n，则当信源符号呈（）分布情况下，信源熵取最大值（）。

答案：等概；log（n）12、名词解释前向纠错（FEC）答案：是指差错控制过程中是单向的，无须差错信息的反馈。

13、名词解释信源编码答案：就是针对信源输出符号序列的统计特性，通过概率匹配的编码方法，将出现概率大的信源符号尽可能编为短码，从而使信源输出的符号序列变换为最短的码字序列针对信源输出符号序列的统计特性，通过概率匹配的编码方法，将出现概率大的信源符号尽可能编为短码，从而使信源输出的符号序列变换为最短的码字序列。

信息论与编码理论-第3章信道容量-习题解答-071102

第3章信道容量习题解答3-1 设二进制对称信道的转移概率矩阵为2/31/31/32/3⎡⎤⎢⎥⎣⎦解: (1) 若12()3/4,()1/4P a P a ==，求(),(),(|),(|)H X H Y H X Y H Y X 和(;)I X Y 。

i i 2i=13311H(X)=p(a )log p(a )log()log()0.8113(/)4444bit -=-⨯-=∑符号111121*********j j j=132117p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=43431231125p(b )=p(a )p(b |a )+p(a )p(b |a )=4343127755H(Y)=p(b )log(b )=log()log()0.9799(/)12121212bit ⨯+⨯=⨯+⨯=---=∑符号 22i j j i j i j i ,H(Y|X)=p(a ,b )logp(b |a )p(b |a )logp(b |a )2211log()log()0.9183(/)3333i jjbit -=-=-⨯-⨯=∑∑符号I(X;Y)=H(Y)H(Y|X)=0.97990.91830.0616(/)bit --=符号 H(X|Y)=H(X)I(X;Y)=0.81130.06160.7497(/bit --=符号)(2)求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。

二进制对称信息的信道容量H(P)=-plog(p)-(1-p)log(1-p)1122C =1-H(P)=1+log()+log()=0.0817(bit/)3333符 BSC 信道达到信道容量时，输入为等概率分布，即：{0.5，0.5} 注意单位3-2 求下列三个信道的信道容量及其最佳的输入概率分布。

1b 2b 3b 3a 2a 1a Y X 1b 2b 3a 2a 1a Y X 1b 2b 2a 1a Y X 3b 11111110.70.3第一种：无噪无损信道，其概率转移矩阵为： 1 0 0P=0 1 00 0 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦信道容量：()max (;)P X C I X Y @ bit/符号()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H X H X Y H X Y C I X Y H X ==-∴=∴==离散无记忆信道(DMC)只有输入为等概率分布时才能达到信道容量，C=log3=1.5850 bit/符号输入最佳概率分布如下：111,,333⎧⎫⎨⎬⎩⎭第二种：无噪有损信道，其概率转移矩阵为： 1 0P=0 10 1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，离散输入信道， ()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H Y H Y X H Y X C I X Y H Y ==-∴=∴==H(Y)输出为等概率分布时可达到最大值，此值就是信道容量此时最佳输入概率：123p(a )+p(a )=0.5,p(a )=0.5 信道容量：C=log(2)=1 bit/符号第三种：有噪无损信道，由图可知：()()()()max{(;)}max{()(|)}(|)0max{(;)}max{()}p x p x p x p x C I X Y H X H X Y H X Y C I X Y H X ==-∴=∴==输入为等概率分布时可达到信道容量，此时信道容量p(x)C=max{H(X)}=log(2)=1 bit/符号输入最佳概率分布：11,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭3-3 设4元删除信道的输入量{1,2,3,4}X ∈，输出量{1,2,3,4,}Y E ∈，转移概率为(|)1(|)1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε P=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε ε1-ε 0 0 0 ε0 1-ε 0 0 ε p1= p2=0 0 1-ε 0 ε0 0 0 1-ε εP Y i X i P Y E X i εε===-===⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中1,2,3,4i = 1）该信道是对称DMC 信道吗？ 2）计算该信道的信道容量；3）比较该信道与两个独立并联的二元删除信道的信道容量。

信息论基础——信道容量的计算

p
p p1 p 1
将p=3/5代入（2），得到信道容为:C=0.32bit/sym.
20
信道容量的计算
2 达到信道容量输入分布的充要条件
令
I (xi ;Y )
s j 1
p( y j
|
xi ) log
p( y j | xi ) p( yj )
def
D(Q( y |
x) ||
p( y))
定理4.2.2 一般离散信道的互信息I(X；Y)达到极大值
1 信道容量的计算原理
C是选择不同的输入概率分布p(x),在满足
∑p(x)=1条件下，求互信息的极大值：
I(X ;Y )
r i 1
s j 1
p(xi ) p( y j | xi ) log
p( y j | xi ) p(yj )
Lagrange乘子
法
17
信道容量的计算
例1、设某二进制数字传输系统接收判决器
6
数据可靠传输和信道编码
4.1 离散无记忆信道和信道容量 4.2 信道容量的计算
4.3 信道编码理论 4.4 带反馈的信道模型 4.5 联合信源-信道编码定理 4.6 线性分组码习题四
7
8
接入信道容量的分析与寻呼信道不一样，寻呼信道用于前向链路，容量的分析主要在于对寻呼信道占用率的计算，而接入信道用于反向链路，对 CDMA 系统来说，反向链路容量主要用于干扰的分析。即使采用时隙化的随机接入协议，接入信道也可能有较高的通过量，大量的接入业务会在反向链路中产生无法接受的干扰。如前所述，第一个接入试探失败后，下一个接入试探将增加一定量的功率，最终的结果将导致小区接收功率的增加以及反向链路容量的减少。

