曲边梯形的面积与定积分033356281qubian

分割 以直代曲 作和 取极限
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , · ·n)． ·, •区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y = f(x) y f(xi)
f(x2) f(x1) f(xi)xi
S S1 S2 Sn Si
i 1 n i -1 1 i -1 2 1 f( ) ( ) n n i 1 n n i 1 1 2 2 2 2 3 [0 1 2 (n 1) ] n n
n
（4）取极限 当分割无限变细，即x 0(亦即n )时， 1 2 2 1 1 2 2 [0 1 2 (n 1) ] 3 (n 1)n (2n 1) 3 n n 6 1 1 1 1 (1 )( 2 ) 6 n n 3 1 1 所以S ，即所求曲边三角形的面积为 。 3 3
Sn=v(t1)⊿t+v(t2)⊿t+…+v(ti)⊿t+…+v(tn)⊿t ≈火箭在10s内运行的总路程.
学生活动
● 前面几个问题有什么共性？
f (x1 )x f(x 2 )x f(x n )x Sn
问题情境
● 怎样从数学角度去定义它们？
---定积分
建构数学:
1、定积分的定义
如果⊿xO(n∞)时，Sn 无限趋近某个常 数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a, b]上 的定积分,记作:
S

b
a
f ( x)dx
2．定积分的实质：特殊和式的逼近值． 3．定积分的思想和方法：
分割 化整为零
求近似以直（不变）代曲（变）
求和
取极限
积零为整
取逼近
精确值——定积分
3.一般定积分的几何意义是,在区间[a,b] 上曲线与x轴所围成图形的面积的代数 和.
a
s v(t)dt。
a
b
b
(3)变力作功问题可表示为
W F ( x)dx
a
O
a
t
b
注 ：定积分数值只与被积函数及积分
区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关
b b b
a f ( x)dx a f (t )dt a f (u)du
感受理解
例1.计算下列定积分:
(1).
4.定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区 间有关，而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
5.
b a
b
b
f (t)dt
b
a
f(u)du。
a f(x)dx - b f (x)dx
a
b
a
a
c
注:一般定积分的几何意义是, 在区间[a,b]上曲线与x轴所围 成图形的面积的代数和.
yf (x)
当函数 f (x)在 x[a, b] 有正有负时,
定积分 f ( x)dx
a
就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x
轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)

b
几何意义
即 f(x )dx S1 S2 S3
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即 在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代 曲” y 。
方案1
方案2
方案3
O
1
x
y = f(x) y
A1 O a b x
用一个矩形的面积 A1近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1.
y = f(x) y
A1 O a
A2 b x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
a
b
y
S1
O
S3
S2
X
用定积分表示下列阴影部分面积
y y y
y=sinx
O
X
y=x2-4x-5 -1
O
5
X
y=cosx 3 2 2
O
X
S=______;
S=______;
S=______;
例2.计算下列定积分:
数学应用
5
(1). (2 x 4)dx;(2). xdx
y
0 1 y
y
2 1
1 ( x 1)dx; (2). ( x 1) dx. 2 2
1
y
1
2
x
-2
1
x
解: (1)5/2;
(2)9/4.
3.定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分 f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、
a b
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
S

b
a
f ( x)dx
2,定积分的相关名称：
———叫做积分号， y f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。
y f (x)
a
b
x
感受理解
按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x b 轴所围成的曲边梯形的面积为 S f (x)dx； (2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间 [a, b]内运动的距离s为 v v(t ) v
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
1 1 2 i 1 i n 1 n [0, ], [ , ], , [ , ], , [ , ], n n n n n n n
高二数学组
微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；
2.如何求曲线下方“曲线梯形”的面积。
y y
y
0
x
0
x
o
x
直线
几条线段连成的折线
曲线？
1.4.1曲边梯形的面积
直线x0、x1、y0及曲线yx2所围成的图形（曲边三
角形）面积S是多少？
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形
O
a x 1 x1 x 2 x2
xi-1 xi xi
xn-1 b x
•把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形．
•任取xi [xi1，xi ] ，以f (x i) xi近似代替第i个窄曲边梯形的面 积． •曲边梯形的面积近似为：A
f (x )x
i 1 i
n
i
．
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , · ·n)． ·, •区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y = f(x) y f(xi)
f(x2) f(x1) f(xi)xi
O
a x 1 x1 x 2 x2
xi-1 xi xi ．
xn-1 b x
•曲边梯形的面积近似为：A
f (xi )xi
i 1
n
例1：火箭发射后ts的速度为v(t)(单位:m/s),假定 0≤t≤10,对函数v(t)按上式所作的和具有怎样的实 际意义？
一般地,设函数f(x)在区间[a, b]上有定义,将 区间[a, b]等分成n个小区间,每个小区间长度为 ⊿x(⊿x=b-a/n),在每个小区间上取一点,依次为 x1,x2, …,xn.作和
Sn =f (x1 )x f(x 2 )x f(x n )x
如果⊿xO(n∞)时，Sn 无限趋近某个常 数S，那么称该常数S为函数f(x)在区间[a, b]上 的定积分,记作:
-1 0
0
2
5 x
0 -1
x
解(1)5;
(2)-1/2
四、小结
1、定积分的定义
一般地,设函数f(x)在区间[a, b]上有定义,将 区间[a, b]等分成n个小区间,每个小区间长度为 ⊿x(⊿x=b-a/n),在每个小区间上取一点,依次为 x1,x2, …,xn.作和
Sn =f (x1 )x f(x 2 )x f(x n )x
y = f(x) y
A1 O a
A2
A3
A4 b x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
a f (x)dx a
O a
b
c
f (x)dx
b
c
f (x)dx。
b x
b
特别地，当 ab 时，有
a
f (x)dx0。
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 f (x)dx 在几何上表示
a b
y yf (x)
上述曲边梯形面积的负值。 b S [ f ( x)]dx
a

a
b
a b x O b f (x)dx S f (x)dx b c c f (x)dx。S f (x)dx b f (x a f (x)dx
c
， a f ( x)dx ．
b
S [ f ( x)]dx
每个区间的长度为
i i 1 1 x n n n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1 , S2 , , Si , , Sn .
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（2） 以直代曲 i 1 i 1 2 1 Si f ( )x ( ) n n n （3）作和