信息论与编码期末考试题----学生复习用1

H(Y/X) 0,I(X;Y) H(X)。
二、若连续信源输出的幅度被限定在【2,6】区域内，当输出
信号的概率密度是均匀分布时，计算该信源的相对熵，并说明该信源的绝对熵为多少。
三、已知信源
（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分）（2）计算平均码长;（4分）（3）计算编码信息率;（2分）（4）计算编码后信息传输率;（2分）（5）计算编码效率。（2分）
号；
C、9比特/符号； D、18比特/符号。
2、信道转移矩阵为，其中两两不相等，则该信
道为
A、一一对应的无噪信道
B、具有并归性能的无噪信道 C、对称信道 D、具有扩展性能的无噪信道 3、设信道容量为C，下列说法正确的是：（） A、互信息量一定不大于C B、交互熵一定不小于C C、有效信息量一定不大于C D、条件熵一定不大于C 4、在串联系统中，有效信息量的值（） A、趋于变大 B、趋于变小 C、不变 D、不确定
5、若BSC信道的差错率为P，则其信道容量为：（） A、 B、 C、 D、 2、填空题 1、 (7,4)线性分组码中，接受端收到分组R的位
数为____ ，伴随式S可能的值有____ 种, 差错图案e的长度为，系统生成矩阵 Gs为____ 行的矩阵，系统校验矩阵Hs为
____ 行的矩阵，Gs和Hs满足的关系式是
（8）平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还
与___ __________和___ ___有关
二、判断题
（1）信息就是一种消息。
（）
（2）信息论研究的主要问题是在通信系统设计中如何实
现信息传输、存储和处理的有效性和可靠性。（
）
（3）概率大的事件自信息量大。
（

BSC信道容量

• 准对称信道容量
C log m H ( p1 , p2 pm )
28
准对称信道的信道容量
• 当输入分布为等概率时：
C log n H ( p1 , p2 pm ) N k log M k
k 1
r
– 其中n是输入符号集的个数,(p1, p2,…pm)为准对称信道矩阵中的行元素。 • 设矩阵可划分成r个互不相交的子集。 – Nk是第k个子矩阵Pk中行元素之和, – Mk是第k个子矩阵Pk中列元素之和。
H (Y | X ) p(ai ) p(b j | ai ) log p(b j | ai )
i j
p(b j | ai ) log p(b j | ai )
j
[ p log p p log p ] H ( p)
I ( X ; Y ) H (Y ) H (Y | X ) H ( p p) H ( p) 1 H ( p)
1 6 1 3
1 3 1 3
1 6 1 6
• 它们满定对称性,所以P1所对应的信道为准对称信道。
27
准对称信道的信道容量
• 准对称信道
0.7 0.1 0.2 0.7 0.2 0.1 P2 0.1 0 . 2 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0 . 7
BSC信道的转移矩阵为:
1 p p P1 P2 p 1 p
• 串联信道的转移矩阵为:
X0
p p
1-p
Y
1-p
0Z
1
1-p 1-p
1Hale Waihona Puke 2 2 1 p p 1 p p (1 p) p 2 p(1 p) P P1P2 2 2 p 1 p p 1 p 2 p(1 p) (1 p) p

信息论基础离散无记忆信道信道容量

存储的最大信息量，即信息无差错传输的最大速
率，就是信道容量问题.
12
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信道容量
带宽 :信道可以不失真地传输信号的频率范围。为不同应用而设计的
传输媒体所支持的带宽有所不同；在现代网络技术中， “带宽” 表示
信道的数据传输速率.
信道容量:信道在单位时间内可以传输的最大信号量，表示信道的传
p
[P]=
1
p
1-p
p称为交叉概率误差！
0
1-p 0
p
p
1
1-p
1
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离散无记忆信道和信道容量
如果信道的输入概率分布X={w,1-w}，则
I (X ;Y ) H ( p p) H ( p)
由此可得
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离散无记忆信道和信道容量
平均互信息对即当
有极大值
I (X ;Y )
p(x, y) log p(x, y)
xX yY
p(x) p(y)
p(x) Q( y | x) log
xX
yY
Q(y | x) p(x)Q( y | x)
xX
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离散无记忆信道和信道容量
通常，P(xi)称为信道的入口分布 P(yi)称为信道的出口分布 i(x;y)=logP(x,y)/P(x)P(y)为入口与
（1）有记忆信道
（2）无记忆信道
（任一时刻输出符号只统计依赖于对应时刻输入符号的
信道）
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离散无记忆信道
根据输入输出信号的特点，可分为
（1）离散信道
数字信道以数字脉冲形式（离散信号）传输数据

第17讲-离散无记忆扩展信道及其信道容量PPT课件

二元无记忆对称信道得二次扩展信道二元记忆对称信道为可以将信道的扩展和信源的扩展联系起来看当信源扩展以后信道也就称为了扩展信道
第三节离散无记忆扩展信道及其信道容量
第三节离散无记忆扩展信道及其信道容量
离散无记忆信道为：
p11 p12 ... p1s
P
p21
p22
...
p
2
s
...
...
定理如果信道是无记忆的，即
N
P(y/x) P(yi /xi) i1
则：
N
I(XN;YN) I(Xi;Yi) i1
定理如果信源是无记忆的，则
N
I(XN;YN) I(Xi;Yi) i1
因此，如果信源、信道都是无记忆的 I(XN;YN)NI(X;Y)
CN NC
这就是离散无记忆扩展信道得信道容量，该信道容量在信源是无记忆信源且每一个输入变量 Xi达到最佳分布时达到。
pr1
pr2 ...
p rs
则它的N次扩展信道为：
11
21
rN 1
12 22
rN 2
1sN 2sN
rN
s
kn P(h/k)
k 为N次扩展信源中的一个符号序列
h 为N次扩展接收符号集中的一个符号序列
我们首先从一个例子开始例：二元无记忆对称信道得二次扩展信道
二元记忆对称信道为
P
p p
p
p
则它的二次扩展信道为：
p2 pp pp p2
p
p
p2
p2
p
p
pp p2 p2 pp
p
2
pp
pp
p
2
可以将信道的扩展和信源的扩展联系起来看，当信源扩展以后，信道也就称为了扩展信道。

离散无记忆扩展信道及其信道容量课品

p
2
pp
pp
p
2
可以将信道的扩展和信源的扩展联系起来看，当信源扩展以后，信道也就称为了扩展信道。
根据互信息的定义 I ( X N ;Y N ) H ( X N ) H ( X N / Y N ) H (Y N ) H (Y N / X N )
定理如果信道是无记忆的，即
N
P( y / x) P( yi / xi ) i 1
则：
N
I ( X N ;Y N ) I ( X i ;Yi ) i 1
定理如果信源是无记忆的，则
N
I ( X N ;Y N ) I ( X i ;Yi ) i 1
因此，如果信源、信道都是无记忆的 I ( X N ;Y N ) NI ( X ;Y )
CN NC
这就是离散无记忆扩展信道得信道容量，该信道容量在信源是无记忆信源且每一个输入变量 Xi达到最佳分布时达到。
第三节离散无记忆扩展信道及其信道容量
第三节离散无记忆扩展信道及其信道容量
离散无记忆信道为：
p11 p12 ... p1s
P
p21
p22
...
p2
s
...
...
pr1
pr2 ...
prs
则它的N次扩展信道为：
11
21
ggg
rN 1
12 22
rN 2
ggg ggg
1s N 2sN
ggg
rN
s
kn P(h /k )
k 为N次扩展信源中的一个符号序列
h 为N次扩展接收符号集中的一个符号序列
我们首先从一个例子开始例：二元无记忆对称信道得二次扩展信道
二元记忆对称信道为

信息论与编码填空题

信息论与编码填空题1. 在无失真的信源中，信源输出由H (X )来度量；在有失真的信源中，信源输出由 R (D ) 来度量。

2. 要使通信系统做到传输信息有效、可靠和保密，必须首先信源编码，然后_加密_编码，再_信道编码，最后送入信道。

3. 带限AWGN 波形信道在平均功率受限条件下信道容量的基本公式，也就是有名的香农公式是log(1)C W SNR =+；当归一化信道容量C/W 趋近于零时，也即信道完全丧失了通信能力，此时E b /N 0为dB ，我们将它称作香农限，是一切编码方式所能达到的理论极限。

4. 保密系统的密钥量越小，密钥熵H (K )就越小，其密文中含有的关于明文的信息量I (M ；C )就越大。

5. 已知n ＝7的循环码42()1g x x x x =+++，则信息位长度k 为 3 ，校验多项式h(x)= 31x x ++ 。

6. 设输入符号表为X ＝{0，1}，输出符号表为Y ＝{0，1}。

输入信号的概率分布为p ＝(1/2，1/2)，失真函数为d (0，0) = d (1，1) = 0，d (0，1) =2，d (1，0) = 1，则D min ＝ 0 ，R (D min )＝ 1bit/symbol ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1001；D max ＝，R (D max )＝0 ，相应的编码器转移概率矩阵[p(y/x )]＝1010。

7. 已知用户A 的RSA 公开密钥(e,n )=(3,55)，5,11p q ==,则()φn = 40 ，他的秘密密钥(d,n )＝(27,55) 。

若用户B 向用户A 发送m =2的加密消息，则该加密后的消息为 8 。

１．设Ｘ的取值受限于有限区间［a,b ］，则X 服从均匀分布时，其熵达到最大；如X 的均值为μ，方差受限为2σ，则X 服从高斯分布时，其熵达到最大。

2．信息论不等式：对于任意实数0>z ，有1ln -≤z z ，当且仅当1=z 时等式成立。